第十章重积分自测题[1]

内容提要： 一、二重积分1、二重积分的概念与性质2、二重积分的计算：（1）-x 型域：.)()(:21⎩⎨⎧≤≤≤≤b x a x y x D ϕϕ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a x x Ddx dy y x f d y x f )()(21,),(ϕϕσ（2）-y 型域：⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(:21y x y dy c D ψψ()⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d cy y Ddy dx y x f d y x f )()(21,),(ψψσ当积分区域既是-x 型，又是-y 型域时，会交换积分次序。

（3）极坐标：⎩⎨⎧≤≤≤≤βθαθϕθϕ)()(:21r D ，⎪⎩⎪⎨⎧→→→θσθθrdrd d r y r x sin cos⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r r f d y x f θθθσ)sin ,cos (),(⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=βαθϕθϕθθθd rdr r r f )()(21)sin ,cos ( 二、三重积分1、三重积分的概念与性质2、三重积分的计算：（1）-xy 型域：()()}),(,,,|),,{(21xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω 先一后二：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΩxyD y x z y x z d dz z y x f dv z y x f σ,,21,,,,先二后一：，若被积函数不含变量y x ,，且积分区域Ω被平面0z z =所截平面区域面积容易计算，可先计算此面积，再计算定积分即可。

（2）球坐标：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x其中，πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<≤r()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Ωππθϕθϕϕϕθϕθϕ200,02sin cos ,sin sin ,cos sin ,,d d dr r r r r f dv z y x f r 三、重积分的应用：空间曲面的面积 设∑：D ∈=),(),,(y x y x f z 为光滑曲面．⎰⎰++=Dσd f f S y x 221《高等数学》单元自测题答案第十章 重积分一、填空题：1．已知积分区域10,10:≤≤≤≤y x D ，则二重积分=+⎰⎰Dd y x σ)(___1________。

第十章 重积分单元测试卷一、填空题（每小题4分，共20分）：{}.,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4.sin .3.,0,1|),(.2.,),(,),(.12222210221202⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=≤+-+-Ω=====+Ω==≥≤+===dv z y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy xxdy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f y yDx x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将连续设二、选择题（每小题5分，共20分）：.)(;)(;)(;)()(,,,)sin(,)(,)ln(,1,21,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D DDD <<<<<<<<+=+=+==+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰间的大小关系为则所围成由设().),(),()(;),()(;),(),()(;),()(),(,),(.20180212121228262182212121228212262142⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-++------+++---+---++=yy y y yyy y y yy x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 3. 半径为R 和r(0<r<R)的两上半圆所围成的均匀的圆环状薄片（设密度为ρ）对它的中心的转动惯量I=（ ）).(81)();(41)();(21)();()(44444444r R D r R C r R B r R A ----πρπρπρπρ.721)(;641)(;561)(;481)()(,0,0,0,1.4222D C B A xyzdxdydz z y x z y x =====++Ω⎰⎰⎰Ω则限的部分所围空间区域在第一卦是由设 三、（10分）计算⎰⎰-1122xy dy e x dx 。

题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为 －( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。

第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

解：由二重积分的几何意义知，解：由二重积分的几何意义知，2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

解：由知即于是所以于是解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y>1,于是解：在D中，且而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y, 都有故于是3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

解：从而即解：则f(x,y在D上的最大值最小值区域D的面积从而4．设f(x,y为一连续函数，试证：证：由于f(x,y连续，由二重积分中值定理知，存在点，使得所以第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1解：。

(2解：。

解：。

(4解：。

(5解：。

2．画出积分区域，并计算下列二重积分。

(1解：。

解：。

(3解：。

3．将二重积分化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域D是(1解：。

(2解：。

4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。

(1解：(2解：(3解：。

5．设平面板由曲线及直线所围成，质量面密度为，求板的质量。

解：所求板的质量。

6．求由坐标平面、平面、及抛物面所围成的立体体积。

解：立体在xoy面投影区域为，，所求立体体积为。

7．计算二重积分。

其中}。

解：设则8．把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域是：(1 由所围成；(2 圆与圆之间的区域。

解：(1(29．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。

(1 ；解：(1 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是和两者的并集是环形区域在第一象限的部分，于是(2(3 。

10．利用极坐标计算下列各题。

(1 ，其中为的圆域；解：(2 ，其中；解：(3 ，其中；解：(4 ，其中。

解：11．选用适当的坐标计算下列积分。

(1 ，其中是由直线，，，所围成的闭区域；解：选用直角坐标计算二重积分(2 ，其中；解：选用极坐标计算二重积分（另外，本题亦可用对称性计算）(3 ，其中由直线，及上半圆周所围的区域。

重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

高等数学第十章《重积分》测验题一、选择题（每题３分，共１５分） 1记21()DI x y d σ=+⎰⎰，32()DI x y d σ=+⎰⎰，其中22:(2)(1)1D x y -+-≤，则（ ）（Ａ）12I I =； （Ｂ）12I I >；（Ｃ）12I I <； （Ｄ）无法比较12,I I 的大小。

