广东省东莞市2015-2016学年高一下学期期末数学试卷+(a卷) Word版含解析

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

知识改变命运南开实验学校2015-2016学年第二学期期初考试高一文科数学2016.3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2． 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.下列各角中与0330角终边相同的角是（ ）A ．0510B ．0150C ．0390-D ．0150-2.sin 210°的值等于( )．知识改变命运A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－233.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则()θπ-cos 的值为 ABCD4.下列关于函数y=tan （x+3π）的说法正确的是A ．在区间⎪⎭⎫⎝⎛-656ππ，上单调递增 B ．值域为[一1，1]C ．图象关于直线x=6π成轴对称 D ．图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-03，π成中心对称5．sin 20°sin 50°＋cos 20°sin 40°的值等于( )．A ．41B ．23C ．21D ．436.将函数x y cos =的图象经过怎样的平移，可以得到函数in()6y s x π=+的图象（ ）A ．向左平移6π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位7.已知ααααα2222cos sin 22cos sin ,2tan ++-=则等于（ ）知识改变命运A ．913 B ．911 C ．76 D ．748.若函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πωx x f 错误！未找到引用源。

2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（ ）A ．﹣ 1，1B ．1，﹣ 1C ．1，1D ．﹣ 1，﹣ 12．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量 y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（ x 1 ，y 1），（ x 2， y 2） （x n ， y n ），则以下说法中不正确的选项是（ ） A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B ．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C ．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D ．用有关指数 R 2 来刻画回归成效， R 2越小说明拟合成效越好3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结 论正确的选项是（ ）A ． “若 ac=bc （ c ≠ 0），则 a=b ”类比推出 “若 ? = ? （≠），则=”B ． “在实数中有（ a+b ） c=ac+bc ”类比推出 “在向量中（ + ）? =?+?”C ． “在实数中有（ ab ） c=a （ bc ） ”类比推出 “在向量中（ ? ） ? =?（? ）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ? =0，则 =或 = ”4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），若 p （ξ＞ c+2）=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 76．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程 = x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（）A ．7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.57．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 x ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点拉到离均衡地点8cm 处，则战胜弹力所做的功为（）A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32J8．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若（ 3x+ ） n （ n ∈ N *）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为 S ，若 P+S=272，则函数 f （ x ） =（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为（）A ． 144B ． 256C ． 24D ．649．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取10件，设获得合格产品的件数为 ξ，则 P （ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 911．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x ）的图象有三个公共点，则b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2 ）B ．（﹣ 4﹣2 ，﹣ 4+2 ）C ．（﹣ 4+2， 8]D ．（﹣ 4﹣2，﹣ 8]12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数 f （x ） = ﹣ ax+a ，若存在独一的整数x 0，使得f （ x 0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A ．（1，2]B ．（1，]C ．（1，] D ．（ 1，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 个没有重复数 字的四位数．3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断：（1） b 5= ；（2） b 2n ﹣1=．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ），（ 1）若 z= ，求 | z| ；（ 2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求 a 的范围．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学 2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值； （2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末） “莞马 ”活动中的 α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取 20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这 20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X ，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．2﹣ ax+5， a ∈R ．20．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数a 的取值范围．21．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =ln （ x+1）﹣ （ a ∈ R ）．（1）求证： a ≤ 1 且 x ≥ 0 时， f （ x ）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列 { a n } 知足 a 1=1， a n =ln （a n ﹣ 1+1）（ n ≥2），求证： ≤ a n ≤（ n ∈N *）．x 222．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ）=e ﹣ ax ， g （ x ）=kx +1（ a ∈ R ， k ∈R ），e 为 自然对数的底数．（ 1）若 a=1 时，直线 y=g （ x ）与曲线 y=f ′（ x ）相切（ f ′（x ）为 f （ x ）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（）A．