人教A版高中数学必修五学案 解三角形章末复习 (无答案)

解三角形复习课（一）●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 ●教学重点1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。

●教学难点让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。

●教学过程 【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同，结合大题16题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维大有裨益。

1． 正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin === （2R 可留待学生练习中补充） B ac A bcC ab S sin 21sin 21sin 21===∆.余弦定理 ：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=求角公式：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= ab c b a C 2cos 222-+=点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。

2．思考：各公式所能求解的三角形题型？正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。

解三角形复习一、正弦定理与余弦定理【知识梳理】1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一.2．正弦定理变形：（1）（2）(其中是外接圆半径)（3）（4）3．余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

即：4.已知和，用正弦定理求时的各种情况；（1）若为锐角时：如图：（2）若为直角或钝角时：二．例题精讲考点1 求角或角的范围例1．中，已知：AB=2，BC=1，，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。

设∠FEC=α，问当sinα=__________ 时，△DEF的边长最短.例2．各角的对应边分别为，满足，则角A的范围是（）A.B.C.D.例3．中，角所对的边长分别为，，且，则=（）A.B.C.D.变式训练1．在中，分别为的对边，若、、依次成等比数列，则角B的取值范围是（）A.B.C.D.2．已知的内角所对的边分别为，若的取值范围是__________ 。

3．的内角的对边分别为，已知，则=__________考点2 求面积相关问题三角形面积公式（1）（表示边上的高）；（2）；（3）；（4）；（5）例1．在中，的对边分别为，且，，则的面积为（）A.B.C.D.例2．在梯形中，（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）若，求梯形的面积．变式训练1．已知中, 角对边分别为,已知.(1)若的面积等于,求(2)若,求的面积.2．四边形的内角与内角互补，.（Ⅰ）求角的大小及线段长；（Ⅱ）求四边形的面积.3．已知的内角对的边分别为，，，当内角最大时，的面积等于（）A.B.C.D.4．在中，内角所对的边分别为，其外接圆半径为6，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面积的最大值．5．在中，角的对边分别为，且.(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若角，边上的中线，求的面积.考点三.求边长或周长等范围例1．在中，内角所对的边分别为，若，且，则下列命题正确的序号是__________ .（1）（2）的周长为（3）的面积为（4）的外接圆半径为例2．如图，在中，BC边上的中线AD长为3，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求AC边的长．例3．在中，已知角的对边分别为，且成等差数列.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.变式训练1．在中，角对应的边分别是，，且.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若的面积是1，求边.2．在中，角所对的边分别为，满足，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角，的值.3．在中，内角的对边分别为，已知，且成等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的值.考点四判断三角形形状1.判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：（1）两角是否相等？（2）三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①为直角三角形.②为锐角三角形.③为钝角三角形.④若，则或.例1．在中，是中点，已知.（1）判断的形状；（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值。

