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量子力学(第十一章)

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第11章 原子发射光谱_2016

第11章 原子发射光谱_2016

尾焰区在内焰区上方，无色透明，温度较低， 在6000K以下，只能激发低能级的谱线。
特点：蒸发温度高，稳定性好，适用范围广
28 28
ICP-AES仪器
IRIS Intrepid全谱直读等 离子体发射光谱仪(ICPAES) 是美国热电公司生产 的原子光谱分析仪器，采 用CID检测器和设计独特 的光学系统，具有高分辨 率、高灵敏度，可同时测 定元素周期表中的73种元 素，每个元素波长可任意 选择，最大限度地减少了 元素之间的相互干扰。适 用于金属、环境、地球化 学等领域对元素的高精度 分析。
29
光电直读光谱仪和摄谱仪
1. 光电直读光谱仪
直接利用光电检测系统将谱线的光信号转换为电信号，并 通过计算机处理、打印分析结果的光谱仪。 两种类型：单通道和多通道 单通道：一个出射狭缝和一 个光电倍增管，可接受一条谱 线，构成一个测量通道； 通过转动光栅或光电倍增管 进行扫描，在不同时间检测不 同谱线。
33
11.3 原子光谱分析方法
定性分析
1. 分析线
分析线：用于确定某一元素的特征谱线。复杂元素的谱 线可能多至数千条，只选择其中几条特征谱线检验 ，称其为分析线——最后线和灵敏线； 最后线：随浓度降低，谱线数目减小，直到最后消失的 谱线 灵敏线：元素特征谱线中强度较大的谱线.最易激发的 能级所产生的谱线，每种元素都有一条或几条谱线 最强的线，即灵敏线。最后线也是最灵敏线； 共振线：由第一激发态回到基态所产生的谱线。通常也 是最灵敏线和最后线。
第十一章
原子发射光谱法
Atomic Emission Spectrometry (AES)
原子发射光谱分析法（atomic emission
spectroscopy ，AES）：元素在受到热或

第十一章 多体理论

第十一章 多体理论

第11章多体理论§11.1 多体理论概述§11.1.1少体问题与多体问题众所周知，宏观世界是由许多微观客体构成的，量子理论是处理微观客体的有效工具。

在一定的层次之下，按着微观粒子数目的多少可以把体系分为少体体系和多体体系。

一般情况下，界定两种体系的粒子数并无十分明确的规定，通常把粒子数少于5个的体系称为为少体体系，否则为多体体系或者多粒子体系。

对少体问题的研究可以提供粒子之间相互作用的信息，它是研究多体问题的基础和出发点。

在前面几章中，所处理的基本上属于单体问题，即使原本是二体问题的氢原子也被化成了单体问题来处理，它们都属于少体问题的范畴。

真实的物理世界是由许多相互作用着的微观粒子构成的，多体理论就是研究如何处理这种多个相互作用着的粒子体系的理论。

多体理511512论在原子、分子、等离子体及原子核物理学中都得到了广泛的应用。

按着所研究对象的属性及能量大小分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧非相对论相对论费米子非相对论相对论玻色子全同粒子非全同粒子正如前面提到的，本书只涉及非相对论的内容。

§11.1.2 多体理论的基本问题1、多体体系的哈密顿算符设体系由N 个粒子组成，若只顾及二体相互作用，则体系的哈密顿算符为()()∑∑=>=+=Nj i N i j i v i t H 11,ˆˆˆ （11.1.1） 其中，()i t ˆ是第i 个粒子的动能算符，()j i v,ˆ是第i 个粒子与第j 个粒子的相互作用能。

第i 个粒子的动能算符可以具体写出为()222ˆi im i t ∇-= （11.1.2）二体相互作用也可以写成（11.1.3）513二体相互作用应该满足如下条件：粒子无自身相互作用，即不存在()i i v,ˆ的项；当第i 个粒子与第j 个粒子的相互作用被计入后，不再顾及第j 个粒子与第i 个粒子的相互作用。