﹣ 1，1 B．1，﹣ 1C．1，1 D．﹣ 1，﹣ 1【剖析】利用复数的幂运算以及复数的基本观点求解即可．【解答】解：复数 z=i 2+i= ﹣ 1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1； 1．应选： A．【评论】此题考察复数的基本观点，考察计算能力．2．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（x1，y1），（ x2， y2）（x n， y n），则以下说法中不正确的选项是（）A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D．用有关指数R 2来刻画回归成效，R2越小说明拟合成效越好【剖析】能够用来权衡模拟成效利害的几个量分别是有关指数，残差平方和和有关系数，只有残差平方和越小越好，其余的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x + ， b=0.52 ＞ 0，则 y 与 x拥有正有关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的成效越好，正确；可用残差图判断模型的拟合成效，残差点比较均匀地落在水平的带状地区中，说明这样的模型比较适合．带状地区的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；2有关指数 R 取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合成效越好，故不正确．【评论】此题考察权衡两个变量之间有关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或没关的精准的可信程度，只有益用独立性查验的有关计算，才能做出判断．属于基础题．3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结论正确的选项是（）A ．“若 ac=bc（ c≠ 0），则 a=b”类比推出“若?= ?（≠），则=”B．“在实数中有（a+b） c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?= ? + ?”C．“在实数中有（ab） c=a（ bc）”类比推出“在向量中（?）?= ?（?）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ?=0，则 = 或 = ”【剖析】 对四个选项，利用向量的数目积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：由条件，得出（﹣ ） ? =0，∴（﹣）与 垂直，则 = ，不必定建立，故 A 不正确；向量的乘法知足分派律，故 B 正确；在向量中（ ? ） ? 与 共线， ?（?）与 共线，故 C 不正确；若 ? =0，则⊥ ， =或 = 不必定建立，故D 不正确．应选： B ．【评论】 类比推理的一般步骤是： （ 1）找出两类事物之间的相像性或一致性； （2）用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 【剖析】 直接利用命题的否认写出假定即可．【解答】 解：反证法证明问题时，反设实质是命题的否认，∴用反证法证明命题 “设 a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定 2是：方程 x +ax+b=0 没有实根．【评论】 此题考察反证法证明问题的步骤，基本知识的考察． 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7ξ听从正态散布N （ 5， 9），若p （ξ＞ c+2）【剖析】 随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），获得曲线对于 x=5 对称，依据 P （ ξ＞c+2）=P （ ξ＜ c ﹣2），联合曲线的对称性获得点 c+2 与点 c ﹣ 2 对于点 5 对称的，从而解出常数 c的值获得结果．【解答】 解：随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9）， ∴曲线对于 x=5 对称，∵P （ ξ＞ c+2） =P （ξ＜ c ﹣ 2）， ∴c+2+c ﹣ 2=10， ∴c=5， 应选： B ．【评论】 此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，题．考察概率的性质， 是一个基础6．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程= x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（ ）A ． 7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.5【剖析】 求出横标和纵标的均匀数， 写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，获得对于 b 的方程，解方程即可．求出 b ，从而预计当 x=6 时 y 的值．【解答】 解：∵ =3， =5 ，∴这组数据的样本中心点是（把样本中心点代入回归直线方程 = x+0.5∴ 5=3 +0.5，∴ =1.5，当 x=6 时 y=9+0.5=9.5． 应选： C ．【评论】 此题考察线性回归方程， 解题的要点是线性回归直线必定过样本中心点， 这是求解线性回归方程的步骤之一．7．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩拉到离均衡地点 8cm 处，则战胜弹力所做的功为（A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32Jx ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点）【剖析】 先求出 F （ x ）的表达式，再依据定积分的物理意义即可求出． 【解答】 解：∵ F=10N ， x=10cm=0.1m∴k=100 ，∴W= ∫100xdx=50x 2|=0.32J ，应选： D ．【评论】 此题考察了定积分在物理中的应用，依据条件先求出k 的值是解决此题的要点．8．（ 5 分）（ 2016春?东莞市期末）若（3x+） n （ n ∈ N * ）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为S ，若P+S=272，则函数f （ x ） =（ 3x+ ）n 在（ 0， +∞）上的最小值为（ ）A ． 144B ． 256C ． 24D ．64【剖析】 由题意求得 S 和 P 的值，依据 P+S=272 求得 n 的值，再利用基本不等式求得函数f （ x ）的最小值．P=4n ， S=2n ， 【解答】 解：由题意可得n n ，解得 n∴P+S=4 +2 =272 2 =16，∴n=4 ，3， 5）在（ 0， +∞）上，n（ 3x+4=144，当且仅当 x=时，等号建立，函数 f（ x） =（3x+ ） =）≥故函数 f（ x）=（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为144，应选： A．【评论】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的差别，基本不等式的应用，属于基础题．9．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【剖析】先求出基本领件总数，再求出两位男生不相邻包括的基本领件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解： 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，6，基本领件总数 n=A 6 =72033任何两个学生都互不相邻包括的基本领件个数m=A 3 A 4 =144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．应选： C．【评论】此题考察概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取 10件，设获得合格产品的件数为ξ，则 P（ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（）A．6B．7C．8D． 9【剖析】随机变量ξ～ B （10，）， P（ξ=k） =，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时 k 的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～ B（ 10，），∴P（ξ=k ）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近．∵Eξ=10× =7.5，∴k=7 或 8 可能是极值，P（ξ=7） ==，P（ξ=8） ==∴P（ξ=k ）取最大值时k 的值是 7．