劳斯判据稳态误差

lim c n ) = A 其中 0〈ζ k 〈1 q +2γ =( t 拉氏反变换为 临界稳定
t→ ∞
j =1
k =1
c(t ) = ∑ Aj e
j =1
q
s jt
+ ∑ Bk e
k =1
r
−ζ k ω k t
cos(ω k 1 − ζ k )t
2
2
+∑
r
C k − Bkζ kω k
k =11 3 0 ∞ 1 3
(3
1 3 1 1 3 1
1
D(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0
第一列为零 方法１ (s+3)乘原式 乘原式， 方法１：(s+3)乘原式，得 D(s)=s5+6s4+10s3+6s2+10s+3=0 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 6 9 -0.33 91.4 3 10 6 9.5 3 0 10 3
2
特殊情况１ 第一列某行出现0 特殊情况１：第一列某行出现0
某行的第一列项为0，其余各项不为 或不 某行的第一列项为 ，其余各项不为0或不 全为0。（ 。（１ 全为 。（１）用（s+a）因子乘原特征方 ） 为任意正数），（ 程（a为任意正数），（２）或用很小的正 为任意正数），（２ 代替零元素。 数ε代替零元素。
大范围稳定
小范围稳定
图示用曲线表示稳定性的概念和定义
r(t) r(t)
C(t)
a)外加扰动 (a)外加扰动
C(t) C(t)
(b)稳定 (b)稳定 (c)不稳定 (c)不稳定 注意： 注意：仅适用于线性定常系统
线性系统的稳定性概念
系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态， 系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态， 扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态， 扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳 定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外 定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外 作用无关。 作用无关。 • 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性 设初始条件为零时， 系统，这相当于给系统加了一扰动信号。 系统，这相当于给系统加了一扰动信号。 若lim g(t) = 0 ，则系统稳定。 则系统稳定。
该系统不稳定
有两个正实部根
为特征根在s 个数! 变号的次数为特征根在 右半平面的个数
例3.5 设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用 设系统特征方程为s +2s+2=0；
劳斯 稳定判据判断系统的稳定性。 稳定判据判断系统的稳定性。
解：劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0
取代0) ε(取代 取代 2-4/ε ε 2
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
3 4 2 -8 -8 2 ε +8 7 ε -8(2 +8)-7 ε ε ε 7
1 2 1 ε 0
5 6 7 7
7
(6-14)/1= (6－4)/2=1-8 (10-6)/2=2
劳斯表特点
1 右移一位降两阶
2 行列式第一列不动第二列右移 行列式第一列不动第二列右移 不动第二列 对角线减 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等 5 分母总是上一行第一个元素 第一列出现零元素时， 6 第一列出现零元素时，用正无 穷小量ε 穷小量ε代替。 一行可同乘以或同除以某正 7 一行可同乘以或同除以某正数
1 2
2 1
3 4 2
4 5
= 1
= −6
1 2 2
s
符号改变一次
1
0
s
0
1 1
5
− 6 0 = 5 − 6
符号改变两次， 平面右侧有两个根 系统不稳定性。 平面右侧有两个根， 符号改变两次，s平面右侧有两个根，系统不稳定性。 动画
1、劳斯稳定判据（首项为０） 劳斯稳定判据（首项为０ 设系统特征方程为： 设系统特征方程为： s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s4 s3 方法２ 方法２ s2 s2 s
３
1
ε
ε -3)/ε ε
代替 了０
1
特
：
劳斯表出现零行
特征 方程: 方程
设系统特征方程为： 设系统特征方程为：
劳 斯 表
s4+5s3+7s2+5s+6=0
s4 1 s3 5 s2 6 s1 0 2 s0 1 7 5 6
这是零行
6
s2+1=0
系 : 2s1 , 系统
共轭虚根
对称于实轴的两对共轭复根
注意两种特殊情况的处理： 注意两种特殊情况的处理：