N 个粒子体系的双粒子相互作用有()121-N N 项。

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】

曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】

第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。

量子力学目录20152

量子力学目录20152

目录第一章量子力学的起源——量子力学的产生背景 (1)1．1经典物理学的辉煌 11．1．1经典力学 (1)1．1．2热学 (1)1．1．3电磁场理论 (2)1．2 辐射的粒子性 31．3 玻尔的原子模型 101．4 粒子的波动性 15第二章量子力学的基本观念——量子力学的哲学 (25)2．1双缝干涉实验 252．2微观粒子双缝干涉实验的分析 302．3量子力学的基本观念 342．4关于测不准原理 372．5结语 46第三章量子力学的基本原理——量子力学的诸定律 (49)3．1量子力学的立论方式 493．2波函数 503．3波函数的演化 553．3．1物质波 (56)3．3．2薛定谔方程的引入 (58)3．3．3关于薛定谔方程的讨论 (62)3．4动量的测量 653．5物理量用算符表示 683．6物理量测量的可能值 813．7小结——波动力学的基本原理 88第四章简单量子体系——能量本征值问题 (93)4．1 关于薛定谔方程的求解 934．2 一维无限深势阱——束缚态之一 964．3 一维简谐振子——束缚态之二 984．4 一维本征值问题的一般讨论 1054．5*其它势场的本征值问题 1144．6 散射态 1214．7 三维简单势场问题 1344．8 周期性边界条件 136第五章角动量——角动量本征值问题 (143)5．1 算符的对易关系 1435．2 角动量算符 1545．3 角动量的本征值问题 156第六章中心势场中的粒子——三维中心势场的能量本征值问题 (175)6．1中心势场的能量本征值问题 1756．2三维自由粒子 1796．3三维方势阱 1816．4氢原子 184第七章电磁场中的带电粒子——电磁场中的能量本征值问题 (197)7．1 分析力学回顾 1977．2与经典力学的相似性 2017．2．1 Ehrenfest定理 (201)7．2．2两种力学的相似性 (202)7．2．3量子化方法 (204)7．3电磁场中的Hamilton算符 2057．4均匀磁场中的带电粒子 2087．5均匀电场中的带电粒子 2147．6规范不变性 2167．6．1规范变换下波函数的改变 (216)7．6．2 Aharanov-Bohm效应 (217)第八章自旋角动量——粒子的内禀性质 (223)8．1角动量的实验测量 2238．2粒子的自旋 2278．2．1角动量本征值问题的一般解 (227)8．2．2自旋 (233)8．2．3自旋的矩阵表示 (234)8．2．4自旋1/2 (239)8．2．5实验的量子理论解释 (243)第九章近似方法I——定态S方程的近似解 (245)chrodinger9．1 问题概述 2459．2非简并能级的微扰理论 2459．3简并情况下的定态微扰论2499．4 变分方法 253第十章近似方法II——含时S方程的近似解 (259)chrodinger10．1含时微扰问题 25910．2含时微扰理论 26010．3常微扰 26310．3．1跃迁概率 (263)10．3．2黄金规则 (266)10．4周期微扰 26810．5原子与辐射的相互作用 27210．6电偶极跃迁的选择定则 281第十一章（定态）散射理论——三维非束缚态问题 (287)11．1问题概述 28711．2散射截面 28811．3散射振幅 29311．3．1处理散射的定态方法 (294)11．3．2散射截面的计算 (295)11．4玻恩近似 29611．5分波法 303第十二章多粒子体系——一个说不完的话题 (309)12．1量子多粒子体系 30912．2 二体问题 31112．3无相互作用多粒子体系 31312．4 全同多粒子体系 31612．5 例——两个电子的原子 32712．6 多电子原子（in preparation）12．7 分子（in preparation）12．8 原子核体系（in preparation）附录A 耦合质点组的振动 (331)A．1两个质点的耦合质点组的振动 331NA．2个质点的耦合质点组的振动 337A．3连续型耦合质点组的振动与Fourier级数 342A．4无界连续型耦合质点组的振动与Fourier积分 348A．5简正模与简谐波 351附录B 波包 (353)B．1色散关系和群速 353B．2波包的运动 357索引 (369)。

张丹海《简明大学物理》11-6 波函数

张丹海《简明大学物理》11-6 波函数

第十一章 量子物理基础
Ψ ( x, t ) Ψ 0e

h p
i 2π ( t
x

)
将

E h
代入上式得
波函数 振幅
Ψ ( x, t ) 0e
i
2π h
( Et px )
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11-6 波函数
第十一章 量子物理基础
二、波函数的统计意义
概率密度： 表示在某处单位体积内粒子出现的概率
2
Ψ
ห้องสมุดไป่ตู้
*
某一时刻出现在某点附近在体积元 d V 中的粒 子的概率为
Ψ dV ΨΨ dV
* 2
1926年，玻恩对波函数提出了统计解释：在空间 某处波函数振幅的平方与粒子在该处出现的概率成正 比.这就是波函数的物理意义.
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11-6 波函数
第十一章 量子物理基础
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11-6 波函数
第十一章 量子物理基础
在量子力学中，用波函数描述微观粒子的运动状态.
一、波函数
平面机械波的波动方程
y ( x , t ) A cos 2π ( t
x