应选： B．【评论】此题考察二项散布的性质和应用，解题时要认真审题，认真解答，等价转变．注意合理地进行11．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数f（ x）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x）的图象有三个公共点，则 b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2）B ．（﹣ 4﹣2，﹣ 4+2）C．（﹣ 4+2， 8] D ．（﹣ 4﹣2 ，﹣8]【剖析】先利用导数研究在点（1， 2）处的切线方程，而后作出函数图象，跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（1， 2）处的切线与 f （ x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（ x）的图象都有三个公共点，只要求出零界地点的值即可．【解答】解：当 x＞0 时， f（ x）=x 2+1，则 f ′（ x）=2x ，∴f ′（ 1）=2× 1=2 ，则在点（ 1， 2）处的切线方程为y=2x ，当 x≤ 0 时， y=f （ x） =+b，即（ x+2）22+（ y﹣ b） =4 （ y≥ b）作出函数图象如右图跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（ 1，2）处的切线与f （ x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣ 4） =﹣ 8，再向下挪动，直到半圆与直线相切前，切线 f （ x）的图象有三个公共点，相切时与f（ x）的图象有两个交点即=2，解得 b=﹣ 4﹣2＜﹣ 8∴b 的取值范围是（﹣ 4﹣ 2，﹣8]．应选： D．以及函数图象，同时考察了数【评论】此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，形联合的数学思想和剖析问题的能力，属于难题．12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数f（x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数 x0，使得f （ x0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A．（1，2] B ．（1，]C．（1，] D ．（ 1，2）【剖析】把存在独一的整数 x0，使得 f（ x0）＞ 1，转变为存在独一的整数x0，使得，即．令 g（ x）=， h（x） =ax﹣a+1，求得剖析 g （x）的单一性，作g（ x）=，h（ x）=ax﹣ a+1 的图象，数形联合获得，则答案可求．【解答】解： f （ x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数x0，使得f（ x0）＞ 1，即存在独一的整数x0，使得，也就是存在独一的整数x0，使得．令 g（ x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（ x） =，∴g（ x） =在（﹣∞，1]上是增函数，在（1， +∞）上是减函数，又∵ h（ x）=ax﹣ a+1 是恒过点（ 1， 1）的直线，∴作 g（ x） =，h（x）=ax﹣a+1的图象以下，则，即1 ．应选： B ．【评论】 此题考察利用导数研究函数的单一性， 考察根的存在性及根的个数判断， 表现了数形联合的解题思想方法，是压轴题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 18 个没有重复数字的四位数．【剖析】 特别元素优先安排， 0 不可以在首位，先排 0，再排其余，依据分步计数原理可得． 【解答】 解：因为首位不可以为0，从 2， 4， 8 中选一个排在首位有 3 种方法， 其余地点随意排，故有33A 3 =18 个，故答案为： 18．【评论】 此题考察了简单的分步计数原理，属于基础题．14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ﹣ 1 ．【剖析】 求导数获得 f ′（ x ）=3﹣ 3x 2，依据二次函数符号的判断即可判断导函数的符号，从而得出函数 f （x ）的极大值点和极大值，从而求出a ﹣b 的值．2∴ x ＜﹣ 1 时， f ′（ x ）＜ 0，﹣ 1＜ x ＜ 1 时， f ′（x ）＞ 0，x ＞ 1 时， f ′（ x ）＜ 0；∴ x =1 时， f （ x ）获得极大值 2； 即 a=1， b=2； ∴a ﹣ b=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1．【评论】 考察基本初等函数的求导公式， 二次函数符号的判断，熟习二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为15 ．【剖析】 利用分段函数的意义可得 f （1），再利用微积分基本定理解得m ．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】 解：∵ f （ 1） =ln1=0 ，23﹣ 0，∴f （f （1）） =f （ 0）=0+3t dt= =m∴m3=8，解得 m=2．的睁开式的通项公式： T r+1= r12 ﹣3r，=（﹣ 1） x令 12﹣ 3r=0 ，解得 r=4 ．∴（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项= = =15．故答案为： 15．【评论】 此题考察了分段函数的性质、二项式定理及睁开式的通项公式、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断： （ 1） b 5= 105 ；（2） b 2n ﹣1=．【剖析】（1）由题设条件及图可得出 a n+1=a n +（n+1），由此递推式能够得出数列{ a n } 的通项为， a n = n （ n+1），由此可列举出三角形数1， 3， 6， 10，15， 21，28， 36，45， 55，66，78， 91， 105， 120， ，从而可概括出可被5 整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，由此规律即可求出 b 5；（2）由（ 1）中的结论即可得出b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣ 1）（ 5n ﹣ 1+1）．【解答】 解：（ 1）由题设条件能够概括出 a n+1=a n +（ n+1），故 a n =（ a n ﹣ a n ﹣1）+（ a n ﹣ 1﹣ a n ﹣2） + +（ a 2﹣ a 1） +a 1=n+（ n ﹣1） + +2+1= n （ n+1）由此知，三角数挨次为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55， 66，78，91，105，120， 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个， 即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，∴b 5=105 ；（2）因为 2n ﹣ 1 是奇数，由（ I ）知，第 2n ﹣ 1 个被 5 整除的数出此刻第 n 组倒数第二个，故它是数列 { a n } 中的第 n × 5﹣ 1=5n ﹣ 1 项，因此 b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣1）（ 5n ﹣ 1+1） = ．故答案为： 105；．【评论】 此题考察数列的递推关系， 数列的表示及概括推理， 解题的要点是由题设得出相邻 两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论 “被 5 整除的三角形数每五个数 中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5 整除 ”，此题综合性强，有一定的研究性，是高考的要点题型，解答时要注意总结此中的规律．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ）， （1）若 z= ，求 | z| ；（2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求a 的范围．【剖析】（ 1）依据 z= ，确立方程即可求 | z| ；（2）利用复数的几何意义，即可获得结论．【解答】 解 z=（ 1﹣ i ） a 2﹣ 3a+2+i=a 2﹣ 3a+2+（ 1﹣ a 2） i ，（1）由 知， 1﹣a 2=0，故 a=±1．当 a=1 时， z=0；当 a=﹣ 1 时， z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，因此﹣ 1＜ a ＜ 1．【评论】 此题主要考察复数的几何意义，以及复数的有关观点，比较基础．