第十一章 含时微扰与量子跃迁

第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。

量子跃迁中的选择定则张扬威（华中师范大学物理学院2008级基地班，武汉，430079）摘 要 本文根据量子跃迁过程中遵从的角动量守恒和宇称守恒运用量子化概念，推导出电偶极近似条件下，在不同的外场中单电子原子以及多电子原子 辐射跃迁时的选择定则，并结合具体实例，说明这些规律的实质。

关键词 辐射跃迁 选择定则 角动量守恒 宇称守恒 原子态 电偶极近似 1 、 引言推微观粒子在不同的量子化状态间变化，称为跃迁。

跃迁有很多种，不同跃迁遵从不同的跃迁选择定则。

原子辐射跃迁的选择定则是原子能级之间发生跃迁所满足的条件，它对于研究光的吸收和发射具有很重要的意义。

由于电偶极矩跃迁强度比其它形式的跃迁强度大很多（倍），原子的辐射跃迁选择定则是指电偶极辐射跃迁选择定则。

它是从大量光谱的观察分析和研究中总结出来的，本文则运用量子力学的理论对它进行推导研究。

510~1082、 入射光为单色偏振光引入周期性微扰下的跃迁概率的基本知识：设微扰Hamilton 算符为（式中为与无关的厄米算符）'0(0)A cos ()(0)i t i t H t t F e e t ωωω∧∧∧−=<=+≥或 （1）体系在处于'0t =(0)n ϕ态， 跃迁到态的概率为't =t (0)m ϕ22(0)(0)2()()n m m mn m n W a t F E E πδω→==−±h h（2） 若该单色偏振光是沿x 轴 方向传播，偏振方向沿z 轴，在电偶极近似条件下，它的电场为0cos z t εεω= 0x ε= 0y ε= （3）电子的电偶极矩为 D er ex =−=−r（4）微扰作用势为 '00cos ()2i t i tz ez H D ez ez t e e ωωεεεεω∧−=−===+r uv （5） 对比（1）式可得 02ez F ε∧=（6） 带入（2）式可得 222(0)(0)0()2n m mn m n e W z E E πεδω→=−h h±（7）由（7）式可以得出，原子能否由n 态跃迁到m 态，决定于电子位矢的z 分量在这两个态之间的矩阵元mn z 是否为零。

第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

教学大纲（教学计划）掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。

第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒二象性；第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，概率通量矢，反射份额，透射份额，完全透射。

第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，概率幅。

力学量完全集（包括H ˆ的，即为运动常数的完全集）。

共同本征态lm Y 的性质（lm m *lm Y )1(Y −=，宇称l)1(−）。

力学量平均值随时间变化，运动常数，维力定律。

第五章：变量可分离型的三维定态问题有心势下，dinger oSch &&equation 解在 0r → 的渐近行为。

氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。

三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。

Hellmann-Feynman Theorem 。

电磁场下的n Hamiltonia ，规范不变性，概率通量矢。

正常塞曼效应及引起的原因。

均匀磁场下的带电粒子的能量本征值磁通量量子化的现象。

第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。

表象变换。

dinger o Sch && Picture 和 Heisenberg Picture第七章：量子力学的算符代数方法-因子化方法哈密顿量的本征值和本征矢；因子化方法的一些例子；形状不变伴势和谱的对称性第八章：自旋自旋引入的实验证据。

