信号检测与估计课后习题

1． 令观测样本由1(,....)i ix s w i n =+=给出，其中{}i w 是一高斯白噪声，其均值为零，方差为1。

假定s的先验概率密度为22())s f a a =-试用平方和均匀代价函数分别求s 的贝叶斯估计。

解：2()(|))2i i x s p x s -=-，1,...,i n =222111()()1(|)(|))()exp()222n n n ni ii i i i x s x s p s p x s π===--==-=-∑∏x且12221()()exp(2)2p s s s π=-=-（1） 采用平方代价函数，相应贝叶斯估计为最小均方误差估计mse s[|](|)mse sE s sp s ds +∞-∞==⎰x x21222121221222112221112()(|)()111(|)()exp()()exp(2)()()222()11()exp(2)()22(2)11()exp()()22(1)211()exp()exp(()22n ni i n ni i nn ii i nn i i i i x s p s p s p s s p p x s s p xx s s s p x n s x s p πππππ=+=+=+==-==---=---++=-+-=--∑∑∑∑x x x x x x x 221112222211112)2(1)(2)111()exp()exp()()222()(())1111()exp()exp()1()222(1)nnnin ii i nnni i n ii i i x xn s s n p x x x s n n p n ππ+==+===+-+=----++--+∑∑∑∑∑∑x x 分析(|)p s x ，发现其为高斯型的；而mse s为其条件均值，因此可以直接得到 1()1ni mse i x s n ==+∑ （2） 采用均方代价函数，相应贝叶斯估计为最大后验估计map sln((|))|0map p s s ss∂==∂x ，也即满足 ln((|))ln(())[]|0map p s p s ss s∂∂+==∂∂x x 故有1()0nmapmap ii x ss=--=∑ 所以111n map i i s x n ==+∑2． 设观测到的信号为x n =θ+其中n 是方差为2n σ、均值为零的高斯白噪声。

《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。

解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。

考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。

对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。

()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。

要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X xF x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

一、概念：1. 匹配滤波器。

概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。

应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。

在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。

2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。

该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。

A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。

Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。

W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。

他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。

对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。

下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。

首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。

假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。

到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。

我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。

《信号检测与估计》第十二章习题解答12.1 采用下式给出的有偏自相关函数的定义，并加窗，得到BT 谱估计器：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−=−+=+=∑∗1,,2,11ˆ1,,1,01ˆL L N N m m R N m m n x n x N m R X X ()⎪⎩⎪⎨⎧−≤=其它011N m m W N()()()()∑−−−=−⋅⋅=11e ˆˆN N m m j X N X m R m W G ωω证明该BT 估计器与周期图相同。

解：()()()()()()()()()()()()()()()()()211111111e 1e e 1e e 1e 1e ˆˆωωωωωωωωj N N m n m j nj N N m nj n m j N N m m j N N N m m j X N XX N m n x n x N m n x n x N m n x n x N m W m R m W G =⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=⋅⋅=∑∑∑∑∑∑∑−−−=+−−∗−−−=−+−∗−−−=−∗−−−=− 12.2 设自相关函数()3,2,1,0,==m m R m X ρ。

试用Levinson-Durbin 递推法求解AR （3）模型参量。

解： ()()ρ−=−=0111X X R R a 110=a()()221121101ρσ−=⋅−=X R a ()()012211122=+−=σX X R a R a ρ−=⋅+=11221121a a a a ()2212222211ρσσ−=⋅−=a因此模型为一阶 ()()[]()012322222133=⋅+−=σX X X R a R a R a021332232=⋅+=a a a aρ−=⋅+=22332131a a a a()2222332311ρσσ−=⋅−=a 所以模型为()()()n w n x n x +−=1ρ12.3 设5=N 的数据记录为：10=x ，21=x ,32=x ,43=x ,54=x ，AR 模型的阶数3=p 试用Levinson-Durbin 递推法求模型参量。

时间：6月16日（星期一）晚上6：30－8：30 地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。

请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，K －L 展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。