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值；（2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意 总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．【剖析】（ 1）由古典概型公式， 分别求得评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校总事件个数 m 及恰有一所学校是中学的事件个数 n ， P= = ，代入即可求得 x 和 y 的值；（2）依据所给数据，可得2×2 列联表，求出K 2，与临界值比较，在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．【解答】 解：（ 1）因为从 1 星级的 2+x 的学校中随机选用2 所学校，共有=种结果， （ 1 分）；此中恰有 1 所学校是中学的共有种结果，（2分）；故=．解得： x=3 ，（ 3 分）；因此 y=50 ﹣3﹣ 18﹣12﹣ 8=9 （ 4 分）；（2）达成列2× 2 列联表：学校种类满意不满意总计小学321850中学203050总计5248100（7 分）；22经计算 K的观察值： K =≈ 5.769＞ 3.841（ 11 分）；因此在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．（ 12 分）；【评论】此题考察古典概型概率公式，列联表，独立性查验的方法等知识，考察了学生办理数据和运算求解的能力，属于中档题．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末）“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．【剖析】（ 1）随机变量X 的可能取值为0， 1， 2，求出相应的概率，可求X 的散布列及数学希望；（2）合格机器人的件数可能是 0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为 3， 2，1，0．因此ξ的可能取值为 1， 3，求出相应的概率，可求ξ的散布列及数学希望．【解答】解：（ 1）随机变量 X 的可能取值为0，1，2（ 1 分）；P（X=0 ）== ，P（X=1 ）==，P（X=2 ）==，因此随机变量X 的散布列为：X012P（5 分）；∴E （ X ） =0 ×+1× +2×= ． （ 6 分）；（2）合格机器人的件数可能是因此 ξ的可能取值为 1，30， 1，2， 3，相应的不合格机器人的件数为3， 2， 1，0．（8 分）；由题意知：（ 9 分）；P （ ξ=3） =+=（10 分）；因此随机变量 ξ的散布列为：ξ13P（11 分）；∴（ 12 分）；【评论】 此题考察随机变量的散布列及数学希望， 考察学生的计算能力， 确立变量的取值与相应的概率是要点．220．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax ﹣ ax+5， a ∈R ． （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求导数获得，依据 f （ x ）在 x=1 处有极值即可获得f ′（ 1）=0，从而可求出 a 的值，并可考证该值建立；2ax 2 （2）依据 f （x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加即可得出 f ′（ x ）≥ 0 恒建立，从而得出﹣ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）上恒建立，这样议论 a 的值： a ＜ 0， a=0，和 a ＞ 0 这三种状况，对每种状况考证能否知足条件，从而求出实数a 的取值范围．【解答】 解：（ 1）函数 f （ x ）的定义域为（ 0， +∞），；∵ f （x ）在 x=1 处有极值，∴ f ′（1） =1+2a ﹣ a=0；解得： a=﹣ 1；此时；当 0＜ x ＜ 1 时 f ′（ x ）＞ 0，当 x ＞ 1 时 f ′（ x ）＜ 0，切合题意；∴实数 a 的值为﹣ 1；（2）∵函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加；∴在（ 0， +∞）恒建立；即 2ax 2﹣ ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）恒建立；当 a ＜ 0 时，明显不切合题意；当 a=0 时， 1≥ 0 恒建立，切合题意；当 a＞ 0 时，要使恒建立；需，解得0＜ a≤8；综上可知实数 a 的取值范围是[ 0， 8] ．【评论】考察基本初等函数导数的求法，函数极值的定义，函数在极值点处导数的取值状况，函数的单一性和函数导数符号的关系，要熟习二次函数的图象．21．（ 12分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x） =ln （ x+1）﹣（ a∈ R）．（1）求证：a≤ 1 且x≥ 0 时， f （ x）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列{ a n} 知足a1=1， a n=ln （a n﹣1+1）（ n≥2），求证：≤ a n≤（ n∈N *）．【剖析】（ 1）求出函数的导数，获得函数的单一性，从而证出结论；（2）a=1 时，在[ 0，+∞）内恒建立，在 [ 0，3）内恒建立，由 a1=1 及a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知0＜ a n≤1，依据数学概括法证明即可．【解答】证明：（ 1）（ 1 分）；当 a≤ 1， x≥0 时， f'（ x）≥ 0 恒建立此时函数 f （ x）在（ 0，+∞）内单一递加因此 f（ x）≥ f （ 0） =0，得证（ 2 分）；（ 3 分）；（ 4 分）；（2）由（1）可知a=1 时，在 [ 0， +∞）内恒建立（ 6 分）；同理可证：在 [ 0， 3）内恒建立（ 7 分）；由 a1=1 及 a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知 0＜ a n≤1（ 8 分）下边用数学概括法证明：当 n=1 时，，结论建立（9分）；设当 n=k 时结论建立，即那么当 n=k+1 时，（10 分）（11 分）即当 n=k +1 时有，结论建立，由此可知对随意n∈N *结论都建立，原不等式得证．（12分）【评论】此题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用以及不等式的证明，数学概括法的应用，是一道综合题．22．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设x2f（ x）=e﹣ ax ， g（ x）=kx +1（ a∈ R， k∈R），e 为自然对数的底数．（1）若 a=1 时，直线 y=g（ x）与曲线 y=f ′（ x）相切（ f ′（x）为 f（ x）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k 的值；（2）利用等价变换，若函数h（x）在区间（ 0，1）内有零点，则函数h（ x）在区间（ 0，1）内起码有三个单一区间，因此h′（ x）在（ 0，1）上应有两个不一样的零点．【解答】解：（ 1） a=1 时， f（ x）=e x﹣ x2， f'（ x） =e x﹣ 2x（ 1 分）设曲线 y=f' （ x）与直线 y=g （ x）的切点为（ x0， kx0+1）∵切点在曲线y=f' （x）上，∴（2 分）又 f'' （ x） =e x﹣2，由导数的几何意义知：（3 分）由此解得x0﹣+1=0（4 分）设 t（x） =xe x﹣ ex+1，则 t′（ x） =xex，当x＞0 时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递加；当x＜0 时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t （ x）≥ t（ 0） =0，∴x0=0（5 分）∴k= ﹣ 1．（ 6 分）（2） h（ x） =e x﹣ ax2﹣ kx﹣ 1由 h（ 1）=0 得： k=e﹣ a﹣ 1又 h（ 0）=0，且函数 h（ x）在区间（ 0， 1）内有零点，∴函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，即 h′（ x） =0 在区间（ 0，1）内起码有两个实根，（7 分）x x﹣ 2ah′（ x）=e﹣ 2ax﹣ k， h''（ x） =e∵x∈（0，1），∴e x∈（ 1， e）当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＞ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递加，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＜ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递减，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．