第十章 重积分

第十章 重积分一、基本要求⑴理解二重积分与三重积分的概念，了解重积分的性质，以及其物理意义． ⑵掌握利用直角坐标系和极坐标系计算二重积分的方法．⑶掌握在直角坐标系下，在柱面坐标系下，在球面坐标系下计算三重积分的方法． ⑷了解二重积分、三重积分在几何上和物理上的若干应用． 二、重点与难点重点：二重积分与三重积分的计算法．难点：将二重积分化为二次积分和将三重积分化三次积分时积分限的配置；在柱面坐标系下和球面坐标系下计算三重积分． 三、释疑解难问题10.1 计算重积分时，如何选择坐标系？解 重积分有相应于定积分的换元积分法，其本质是将一个坐标系中的重积分变换为另一个坐标系中的重积分，目的是简化运算。

计算二重积分常用直角坐标系和极坐标系。

计算三重积分常用直角坐标系，柱面坐标系和球面坐标系。

选择某种坐标系计算重积分的原则是：（1）积分区域的边界（曲线或曲面）在该坐标系中的方程比较简单。

（2）被积函数在该坐标系中的表达式比较简单。

（3）化成累次积分（二次或三次）后，各次积分计算简单。

问题10.2 计算重积分的常用技巧解（1）在选定的坐标系中，Ω上每个变量的变化区间都是固定区间，被积函数是各变量 的一元函数的乘积时，重积分就等于定积分的乘积。

如：直角坐标系中区域D 为：,a x b c y d ≤≤≤≤，而()()(),12f x y f x fy =时，有：()()(),12b df x y d f x dx f y dy a c Dσ=⋅⎰⎰⎰⎰ （2）被积函数为常数而积分区域的面积（或体积）易求时，重积分等于常数（被积函数）与面积（或体积）之积。

