第十章重积分自测题(答案)

高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程总习题八第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的`求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法第九节二元函数的泰勒公式第十节最小二乘法总习题九第十章重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法第三节三重积分第四节重积分的应用第五节含参变量的积分总习题十第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节格林公式及其应用第四节对面积的曲面积分第五节对坐标的曲面积分第六节高斯公式通量与散度第七节斯托克斯公式环流量与旋度总习题十一第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数第八节一般周期函数的傅里叶级数总习题十二习题答案与提示高等数学下册（朱永忠著）：内容提要本次修订对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带__号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整。

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重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。

2 2
解：所围立体为曲顶柱体（如图示） ，底区域为 D : 0 x 1, 0 y 1 x ， 顶面为 z x y ，立体的体积为
2 2
V ( x 2 y 2 ) d d x
D 0
1
1 x 0
( x2 y 2 ) d y
1 1 4 1 ( x 2 x 2 x3 ) d x . 0 3 3 6


4 0
d x
tan x 0
f ( x, y ) d y ；
tan x 0
解：积分区域如图阴影部分所示，

（2）

4 0
d x
f ( x, y ) d y d y
0
1

4 arctan y
f ( x, y ) d x .

2 1
d x
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d y ； f ( x, y ) d y d y
0 2
4
x
1
（4）

2 0
d y
2y y
f ( x, y ) d x .
2y y
解：积分区域如图阴影部分所示，

2 0
d y
f ( x , y ) d x d x x f ( x , y ) d y d x x f ( x, y ) d y .
0 2 2 2
2 x
2
x
4
0 1 1 1 y 2 2 y
解：积分区域如图阴影部分所示，

（3）
2 1
d x
2y y2
2 x x2 2 x
f ( x, y ) d x .

10第十章重积分答案729973．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»则f(x,y)在D上的最大值«Skip Record If...»最小值«Skip Record If...»区域D的面积«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»4．设f(x,y) 为一连续函数，试证：«Skip Record If...»证：由于f(x,y)连续，由二重积分中值定理知，存在点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) «Skip Record If...»解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。

多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。

在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。

而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。

这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。

重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。

作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。

如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。

②求立体体积 应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为
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该体积为所求二重积分的值，有等式
这就是把二重积分化为先对 y，后对 x 的二次积分的公式．上面公式也可以写成
f (x, y)d
，作乘积
并作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值 A→0 时，这和的极限总存在，且与闭区域 D 的分
法及点
的取法无关，则称此极限为函数 f（x，y）在闭区域 D 上的二重积分，记作
，即
其中ｆ（x，y）称为被积函数，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x 与 y 称为
积分变量，D 称为积分区域，
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图 10-1-2
注：积分区域 D 既不是 X 型区域，又不是 Y 型区域时，可以把 D 分成几部分，使每个
部分是 X 型区域或 Y 型区域．
2．利用极坐标计算二重积分
设积分区域 D 可以用不等式
来表示（图
10-1-3），其中函数φ1（θ）、φ2（θ）在区间[α，β]上连续，则极坐标系中的二重积分化为二
在 D 上至少存在一点 ，使得
．
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二、二重积分的计算法
1．利用直角坐标计算二重积分
（1）X 型区域
设积分区域 D 用不等式
其中函数
在区间[a，b]上连续．
来表示（图 10-1-1），
图 10-1-1 计算步骤： ①求截面面积 过区间[a，b]上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

解：由二重积分的几何意义知，解：由二重积分的几何意义知，2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

解：由知即于是所以于是解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y>1,于是解：在D中，且而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y, 都有故于是3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

解：从而即解：则f(x,y在D上的最大值最小值区域D的面积从而4．设f(x,y为一连续函数，试证：证：由于f(x,y连续，由二重积分中值定理知，存在点，使得所以第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1解：。