（8分）当＜ a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数 h'（ x）在区间（ 0，ln （ 2a））内单一递减，在区间（ln（ 2a）， +∞）内单一递加∴h'（ x）min=h' （ln （2a）） =2a﹣ 2aln（2a）﹣ k=3a﹣ 2aln（ 2a）﹣ e+1（ 9 分）记 H （ x） =x﹣ xlnx ﹣ e+1 此中1＜ x＜ e，则，令 H'（ x）＞ 0 得： 1＜ x＜∴函数 H（ x）在（ 1，，令 H'（ x）＜ 0 得：＜x＜e，）内单一递加，在（， e）内单一递减（ 10 分）∴H （ x） max=H （） =﹣ln﹣ e+1=+1﹣ e故 H （ x）＜ 0，也即 h'（ x）min＜0∵函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，∴即解得：e﹣ 2＜ a＜ 1 切合＜ a＜综上可知，实数 a 的取值范围是（e﹣ 2，1）（ 12 分）【评论】此题考察了，利用导数求函数的单一区间，分类议论思想，等价变换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．。

高一数学综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ，设集合A={2, 4, 5}，集合B={1, 2, 3, 4}，则(C U A)B= A．{2, 4} B．{1, 3} C．{1, 3, 6, 7} D．{1, 3, 5, 6, 7}2．下列图形中，不可作为函数y=f(x)图象的是．．．．Y Y Y YO X O X O X O XA B C D3．设A={x x是锐角}，B=(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素300相对应的B 中的元素是A. 3B. 2C. 1D. 32 2 32x - y + m =0与圆 x 2 + y 2-2 x -2=0相切，则实数m 等于4. 直线 3A．B．-3 C．-3 或D．-3 或333 3 3 3 35．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行；②平行于同一直线的两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两条直线相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有A．4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A(-3, 5)出发，被 x 轴反射后到达点B(2, 7)，则这束光线从A 到B 所经过的路程为A．12 B．13 C．41 D．2 6+537. 下列不等关系正确的是A．log43<log341 1 1 B．log 1 3 < log 1 3C．32 < 33 D．3 2 < log 3 23 28．一个与球心距离为 1 的平面截球所得圆面面积为π，则球的表面积为A．8 π B．8π C．4 π D．4π2 29.已知a,b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β，α⋂β=m，则直线m A．与a,b都相交 B．至多与a,b中的一条相交y' C．与a,b都不相交D．至少与a,b 中的一条相交Rt ∆A O B ∆AOB ∆A O B '10．如图，'是的直观图，且 A' ' ' ' '为面积为 1，则∆AOB中最长的边长为O' B'' x'A. 2 2B. 2 3C. 1D. 211．已知圆O: (x+1)2+(y-3)2=9 ，圆O : x2 + y 2-4x +2 y -11=0，则这两个圆的公共弦1 2长为（）A．24 B．12 C．9 D．155 5 58．（5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．lg 1 - lg 25 = .414．一条线段的两个端点的坐标分别为(5,1)、(m,1)，若这条线段被直线x-2y=0所平分，则m =．15．右图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）已知集合A={x|x≤ -2或x>1}关于x的不等式2a+x>22x(a∈R)的解集为B，（1）当a=1时，求解集B；（2）如果 A B=B，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）y 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0, 0)，B(2,-1)，C(4, 2)．DC（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．A xB19. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=450，AD=AC=1，PO ⊥平面 ABCD ，O 点在 AC 上， PO =2，M为PD中点（1）证明：AD⊥平面PAC；（2）求三棱锥M-ACD的体积．PMD COAB18．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，地面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC与BD相交于点G．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求证：AE⊥平面BCE；（3）求三棱锥A﹣BCE的体积．19．（14分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．。

2015—2016学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集U=｛1，2，3，4，5,6，7}，设集合A=｛2，4,5}，集合B=｛1，2，3，4｝，则（C U A)∩B=（）A．｛2，4｝B．{1，3｝C．｛1,3，6，7} D．{1，3，5，6，7｝2．下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是(）A．B．C．D．3．设A={x|x是锐角}，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素30°相对应的B中的元素是(）A．B．C．D．4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或5．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．在平面直角坐标系内,一束光线从点A(﹣3，5)出发，被x轴反射后到达点B(2，7)，则这束光线从A到B所经过的距离为（)A．12 B．13 C．D．27．下列不等关系正确的是(）A．log43＜log34 B．log3＜log 3C．3D．3＜log328．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为（）A．B．8π C．D．4π9．已知a,b为异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β,α∩β=m,则直线m（）A．与a,b都相交B．至多与a，b中的一条相交C．与a，b都不相交D．至少与a，b中的一条相交10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，则△AOB中最长的边长为(）A．2B．2C．1 D．211．已知圆O1：(x+1)2+（y﹣3)2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（）A．B．C．D．12．已知a＞0且a≠1,函数f（x)=满足对任意实数x1≠x2,都有＞0成立，则a的取值范围是(）A．(1，2）B．［，2）C．（1,）D．（1，]二、填空题（共4小题,每小题5分，满分20分）13．计算：=．14．一条线段的两个端点的坐标分别为(5,1）、（m，1），若这条线段被直线x﹣2y=0所平分,则m=．15．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为．16．已知函数y=f（x)和y=g(x）在[﹣2，2］的图象如，给出下列四个命题：(1）方程f［g（x）］=0有且仅有6个根（2)方程g[f（x）]=0有且仅有3个根（3）方程f［f（x）］=0有且仅有5个根（4)方程g［g(x）]=0有且仅有4个根其中正确命题是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知集合A={x|x≤﹣2或x＞1｝关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R)的解集为B．（1)当a=1时，求解集B；(2）如果A∩B=B,求实数a的取值范围．