下载文档原格式
浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 1 页 共 2 页浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分：21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 2 页 共 2 页11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
微积分寒假作业1、 确定常数b a ,，使0)1(lim 33=---∞→b x a x x2、 设301<<x ，),2,1()3(1 =-=+n x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<-=0)ln(01)cos 1()(22x x b x x x x a x f 在0=x 连续，则=a ，=b 。
4、求)1)(1(sin )1()(-++=x x x xx x f 的间断点，并判断其类型。
5、设513)2sin )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求)0(,)(lim 20f x x f x →。
6、求不定积分，⎰+dx xxxx 4932 7、求不定积分，dx xx x ⎰++++2215)1ln(8、求不定积分，⎰++dx ee xx 221)1( 9、求不定积分，⎰++1222xxe edx10、求不定积分，⎰++dx x xx cos 1sin11、求不定积分，dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 12、求不定积分，⎰dx e e xxarctan13、求不定积分，⎰+++6321x x x ee e dx14、求不定积分，⎰+-dx x x x x sin cos sin cos 315、已知)(x f 的一个原函数为xxcos ，求⎰'dx x f x )(。
16、求函数的导数，10()()F x f xt dt =⎰17、求函数的导数，()0()y F y f x y dx =-⎰18、2220cos sin y x t e dt tdt y =+⎰⎰，求y '19、设2022()()t x f u duy f t ⎧=⎪⎨⎪⎡⎤=⎣⎦⎩⎰，其中()f u 具有二阶导数，且()0f u ≠，求22d y dx20、设220()2()xf x a t a dt =-+-⎰，求（1）将()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2）将（1）的M 看作a 的函数，求M 为极小值时的a 值。
微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。
参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。
参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。
参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