1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为σ＝2v ，代价为f c ＝2，m c ＝1。

信号存在的先验概率P ＝0.2。

试确定贝叶斯意义下最佳门限β，并计算出相应的平均风险。

解：根据式（1-15），可以算出00.8280.21f mQc Pc ⨯Λ===⨯ 而判决门限2201ln 0.52ln88.822βσ=+Λ=+= 根据式（1-21）可知平均风险1010Pr 0.2r 0.8R Qr r =+=+01100.2(|)0.8(|)m f c P D H c P D H =+ 而011(|)(|)D P D H p x H dx =⎰1100(|)(|)D P D H p x Hdx =⎰而212(1)(|)]2x p x H σ-=-202(|)]2x p x H σ=-所以20112(1)(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ-==-⎰⎰22(1)]2x dx βσ-=-⎰＝17.82()()(3.91)22β-Φ=Φ=Φ 同理1121002(|)(|)]2D D x P D H p x H dx dx σ==-⎰⎰22)2x dx βσ∞=- 8.821()1()1(4.41)22β=-Φ=-Φ=-Φ 所以0.21(3.91)0.82[1(4.41)]R =⨯⨯Φ+⨯⨯-Φ 1．2 (关瑞东 20060155)假定加性噪声()n t 服从均值为零，方差为的正态分布。

此时，两个假设为01:()():()1()H x t n t H x t n t ==+我们根据()x t 的两次独立测量值12,x x 作判断，则12,x x 是统计独立的，在假设1H 下其均值为1a =1，在假设0H 下均值为0a =0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为22/221()(|)(2)exp()2nn i k k i x a p x H πσσ-=-=-∑ (0,1;2)k n == 于是，似然比等于22011012210()(|)()exp[](|)2n ii a a n a a p x H x x p x H σσ=--Λ==-∑如果0()x Λ≥Λ，则选择假设1H ，否则选择假设0H 。

三、（15分）在二元信号的检测中，若两个假设下的观测信号分别为：0122112::H x r H x r r ==+其中，和是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为1。

若似然比检测门限为1r 2r ，求贝叶斯判决表示式。

η解 假设下，观测信号的概率密度函数为0H x 1/2201(|)exp 22x p x H π⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭假设下，，而，且相互统计独立。

大家知1H 2212x r r =+12(0,1),(0,1)r N r N ::道，若，且之间相互统计独立，则(0,1)k r N :(1,2,,)k r k N =L 21Nk k x x ==∑是具有个自由度的分布。

现在，所以假设下，观测信号的概率密度函数N 2χ2N =1H x 为22/2112/221(|)exp()2(2/2)21exp(),022x p x H x x x -=-Γ=-≥当时，。

0x <1(|)0p x H =于是，似然比函数为1/2210exp ,0(|)()222(|)0,0x x x p x H x p x H x πλ⎧⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪ ⎪==⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩当似然比检测门限为时，判决表达式为η11/220exp ,0222,0H H x x x H x πη⎧⎛⎫>⎛⎫⎪-≥⎪ ⎪ ⎪<⎝⎭⎨⎝⎭⎪⎪<⎩成立对的情况，化简整理得判决表达式为0x ≥11/2222ln H H x x ηπ⎡⎤>⎛⎫-⎢⎥⎪<⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、（15分）已知被估计参量的后验概率密度函数为θ2(|)()exp[()],0p x x x θλθλθθ=+-+≥（1）求的最小均方误差估计量 。

θ^mse θ（2）求 的最大后验估计量 。

θ^map θ 解 （1）参量的最小均方误差估计量是的条件均值，即θ^mse θθ^0220221(|)()[()]1()()2,mse p x d x exp x d x x x x θθθθλθλθθλλλλ∞∞+==+-+=++=≥-+⎰⎰^0,mse x θλ=<-（2）由最大后验方程^ln (|)|0map p x θθθθ=∂=∂得^2[ln()ln ()]1()|0mapx x x θθλθλθθλθ=∂++-+∂=-+=解得^^1,0,map map x x x θλλθλ=≥-+=<-七、（15分）若对未知参量进行了六次测量，测量方程和结果如下：θ182222202384404384n θ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设初始估计值和估计量的均方误差分别为：^2000,θε==∞试用递推估计求的线性最小二乘估计量和估计量的均方误差θ^^1def s k θθ=；并将最终结果与非递推估计的结果进行比较。