18．如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0,0），B(2,﹣1），C（4，2）．（1）求直线CD的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°,AD=AC=1，PO⊥平面ABCD,O 点在AC上，PO=2，M为PD中点．（1）证明：AD⊥平面PAC；（2)求三棱锥M﹣ACD的体积．20．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中,到达理想的状态后保持一段时间,随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力,x表示授课时间（单位：分）,实验结果表明f（x）与x有如下的关系：f（x）=．（1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中?能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？21．设f(x）=mx2+（m+4)x+3．（1)试确定m的值,使得f（x)有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=﹣1时，在[0，λ］（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立,求a的取值范围．22．定义在D上的函数f(x），如果满足:对任意x∈D,存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D 上的有下界函数，其中M称为函数f(x）的一个下界．已知函数f（x)=（a＞0）．（1）若函数f(x）为偶函数,求a的值;(2)求函数f（x）在[lna,+∞）上所有下界构成的集合．2015-2016学年广东省东莞市高一(上）期末数学试卷(A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分)1．已知全集U=｛1,2，3,4，5，6，7｝，设集合A=｛2，4，5}，集合B={1，2,3，4｝，则(C U A）∩B=（）A．｛2，4} B．{1，3} C．｛1，3,6,7｝D．{1，3，5,6，7｝【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：∵U={1，2,3，4,5，6,7},A={2,4，5｝,∴C U A=｛1，3，6,7}，又B=｛1，2，3，4}，∴（C U A)∩B=｛1,3｝．故选:B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．下列图形中，不可作为函数y=f（x)图象的是()A．B．C．D．【分析】由函数的概念，C中有的x,存在两个y与x对应,不符合函数的定义．【解答】解：由函数的概念,C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义,ABD均符合．故选：C【点评】本题考查函数的概念的理解，属基本概念的考查．解答的关键是对函数概念的理解．3．设A={x｜x是锐角｝，B=（0，1）．从A到B的映射是“求余弦”,与A中元素30°相对应的B中的元素是()A．B．C．D．【分析】直接由映射概念结合三角函数的求值得答案．【解答】解：∵A={x|x是锐角｝，B=(0，1)，且从A到B的映射是“求余弦”,由，可得与A中元素30°相对应的B中的元素是．故选：A．【点评】本题考查映射的概念，考查了三角函数的值,是基础题．4．直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或【分析】圆心到直线的距离等于半径,求解即可．【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．5．下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行②平行于同一直线的两个平面相互平行③垂直于同一平面的两条直线相互平行④垂直于同一直线的两个平面相互平行其中正确的有(）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①平行于同一平面的两条直线相互平行，由线线的位置关系判断；②平行于同一直线的两个平面相互平行，由面面的位置关系判断；③垂直于同一平面的两条直线相互平行，由线面垂直的性质判断；④垂直于同一直线的两个平面相互平行，由线面垂直的性质判断．【解答】解：①平行于同一平面的两条直线相互平行，此命题错误，两条直线平行于同一平面,则两者的关系是相交、平行、异面都有可能．②平行于同一直线的两个平面相互平行，此命题错误，平行于同一直线的两个平面可能平行也可能相交;③垂直于同一平面的两条直线相互平行，此命题正确，由线面垂直的性质知，两条直线都垂直于同一个平面，则两线平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行，此命题正确，垂直于同一直线的两个平面一定平行．综上③④正确故选C【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对空间中点线面的位置关系的情况掌握得比较熟练，本题考查了推理论证的能力6．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（﹣3,5）出发,被x轴反射后到达点B（2,7),则这束光线从A到B所经过的距离为（）A．12 B．13 C．D．2【分析】利用反射原理可知反射光线经过A（﹣3，5）关于x轴的对衬点A′(﹣3，﹣5)，从而可求得答案．【解答】解：∵A(﹣3，5）关于x轴的对衬点A′（﹣3,﹣5）,由反射原理可知反射光线经过A′（﹣3，﹣5)，设入射光线与x轴相交于M,则这束光线从A到B所经过的距离为：｜AM｜+|MB｜=｜A′M|+|MB｜=|A′B｜===13．故选B．【点评】本题考查直线关于点关于直线对称的问题，考查转化思想与推理运算的能力,属于中档题．7．下列不等关系正确的是（）A．log43＜log34 B．log3＜log 3C．3D．3＜log32【分析】直接利用指数式和对数函数的性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵log43＜1，log34＞1,∴log43＜log34，A正确；∵log3=﹣1,log3=﹣log23＜﹣1，∴log3＞log3，B错误；∵，∴，C错误；∵3＞1，log32＜1,∴3＞log32,D错误．故选:A．【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数和对数函数的运算性质，是基础题．8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8π C．D．4π【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径,然后求出球的表面积．【解答】解:球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．【点评】本题考查球的体积和表面积,考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．9．已知a，b为异面直线,a⊂平面α，b⊂平面β,α∩β=m，则直线m（）A．与a，b都相交B．至多与a，b中的一条相交C．与a，b都不相交D．至少与a,b中的一条相交【分析】a∥m，b∩m=A，满足题意；m与a、b都不相交，则a，b平行，与异面矛盾；m可以与a、b都相交，交点为不同点即可．【解答】解：对于A，a∥m,b∩m=A，满足题意，故A不正确；对于B,m与a、b都不相交，则l与a、b都平行,所以a，b平行,与异面矛盾，故B不正确；对于C,m可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故C不正确；对于D，由A，B,C的分析，可知D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1,则△AOB中最长的边长为（）A．2B．2C．1 D．2【分析】求出O′A′=A′B′=，O′B′=2，从而在△AOB中，OA=2O′A′，OB=O′B′，且OA⊥OB，由此能求出△AOB中最长的边长．【解答】解：如图，Rt△A′O′B′的直观图，且△A′O′B′为面积为1，∴设O′A′=A′B′=x,则=1，解得O′A′=A′B′=，∴O′B′==2，∴△AOB中,OA=2O′A′=2，OB=O′B′=2，且OA⊥OB，∴OB==2．∴△AOB中最长的边长为2．故选:C．【点评】本题考查三角形中最长边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面图形直观图的性质的合理运用．11．已知圆O1：（x+1）2+(y﹣3）2=9，圆O2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，则这两个圆的公共弦长为（）A．B．C．D．