电子自旋算符，本征值及表示。

泡利算符性质，泡利矩阵。

自旋存在下的波函数和算符的表示。

)j ,j ,l ˆ(r 2的共同本征态的矩阵形式。

含时微扰理论含时微扰理论是量子力学中的重要概念，用于描述系统在外部扰动下的演化过程。

它是对系统的哈密顿量进行微小、有限时间的扰动，从而得到系统的演化方程和一系列重要的物理量。

本文将介绍含时微扰理论的基本原理、应用以及与其相关的一些重要概念。

一、基本原理含时微扰理论是建立在微扰理论的基础上的，而微扰理论是量子力学的重要工具，用于处理系统的哈密顿量具有小扰动的情况。

在含时微扰理论中，我们考虑系统在某个初始态下，受到一个含时外场的作用，即哈密顿量在时间上发生了变化。

我们通过对系统的哈密顿量进行展开，得到系统的演化方程，并计算一系列物理量的期望值。

二、含时微扰理论的应用含时微扰理论在理论物理研究中有广泛的应用。

其一，在量子力学中，它可以用来描述原子和分子在弱外场下的响应行为，比如激光的原子吸收和辐射等。

其二，在凝聚态物理中，含时微扰理论可以用来描述晶体中电子的运动和输运行为。

其三，在核物理中，它可以用来研究核反应和衰变等过程。

除了这些应用，含时微扰理论还被广泛应用于量子信息、量子计算和量子光学等领域。

三、相关概念在含时微扰理论中，有一些重要的概念需要了解。

首先是微扰项的选择，通常我们选择比较简单的形式，比如线性扰动或二次扰动。

其次是系统的响应函数，它描述了系统在外场作用下的响应情况。

响应函数的计算可以借助于微扰展开，通过对微扰项的逐级递推计算，得到系统的响应。

最后是含时微扰理论的有效性和局限性，对于强场或长时间的扰动，微扰理论可能不再适用，此时需要考虑更加复杂的方法。

综上所述，含时微扰理论是量子力学中的重要概念，能够描述系统在外部扰动下的演化过程。

它有着广泛的应用领域，可以用于研究原子、分子、凝聚态物理和核物理等。

在应用含时微扰理论时，我们需要选择适当的微扰项、计算系统的响应函数，并注意其有效性和局限性。

通过对含时微扰理论的研究，我们可以更好地理解量子系统的演化行为，推动理论物理的发展。

量子跃迁理论与不含时微扰论的关系量子跃迁是指量子系统中电子在两个能级之间的转化，这个转化是突然的，而非连续的。

而在量子力学中，不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。

虽然这两种概念在本质上不同，但它们之间有着紧密的联系。

本文将深入探讨量子跃迁理论与不含时微扰论的关系。

1. 量子跃迁理论的基本概念在量子力学中，系统的态可以用波函数来表示。

而该波函数是由薛定谔方程决定的。

假设该系统处于一个由波函数Ψ1表示的状态，而它可以发生跃迁到一个由波函数Ψ2表示的状态。

在该系统内部，发生了一个量子跃迁。

在量子力学中，系统中某个粒子的能量可以用哈密顿量来表示。

系统从状态Ψ1到Ψ2的跃迁，需要发生能量的转化。

这种能量的转化可以使用斯托克斯定理和费马黄金定律来计算。

这表明跃迁的能够与所处的能态有关系，因此，量子力学将其称为量子跃迁。

在某些情况下，一个电子可以通过受激辐射来发生跃迁。

这种现象叫做激光诱导量子跃迁，即通过垂直于电子发射方向的激光，使电子发生跃迁。

量子跃迁还可以分为有辐射跃迁和无辐射跃迁。

辐射跃迁是指在电子跃迁过程中，它向外部辐射光子并传播的现象。

而无辐射跃迁则是电子在出射态和入射态之间跃迁的过程，没有任何辐射产生。

2. 不含时微扰论的基本概念在量子力学中，我们往往需要计算出一些物理量的期望值 即平均值）。

不含时微扰论是一种广泛应用于计算量子系统中电子能量和态的方法。

它的主要思想是，在薛定谔方程的哈密顿量中添加一个微弱的扰动，然后在该体系中求解电子的波函数和能级。

具体来说，假设系统的哈密顿量为H0，并向其添加一个微弱的扰动H1。

则新的哈密顿量为：H=H0 + λH1其中，λ是微弱扰动的系数。

我们可以把H视为一个完整的哈密顿算符，并计算出其对应的本征值和本征函数。

然后，我们将结果展开成幂级数，来近似计算电子的波函数和能级。

这一过程将导致所谓的级数散度，也就是说，随着级数的增加，计算误差将会不断增加。

第四篇 跃迁问题和散射问题量子跃迁 ~ 初态 −→−'H末态：几率？弹性散射 ~ 初态 −−→−)(r U 末态：散射截面（几率）？第十一章 量子跃迁量子态的两类问题：① 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。

② 体系状态随时间演化问题ψψH ti =∂∂。

11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().()(),()(0)0()0()0(00=∂∂='+=tH r E r H t H H t H n nnψψ → 定态波函数 ,......2,1,)(),()0()0()0(==-n e r t r t E in nn ψψ。

将)(t H ' 作微扰，t =0时加入。

本节讨论在)(t H '作用下，由初态)0(k ψ−→−'H末态)0(m ψ的几率?=→m k W一、体系由)0(k ψ→)0(m ψ的几率将),(t r ψ按}{)0(n ψ展开：)()(),()0(r t C t r n nn ψψ∑=。

由0H 的定态波函数知，0H 引起的变化由tE i n e )0(-反映，故可令t E i n n n et a t C )0()()(-=，)(t H '引起的变化由)}({t a n 反映。