（3）化为累次积分时，各次定积分的被积函数相应于积分变量要尽量简单。

（4）利用积分区域及被积函数的对称性简化计算。

二重积分(),f x y dxdy ⎰⎰的对称性：三重积分()f x y z dxdydz,,⎰⎰⎰例10.1 将下列二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为次序不同的累次积分，其中积分区域（1）D 由,3,1,3y x y x x x ====围成 （2）{}22(,)2D x y x y x =+≤解 （1）先对y 积分，后对x 积分，D 可表示为：13,3x x y x ≤≤≤≤，于是331(,)(,)x xDf x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰先对x 积分，后对y 积分，D 可分为两块12,D D ． 其中1D ：13,1y x y ≤≤≤≤，2D ：39,33y y x ≤≤≤≤，于是12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰3931133(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰（2）先对y 积分，后对x 积分，D可表示为：02,x y ≤≤≤≤，20(,)(,)Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰先对x 积分，后对y 积分，D可表示为：11,11y x -≤≤-≤≤+，1111(,)(,)Df x y dxdy dy f x y dx -=⎰⎰⎰⎰例10.2 求下列积分 （1）22yDx edxdy -⎰⎰，其中D 由,1,y x y y ==轴围成（2）sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 由2,y x y x ==轴围成（3）121124y xdy dx +⎰⎰112yxydy dx ⎰⎰解 （1）积分区域如图所示被积函数中含2ye-项，所以应后对y 积分，故221220yyyDx edxdy dy ex dx --=⎰⎰⎰⎰213013yy e dy -=⎰1163e=-（2）积分区域如图所示因为sin x x 的原函数不能用初等函数表示出来，所以应后对x 积分．故210sin sin x xDxx dxdy dx dy xx=⎰⎰⎰⎰10(1)sin x xdx =-⎰1sin 1=-（3）本题无法直接计算，故要改变积分次序．积分区域如图所示本题的积分区域最终可表示为D ：211,2x x y x ≤≤≤≤，故121124y xdy dx +⎰⎰2111122yyxx x yxdy dx dx e dy =⎰⎰⎰⎰1122yxx xe dx x=⎰112()xx e e dx =-⎰38e =-本题说明选择合理的积分次序对二重积分的计算非常有作用．例10.3交换积分次序140(,)ydy f x y dx ⎰＋2111222104(,)(,)x yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰分析 本题关键在于确定积分区域，本题积分区域如图所示例10.4 设,010,()()0,a x a f x g x ≤≤⎧>==⎨⎩其他，而D 表示全平面，求()()DI f x g y x dxdy -⎰⎰＝．分析 只有当01,01x y x ≤≤≤-≤时，被积函数才不为零，因此只需在此区域求即可． 解 ()()DI f x g y x dxdy -⎰⎰＝110()()x xdx f x g y x dy +=-⎰⎰112x xadx dy +=⎰⎰2a =例10.5 求下列积分（1） 设积分区域D 是圆环2214x y ≤+≤，求3(23sin7)Dx x dxdy y++⎰⎰．（2） 计算()Dx y dxdy +⎰⎰，其中{}(,)1D x y x y =+≤．解 （1）因为积分区域关于x 轴和y 轴对称，又32x 关于x 是奇函数，sin x y关于y 是奇函数，利用重积分的对称性可得320Dx dxdy =⎰⎰，3sin0Dx dxdy y=⎰⎰，所以3(23sin7)77321DDx x dxdy dxdy yππ++==⨯=⎰⎰⎰⎰⑵积分区域关于x 轴和y 轴，原点对称．积分区域如图所示又x 关于,x y 都是偶函数，y 关于y 是奇函数，故0Dydxdy =⎰⎰，11112444(1)3x DD x dxdy xdxdy dx xdy x x dx -===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中1D 为第一象限的积分区域，故()Dx y dxdy +=⎰⎰Dydxdy +⎰⎰23Dx dxdy =⎰⎰本题主要使用了重积分的对称性来简化运算． 例10.6计算D⎰⎰，其中{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤．解 积分区域如图所示令20y x -=，得2y x =，以2y x =将D 分成两块12,D D ，其中{}21D D y x =⋂≥，21:01,2D x x y ≤≤≤≤．{}22D D y x=⋂≤，22:01,0Dx y x ≤≤≤≤．于是21120xD dx =⎰⎰⎰⎰3122222()3y x dx x=-⎰312202(2)3x dx =-⎰243π=+2210x D dx =⎰⎰⎰⎰231222()30x x y dx =--⎰132136x dx ==⎰D⎰⎰＝1D ⎰⎰＋2546D π=+⎰⎰．本题是由于被积函数在不同区域表达式不一样，所以积分要分段进行．例10.7 计算二重积分{}{}22max ,,(,)01,01x y De dxdy D x y x y =≤≤≤≤⎰⎰．解 令{}1(,)01,0D x y x y x =≤≤≤≤，{}2(,)01,1D x y x x y =≤≤≤≤，则}22max ,x yDedxdy =⎰⎰{}221m ax ,x yD edxdy +⎰⎰{}222max ,x yD edxdy ⎰⎰21xD ed x d y =+⎰⎰22yD ed x d y⎰⎰ 22110000xyxydx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰2211xyxe dx ye dy =+⎰⎰1e =-例10.8 设()f x 在[]0,1上连续，证明：2111001()()()2x f x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． 证 （1）对左边的积分交换积分次序，同时注意积分与积分变量所用字母无关，得1111100()()()()()()()()yyxxf x dx f y dy dy f x f y dx f y dy f x dx f x dx f y dy ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111100001()()()()()()2xxx f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰11001()()()2x x f x dx f y dy f y dy ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰111()()2f x dx f x dx =⎰⎰121(())2f x dx =⎰（2）设被积函数()f x 的其中一个原函数为1()()xF x f t dt =⎰，即()()F x f x '=且(1)0F =，则11110()()()()()()xf x dx f y dy f x F x dx F x F x dx '=-=-⎰⎰⎰⎰212201111()(0)()0222F x F f x dx ⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦⎰ 例10.9 设闭区域22:,0,(,)D x y y x f x y +≤≥为D 上的连续函数，且8(,)(,)Df x y f u v dudvπ=⎰⎰，求(,)f x y．分析本题利用对等式两边同时求二重积分的方法，结合二重积分的几何意义求函数．解设(,)Df u v dudv A=⎰⎰，在已知等式两边同时求区域D上的二重积分，得8(,)D D DAf x y dxdy dxdyπ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而DA A=-⎰⎰，所以sin2002A d rdrπθθ=⎰⎰，故12()623Aπ=-，于是42(,)()323f x yππ=--．例10.10若()f x在[],a b上连续且()0f x>，证明：21()()()b ba af x dx dx b af x⋅≥-⎰⎰．证设{}(,),D x y a x b a y b=≤≤≤≤．11()()()()()()b b b ba a a aDf xf x dx dx f x dx dy dxdyf x f y f y⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，这里我们主要应用到了：若积分区域为矩形区域，积分函数表示为()()f xg y的形式，则二重积分可以表示为两个定积分的乘积．同理可得1()()()()b ba aDf yf x dx dx dxdyf x f x⋅=⎰⎰⎰⎰所以1()()2()()()()b ba aDf x f yf x dx dx dxdyf x f y f x⎡⎤⋅=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，又()0f x>，所以()()2()()f x f yf y f x+≥，故212()2()()b ba af x dx dx b af x⋅≥-⎰⎰，即21()()()b ba af x dx dx b af x⋅≥-⎰⎰．例10.11计算,DD⎰⎰由y y x==轴所围成．分析当被积函数包含22x y+或积分区域为圆域时，可考虑用极坐标．解积分区域如图所示，D 由22222111,()()22x y x y +=-+=，x 轴左半部分围成，所以1120cos 02Dd r rdr d r rdr πππθθθ=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰239π=-例10.12计算,DD ⎰⎰由4,y x y x ==所围成．解 虽然D，故也可考虑用极坐标计算．在极坐标变换下，D 的边界曲线是：1343sin ,4cos r πθθθ==．于是D 的极坐标表示是：1343sin 0,04cos r πθθθ≤≤≤≤，于是1343sin 4cos00Dd r rdr θπθθ=⋅⎰⎰⎰⎰． 441sin 3cos d πθθθ=⎰11)9=例10.13 计算22()I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，Ω是由yo z平面上曲线y =绕z 轴旋转所得曲面面与平面2=z ，8=z 所围区域。