【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离,用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【解答】解：两圆的方程作差得6x﹣8y+12=0，即3x﹣4y+6=0，∵圆C1：（x+1）2+（y﹣3)2=9，故其圆心为(﹣1，3)，r=3圆到弦所在直线的距离为d==弦长的一半是=故弦长为．综上,公共弦所在直线方程为3x﹣4y+6=0，弦长为．故选:A．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长，属于中档题．12．已知a＞0且a≠1，函数f（x)=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（)A．（1,2）B．[,2）C．（1，）D．(1，]【分析】由＞0可知f（x）在R上是增函数，且f（x）在(﹣∞,0］上的最大值小于f（x)在（0,+∞)上的最小值．列出不等式组解出．【解答】解:∵＞0恒成立，∴f（x）在定义域上是增函数，∵f（x)在（﹣∞，0］上是增函数，∴2﹣a＞0，即a＜2．且f（0）=3a﹣4．∵f（x）在(0，+∞)上是增函数，∴a＞1，且x→0+时，f（x)→1，∵f（x)在R上是增函数,∴3a﹣4≤1，解得a≤．综上,a的取值范围是（1，]．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的单调性，需要特别注意f（x）在不同定义域上最值的大小关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．计算：=﹣2．【分析】根据对数的运算法则，将式子化简合并，再结合常用对数的性质即可得到原式的值．【解答】解:原式=﹣lg4﹣lg25=﹣lg（4×25）=﹣lg100=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题着重考查了常用对数的定义和对数的运算性质等知识，属于基础题．14．一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1)、（m，1)，若这条线段被直线x﹣2y=0所平分，则m=﹣1．【分析】由已知得这条线段的中点(,1）在直线x﹣2y=0上，由此能求出m．【解答】解:∵一条线段的两个端点的坐标分别为（5，1)、（m，1），这条线段被直线x﹣2y=0所平分，∴这条线段的中点（，1）在直线x﹣2y=0上，∴,解得m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．15．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（12+2）π．【分析】空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2,做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4,圆锥的高是，∴在轴截面中圆锥的母线长是，∴圆锥的侧面积是，下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2=12π∴空间组合体的表面积是，故答案为：【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单,易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．16．已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2,2］的图象如，给出下列四个命题：(1）方程f[g（x)］=0有且仅有6个根（2）方程g［f(x)]=0有且仅有3个根（3）方程f[f(x）］=0有且仅有5个根（4）方程g［g（x)]=0有且仅有4个根其中正确命题是(1）（3)（4）．【分析】把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．【解答】解：∵在y为［﹣2,﹣1］时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为［1,2]时,g（x）同样都是两个自变量满足∴（1）正确∵f（x）值域在[﹣1,2]上都是一一对应，而在值域[0，1］上都对应3个原像,∴（2）错误同理可知(3）（4）正确．故答案为:（1）(3）(4）．【点评】本题考查了复合函数的对应问题，做题时注意外层函数的定义域和内层函数值域的对接比较．三、解答题(共6小题,满分70分）17．已知集合A=｛x|x≤﹣2或x＞1}关于x的不等式2a+x＞22x（a∈R）的解集为B．(1）当a=1时,求解集B；（2）如果A∩B=B，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，利用指数函数的单调性，求解集B;（2）如果A∩B=B，B⊆A，即可求实数a的取值范围．【解答】解:（1）∵2a+x＞22x,a=1，∴1+x＞2x，∴x＜1，∴B=（﹣∞，1）；（2）∵2a+x＞22x,∴a+x＞2x，∴x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵A∩B=B，∴B⊆A，∴a≤﹣2．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力,属于中档题．18．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1），C（4,2）．(1）求直线CD的方程；(2）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程．（2）求出点A（0，0）到直线CD的距离d和｜CD｜=|AB|，由此能求出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1)∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，﹣1）,C（4，2），∴=﹣，∴直线CD的方程为：y﹣2=﹣(x﹣4）,整理，得x+2y﹣8=0．（2）点A（0，0）到直线CD的距离d==，|CD｜=|AB｜==,∴平行四边形ABCD的面积:S平行四边形ABCD=｜CD|•d==8．【点评】本题考查直线方程的求法，考查平行四边形的面积的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°,AD=AC=1,PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO=2，M为PD中点．(1）证明：AD⊥平面PAC；（2)求三棱锥M﹣ACD的体积．【分析】（1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD．故AD⊥平面PAC；（2）由M为中点可知M到底面的距离为PO，把△ACD看做棱锥的底面，则棱锥的高为，代入体积公式计算．【解答】证明:（1）∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC．∵PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD，又∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC,∴AD⊥平面PAC．（2)∵M是PD的中点,∴M到平面ABCD的距离d=PO=1．S△ACD==．∴三棱锥M﹣ACD的体积V=S△ACD•d==．【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱锥的体积计算，属于基础题．20．经研究发现,学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间,随后开始逐渐分散．用f（x）表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分),实验结果表明f（x)与x有如下的关系:f（x）=．（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长的时间？（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？【分析】（1)根据f(x）在各段上的单调性可判断计算出答案．（2）解不等式求出学生注意力不低于55的持续时间即可．【解答】解：（1）当0＜x≤10时，f(x）是增函数，f max（x）=f（10）=59，当16＜x≤30时，f(x）是减函数，f（x)＜f（16)=59．∴开始授课10分钟后,学生的注意力最集中，能维持6分钟．（2）当0＜x≤10时，令f（x）=5x+9≥55，解得≤x≤10．当10＜x≤16时，f（x）=59＞55．当16＜x≤30时，令f（x）=﹣3x+107≥55，解得16＜x≤．∴学生注意力不低于55的持续时间为﹣=＜10．∴老师能不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题．【点评】本题考查了分段函数的应用,分类讨论思想．属于基础题．21．设f(x）=mx2+（m+4）x+3．