第一章解三角形本章复习学习目标1.运用正弦定理、余弦定理,解决一些简单的三角形度量问题.2.能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题.3.培养分析问题、解决问题、自主探究的能力.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:以上我们学习了正弦定理、余弦定理及它们的应用,同学们回忆我们所学的基本知识,然后自己写出来.二、信息交流,揭示规律问题2:应用正弦定理、余弦定理我们可以解决三角形的哪几类问题?【例1】在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()A.b=20,A=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=12,c=15,A=120°三、运用规律,解决问题我们除了可以利用正弦定理、余弦定理直接解决解三角形之外,我们还可以解决判断三角形的形状的问题:根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.常见具体方法有:(1)通过正弦定理实施边角转换;(2)通过余弦定理实施边角转换;(3)通过三角变换找出角之间的关系;(4)通过三角函数值符号的判断及正弦定理、余弦函数有界性的讨论;另外要注意b2+c2-a2>0⇔A为锐角,b2+c2-a2=0⇔A为直角,b2+c2-a2<0⇔A为钝角.【例2】已知方程x2-(b cos A)x+a cos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b为△ABC的两边,A,B为两内角,试判定这个三角形的形状.四、变式训练,深化提高在我们掌握了基本的解三角形之外,我们还可以应用它来解决实际应用问题.问题3:请同学们思考我们可以用正弦定理、余弦定理解决实际问题的哪几类?我们一般的解题思路是:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.【例3】如图,测量人员沿直线MNP 的方向测量,测得塔顶A 的仰角分别是∠AMB=30°,∠ANB=45°,∠APB=60°,且MN=PN=500m,求塔高AB (结果精确到0.1m).【例4】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin B sin C ,且AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,求△ABC 的面积S.五、限时训练 (一)选择题1.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是( ) A.9B.18C.9√3D.18√32.在△ABC 中,若sinAa=cosBb,则B 的值为( )A.30°B.45°C.60°D.90°3.在△ABC 中,若b=2a sin B ,则这个三角形中角A 的值是( ) A.30°或60° B.45°或60° C.60°或120° D.30°或150°4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=7,b=8,A=45°5.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦值是方程2x 2+3x-2=0的根,则第三边长是( )A.√20B.√21C.√22D.√61 6.在△ABC 中,如果(a+b+c )(b+c-a )=3bc ,那么角A 等于( )A.30°B.60°C.120°D.150°7.在△ABC 中,若A=60°,b=16,此三角形面积S=220√3,则a 的值是( ) A.20√6 B.75 C.51 D.498.在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高为( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√39.在△ABC 中,若b+c=√2+1,C=45°,B=30°,则( ) A.b=1,c=√2B.b=√2,c=1C.b=√22,c=1+√22D.b=1+√22,c=√2210.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( ) A.k=8√3B.0<k ≤12C.k ≥12D.0<k ≤12或k=8√3(二)填空题11.在△ABC 中,若a ∶b ∶c=1∶2∶√6,则最大角的余弦值等于 . 12.在△ABC 中,a=5,B=105°,C=15°,则此三角形的最大边的长为 .13.在△ABC 中,已知b=3,c=3√3,B=30°,则a= . 14.在△ABC 中,a+b=12,A=60°,B=45°,则a= ,b= . (三)解答题15.在△ABC 中,D 在边BC 上,且BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求AC 的长及△ABC 的面积.16.在△ABC 中,已知角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos B+c cos C=a cos A ,试判断△ABC 的形状.17.如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁.一军舰从A 地出发由西向东航行,望见小岛B 在北偏东75°,航行8海里到达C 处,望见小岛B 在北偏东60°.若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有触礁的危险?18.如图,货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船的位置,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离.19.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度(取√2≈1.4,√3≈1.7,结果精确到1m).20.如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km).六、反思小结,观点提炼1.(1)两类正弦定理解三角形的问题:(2)两类余弦定理解三角形的问题:2.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.3.解题中利用△ABC 中A+B+C=π,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:sin(A+B )=sin C ,cos(A+B )=-cos C ,tan(A+B )=-tan C ,sinA+B 2=cos C 2,cos A+B 2=sin C2. 4.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析: (2)建模: (3)求解: (4)检验:参考答案一、设计问题,创设情境问题1:1.正弦定理:在△ABC 中,asinA =bsinB =csinC =2R.注:①R 表示△ABC 外接圆的半径;②正弦定理可以变形成各种形式来使用. 2.