(2解：。

解：。

(4解：。

(5解：。

2．画出积分区域，并计算下列二重积分。

(1解：。

解：。

(3解：。

3．将二重积分化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域D是(1解：。

(2解：。

4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。

(1解：(2解：(3解：。

5．设平面板由曲线及直线所围成，质量面密度为，求板的质量。

解：所求板的质量。

6．求由坐标平面、平面、及抛物面所围成的立体体积。

解：立体在xoy面投影区域为，，所求立体体积为。

7．计算二重积分。

其中}。

解：设则8．把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域是：(1 由所围成；(2 圆与圆之间的区域。

解：(1(29．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。

(1 ；解：(1 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是和两者的并集是环形区域在第一象限的部分，于是(2(3 。

10．利用极坐标计算下列各题。

(1 ，其中为的圆域；解：(2 ，其中；解：(3 ，其中；解：(4 ，其中。

解：11．选用适当的坐标计算下列积分。

(1 ，其中是由直线，，，所围成的闭区域；解：选用直角坐标计算二重积分(2 ，其中；解：选用极坐标计算二重积分（另外，本题亦可用对称性计算）(3 ，其中由直线，及上半圆周所围的区域。

第10章 重积分一、填空题1．设区域22:1, 0, 0D x y x y +≤≥≥，则Dσ=__________2．设D 是由直线2, 2, 3y x x y x y ==+=所围的三角形区域，则Ddxdy =⎰⎰__________3．设区域D 由曲线2x y =与1=y 所围成，则()221Dy xf xy dxdy ⎡⎤++=⎣⎦⎰⎰__________4．交换下列积分次序：12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰__________二、选择题 1．设31ln ()DI x y dxdy =+⎰⎰，32()DI x y dxdy =+⎰⎰，[]33sin()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中D 由0x =，0y =，12x y +=，1x y +=围成，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为__________2．设函数()f u 连续，区域{}22(,)|2D x y x y y =+≤，则()Df xy dxdy ⎰⎰等于__________(A)11()dx f xy dy -⎰(B)22()dy f xy dx ⎰(C)2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰(D)2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰3．改变积分次序后，21101(,)y ydy f x y dy +-=⎰⎰__________(A) 112111(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰(B) 1121011(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰ (C) 112111(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰(D)112111(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰4．改变积分次序后，123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰__________(A) 330(,)xxdx f x y dy -⎰⎰(B) 230(,)xx dx f x y dy -⎰⎰(C)2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰(D)23(,)xxdx f x y dy -⎰⎰5．改变积分次序后，242(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +=⎰⎰⎰__________(A) 2200(,)dy f x y dx ⎰⎰(B) 220(,)ydy f x y dx ⎰⎰(C)220(,)ydy f x y dx ⎰⎰(D)220(,)dy f x y dx ⎰⎰6．累次积分/2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰__________(A)10(,)dy f x y dx ⎰(B)1(,)dx f x y dy ⎰(C) 11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)1(,)dx f x y dy ⎰三、计算题 1．计算二重积分⎰⎰D dxdy xy 22，其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域． 2．计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积.3．计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面1x y z ++=所围成的闭区域．【答案】一、1．6π；2．32；3．45；4．120(,)y ydy f x y dx -⎰⎰．二、1．C ；2．D ；3．A ；4．C ；5．C ；6．D ． 三、1．π（吴赣昌版P.129例3）；2．341)3a π（吴赣昌版P.146例4）；3．124（投影法：吴赣昌版P.139例1、截面法：吴赣昌版P.141例4）．。

重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ，则 f (x) （ ）
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为（ ）
2
(A) 1 x2 y2 dxdy； x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ； x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ； x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ，则将该二次积分化为直角坐标形式为（
0
）
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ，其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy ， D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。

重积分部分练习题 1．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。

2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。

(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。

3．设()y x f ,连续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。

4．设()()⎰⎰≤++++=2222222t z y x x y d z z y x f t F ，其中()u f 为连续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()50lim t t F t →。