)
)
上式也可写成复数形式
y ( x, t ) Ae
i 2 π ( t
x

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帮助
11-6 波函数
自由粒子平面波函数
帮助
11-6 波函数
1）波函数满足标准条件：
第十一章 量子物理基础
波函数必须是单值、有限、连续可微且其一阶导数 也是连续可微的. 2）波函数满足归一化条件：

第十一章量子力学

第十一章量子力学

11.1.1 哈密顿量不含时的体系
如体系的哈密顿量不显t ( H t 0), 则体系能量 为守恒量.此时 (t) 的求解是比较容易的.方程(2) 的解形式上可表示为
Ψ (t) U(t) Ψ (0) eiHt Ψ (0)
(3)
U (t) eiHt 是描述量子态随时间演化的算符.
如采取能量表象,把 (0) 表示成
H(t) n(t) En (t) n(t)
(6)
注意，在固定的时间，这些瞬时本征态是正 交归一的，不同时刻的瞬时本征态不一定正 交归一.设体系初始时刻处于某一本征态
(0) m(0)
(7)
那么经过一段时间后，这个态演化到什么态？
这个态应该有所有瞬时本征态的贡献
Cnk
(t)
C (0) nk
(t)
nk
由此得出一级近似解
积分,得
i
C e H (1)
ikk t
kk
kk
C (1) k k
1 i
t 0
e H ikkt k k
dt
因此,在准到微扰一级近似下
Ckk
(t)
C(0) k k
C (1) k k
(t
)
k k
1 i
t 0
e H ikkt k k
dt
Ψ100 (Z , r)
Z3
a3
1
2
eZ r
a
(3)
按照波函数统计诠释,测得此K电子处于新原子的1s
态的概率为
P00
Ψ100 (Z 1) Ψ100 (Z )
2
Z 3(Z 1)3 π2a6
(4π)2
e(2Z 1)r ar 2 d r 2
0

物理课件第十一章节量子力学基础


1905年，爱因斯坦提出光量子假设，解释了光电效应实验的现
象。
物质波的发现
03
1924年，德布罗意提出物质波的概念，为量子力学的产生奠定
了基础。
发展历程
1925年，海森堡和玻尔等提出量子力学的矩阵力学。 1926年，薛定谔提出量子力学的波动方程。
1930年代，量子电动力学的发展，解释了电子的磁性和光子的发射与吸收过程。
物理课件第十一章节量子力学基础
目 录
• 量子力学的起源与发展 • 量子力学的基本概念 • 量子力学的基本原理 • 量子力学的应用 • 量子力学的挑战与未来发展
01 量子力学的起源与发展
起源背景
19世纪末经典物理学的困境
01
经典物理学在解释微观粒子（如电子和光子）的行为时遇到困
难。
光电效应实验
02
海森堡矩阵力学中，物理量的测 量会导致态矢量的塌缩，从而改
变系统的状态。
海森堡矩阵力学与薛定谔波动力 学并列为量子力学的两大基础。
量子力学的公理化
量子力学的公理化表述是基于一些不 证自明的公理建立起来的理论体系。
公理化表述使得量子力学具有形式化 和严格化的特点，有助于深入理解和 应用量子力学。
量子力学的公理化表述包括态矢空间、 可观测物理量、演化算子等基本概念 和规则。
04 量子力学的应用
原子结构与性质
原子结构
量子力学能够描述原子的电子结 构，包括电子云分布、能级和跃 迁等，从而解释元素的化学性质 和光谱特征。
原子光谱
量子力学能够解释原子光谱的精 细结构和规律，如巴尔末公式、 里德伯公式等，为光谱分析和化 学分析提供了理论基础。
分子结构与性质
分子轨道理论
利用量子力学中的分子轨道理论，可 以描述分子的电子结构和化学键的本 质，解释分子的物理和化学性质。