1 ） 某行的 第一列项为 0 ， 而其余各项不为 0 或 第一列项为0 而其余各项不为0 不全为0 用因子（ s+a）乘原特征方程（其中a 不全为 0。 用因子 （ s+a） 乘原特征方程 （ 其中 a为任 意正数） 或用很小的正数ε代替零元素，然后对新特 意正数），或用很小的正数ε代替零元素，然后对新特 征方程应用劳斯判据。 征方程应用劳斯判据。 2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构 成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系 成一个辅助方程，对辅助方程求导， 数代替全零行。 数代替全零行。
1 2
1 2 2
2 0
第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定。并 且在S右半平面上有两个极点。 且在S右半平面上有两个极点。
例3.6
设系统特征方程为s 设系统特征方程为s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；试 +4s+4=0； 用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：列出劳斯表 s6 s5 s4 s3 用 1 2 2 0 6 8 8 0 10 4 4 0 4 → 辅助多项式A(s)的系数 辅助多项式A(s)的系数 A(s)
e −ζ k ω k t sin( ω k 1 − ζ k ) t (t≥0)
系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部，即闭环系 统的极点全部在s平面左半部。 统的极点全部在s平面左半部。 稳定的必要条件 特征方程 D(s) = a 0s n + a1s n−1 + ... + a n−1s + a n = 0 各项系数有相同的符 jω s × 号，无零系数 s
dA(s)/ds的系数 的系数
第一列元素全为正，系统并非不稳定； 第一列元素全为正，系统并非不稳定； 阵列出现全零行，系统不是稳定的； 阵列出现全零行，系统不是稳定的； 综合可见，系统临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。 综合可见，系统临界稳定的（存在有共轭纯虚根）。
解辅助方程可得共轭纯虚根： 解辅助方程可得共轭纯虚根：
稳 定 的 摆 不 稳 定 的 摆
不论扰动引起的初始偏差有 多大，扰动取消后， 多大，扰动取消后，系统都能 够恢复到原有的平衡状态是大 够恢复到原有的平衡状态是大 范围稳定。 范围稳定。 小扰动恢复到原平衡状态， 小扰动恢复到原平衡状态， 大扰动不能恢复到原平衡状 系统为小范围稳定 小范围稳定。 态，系统为小范围稳定。 线性系统，小范围稳定， 线性系统，小范围稳定， 必然大范围稳定 大范围稳定。 必然大范围稳定。 扰动消失后， 扰动消失后，输出与原平衡 状态间存在恒定的偏差或输出 维持等幅振荡， 维持等幅振荡，系统处于临界 稳定状态。 稳定状态。 经典控制论中， 经典控制论中，临界稳定视 为不稳定。 为不稳定。
F ( s ) = 2s + 8 s + 4 = 0
s
4 行的系数构造系列辅助方程
F ( s ) = 2s + 8 s + 4 = 0
4 2
求导得： ( s ) / ds = 8s 3 + 16s dF
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： 以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳斯表： s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 • • • 1 2 2 8 4 8 4 6 8 8 16 4 10 4 4 ← 4
注意： 注意：纯虚根为重根 ? 1 劳斯表出现零行 时系统一定不稳定 ，系统不再等幅振 一定不稳定 系统一定 2 ? 而是振荡发散。 荡，而是振荡发散。 3 ?
s1,2=
方程 错啦!!! 错啦 j 系
:
s3,4= -2,-3
劳斯阵列出现全零行: 劳斯阵列出现全零行:
大小相等符号相反的实根
系统在s 系统在s平面有对称分布的根
3-5 稳定性分析
3.5线性系统的稳定性分析 3.5线性系统的稳定性分析
35.1 稳定性概念及定义
系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后， 系统受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失后，又恢复到 平衡状态，称系统是稳定的。 平衡状态，称系统是稳定的。 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定， 线性系统的稳定性由系统的结构和参数决定，与初始条 件及外作用无关。 件及外作用无关。
lim c ( t ) = 0
t→∞
（渐近）稳定 渐近） 系统不稳定 临界稳定 非零常数
t→ ∞
lim c ( t ) = ∞
t→ ∞
lim c ( t ) = A
设n阶系统表达式为 阶系统表达式为 若全部特征根有负实部， 若全部特征根有负实部，则 m
C ( s ) b0 s + b1 s m −1 + L + bm −1 s + bm Φ ( s ) = c (t ) = 0 n lim R ( s ) = a s + a s n −1 +（渐近）稳定 L渐近）+ a n + a n −1 s t→∞ 0 1