5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部分的曲面面积。

6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部分面积最大?7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。

8.计算下列二重积分:(1)24212sinsin 22xx x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;(2) ⎰⎰--=Dd y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.（3）计算2||,:11,01Dy x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D d y f x x f y y x I σ221,其中 (){}222,D x y x y R =+≤。

9. 求极限4/2/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .10. 设Ω是曲面与 所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。

高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（ ）（Ａ）12I I =； （Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <； （Ｄ）无法比较12,I I 的大小。

2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（ ）（Ａ）218xy +； （Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +； （Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（ ）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（ ）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ； （B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ； （C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ； （D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（ ）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-； （Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=； （Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-； （Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。

10第十章重积分答案第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知， «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知，«Skip Record If...»2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由 «Skip Record If...»知 «Skip Record If...»即«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y)>1, 于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：在D中，«Skip Record If...»且 «Skip Record If...»而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y), 都有«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

3 5
9.解： ⎨
⎧ ⎪z = 2 − x 2 − y 2 ⇒ 2 2 ⎪ z x y = + ⎩
x2 + y2 = 1
2 2
积分区域为 Ω = ( x, y , z ) ( x, y ) ∈ D xy , x + y ≤ z ≤
{
2 − (x 2 + y 2 )
}
其中投影区域看成极坐标区域 D xy = ( x, y ) x + y ≤ 1 =
Ω
3
2
1
Dxy
0
Dxy
0
0
π
2 1 3
⎡ cos 2θ ⎤ 2 = 3∫ sin θ cos θdθ ∫ ρ dρ = 3 × ⎢− 4 ⎥ ⎦0 ⎣ 0 0
π
⎡ρ4 ⎤ 3 1 3 ⋅ ⎢ ⎥ = [cos 0 − cos π ] ⋅ = 4 8 ⎣ 4 ⎦0 4
1
11.解：积分区域为 Q = (x, y, z ) ( x, y ) ∈ Dxy ,0 ≤ z ≤ 4 − 2 x − y 其中投影区域为 Dxy = ｛( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4 − 2 x｝ 所以三重积分化为累次积分为：
{
}
π ⎧ ⎫ Dxy = ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 = ⎨(ρ , θ ) 0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ρ ≤ 1⎬ 2 ⎩ ⎭
{
}
所以三重积分化为累次积分为：
π
∫∫∫ xydV = ∫∫ xydxdy∫ dz = 3∫∫ xydxdy = 3∫ dθ ∫ ρ ⋅ ρ sin θ ⋅ ρ cos θdρ
= ∫ dx ∫
2 0

第八章 重积分1、交换二次积分的次序：（1）()⎰⎰=4022,ππdy y x f dx x （2）()⎰⎰=exdy y x f dx 1ln 0, 。

（3）()⎰⎰=101,y dx y x f dy . （4）()⎰⎰=-a0022,y a dx y x f dy .2、计算下列二重积分： （1）⎰⎰+Ddxdy y x 22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D 。

（2）⎰⎰+Ddxdyy x 22，其中x y x D 2:22≤+。

（3）()⎰⎰-+Ddxdy x y x 22，其中D 是由直线2,2,===y x y x y 围成闭区域。

（4）()⎰⎰+Ddxdy y x x cos ，其中D 是定点分别为()()()πππ,,0,,0,0的三角形。

3、计算下列三重积分： （1）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中10,10,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。

（2）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中0,:2222≥≤++z R z y x V 。

（3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x ，其中Ω是平面1=++z y x 与三个坐标平面围成闭区域（4）()⎰⎰⎰Ω+dvy x 22，其中20,4:22≤≤≤+Ωz y x（5）()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 23，其中2210y x z --≤≤Ω：。