),()()()(),()0()0()0(t r t a r e t a t r n nn n t E in n nψψψ∑∑==→-。

)(~)(2t a t a W m m m k =∴→称为几率幅。

二、)(t a n 的运动方程利用含时S-方程，有∑∑∑∑'+=∂∂+nnn n n n n n n n n n t r H t a t r H t a t r t t a i dt t da t r i ),()(),()(),()()(),()0()0(0)0()0(ψψψψ 由 ∑∑'=→=∂∂nn n n n n n n t r H t a dt t da t r i t r H t r t i ),()()(),(),(),()0()0()0(0)0(ψψψψ用),()*0(t r m ψ左乘，并积分得∑'=nt i mnn m mn e H t a dt t da i ω)()(， 式中 )(1,)()()0()0()0()*0(n m mn n m mnE E d r H r H -='='⎰ωτψψ~玻尔频率。

渤海大学本科毕业论文（设计）含时微扰理论及其应用Time-dependent perturbation theory and its application学院（系）：数理学院物理系专业：物理学（师范）学号：10030009学生姓名：庞涛入学年度：2010指导教师：韩萍完成日期：2014 年5 月5 日渤海大学Bohai University摘要在量子力学中，精确求解薛定谔方程是很困难的，一般只能求近似解，应用微扰理论可以求得近似解。

学好微扰理论在以后的学习中具有很大帮助。

微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。

在量子力学中，含时微扰理论研究的是一个量子系统的含时微扰所产生的效应.该理论是由英国物理学家狄拉克首先提出和发展建立起来的。

应用含时微扰理论可以近似的计算出有微扰时的波函数，从而计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。

含时微扰包括常微扰和周期微扰，在这两种微扰作用下，得到的结果是不同的，我们分析计算了在常微扰和周期微扰两种微扰作用下的跃迁概率，得到了一些结论。

在常微扰作用下时，我们得到了一个重要公式，该公式被称为费米黄金定则。

常微扰是只在一段时间内起作用，时间足够长的话，则跃迁概率与时间无关；而通过计算无微扰体系在周期微扰作用下的跃迁概率，得出的结论是周时，期微扰的频率只有在一定范围内，才会发生跃迁。

只有当外界微扰含有频率mk才会出现明显跃迁。

此外，我们还讨论了光的发射和吸收，给出了偶极跃迁的选择定则。

最后对激光的产生和激光的应用进行了介绍。

关键词：选择定则；含时微扰；跃迁概率；黄金规则Time-dependent perturbation theory and its applicationAbstractIn quantum mechanics, the exact solution of Schrodinger equation is very difficult, generally only approximate solutions, using the perturbation theory can be obtained the approximate solution. To learn a great help to the perturbation theory of learning in the future. Perturbation theory is divided into two categories, not the time-dependent perturbation theory and time-dependent perturbation theory.In quantum mechanics, the time-dependent theory of perturbation is the effect of a quantum system with time-dependent perturbation generated. This theory was first proposed and developed by the British physicist Dirac. Calculated using time-dependent perturbation theory can be approximated by a wave function perturbation, thus calculated without perturbation system under the perturbation induced by a quantum state transition to the transition probability of another quantum state. The time-dependent perturbation included regular perturbation and periodic perturbation, in which two kinds of perturbations, the result is different, analysis of transition probability in constant perturbation and periodic perturbation two perturbation effect was obtained by us, some conclusions were obtained. In the constant under perturbations, we obtain a formula, the formula is called the Fermi golden rule. The perturbation is often work only in a period of time, time is long enough, the transition probability is independent of time; and through the calculation of transition probability without perturbation system in the period under perturbations, it was concluded that the periodic perturbation frequency only in a certain range, the transition will occur. Only when the external perturbation with frequency, will appear obvious transition. In addition, we also discuss the emission and absorption of light, gives the dipole transition selection rule. Application of laser and laser produced finally is introduced in this paper.Key Words：Selection rule；time-dependent perturbation；transition probability；The golden rule目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 含时微扰理论的概述 (2)1.1 含时微扰理论下的薛定谔方程 (2)1.2 跃迁概率 (3)2 常微扰和周期微扰 (5)2.1 跃迁概率和费米黄金定则 (5)2.2 周期微扰 (7)3 含时微扰理论的应用 (10)3.1 光的发射和吸收 (10)3.1.1 爱因斯坦的发射和吸收系数 (10)3.1.2 用微扰理论计算发射和吸收系数 (11)3.2 选择定则 (14)3.3 典例分析 (16)4 激光简介 (18)4.1 激光的产生 (18)4.2 激光的应用 (19)结论 (21)参考文献 (22)引言在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以准确求解的问题是很少的，一般只能求近似解。