余弦定理:在△ABC 中,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ; 也可以写成第二种形式cos A=b 2+c 2-a 22bc ,cos B=a 2+c 2-b 22ac ,cos C=a 2+b 2-c 22ab.3.△ABC 的面积公式,S=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B. 二、信息交流,揭示规律【例1】解析:方法一:A 中已知两角及一边有唯一解;B 中已知两边及夹角有唯一解;C 中,b sin A=8√2<14有两解;D 中,A 是最大角,但a<c ,所以无解.方法二:由a=14,b=16,A=45°及正弦定理得,sinB16=sin45°14,所以sin B=4√27,因为a<b ,A=45°,所以角B 有两解.答案:C三、运用规律,解决问题【例2】解:方法一:设方程的两根为x 1,x 2,由韦达定理知x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B , 由题意得b cos A=a cos B ,根据余弦定理,得b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+c 2-b 22ac .∴b 2+c 2-a 2=a 2+c 2-b 2,化简得a=b ,∴△ABC 为等腰三角形. 方法二:同方法一得b cos A=a cos B ,由正弦定理,得2R sin B cos A=2R sin A cos B , ∴sin A cos B-cos A sin B=0,即sin(A-B )=0, ∵A ,B 为三角形的内角,∴A=B ,故△ABC 为等腰三角形. 四、变式训练,深化提高问题3:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题. 【例3】解:设AB=x , ∵AB 垂直于地面,∴△ABM ,△ABN ,△ABP 均为直角三角形, ∴BM=x tan30°=√3x ,BN=xtan45°=x , BP=xtan60°=√33x.在△MNB 中,BM 2=MN 2+BN 2-2MN ·BN ·cos ∠MNB , ∴3x 2=250000+x 2-2×500x ·cos ∠MNB. ① 在△BNP 中,BP 2=NP 2+BN 2-2NP ·BN ·cos ∠BNP , ∴x 23=250000+x 2-2×500x ·cos ∠BNP . ② ∵∠MNB+∠BNP=180°,∴cos ∠MNB=-cos ∠BNP . ③ 由①②③,得x 2=15000004,解得x ≈612.4m .∴塔高AB 为612.4m .【例4】解:由已知得b 2+c 2=a 2+bc ,∴bc=b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,∴cos A=12,sin A=√32.由AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,得bc cos A=4,∴bc=8. ∴S=12bc sin A=2√3.五、限时训练1.C2.B3.D4.D5.B6.B7.D8.B9.A 10.D11.-14 12.5√6+15√2613.6或3 14.36-12√6 12√6-2415.解:在△ABC中,∠BAD=150°-60°=90°,∴在Rt △ABD中,AD=2sin60°=√3,AB=2cos60°=1.在△ACD 中,AC 2=(√3)2+12-2×√3×1×cos150°=7,∴AC=√7.∴S △ABC =12×1×3×sin60°=34√3.16.解:∵b cos B+c cos C=a cos A ,由正弦定理,得sin B cos B+sin C cos C=sin A cos A , 即sin2B+sin2C=2sin A cos A ,∴2sin(B+C )cos(B-C )=2sin A cos A. ∵A+B+C=π,∴sin(B+C )=sin A.而sin A ≠0,∴cos(B-C )=cos A ,即cos(B-C )+cos(B+C )=0, ∴2cos B cos C=0. ∵0<B<π,0<C<π,∴B=π2或C=π2,即△ABC 是直角三角形.17.解:过点B 作BD ⊥AE 交AE 于点D. 由题意,知AC=8海里,∠ABD=75°,∠CBD=60°. 在Rt △ABD 中, AD=BD ·tan ∠ABD=BD ·tan75°. 在Rt △CBD 中, CD=BD ·tan ∠CBD=BD ·tan60°. ∴AD-CD=BD (tan75°-tan 60°)=AC=8(海里), ∴BD=8tan75°-tan60°=4(海里).∵4>3.8,∴该军舰没有触礁的危险.18.解:在△ABC 中,∠B=152°-122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°,∠A=180°-30°-60°=90°,BC=352n mile,则AC=352sin30°=354(n mile).答:货轮与灯塔之间的距离为354n mile.19.解:如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°.AB=180×760=21(km)=21000(m),在△ABC 中,由正弦定理,得BC sinA =ABsin∠ACB , ∴BC=2100012·sin 15°=10500(√6−√2).∵CD ⊥AD ,∴CD=BC sin ∠CBD=BC sin 45° =10500(√6−√2)×√22=10500(√3-1)≈10500×(1.7-1) =7350(m).∴山顶的海拔高度=10000-7350=2650(m).20.解:(1)依题意,P A-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km). 因此PB=(x-12)km,PC=(18+x )km . 在△P AB 中,AB=20km,cos ∠P AB=PA 2+AB 2-PB 22PA ·AB=x 2+202-(x -12)22x ·20=3x+325x. 同理,在△P AC 中,cos ∠P AC=72-x3x. 由于cos ∠P AB=cos ∠P AC , 即3x+325x=72-x3x,解得x=1327.(2)如图,作PD ⊥a ,垂足为D.在Rt △PDA 中,PD=P A cos ∠APD=P A cos ∠P AB=x ·3x+325x=3×1327+325≈17.71(km).答:静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71km . 六、反思小结,观点提炼1.(1)①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)①已知三边求三角.②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角. 4.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析题意,弄清已知和所求;(2)将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)正确运用正弦定理、余弦定理求解; (4)检验上述所求是否符合实际意义.。

