量子力学(第十一章)

目录第一章量子力学的起源——量子力学的产生背景 (1)1．1经典物理学的辉煌 11．1．1经典力学 (1)1．1．2热学 (1)1．1．3电磁场理论 (2)1．2 辐射的粒子性 31．3 玻尔的原子模型 101．4 粒子的波动性 15第二章量子力学的基本观念——量子力学的哲学 (25)2．1双缝干涉实验 252．2微观粒子双缝干涉实验的分析 302．3量子力学的基本观念 342．4关于测不准原理 372．5结语 46第三章量子力学的基本原理——量子力学的诸定律 (49)3．1量子力学的立论方式 493．2波函数 503．3波函数的演化 553．3．1物质波 (56)3．3．2薛定谔方程的引入 (58)3．3．3关于薛定谔方程的讨论 (62)3．4动量的测量 653．5物理量用算符表示 683．6物理量测量的可能值 813．7小结——波动力学的基本原理 88第四章简单量子体系——能量本征值问题 (93)4．1 关于薛定谔方程的求解 934．2 一维无限深势阱——束缚态之一 964．3 一维简谐振子——束缚态之二 984．4 一维本征值问题的一般讨论 1054．5*其它势场的本征值问题 1144．6 散射态 1214．7 三维简单势场问题 1344．8 周期性边界条件 136第五章角动量——角动量本征值问题 (143)5．1 算符的对易关系 1435．2 角动量算符 1545．3 角动量的本征值问题 156第六章中心势场中的粒子——三维中心势场的能量本征值问题 (175)6．1中心势场的能量本征值问题 1756．2三维自由粒子 1796．3三维方势阱 1816．4氢原子 184第七章电磁场中的带电粒子——电磁场中的能量本征值问题 (197)7．1 分析力学回顾 1977．2与经典力学的相似性 2017．2．1 Ehrenfest定理 (201)7．2．2两种力学的相似性 (202)7．2．3量子化方法 (204)7．3电磁场中的Hamilton算符 2057．4均匀磁场中的带电粒子 2087．5均匀电场中的带电粒子 2147．6规范不变性 2167．6．1规范变换下波函数的改变 (216)7．6．2 Aharanov-Bohm效应 (217)第八章自旋角动量——粒子的内禀性质 (223)8．1角动量的实验测量 2238．2粒子的自旋 2278．2．1角动量本征值问题的一般解 (227)8．2．2自旋 (233)8．2．3自旋的矩阵表示 (234)8．2．4自旋1/2 (239)8．2．5实验的量子理论解释 (243)第九章近似方法I——定态S方程的近似解 (245)chrodinger9．1 问题概述 2459．2非简并能级的微扰理论 2459．3简并情况下的定态微扰论2499．4 变分方法 253第十章近似方法II——含时S方程的近似解 (259)chrodinger10．1含时微扰问题 25910．2含时微扰理论 26010．3常微扰 26310．3．1跃迁概率 (263)10．3．2黄金规则 (266)10．4周期微扰 26810．5原子与辐射的相互作用 27210．6电偶极跃迁的选择定则 281第十一章（定态）散射理论——三维非束缚态问题 (287)11．1问题概述 28711．2散射截面 28811．3散射振幅 29311．3．1处理散射的定态方法 (294)11．3．2散射截面的计算 (295)11．4玻恩近似 29611．5分波法 303第十二章多粒子体系——一个说不完的话题 (309)12．1量子多粒子体系 30912．2 二体问题 31112．3无相互作用多粒子体系 31312．4 全同多粒子体系 31612．5 例——两个电子的原子 32712．6 多电子原子（in preparation）12．7 分子（in preparation）12．8 原子核体系（in preparation）附录A 耦合质点组的振动 (331)A．1两个质点的耦合质点组的振动 331NA．2个质点的耦合质点组的振动 337A．3连续型耦合质点组的振动与Fourier级数 342A．4无界连续型耦合质点组的振动与Fourier积分 348A．5简正模与简谐波 351附录B 波包 (353)B．1色散关系和群速 353B．2波包的运动 357索引 (369)。