量子力学基础教程陈鄂生


i (mk ) t
2
二、共振跃迁 末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk

Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2

z t ) cos t
2 z

sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m


wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i

t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n

曾谨言量子力学课后答案


2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3 u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=

量子力学作业习题

第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

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2
(20)
经测量之后，体系从初始状态 k 跃迁到 n
态，跃迁几率为 Pnk (t ) ，而单位时间内跃迁的几 率，即跃迁速率为
d d 2 nk Pnk (t ) Cnk (t ) dt dt
(21)
于是问题归结为在给定的初条件（1）下，即
Cnk (0) nk
(22)
时如何去求解Cnk (t ) 。 应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然是 指末态不同于初态的情况。但应注意，由于能级 往往有简并，所以量子跃迁并不意味着末态能量 一定与初态能量不同。弹性散射就是一个例子。
H E
(1)
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特 别注意，在大多数情况下，能级有简并，仅 根据能量本征值 并不能把相应的本征态完 E 全确定下来，而往往需要找出一组守恒量完 全集F（其中包括H），并要求 是它们的 共同本征态，从而把简并态完全标记清楚。 (b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学 的另一个基本假定是：体系状态随时间的演 化，遵守含时Schrodinger方程
在弹性散射过程中，粒子从初态（动量为 pi 的本征态）跃迁到末态（动量为 p f 的本征 态），状态改变了（动量方向），但能量并 未改变（ p f pi ）。 量子态随时间的演化，遵守 Schrodinger方程 i (t ) ( H 0 H ) (t ) (23) t 用式（19）代入，得 i C (t )eiEnt C (t )eiEnt H (24)
(29)
因此，在准到微扰一级近似下 1 t ik 'k t (0) (1) Ck 'k (t ) Ck 'k Ck 'k (t ) kk e H k 'k dt i 0 (30) 当k k （末态不同于初态）， 1 t ik 'k t Ck 'k (t ) e H k 'k dt (31) i 0 2 t i ' t 1 而 (32) Pk 'k (t ) 2 e k k H k 'k dt 0
即
cos L t (t ) i sin L t
(14)
解2 体系的能量本征态，即 x 的本征值和本 征态分别为 1 1 x 1, E E L , 2 1 (15) 1 1 x 1, E E L , 2 1 1 电子自旋初态为 (0) ，按式(7)和式 0 (5), ，t时刻自旋态为