1．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa .若sin B >1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B <1，两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A .由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解． 2．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R (R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断． 3．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ∈(0°，180°)．因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin 120°cos B －cos 120°sin Bsin B ＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12.跟踪演练1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度．解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sinC ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ；(2)求a ，b 的值． 解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos π3)，∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝⎛⎭⎫1＋12.∴a ＋b ＝13.② 由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB 2＝255， 求△ABC 的面积S .解 因为cos B ＝2cos 2B 2 －1＝35，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 例3 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．解 (1)由题意得P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)． ∴PB ＝(x －12)(km)，PC ＝(18＋x )(km)．在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理cos ∠P AC ＝72－x3x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327(km)． (2)作PD ⊥a 于D ，在Rt △PDA 中 ，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km.跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．图(1) 图(2)①当0≤t ＜2时，如图(1)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，如图(2)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，∵A ＝2C ，∴a sin 2C ＝csin C ，∴a ＝2c cos C ．又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c8－c .②由①②知8－c 2c ＝10－2c8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去)．∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sin A＞sin B.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．。

第一章 解三角形小结和复习(学案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积；（2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC(3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长. 题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测】一．选择题1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（ ）．（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或316．3在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ ）．（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为（ ）．（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题： 7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为 .9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是 .10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 .三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积. 第一章 解三角形小结和复习(教案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角，适合正弦定理解决的类型.解：（1）0000030,4518003045105.A B C ==∴=--=由正弦定理得006sin1053.sin sin sin 30c a c C A =∴== （2）由正弦定理得0sin sin 4sin 302sin .33B A B b a =∴==又由三角函数同角基本关系得cos B ==(3) 由正弦定理得0sinsin sin c b C C B =∴== 0000150,60C C <<∴=或0120.C =当060C =时，0018090,A B C a =--=∴==当0120C =时，0018030,A B C a =--=∴==故a =a =【方法总结】当已知两边和一对角，求其它时，可能有无解、一解或两解，注意讨论.题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它，适合余弦定理解决的类型；当已知两边和一对角，求其它时也可使用余弦定理.解：（1）由余弦定理得22202cos 416224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=（2）a c b A >>∴∠为最大角. 由余弦定理得22201cos ,120,22b c a A A bc +-==-∴=又由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ===（3）由余弦定理得222202cos 32cos 452b a c ac B c c =+-=+-⨯=，解得c =或c = 【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，注意难易方法的选择.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状； （2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状； （3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状，正确选择正、余弦定理进行解决.