第七章 粒子在电磁场中的运动7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B 中运动，求能级本征值和本征。

（参《导论》225P ）解：以电场方向为x 轴，磁场方向为z 轴，则()0,0,εε=， ()B ,0,0= （1）去电磁场的标势和矢势为x εφ-=， ()0,,0Bx = （2）满足关系φε-∇=， ⨯∇=粒子的Hamiton 量为 x q p x C qB p p u H z y x ε-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22221 （3） 取守恒量完全集为()z y p p H ,,，它们的共同本征函数可写成()()()z p y p i z y ex z y x +=ψψ,, （4）其中y P 和z P 为本征值，可取任意函数。

()z y x ,,ψ满足能量本证方程： ()()z y x E z y x H ,,,,ψψ=因此()x ψ满足方程()()()x E x x q x p x C qB p p u z y x ψψεψ=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+22221 （5） 亦即，对于()x ψ来说，H 和F 式等价：()2222222222122z y y p p u x p uC qB q x uC B q x u H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∂∂-⇒ε ()()22202222022222221222z y p p u x uCB q x x uC B q x u ++--+∂∂-= （6） 其中 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=u p B C qB uC p uC qB q B q uC x y y εε2220 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符()uCB q x x u x u =-+∂∂-ωω ,212202222 再加上两项函数，因此本题能级为()222022221221z y p p u x uC B q n E ++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ω222221221z y p u p B C B u C uC q B n +--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=εε （8） 其中y P 和z P 为任意实数， ,2,1,0=n式（4）中 为以()x ψ为()0x x -变量的一维谐振子能量本征函数，即()()()202ξξψψ-=-=e H x x x n n （9）()ξn H 为厄密多项式，()()00x x C B q x x u -=-=ωξ 。

第四篇 跃迁问题和散射问题量子跃迁 ~ 初态 −→−'H末态：几率？弹性散射 ~ 初态 −−→−)(r U 末态：散射截面（几率）？第十一章 量子跃迁量子态的两类问题：① 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。

② 体系状态随时间演化问题ψψH ti =∂∂。

11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().()(),()(0)0()0()0(00=∂∂='+=tH r E r H t H H t H n nnψψ → 定态波函数 ,......2,1,)(),()0()0()0(==-n e r t r t E in nn ψψ。

将)(t H ' 作微扰，t =0时加入。

本节讨论在)(t H '作用下，由初态)0(k ψ−→−'H末态)0(m ψ的几率?=→m k W一、体系由)0(k ψ→)0(m ψ的几率将),(t r ψ按}{)0(n ψ展开：)()(),()0(r t C t r n nn ψψ∑=。

由0H 的定态波函数知，0H 引起的变化由tE i n e )0(-反映，故可令t E i n n n et a t C )0()()(-=，)(t H '引起的变化由)}({t a n 反映。

),()()()(),()0()0()0(t r t a r e t a t r n nn n t E in n nψψψ∑∑==→-。

)(~)(2t a t a W m m m k =∴→称为几率幅。

二、)(t a n 的运动方程利用含时S-方程，有∑∑∑∑'+=∂∂+nnn n n n n n n n n n t r H t a t r H t a t r t t a i dt t da t r i ),()(),()(),()()(),()0()0(0)0()0(ψψψψ 由 ∑∑'=→=∂∂nn n n n n n n t r H t a dt t da t r i t r H t r t i ),()()(),(),(),()0()0()0(0)0(ψψψψ用),()*0(t r m ψ左乘，并积分得∑'=nt i mnn m mn e H t a dt t da i ω)()(， 式中 )(1,)()()0()0()0()*0(n m mn n m mnE E d r H r H -='='⎰ωτψψ~玻尔频率。

第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。