2设(,)f x y 连续，且2(,)(,),Df x y xy f x y dxdy D =+⎰⎰由21,0,x y y x === 所围，则(,)f x y =（ ）（Ａ）218xy +； （Ｂ）2138xy +；（Ｃ）21316xy +； （Ｄ）2116xy +. 3 设0a b <<，222221:(0)V a x y z b z ≤++≤≥，222222:V a x y z b ≤++≤(0,0,0)x y z ≥≥≥为两个空间区域，则（ ）（Ａ）124V V xdv xdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｂ）124V V ydv ydv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（Ｃ）124V V zdv zdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （Ｄ）124V V xyzdv xyzdv =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4 ⎰⎰=θπρρθρθρθcos 02)sin ,cos (d f d I 化为直角坐标系下的二次积分为（ ）（A ）⎰10dy ⎰-20),(y y dx y x f ； （B ）⎰10dy ⎰-210),(y dx y x f ； （C ）⎰1dx ⎰1),(dx y x f ； （D ）⎰10dx ⎰-2),(x x dy y x f ．5 设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=⎰⎰⎰成立的充分条件是（ ）（Ａ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=-； （Ｂ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=-=； （Ｃ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=-； （Ｄ）(,)(,),(,)(,)f x y f x y f x y f x y -=--=。

10第十章重积分答案第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知， «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由二重积分的几何意义知，«Skip Record If...»2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

«Skip Record If...»«Skip Record If...»解：由 «Skip Record If...»知 «Skip Record If...»即«Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y)>1, 于是 «Skip Record If...»«Skip Record If...»解：在D中，«Skip Record If...»且 «Skip Record If...»而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y), 都有«Skip Record If...»故 «Skip Record If...»于是 «Skip Record If...»3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

第八章 重积分1、交换二次积分的次序：（1）()⎰⎰=4022,ππdy y x f dx x （2）()⎰⎰=exdy y x f dx 1ln 0, 。

（3）()⎰⎰=101,y dx y x f dy . （4）()⎰⎰=-a0022,y a dx y x f dy .2、计算下列二重积分： （1）⎰⎰+Ddxdy y x 22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D 。

（2）⎰⎰+Ddxdyy x 22，其中x y x D 2:22≤+。

（3）()⎰⎰-+Ddxdy x y x 22，其中D 是由直线2,2,===y x y x y 围成闭区域。

（4）()⎰⎰+Ddxdy y x x cos ，其中D 是定点分别为()()()πππ,,0,,0,0的三角形。

3、计算下列三重积分： （1）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中10,10,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。

（2）()⎰⎰⎰++Vdv z y x 222，其中0,:2222≥≤++z R z y x V 。

（3）()⎰⎰⎰Ω+dv y x ，其中Ω是平面1=++z y x 与三个坐标平面围成闭区域（4）()⎰⎰⎰Ω+dvy x 22，其中20,4:22≤≤≤+Ωz y x（5）()⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 23，其中2210y x z --≤≤Ω：。

（6）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。

（7）⎰⎰⎰Ωzdv ，其中Ω由222y x z --=与22y x z +=围成。

（8）()⎰⎰⎰Ω+dv y x 22，其中Ω由10==z z ，与122=+y x 围成。

第九章 曲线积分与曲面积分1、设L 的方程为422=+y x ，则()=+⎰Lds y x 22cos 。

2、设()⎰++Lds z y x222，其中π20,,sin ,cos :≤≤===t bt z t a y t a x L 。

第十章 重积分单元练习题一、填空题：1．设D 为222x y a +≤,当a = 时,Dπ=⎰⎰；2．交换积分⎰⎰10),(y ydx y x f dy 的积分次序为 ；3. 交换二次积分⎰⎰⎰⎰-+22202110),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx 的次序得 ； 4．设x y x D 2:22≤+，f 为连续函数，则二重积分⎰⎰σ+Dd y xf )(22化为在极坐标下的二次积分为 ； 5．积分11(,)xdx f x y dy-⎰化为极坐标下的二次积分为 ； 6．三重积分⎰⎰⎰≤++=1222z y x dxdydz ；7．已知Ω是由0,0,0,21x y z x y z ===++=围成， 则xdv Ω=⎰⎰⎰（先对z 后对y 积分，再对x 积分）； 8．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则=⎰⎰⎰Ωdxdydzz y x f ),,(（化为柱坐标系下的三次积分） 。

二、计算题 1． 计算2(1)DI xy dxdy =+⎰⎰，其中11:,D x y ≤≤。

2．计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )(，其中1:≤+y x D 。

3．计算 22Dx Id yσ=⎰⎰，其中D 是直线 2,x y x ==及双曲线1xy =所围区域。

4．计算二重积分d d Dxy x y ⎰⎰，其中区域D 是由y x =，1y =，以及y 轴所确定的平面区域. 5．计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 为抛物线 2y x =与直线 2y x =+所围的区域。

6．⎰⎰-Ddxdy y x |sin sin |，其中20;20:π≤≤π≤≤y x D 。

7．计算二重积分⎰⎰≤++=42222y x y x dxdy eI 的值．8．把二次积分22 - 0d )d aax x y y +⎰⎰(0)a >化为极坐标形式，并计算积分值.9．Ω是空间中平面 1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的立体，试计算⎰⎰⎰Ω=xydxdydzI 。