解：（1）由正弦定理得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222,0.a b c a b c ∴+<∴+-<由余弦定理得222cos 02a b c C C ab+-=<∴∠，故△ABC 为钝角三角形. （2）060,21cos =∴=A A , 又.2122cos ,,21cos 222222=-+=-+=∴==bc bc c b bc a c b A bc a A ().,02c b c b =∴=-∴ 故△ABC 为等边三角形.（3）解法1由正弦定理得.sin sin sin 2C A B +=,120,120,60000C A C A B -==+∴= ().sin 120sin 60sin 200C C +-=∴ 展开得.1cos 21sin 23=+C C .609030,1)30sin(0000=∴=+∴=+∴C C C ,600=∴A 故△ABC 为等边三角形.解法2由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- ,60cos 22,2,6002220ac c a c a c a b B -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+== 整理得()20,.a c a c b -=∴==故△ABC 为等边三角形.【方法总结】常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？ 解：12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，⎪⎩⎪⎨⎧>->>+∴0120012a a a 解得,21>a 此时12+a 最大，∴要使12,,12-+a a a 是三角形的三边，还需,1212+>+-a a a得.2>a设最长边12+a 所对的角为θ，则()()0128cos <--=a a a a θ，解得,218>>a 故a 的取值范围为.28>>a题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积； （2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC (3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长.【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形使用面积公式求解.解：（1）bcc b A 2687,87cos 22-+=∴= . ()().42,02222==∴=+-=--∴c b c b c b c bc b.215,815871sin ,87cos 2=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=∆ABC S A A (2) ,32,300==AB B ,3=S.2,30sin 3221sin 2130==∴⨯⨯⨯===∴AC a a B ac S (3) 边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，.2,5==+∴ab b a().19,192122cos 2,6022220=∴=⨯--+=-+=∴=c ab ab b a C ab b a c C 【方法总结】根据三角形的面积A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===知关键在于两邻边的乘积和夹角的正弦值的积，结合条件直接使用或整体求解.题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 【审题要津】由左边看出含有角和边，可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，再由正弦定理化变为角的正弦；左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明：解法1 化角为边得：左边()()====-+--+-=A B A R B R a b bca cbc b b c a c a sin sin sin 2sin 22222222右边. 故原等式成立.解法2化边为角得：左边AC C A B C C B A C B B C A cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin sin cos sin sin -+-+=∙-∙-= ==AB sin sin 右边. 故原等式成立.【方法总结】解决此类题时，既要用到三角形有关的恒等式，又要用到任意角的三角函数的恒等式；证明时注意分析等式两边的形式是边还是角，便于从正余弦定理转化证得.题型六：使用题例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【审题要津】要求AD 的长，在ACD ∆中，只要求出ACD ∠即可，可由正弦定理求解；要求ACD ∠，可在CDB ∆中，由余弦定理求解CDB ∠.解：易知060=∠A ，设,,βα=∠=∠CDB ACD 在BCD ∆中，由余弦定理得：,712cos 222-=∙-+=BD CD BC BD CD β .734)71(1sin 2=--=∴β.143560sin cos 60cos sin )60sin(sin 000=-=-=∴βββα 在ACD ∆中，由正弦定理得：,sin sin αAD A CD =).(15sin sin nmile ACD AD ==∴α 故此时轮船离港口A 还有.15nmile 【方法总结】正余弦定理在实际使用中很广泛，常见题有：距离、高度、角度等问题；解决时，首先要认真分析题意，找出各量间的关系，根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形模型（数学建模），然后利用正余弦定理求解，最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测题】一．选择题：1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ D ）.（A ）492:3：或 （B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（D ）（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或3163．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ B ）（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则BC AB ∙的值为（ D ）（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ B ）. （A ）等边三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形 （D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ B ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值 （C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为4315 . 9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是()13,5 . 10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π . 三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.解：0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，.0)32(22=++---∴b a b a a ()()()().341,1341324122+=+-=--=∴a c a a a a b .032,02>--∴>a a b ,.3>∴a ().03.21<+-=-∴a c b .c b <∴又()(),01341>--=-a a a c .a c >∴故是△ABC 中最大的边. 由余弦定理得.212))((2cos 2222-=-++=-+=ab c b c b a ab c b a C 0120=∴C12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积.（1）C=120°（2）AB=10（3）23=∆ABC S。

