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高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).

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lim
2
0π
解：利用积分中值定理及连续性有0, 0( , (lim , (1lim
8
2
0f f dxdy y x f a a D a ==→→⎰⎰ηξπ
§ 2二重积分的计算法
1、设⎰⎰
+=D
dxdy y x
I 1，其中D是由抛物线12+=x y与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（）
A：2
12ln 3ln 87+-- B：21
解：⎰⎰D
y x
dxdy e }
22
, max{=110
10
2
2
-=+⎰⎰⎰⎰e dx e d dy e dx y
y x
x y
15、计算二重积分⎰⎰
++D
dxdy y
x y
x 2
2，D：. 1, 122≥+≤+y x y x解：⎰⎰++D dxdy y
x y x 22=24 sin (cos201sin cos 12πθθθπ
积分⎰⎰D
dxdy y x f (2为（）
A ⎰⎰1
, (22D dxdy y x f B ⎰⎰2
2 , (4D dxdy y x f
C ⎰⎰1
, (42D dxdy y x f D
⎰⎰2
2
, (21D dxdy y x f 6、设D 1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1
解：π102559222=--=⎰⎰≤+y x y x 1S π20255
16
2
22=--=⎰⎰≤+y x y x 3S
π70=2S
5、求曲面xy Rz =包含在圆柱222R y x =+内部的那部分面积解：3
122(22
2222
2R R y x R R y x π-=++=
⎰⎰
≤+S
6、求圆柱体Rx y x 222≤+包含在抛物面Rz y x 222=+和xoy平面之间那部分立
1
1||2
22 (
z y x z dz dxdy e =2⎰=-1
2
2 1(ππdz z e z 4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰Ω
dxdydz z xy 32
(1/364
5、设Ω是球域：12
2
2
≤++z y x，求⎰⎰⎰Ω
++++++dxdydz z y x z y x z 1
C ⎰⎰20
22
20
2ρπρθρθρρθdz z , sin , cos f(d d D ⎰⎰⎰202
20dz z , sin , cos f(d d ρθρθρρθπ
3、设Ω是由1222≤++z y x所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰Ω
dv e z ||
解：⎰⎰⎰Ω
dv e z ||=⎰⎰⎰
--≤+1
A 31μ32μ C μ D 3
4
μ
2、求均匀上半球体(半径为R的质心
解：显然质心在z轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰Ω=8
31R
zdv V故质心为(0,0,R 38
4、曲面2213y x z --=将球面25222=++z y x分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s 1, s2, s3,求s 1:s2:s3
第十章重积分
§ 1二重积分的概念与性质1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
dxdy y x I D
⎰⎰+=22其中D为：422≤+y x
( dxdy y x I D
⎰⎰+=22=πππ3
16
2. 4. . 312. 4. =
- 2、设D为圆域, 0, 222>≤+a a y x若积分
dxdy y x a D
体的体积
解：43 (2132
222R dxdy y x R Rx y x π=+=⎰⎰≤+V第九章自测题
一、选择题:（40分）1、⎰
⎰-x dy y x f dx 10
1
0 , (=(
A⎰⎰-1010
, (dx y x f dy x B ⎰
⎰-x
dx y x f dy 1010 , ( C ⎰⎰1
1
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx ,交换积分次序后I为：
I=⎰⎰
3
1
ln 0
, (x
dy y x f dx =⎰⎰3
ln 0
3
, (y e
dx y x f dy
10、改变二次积分的次序：⎰⎰⎰⎰-+4
2402
00 , ( , (x
x
dy y x f dx dy y x f dx = ⎰⎰
20
7 D (0,38
(3、由抛物面x y z 422=+和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是（）
A (0, 0, 34 B (0, 0, 3
5 C (0, 0, 45 D (0, 0, 47
(4、质量分布均匀(密度为μ的立方体所占有空间区
域:}10, 10, 10| , , {(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ,该立方体到oz轴的转动惯量I Z =(
A：e e e 212124-- B：21
242
1
21e e e e -+-
C：e e 2
1
214+2421e e -
4、设f(x,y是连续函数，则二次积分dy y x f dx x x ⎰
⎰++-2
1
1
, (为（）
A dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰----+1
1
2
111102 , ( , ( B dx y x f dy y ⎰⎰--1
11
0 , (
C dx y x f dy dx y x f dy y y ⎰⎰⎰⎰-----+1
1
2
11
11
02 , ( , ( D dx y x f dy y ⎰⎰---1
1
2
02 , (
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
z y x t (1lim 2
2222224
0⎰⎰⎰≤++→++π
解：dxdydz z y x f t
t z y x t ⎰⎰⎰≤++→++2
22222240(1
lim π
= 0(' (4lim
sin (1lim 4
20
220
40f t dr
r f r dr r r f d d t
t
t t
t ==⎰⎰⎰
R π
13、计算二重积分⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22，其中D是圆域922≤+y x
解：⎰⎰-+D
dxdy y x |4|22==
-+-⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d ππθθ20
3
2
220
20
2 4( 4(2
41π 14、计算二重积分⎰⎰D
y x dxdy e
}
, max{22，其中D={(x,y| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
12
2
1x
x
dx y dx x
11、设D={(x,y|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰+D
y x dxdy e的值
解：⎰⎰+D
y
x dxdy e
=⎰⎰⎰⎰-==+1
21
10
1
1( ((e dy e dx e dy e
dx y x
l y
x
12设I=⎰⎰--D
dxdy y x R 222,其中D是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (331
1ln(2
22222 (0 6、计算⎰⎰⎰+Q
dxdydz y x (22其中Ω为：平面z=2与曲面2222z y x =+所围成的
区域(
π5
64
7、计算⎰⎰⎰Q
zdxdydz x 2其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
(2/27
8、设函数f(u有连续导数，且f(0=0,求dxdydz z y x f t t
, (为(
A ⎰⎰a a y
dx y x f dy 0
, ( B ⎰⎰a y
a
dx y x f dy 0
, (
C ⎰⎰a y dx y x f dy 0
, ( D ⎰⎰a x
dx y x f dy 0
, (
8、求⎰⎰
=D
dxdy y
x I 2
2，其中:D由x=2,y=x,xy=1所围成. (49
9、设I=⎰⎰
⎰⎰
--2
2
2
=12π，求a的值。
解：
dxdy y x a D
⎰⎰
--2
2
2
=3
. 34. 21a π 81
=a
3、设D由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x求⎰⎰D
dxdy 3
解：由于D的面积为π2,故⎰⎰D
dxdy 3=π6
4、设D：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x，

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专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用

专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。

如图： y1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x [错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。

高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

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22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,
青岛理工大学2011级高等数学(上)B试题及答案

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一、选择题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（ ）。

A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（ ）。

A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（ ）。

A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（ ）。

A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（ ）。

A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。

1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。

2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。

3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。

青岛理工大学高等数学练习教程答案

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第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。