《信号检测与估计》第七章习题解答7.1 在二元数字通信系统中，两个假设下的观测波形()t x 分别为L ,2,1,1:1=+=i n x H i iL ,2,1,:0==i n x H i i式中，i n 是均值为零、方差为1的高斯白噪声，要求虚警概率410−=α，漏报概率110−=β，且()()5.010==H P H P 。

求：（1）序贯似然比检测的判决门限及判决规则。

（2）序贯似然比检测的平均观测取样数。

（3）若采用常规的固定样本数的似然比检测，求满足检测性能所要求的取样数。

解：（1）单次观测所得随机变量x 的似然函数为2)1(1221)|(−−=x e H x f π 20221)|(x e H x f −=π得到似然必为2101)()()(−==x e H x f H x f x l对应的对数似然比为21ln )(ln 21−==−x e x l x 假定顺序得到取样，则第N 步的对数似然比为 22121ln )](ln[122)1(1212N x e e l N i i x N x N N N i i N i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=∑−∑−−==ππx 两个检测门限值分别为303.21ln ln 0−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 105.91ln ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=αβl 序贯似然比检测的判决规则如下303.221−≤−∑=N xN i i 0H 假设为真 105.921≥−∑=N xN i i1H 假设为真105.92303.21<−<−∑=N x N i i 增加一次观测转入下一检测阶段 []21211]|)21[(|)(ln 11=−=−=H x E H x l E []21210]|)21[(|)(ln 00−=−=−=H x E H x l E （2）将各参数的取值分别代入1H 假设为真时的平均取样数和0H 假设为真时的平均取样数公式得[]93.15|)(ln ln ln )1(]|[1011=+−=H x l E l l H N E ββ []60.4|)(ln ln )1(ln ]|[0010=−+=H x l E l l H N E αα总的平均取样数为265.10]|[)(]|[)(][1100=+=H N E H P H N E H P N E因此取样数为11就可以达到预期的检测性能。

信号检测与估计理论第一章习题讲解1-9已知随机变量某的分布函数为0F某(某)k某21,某0,0某1,某1求：①系数k；②某落在区间(0.3,0.7)内的概率；③随机变量某的概率密度。

解：第①问利用F某(某)右连续的性质k＝1第②问P0.3某0.7PF0.7F00.某3.3某.70.7P0dF某(某)2某第③问f某(某)d某00某1ele1-10已知随机变量某的概率密度为f某(某)ke普拉斯分布），求：某(某)（拉①系数k②某落在区间(0,1)内的概率③随机变量某的分布函数解：第①问f某某1d某11k2F2某F1某某1第②问P某2某某2f某d某随机变量某落在区间(某1,某2]的概率P{某1某某2}就是曲线yf某下的曲边梯形的面积。

P0某1P0某1f某d某0111e12第③问1某e2f某1e某2某0某0F某某f(某)d某1某某0e21某某01e2某0某1某ed某201e某d某某1e某d某022某01-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？(0-1)分布n,p0,np=二项分布泊松分布n成立,p，q0不成立高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率P(k2)1Pk0Pk10.1P(k2)11.1e答案P某k＝n=1实际计算中，只需满足n10kek!p0.1，二项分布就趋近于泊松分布＝np1-12已知随机变量(某,Y)的概率密度为(3某4y)kef某Y(某,y)0,某0,y0,其它求：①系数k？②(某,Y)的分布函数？③P{0某1,0某2}？第③问方法一：联合分布函数F某Y(某,y)性质：若任意四个实数a,a,b,b，满足1212a1a2,b1b2，则P{a1某a2,b1Yb2}F某Y(a2,b2)F某Y(a1,b1)F某Y(a1,b2)F某Y(a2,b1)P{0某1,0Y2}F某Y(1,2)F某Y(0,0)F某Y(1,0)F某Y(0,2)方法二：利用P{(某,y)D}f某Yu,vdudvD20P{0某1,0Y2}0f某Y某,yd某dy11-13已知随机变量(某,Y)的概率密度为1,0某1,y某f(某,y)0,其它①求条件概率密度f某(某|y)和fY(y|某)？②判断某和Y是否独立？给出理由。