2021年高中数学复习课一解三角形学案新人教A 版必修5利用正、余弦定理解三角形(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3A2，sin 3A 2，n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的实际应用正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置． [典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？ 解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米． 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米． 在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°， 则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°， 所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．63解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________． 解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7.∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45， 所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23s in 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，11 / 11 ∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3. 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

解三角形小结本章主要讲的是正弦定理和余弦定理及其应用。

1、正弦定理的应用（1）应用正弦定理解三角形. 应用正弦定理解三角形有两类问题，一类是已知两角和另一边，求其他边和角，此种情况可先借助三角形内角和定理求出另一角，再利用正弦定理求各边，另一类是已知两边及其中一边的对角求其他边和角，解此类问题需借助三角形边角的大小关系确定解的情况。

（2）应用正弦定理判断三角形的形状，应用正弦定理判断三角形的形状有两种途径，一是化角为边，得到边的关系，副两边相等，三边相等，222a b c +=等，另外一种是化边为角得到角的关系，如二角相等，三角相等或角的大小等。

值得注意的是已知三角形的任意两边和其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解不确定，可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数。

2、余弦定理的应用余弦定理有两方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边进而求出其余两角：二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角 一. 选择题1．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°3．在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9B ．18C ．93D ．1835．在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6.．在△ABC 中，已知a ＝x cm ，b ＝2 cm ，B ＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．2＜x ＜22 B ．2＜x ≤22 C ．x ＞2D ．x ＜27．设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是 （ ）A. a ≥3B. a ＞－1C. －1＜a ≤3D. a ＞08．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ） A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－149．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．23910．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 11、关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形12、在ABC ∆中，22720,8b bc c a A --===，则ABC ∆的面积为（ ）A 、2B 、3C 二、填空题13．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 14、ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= .15．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++= 16. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ． 三. 解答题：17、在△ABC 中，已知b c =1，45B =︒，求a ，A ，C ．18.在∆ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=，求A 的值。

第一章 解三角形（复习）班级 姓名 学号 学习目标学习过程一、课前准备（1）用正弦定理：①知两角及一边解三角形；②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．（2）用余弦定理：①知三边求三角；②知道两边及这两边的夹角解三角形．复习2：应用举例① 距离问题，②高度问题，③ 角度问题，④计算问题．练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．二、新课导学※ 典型例题例1. 在ABC ∆中tan()1A B +=，且最长边为1，tan tan A B >，1tan 2B =，求角C 的大小及△ABC 最短边的长．练习：在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为例2. 【2014高考山东文第17题】△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知a =3，A cos =36,2π+=A B , （1）求b 得值；（2）求△ABC 的面积.练习：在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.例3. 在∆ABC 中，设tan 2,tan A c b B b-= 求A 的值．练习：在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = .例4.在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？三、总结提升※ 学习小结1. 应用正、余弦定理解三角形；2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．※ 知识拓展设在ABC ∆中，已知三边a ，b ，c ，那么用已知边表示外接圆半径R 的公式是1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，则△ABC 的面积为（ ）.A ．9B ．18C ．9D ．2.在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C =（ ）.A ． 60°B ． 90°C ．150°D ．120°3. 在∆ABC 中，80a =，100b =，A =30°，则B 的解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定的4. 在△ABC 中，a =，b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 5. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若2222sin a b c bc A =+-，则A =___ ____.1. 已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求A ；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．2. 在△ABC中，,,a b c分别为角A、B、C的对边，2228 5 bca c b-=-，a=3，△ABC的面积为6，（1）求角A的正弦值；（2）求边b、c.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