（6）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。

（7）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。

（8）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω由10==z z ，与122=+y x 围成。

第九章 曲线积分与曲面积分1、设L 的方程为422=+y x ，则()=+⎰Lds y x 22cos 。

2、设()⎰++Lds z y x222，其中π20,,sin ,cos :≤≤===t bt z t a y t a x L 。

第十章自测题一、 单项选择题1. 221()DI x y dxdy =+⎰⎰，2()DI x y dxdy =+⎰⎰，3()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中Ｄ是 1x y +≤ ，则有（ ）A ．321I I I >>B ．312I I I >>C ．132I I I >>D ．123I I I >>2．设Ｄ是圆域 422≤+y x ，则dxdy y x D⎰⎰+22＝（ ）．A ．π38；B ．π316； C ．４π； D ． π． 3. ⎰⎰=θπθθθcos 020)sin ,cos (rdr r r f d I 化为在直角坐标系下的二次积分的正确结果为（ ）．A ．⎰10dy⎰-20),(y y dx y x f B ．⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f C ．⎰1dx⎰1),(dx y x f D ．10dx⎰0(,)f x y dy4. Ω为球：1222≤++z y x ，则⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222=（ ）．A ．⎰⎰⎰Ωdxdydz B ．ρϕρϕθππd d d sin 2013⎰⎰⎰C ．ρθρϕθππd d d sin 2013⎰⎰⎰ D ．ρϕρϕθππd d d sin 202013⎰⎰⎰二、重积分的计算及应用1．计算(2)DI x y dxdy =-⎰⎰，其中D 是由直线230,0x y y -+==及3x y +=所围成的区域。

2．计算sin DyI dxdy y=⎰⎰，其中D 是由直线2y x =及y x =所围成的区域。

3.112111224y y xxydy dx dy dx +⎰⎰⎰⎰4.计算⎰⎰-+D dxdy y x 222，其中D ：322≤+y x 。

5.计算()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D ：221x y +≤。

6.计算⎰⎰⎰Ω++=dv z y x I )(22,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的 曲面与平面z=2所围成的区域.7. 设)(u f 连续，且'(0)0,(0)2013f f ==，证明：22224lim2013x y z t t f dvt π++≤→=⎰⎰⎰8.计算：120dx y dz ⎰⎰9. 求抛物面22z x y =+与球面2226x y z ++=所围立体的体积及表面积参考答案一、单项选择题1. B ，2、 B ，3、D ．4. B二、重积分的计算及应用1．33302(2)(2)0yy DI x y dxdy dy x y dx --=-=-=⎰⎰⎰⎰2．21100sin sin sin (1)1sin1y y Dyy dxdy dy dx y y dy y y==-=-⎰⎰⎰⎰⎰3.112111224y y xxydy dx dy dx +⎰⎰⎰⎰()2111211223182y xx xx dx e dy x e e dx e e ==-=-⎰⎰⎰4.、()()2222222222223222Dx y x y x y dxdy x y dxdy xy dxdy+≤≤+≤+-=-+-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22225(2)(2)2d r dr d r dr πππθθ=-+-=⎰⎰5. 12208()4(cos sin )3Dx y dxdy d r dr πθθθ+=+=⎰⎰⎰⎰6.222222202()()x y zx y z dv dzx y z dxdyΩ+≤++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰222322000032243d dr z dz z dz πθπππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 7.证明：原式222044sin ()4()limlimttt t d d r f r drr f r drtt ππθϕϕπππ→→==⎰⎰⎰⎰()2'300()0()lim lim (0)2013t t f t f t f t f t t→→-====8.120dx y z dz ⎰⎰222222112200,0,02,0,0122221(2)1)4415x y z x y x y z x y z dzdxdy z dzdxdyz z dz z z dz πππ+≤≥≥+≤-≥≥=+=⋅+-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9.体积：V dvΩ=⎰⎰⎰2201123rd πθπ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 表面积：222222493x y x y S π+≤+≤=+⎛=- ⎝⎰⎰⎰⎰。