n
nk
nnFra biblioteknkn
* k ，并积分，利用本征函数的 上式两边乘 正
交归一性，得
eiknt k H n C iCk k nk
n
(25)
(26) 其中 k n ( Ek En ) 方程(25)与(23)等价，只是表象不同而已[（25） Schrodinger H0 式即 表象的 方程]。求解(25)时， 要 用到初条件(22) 当然，对于一般的 H (t ) ，问题求解是困难 的。但如 H 很微弱（从经典力学来 H H 0 ）， 2 将随时间很缓慢地变 2 Cnk (t ) 1, (n k ) Cnk (t ) 化，体系仍有很大的概率停留在原来状态，
此即微扰论一级近似下的跃迁几率公式。此公式 成立的条件是 P ' (t ) 1, ( 对k k ) (33)
kk
即跃迁几率很小，体系有很大概率仍停留在初始 状态。因为，如不然，在求解一级近似解时，就 不能把Cnk (t ) 近似代之为 nk 。 由式（32）可以看出，跃迁几率与初态k 、 末态 k 以及微扰 H 的性质都有关。特别是，如 果 H 具有某种对称性，使 H k 'k 0 ，则 ， Pk 'k 0 即在一级微扰近似下，不能从初态 跃迁到末 态 ，或者从 态到 态的跃迁是禁戒的， k
加进来,则 P 0 ,粒子将保持在基态,即 10
不发生跃迁.与此相反,如 也保持在原来状态. 然加上(突发微扰),同样也有 P 0 ,粒子 10
0
即微扰突
11.1.3 量子跃迁理论与定态微扰论的关系 用不含时的微扰论来处理实际问题时，有 两种情况： (a) 纯粹是求能量本征值问题的一种技巧， H 即人为地把H分成两部分， H 0 H ,其中 H 0 的本征值问题已有解或较容易解出，然后逐级 把H 的影响考虑进去， 以求得H的更为精确的 解。例如粒子在势场 V ( x) 的极小点（势能谷） x0 附近的振动[ 为极小点， V ( x0 )]可表示 0 1 成 ( x )( x x ) 2 V ( x) V ( x ) V
n
H n En n
(6)
（n代表一组完备的量子数），把式(4)代入式 (3)，利用式(6) ，得 (7) iEnt (t ) ane n
n
特例:如果
(0) k
(8)
即初始时刻体系处于能量本征态 k ，相应 能量为 Ek , 按式 (5)， an nk 。此时 (t ) k eiEk t (9)
第十一章 量子跃迁
本章所讲的主要内容
量子态随时间的演化(11.1) 突发微扰与绝热微扰(11.2) 周期微扰，有限时间内的常微扰(11.3) 能量－时间不确定关系(11.4) 光的吸收与辐射的半经典理论(11.5)
11.1 量子态随时间的演化
量子力学中，关于量子态的问题，可 分为两类： (a) 体系的可能状态的问题，即力学量的本 征态和本征值的问题。量子力学的基本假定 是：力学量的观测值即与力学量相应的算符 的本征值。通过求解算符的本征方程可以求 出它们。特别重要的是Hamilton量（不显 含时间t）的本征值问题，可求解不含时 Schrodinger方程
在此情况下 ，可以用微扰逐级近似的方法，即 含时微扰论来求解。 零级近似，即忽略H 影响，按照式（25）， (0) Ck(0) (t ) 0 即 Ck k 常数（不依赖于t）。所以 k Ck(0) (t ) Ck(0) (0) Ck k (0) 。再利用初条件 k k （22），得 (0) (27) Ck k (t ) kk
即体系将保持在原来的能量本征态。这种量子态， 称为定态。 如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本 征态, 则以后也不处于该本征态，而是若干能量 本征态的叠加，如(7)式所示，式中 an ( n , (0)) 由初态 (0) 决定(见式（5））。
例 1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀
磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子 内禀磁矩与外磁场的作用为
(t ) U (t ) (0) e
iH t
(0)
(3)
是描述量子态随时间演化的算 符。如采取能量表象，把 (0) 表示成
U (t ) e
iHt
(0) an n
(4) (5)
n 是包括H在内的一组守恒量完全集的共同
本征态，即
an ( n , (0))
一级近似。按微扰论精神，在式（25）右边， (0) 令 ，由此得出一级近似 Cnk (t ) Cnk (t ) nk 解 i ' t (1) ' e k k H ' i C k k (28) kk
积分，得
C
(1) k 'k
1 t ik 'k t e H k 'k dt i 0
(18) 并非完全集F中所有的力学量都能保持为守 恒量，因而体系不能保持在原来的的本征 态，而将变成F的各个本征态的叠加，
H H 0 H (t )
(t ) Cnk (t )e
n
iEnt
n
(19)
按照波函数的几率解释，在时刻t去测量力 学量F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t ) Cnk (t )
k
k
k
例1 考虑一维谐振子，荷电 q 。设初始 (t ) 时刻处于基态 0 。设微扰 t 2 2 (35) H q xe
为参数。当 t 时， n 测得振子处于激发态 的振幅为 1 t 2 2 in 0t (1) Cn 0 () (q ) n x 0 e dt i
i (t ) H (t ) t
(2)
由于它是含时间的一次导数的方程，当体系 的初态 (0) 给定之后，原则上可以从方程求 解出以后任何时刻t的状态 (t ) 。 11.1.1 Hamilton量不含时的体系 如体系的Hamilton量不显含t (H t 0) 则体系能量为守恒量。此时， (t ) 的求解是 比较容易的。方程的解形式上可以表示成
2! 1 ( x0 )( x x0 )3 V 3!
0 0 0
(37)
对于小振动，保留 ( x x0 ) 项就是好的近似。 此时粒子可近似视为做简谐振动。但对于振幅 较大（能量较高）的振动，则需要考虑非简谐 3 ( x x0 ) 。我们不妨把它们视为微 ,... 项 扰，用定态微扰论来处理。 (b) 真正加上了某种外界的微扰。例如， H Stark效应，Zeeman效应等。在此过程中， 实际上是随时间t而变化的。但是人们通常仍 用不含时的微扰动论来处理。其理由如下 设 t ( t 0) (38) H (t ) H e
两式相加，减，得
d d (a b) i L (a b), (a b) i L (a b) dt dt
所以
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
两式相加，减，得
iL t
i L t
a(t ) cos Lt , b(t ) i sin Lt