“正弦定理、余弦定理”复习课教学设计1 学情分析系统学习了正余弦定理的相关知识，学生在高一通过必修5的学习，已了解正弦定理和余弦定理的内容，有一定的解三角形基础，但怎样合理选择定理进行边角关系转化进而解决三角形综合问题，以及计算能力，还需通过复习指导有待进一步提高，达到通过综合性复习让学生将知识点串联起来的目的.2 考点解读解三角形是数学高考中重点考察内容之一，而正弦定理和余弦定理是解决有关三角形问题的两个重要定理. 高考对这一内容的考查既可能出现在选填题（全国II卷：2011年第15题，2013年第4、6题，2016年第9题），也可能出现在解答题（2012、2014、2015、2016年第17题）. 选填题通常以考查边角互化为主的小综合形式出现，比较基础；解答题主要考查恒等变换、正弦定理、余弦定理的应用，在教材中可以看到这些高考题的雏形，难度虽然不大，但要求学生具有一定的运算能力和灵活应用正弦定理和余弦定理解题的能力.3 教学目标（1）知识与技能：理解正弦定理和余弦定理内容及其证法，掌握利用正弦定理、余弦定理实现三角形边角互化的方法与途径；（2）过程与方法：让学生能根据条件灵活运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的有关问题，渗透数形结合思想，发展学生的推理能力.（3）情感态度与价值观：通过经历上述过程，让学生体会正弦定理和余弦定理在解决问题的作用，体验数形思想，体味定理之美，让学生在和谐的课堂氛围中感受数学的抽象性和简洁美.4 教学重难点教学重点：能综合运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题.教学难点：合理选择正弦定理、余弦定理优化求解过程，解三角形中多解的取舍问题.5 教具学具教学以多媒体课件和投影仪为主，配备必要板书，学生以教材和练习本为主.6 教法学法教法：（1）引导串联法：与学生一起回顾已学知识，整理知识点.（2）题组教学法：采取例题变式进行对比巩固复习，加强理解.（3）例证教学法：举例不要拘泥于现有的，我们可以举一些生活中的问题来谈数学问题，把“数学来源于生活”贯穿到始终.学法：引导学生学会观察分析、联想转化、归纳整理，这样更利于学生掌握知识，灵活应用，在师生交流中学习.7 教学流程教师回顾总结分析辅导评价学生回顾讨论应用练习总结8 教学过程 8.1 温故知新 8.1.1 正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 内容 变形正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === (1)=a A R sin 2 ，=b B R sin 2 ，=c C R sin 2 ；(2)=A sin Ra 2，=B sin Rb 2，=C sin Rc 2. 余弦定理A bc c b a cos 2222-+=A ca a c b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ca b a c B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=8.1.2 三角形的面积公式S △ABC ＝C ab B ca A bc sin 21sin 21sin 21==.8.2 问题导学用导学案辅助教学， 课前以填空题的形式引导学生自主完成正弦、 余弦定理的内容、 变形、 证明及其应用等知识的梳理， 并留有下列自测题：判断下列命题的对错： （1）三角形中边角判断①在△ABC 中，22s i n 53c o s ==B A ，，则4π=B 或43π.( )②在△ABC 中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则最大内角的余弦值为41-. ( )（2）三角形解的个数的判断①在△ABC 中，若3,1,30===b a A ，则B 等于 60. ( )②在△ABC 中，若4,32,60===c a A ，则此三角形有两解. ( )（3）三角形形状的判断①(教材第10页)在△ABC 中，B b A a cos cos =，则此三角形是等腰三角形. ( )②在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <，则此三角形是钝角三角形. ( )③在△ABC 中，若222a c b >+，则此三角形是锐角三角形. ( )小结：在△ABC 中，有B A b a B A >⇔>⇔>sin sin ，这是解三角形中多解取舍依据的一条规律. 在解的个数判断中，我们可以采取画图的方式，也可以直接利用正弦定理，结合边角关系来解决. 对于三角形形状的判断，要求我们会熟练地利用边角互化，三角恒等变换.8.3 典型例题讲解例1.（必修5教材第20页第14题改编）△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c A b B a =-)cos cos (3. 求证：（I ）222)(3c b a =-； （II ）B A tan 2tan =. 设计意图 例１的目的在于使学生洞悉正弦、 余弦定理除解三角形外， 在解决综合问题时， 还有两个基本的变形方式． 