微分方程传递函数

2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。

如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。

为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。

微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。

因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。

以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。

目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。

所以传递函数是一个极其重要的基本概念。

一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。

其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。

将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。

)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。

这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。

传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统.当然，在这类系统的分析和设计中，传递函数方法的应用是很广泛的。

下面是有关传递函数的一些重要说明（下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统）：1. 系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法；2. 传递函数是系统本身的一种属性，它与输入量或驱动函数的大小和性质无关；3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数，称之为相似系统）；4. 如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质；5. 如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数.系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述；6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型。

性质1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。

2、是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

3、只适用于线性定常系统。

4、传递函数是单变量系统描述，外部描述。

5、传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。

6、一般为复变量S 的有理分式，即n ≧m。

且所有的系数均为实数。

7、如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。

8、如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。

9、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。

微分方程求传递函数
微分方程求传递函数是在高校和高等教育中最常用的数学工具之一。

它用于求解一些常微分方程的解析解，研究一些复杂的系统运动规律，尤其是研究多个受控变量的动力学性质。

微分方程求传递函数的基本概念可以简单地理解为，将一个满足微分方程的函数转化为另一个满足特定条件的活动函数，从而得到可以转换系统的参数的活动传递函数。

特别是在动力学系统中，微分方程可以描述系统不同时刻状态的变化，而求解传递函数可以确定系统状态和参数之间的关系，从而有助于更准确地描述系统的发展趋势。

求解微分方程传递函数的过程主要包括以下步骤：首先，需要利用微分方程的性质，将它表示为特定的情形；其次，根据特定函数的类别，例如线性函数、二次函数、多项式等，及其特定条件来确定此函数的表达式；最后，根据微分方程求出传递函数的结果。

微分方程求传递函数是在高等学院和高等教育中十分重要的一个数学技能。

它不仅有助于揭示系统动力学运动规律，还可以帮助分析系统性能并优化控制方案，为复杂的系统控制和设计提供最佳的参考方法。

传递函数与微分方程的关系
传递函数和微分方程的关系
传递函数和微分方程是数学中重要的概念，它们涉及到研究函数的变化和变量之间的关系，其中传递函数的概念在工程领域也有着广泛的应用。

因而理解其上的关系十分有必要。

传递函数是对函数变化的反映，函数的变化可以用传递函数来表示，它是一个映射关系，将一个函数转换成有另外更加简单的新函数。

由此可见，传递函数表示函数变化的特点，
而函数变化由微分方程来描述。

因此，我们可以看出，传递函数与微分方程是有着密切联
系的。

微分方程是运用微分原理，对函数局部变化和变量之间的关系进行讨论的一种数学模型。

它可以表示函数的变化趋势以及这种变化趋势符合的一种方程。

基于这一理论，我们可以
利用微分方程来构造出描述函数变化的传递函数，而这个传递函数反过来可以借鉴来帮助
我们研究函数的变化趋势。

因此，可以看到，传递函数和微分方程是有着密切联系的，传递函数是一种简化后的微分
方程，而微分方程可以推出传递函数。

比如说，使用微分方程可以构造出状态空间容器，
然后通过求解方程，将这些状态空间容器转换为传递函数，格式化的输出微分方程的信号转换为一系列变量对，从而帮助我们更加清晰地定义函数变化趋势；有时，我们通过传递函数来发现其所隐含的微分方程，从而引出相关的知识。

综上所述，传递函数和微分方程之间有着密切的联系，它们可以互相帮助研究函数变化，更清晰地把函数变化趋势表现出来，对于研究科学，设计控制系统带来了很大的便利。

已知微分方程怎么求传递函数
求解传递函数，首先需要了解什么是传递函数，以及它与微分方程之间
的联系。

传递函数是系统输出对输入的反应机制，是系统对输入信号响应时
所出现的输出信号的比例关系。

微分方程是表征物理或抽象系统的数学模型，其中包括一个变量作为输入，另外一个变量作为输出，这些变量之间有着特
定的联系，这个联系被称为传递函数。

微分方程和传递函数之间有着密切的
联系，因此可以利用微分方程来求解传递函数。

求解传递函数的方法有很多，首先要明确目标函数的形式，以及已知参
数和未知参数；然后根据已知参数形成微分方程，将未知参数整合到微分方
程中，形成一套闭合的方程组；最后，利用欧拉、耶尔里、奇异值等方法解
决我们的方程组，从而找出传递函数的系数参数，也就是未知的参数。

求解传递函数的关键步骤有三步：确定原函数，形成微分方程；联立方
程组，求解未知参数；最后，由求解的参数求出原函数，即得出传递函数。

从而完成从微分方程求传递函数的过程。

简而言之，求解传递函数，主要就是要对微分方程进行求解，最后得出
结果，求出传递函数。

通过熟练掌握相关算法，可以更快地求解出一个传递
函数，从而更好地应用于物理或抽象系统模型中。

一、实验内容及目的本次实验要求如下：○1用足够多的方法求得以下电路系统的传递函数。

○2当在Ui上加入一个1V的输入电压时仿真出系统的输出曲线其中Ui是输入，Uo是输出。

本次实验共用了4种方法求得传递函数，分别是利用微分方程求解、利用阻抗法求解、利用方框图化简求解、利用流图与梅森公式求解。

之后用了两种方法求得输出曲线，分别是matlab程序仿真和simulink图形仿真。

实验目的是通过实践分析不同求传递函数方法的需求条件，加深对各种工具的熟练程度。

一、实验方案及内容1、利用微分方程直接求传递函数根据电路理论可列得下列等式：-----------------------------------------○1-----------------------------------------○2-----------------------------------------○3-----------------------------------------○4-----------------------------------------○5利用拉布拉斯变换将其转化为频域下的方程：------------------------------------------○6------------------------------------------○7------------------------------------------○8------------------------------------------○9------------------------------------------○10解得：，即为传递函数。

2、利用阻抗法求传递函数在频域下将电容C1、C2用阻值为、的电阻来替换，此时得到的传递函数不发生变化，等效为电阻R4上的电压。

可以直接计算或利用戴维南、诺顿定理来求解。

根据微分方程怎么求传递函数
传递函数是系统分析和控制的基础，它是描述系统输入与输出之间关系的函数。

求传递函数的方法有几种，其中最常用的方法是根据微分方程求传递函数。

一般来说，根据微分方程求传递函数，首先需要将微分方程化为解析形式，其次，将微分方程解析到传递函数形式，最后，使用Laplace变换将传递函数进行简化。

首先，要将微分方程化为解析形式，即将微分方程的解转化为常数项、未知函数及其一阶、二阶、三阶及以上的导数的和的形式。

这就是解析形式，常用的方法有积分因子法、分部积分法、变量变换法等。

其次，将微分方程解析到传递函数形式，这一步的关键是将解析形式的未知函数及其导数转换为输入与输出之间的关系，即传递函数。

这里有一定的技巧，可以使用积分方程或限制条件等方法将微分方程转换为传递函数。

最后，使用Laplace变换简化传递函数，即将传递函数中
的指数函数及正弦函数等简化为指数函数、根号函数等，以此简化传递函数的形式，使其易于求解。

以上就是根据微分方程求传递函数的步骤，即首先将微分方程化为解析形式，然后将微分方程解析到传递函数形式，最
后使用Laplace变换简化传递函数。

根据上述步骤，可以快速求出传递函数。