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教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。
厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。
在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。
一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。
二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。
1.验证的正交性所以是相互正交的。
2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。
参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。
当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。
一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。
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厄米算符本征函数完备性的一般证明在坐标表象下，可观测量Q的期望值可以写成<Q>=∫ψ∗Q^ψdx=<ψ|Q^ψ>由于可观测量必须实数，因此有<Q∗>=<Q>,所以有<Q^ψ|ψ>=<ψ|Q^ψ>满足上式的算符Q^，称为厄米算符，可观测量均由厄米算符表示。
厄米算符作用于内积的左侧项与右侧项等价，这是厄米算符的一个重要性质。
下面我们来推导厄米算符的本征方程（有些教材直接给出本征方程的形式，而《量子力学概论》（大卫|格里菲斯）是从确定值态出发，推导出本征方程的形式）。
我们假设在某个态下测量可观测量Q的值，无论什么时候测，都恰好为同一个确定的值q，这样的态我们称为确定值态（或者本征态），记为ϕ.显然在本征态下，有<Q>=q以及方差<σ2>=0则有<σ2>=<ϕ|(Q^−q)2ϕ>=0由于Q^为厄米算符，可以提出一个(Q^−q)到内积的左侧项，即有<(Q^−qϕ|Q^−qϕ)>=0所以有(Q^−q)ϕ=0即Q^ϕ=qϕ,此即本征态ϕ所满足的本征方程。
由此，我们推导出了厄米算符Q^的本征方程。
我们称满足此本征方程的态为算符Q^的本征态ϕ，在此态下测量Q得到的值必为一个确定值，称为在该本征态下对应的本征值。
一个算符的所有本征值的集合称为这个算符的谱，根据本征值的分布是离散的还是连续的，谱可以分为分立谱和连续谱。
多个线性独立的本征态具有同一个本征值的情况称为谱的简并，简并的概念在量子力学中具有比较重要的地位。
因此，定态薛定谔方程即为能量算符的本征方程。
下面举几个简单例子说明谱的分立性与连续性。
1）谐振子的哈密顿谱为分立谱。
2）自由粒子的哈密顿谱为连续谱。
3）有限深方势阱的谱为分立谱+连续谱。
1。
你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明.（简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件.首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法；其次,Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如:散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2。
什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的?答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律:a。
对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率，当照射光频率时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出；b。
每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻观测到光电子.爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
（3)光子能量与其频率成正比,频率越高，对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答:对于一般情况，如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，而可观测量是用来描述这些粒子状态的物理量。
在量子力学中，可观测量通过厄米算符来描述。
一、厄米算符的定义和性质在量子力学中，厄米算符是一种具有特定性质的算符。
一个算符A 是厄米的，当且仅当它满足以下条件：1. A的本征值是实数：对于任意的本征态|a⟩，存在一个实数a，使得A|a⟩=a|a⟩。
2. A的本征态之间是正交的：对于不同的本征值a和b，如果a≠b，则本征态|a⟩和|b⟩是正交的，即⟨a|b⟩=0。
3. A的本征值是彼此不同的：对于不同的本征态|a⟩和|b⟩，如果它们对应的本征值相同，就意味着|a⟩和|b⟩是相同的本征态。
由于厄米算符的这些性质，它们在量子力学中被广泛地用于描述可观测量。
二、厄米算符的作用厄米算符作用于量子态时，会得到该量子态所对应的本征值和本征态。
假设A是一个厄米算符，|a⟩是其对应的本征态，对应的本征值为a。
那么有：A|a⟩ = a|a⟩其中，|a⟩表示本征态，a表示本征值。
这个方程说明，对于量子态|a⟩，经过厄米算符A的作用后，得到的结果是该量子态本身或者一个比例因子。
这样，我们可以通过测量A来得到量子态的本征值。
三、厄米算符的例子1. 动量算符：在量子力学中，动量算符P是一个重要的厄米算符。
它描述了粒子的动量，其本征态是平面波，本征值则是粒子的动量大小。
2.位置算符：位置算符X也是一个厄米算符。
它描述了粒子的位置，其本征态是位置本征态，对应的本征值是粒子在空间中的位置。
3.能量算符：能量算符H也是一个厄米算符。
它描述了系统的能量，其本征态是能量本征态，对应的本征值是系统的能量。
这些厄米算符的性质和作用在量子力学的实际应用中发挥着重要的作用。
四、厄米算符的重要性厄米算符在量子力学中的重要性不可忽视。
首先，由于其本征值是实数，通过测量厄米算符可以得到实验测量结果的物理解释，为实验提供了理论基础。
量子力学厄米算符
在量子力学中，一个厄米算符是指一个自己等于其共轭转置的线性算符。
具体来说，如果A 是一个厄米算符，则它满足以下条件：
1. A = A†，其中A†是A 的厄米共轭，即将A 中所有元素转置并取复共轭得到的算符。
2. 对于任意的态矢量|ψ⟩，都有⟩ψ|A|ψ⟩ 是实数。
这些条件意味着厄米算符具有一些重要的性质。
首先，它们的本征值都是实数。
如果|u⟩ 是A 的一个本征态，对应的本征值为λ，则有A|u⟩ = λ|u⟩。
由于A 是厄米的，我们有⟩u|A|u⟩ = ⟩u|λ|u⟩ = λ⟩u|u⟩，因此λ必须是实数。
这个性质非常重要，因为它保证了测量厄米算符的本征值一定是实数。
另外，厄米算符的本征态可以被选择成正交归一的。
也就是说，如果|u⟩ 和|v⟩ 是A 的不同本征值对应的本征态，且本征值λu ≠λv，则有⟩u|v⟩ = 0。
这个性质使得我们可以将任何一个态表示成A 的本征态的线性组合，从而更容易地研究厄米算符的性质。
最后，厄米算符的本征态构成了一个完备的基。
也就是说，任何一个态都可以被唯一地表示成 A 的本征态的线性组合。
这个性质使得我们可以将任何一个态投影到 A 的本征态上，从而更容易地计算测量A 的结果。