本例中，我们既可以利用正弦定理， 把等式化为角的关系， 也可以逆用余弦定理， 把等式化为边的关系， 而两个证明题支决定了变形方向． 此题起点虽低， 但能帮助学生巩固基本技能， 树立解题目标意识． 例2.（2014·陕西卷改编）已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若c b a ,,成等差数列，且A C sin 2sin =，求B cos 的值.变式：在△ABC 中，若c b a ,,成等比数列，且23cos )cos(=+-B C A ，求B.设计意图 例２及变式都涉及利用角的函数值求角的问题， 同时也都体现出方程组模型的运用． 利用正弦定理变换， 例２的两个题设条件可转化为由两个方程构成的关于c b a ,,的三元一次方程组， 总可实现其一表示其二的目的，利用余弦定理约分即可． 其变式依然可把题设转化为两个方程“B C A 2sin sin sin =，43sin sin =C A ” 联立的方程组， 整体换元后， 易得 Ｂ ＝ π３（ 据题设 ②角B 不是最大角）.值得注意的是，本例学生容易出现直接将43sin sin =C A 化为43=ac 的情况，因此在此要指出两边是齐次可以直接角化边 ．例3.（必修5教材第20页改编）在△ABC 中，6,5,4===BC AC AB ，D 是BC 上一点，且BD=2DC ，求AD.设计意图 根据全国卷的命题趋势，在解三角形部分涉及到了中线，角平分线等概念，为此例3将教材的中线公式公式进行了具体化改编，熟悉基本的正余弦定理的应用.方法一是先在△ABC 中求出B cos ，再在△ABD 中利用余弦定理求AD ；方法二是利用ADC ADB ∠-=∠cos cos 即可. 在熟悉了具体数据下的算法后，可以尝试推到教材中一般形式的中线公式，以及顶点与3等分点连线的长度.例4.已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若b C a C a =+s i n 33c o s . （I ）求A ； （II ）若,2=a △ABC 的面积为3，求c b ,. 变式：已知c b a ,,为△ABC 的内角C B A ,,的对边，若c b C a C a +=+sin 3cos .（I ）求A ； （II ）若3,1=-=⋅a AB CA ，求c b +. 设计意图 例4的（1）题可利用正弦定理不难得3π=A ，（2）题把三角形面积公式与余弦定理联立， 并在解方程过程中用到整体消元（代换） ， 同样强化了方程思想的运用． 相应的变式把解方程组的技能提升到新的层次，需要利用正弦定理、两角和的正弦公式、辅 助 角 公 式，求得3π=A ．（2）题需要学生注意AB CA 和的夹角是A -π.8.4 课堂小结1.正余弦定理公式；2.面积公式 ；3.边角互化；4.边的取舍. 9 巩固练习1.（2015·重庆）在△ABC 中,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c= ．2.（2015·广东）在ABC ∆中，若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b = ．3.若sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆是 （钝角、直角、锐角）三角形.4.（四川卷）∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则cosA 的范围是 .5.在△ABC 中，c b a 2=+,则C cos 的最小值是 .6.（陕西卷）在△ABC 中，ab c =2,则C cos 的最小值是7.（天津卷）在ABC ∆中，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （Ｉ）求A cos 的值； （II ）求)62cos(π-A 的值.8.（2015·全国卷II ）△ABC 中，D 是BC 上的点, AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求s i n s i n BC∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.10 板书设计正弦定理和余弦定理复习1.正余弦公式：2.面积公式：例1.（先分析，后详解过程）例2.变式：例3.（学生动手，分析思路）例4.变式：常用结论：11 复习心得立足基础、回归教材是数学教学与复习的主旋律，教材中定理和例习题具有基础性、典型性、示范性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想，因此在高三复习中，教师要引导学生对教材中的典型例习题进行解读，分析教材与高考的连接点，充分利用教材相关资源，通过改编形成有梯度的例习题将相关重要知识点串起来，系统梳理知识，构建知识网络，促进学生的思维层层递进；通过挖掘教材中定理例题所隐含的数学思想方法，使学生了解到高考中所用的一些解题思想方法并非是无源之水，无本之木，而是来源于教材，从而使学生更易理解和掌握数学思想方法.。