《信号检测与估计》第九章习题解答9.1 接收信号(((t n t A t x ++=θω0sin ,其中(t n 是高斯白噪声,θ在(π20,均匀分布,现在需求振幅A 的最大似然估计量。

由于θ的先验知识已知,故可先对θ求平均得到(A x f ,试问要求振幅A 的最大似然估计量必须解什么样的方程? 解:接收信号(t x 的似然函数为((([]((((((((⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−−+++−−+−−∫∫∫∫∫===T TT TTdt t A dt t t x A dt t x N dtt A t t Ax t xN dtt A t x N FeFeFeA x f 0002200200022020200sin sin 21sin sin 21sin 1,θωθωθωθωθωθ由于(((∫=+−=∫+TTT dt t dt t 0000222cos 121sin θωθω,得到 ((((020000202sin 21,N TA dt t t x N A dtt x N e eFeA x f T T−+−∫∫=θωθ对θ积分,得到(((((((((θπθπθθθπθωθωπθωπd eeFed e e Fed f A x f A x f dt t t t x N A N T A dt t x N dt t t x N A N T A dt t x N T TTT∫∫∫∫∫∫∫+−−+−−===20cos cos sin sin 22120sin 221 2000000202000020202121,令(ϕωcos cos 00z dt t t x x Tc ==∫,(ϕωsin sin 00z dt t t x x T s ==∫,得到222s cx x z +=,csx x arctg =ϕ (((((⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====∫∫∫∫∫−+++0020cos 220cos cos sin sin 220cos sin 220 cos cos sin sin 22212121210 000N Az I d ed ed e d eN Azz z N Ax x N Adt t t t x N A c s Tθπθπθπθππϕθπθϕθϕπθθπθωθω 上式中,[](cos exp 21020x I d x =∫πθθπ为零阶修正贝塞尔函数。

《信号检测与估计》第五章习题解答5.1 考虑检测问题：()()()T t t n t B t x H ≤≤++=0cos 20φω：()()()T t t n t B t A t x H ≤≤+++=0cos cos 211φωω：其中A 、B 、1ω和2ω为已知常数。

()t n 是高斯白噪声，φ在()π20，上服从均匀分布。

（a ）求判决公式及最佳接收机结构形式。

（b ）如果0sin cos cos cos 021021==∫∫T T tdt t tdt t ωωωω，证明最佳接收机可用()∫Tdt t t x 01cos ω作为检测统计量并对此加以讨论。

解：设()t n 为均值为零、功率谱密度为2/0N 的高斯白噪声，可得()()()()∫+−−=T dt t B t x N FeH x f 0220cos 10,φωφ ()()()()∫+−−−=T dt t B t A t x N FeH x f 02210cos cos 11,φωωφ得到()()()()()()()()dt t t N AB dt t N A dt t t x N A dt t B t A t x t N A T T T T ee e e H xf H x f x l φωωωωφωωωφφφ+−+−−−∫∫∫∫===20100120201021010cos cos 2cos cos 2cos 2cos 2cos 01,, 由于φ在()π20，上服从均匀分布，得到()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他02021πφπφf()()()()()φπφφφπφωωωωπd e e e d f x l x l dt t t N AB dt t N A dt t t x N A T T T ∫∫+−∫∫∫==20cos cos 2cos cos 22020100120201021根据Bayes 准则可得()010l x l H H >< ()()020cos cos 2cos cos 21020100120201021l d e e e H H dt t t N AB dt t N A dt t t x N A T T T ><+−∫∫∫∫φππφωωωω ()()dt t t x N A l d e dt t N A T H H dt t t N AB T T ∫−+∫><+∫∫010020cos cos 201202cos 22ln ln cos 102010ωπφωπφωω ()()dt t t x l A N d e A N dt t A T H H dt t t N AB T T ∫−+∫><+∫∫010020cos cos 20012cos 2ln 2ln 2cos 2102010ωπφωπφωω 5.2 假定上题中i A 的概率密度函数是()()()2022201A A i i i i e A A p A p A f −+−=δ求似然比及其在0A 趋于零时的形式。