（1）试确定m的值，使得f(x）有两个零点，且f(x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．【分析】（1)f（x）为二次函数，令△＞0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可．(2）求出f（x)在［0，λ]上的最大值f max(x）,则a＜f max（x)．【解答】解:（1)∵f（x）有两个零点，∴，解得m≠0．设f（x）的两个零点为x1，x2，则x1+x2=﹣,x1x2=．∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（)2﹣=﹣+1=16（﹣)2+．∴当m=8时，∴｜x1﹣x2｜2取得最小值．∴｜x1﹣x2|的最小值为．（2）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2+3x+3，f（x）的对称轴为x=．①若0，则f max（x)=f（λ）=﹣λ2+3λ+3，②若,则f max(x）=f（）=．∵在［0，λ］（λ为正常数)上存在x使f（x)﹣a＞0成立,∴a＜f max（x）．综上，当0时，a的取值范围是(﹣∞，﹣λ2+3λ+3）；当时，a的取值范围是(﹣∞，）．【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x)≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=(a＞0）．（1）若函数f（x)为偶函数，求a的值；（2)求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．【分析】(1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna,+∞）上是增函数,求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可．【解答】解：（1）函数f（x）=（a＞0)是R上的偶函数，f(﹣x）=f(x），即（e x﹣e﹣x）=a(﹣)=a（e x﹣e﹣x)在R恒成立,∴=a，解得：a=1，(a＞0），（2）在［lna，+∞）上任取x1，x2,且x1＜x2，则f（x1）﹣f(x2）=（﹣)﹣a=（﹣)•,∵y=e x是增函数,lna≤x1＜x2，∴﹣＜0，∴x1+x2＞2lna=lna2,∴＞=a2,∴﹣a2＞0，∵a•＞0,∴f（x1）﹣f(x2）＜0，即f(x1)＜f（x2),∴函数f（x）在［lna，+∞)上是增函数,∴f（x）min=f（lna）=+=2，∴函数f（x)在[lna，+∞)上所有下界构成的集合是（﹣∞，2］．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题．。

2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.54．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．176．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=17．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h 0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于弧度．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n 1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故选：C．2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++==；故选：A．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.5【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按从小到大的顺序排列如下；87，88，90，91，92，93，94，97；∴这组数的中位数是=91.5；故选：B．4．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=【解答】解：∵简谐运动的图象经过点（0，2），∴f（0）=2，即f（0）=4sinφ=2，即sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故选：D．5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解答】解：高二年级的人数为2800×=840人，则高三人数为2800﹣840﹣910=1050，则高三抽取的人数为=15，故选：B．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=1【解答】解：∵，∴，∴，∴，故选：B．7．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选：D．8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．【解答】解：△ABC中，∵cosA=＞0，cosB=＞0，∴A、B均为锐角，∴sinA==，同理可得sinB==，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣，∵0＜C＜π，∴可得：C=．故选：A．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长R构成试验的全部区域的面积：S=πR2记“向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A，则构成A的区域的面积由几何概率的计算公式可得，P（A）=故选：A．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．【解答】解：∵向量=（3，5），=（1，x），且∥，∴3x﹣1×5=0，解得x=．故答案为：．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于2弧度．【解答】解：根据扇形的面积公式S=lr可得：1=×2r，解得r=1，再根据弧长公式l==2，解得n=2扇形的圆心角的弧度数是2．故答案为：2．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．【解答】解：由题意可得：若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，所以可得函数，再将所得的函数图象向左平移个单位，可得，所以．所以答案为．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=±．【解答】解：由题意可得x+y=﹣，x2+y2=1，tanα=，求得或，∴tanα=﹣或tanα=﹣．当tanα=﹣，tan（α+）==；当tanα=﹣，tan（α+）==﹣，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k ∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）n1=12，f1=0.4，n2=3，f1=0.1，（2）（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值为：10×0.2+20×0.3+30×0.4+40×0.1=24（厘米）16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（1分）（2），…（3分）…（4分）…（5分）…（7分）…（8分）故线性回归方程为．…（9分）画出回归方程…（10分）（3）由题意，该同学的记忆力为9，则预测他的判断力为：…（11分）预测这位同学的判断力约为4．…（12分）17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．【解答】解：（1）由已知得，化简得，即cosφ=0．又0＜φ＜π，所以．（2）由（1）得，由，得，因为，所以＜2α+＜，可得．则sin2α===．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）…（5分）（注：每填对一个空格给1分）因为202＜211，607＞211，故输出的i的值为5，x的值为607．…（6分）（2）问题（1）表格中填写的x的5个数值为：7，22，67，202，607，从中任取两个数，共有10种不同的取法，Ω={（7，22），（7，67），（7，202），（7，607），（22，67），（22，202），（22，607），（67，202），（67，607），（202，607）}…（7分）其平均数分别是：14.5、37、104.5、307、44.5、112、314.5、134.5、337、404.5，设A表示“两个数的平均数大于211”，则A={（7，607），（22，607），（67，607），（202，607）}其平均数分别是307、314.5、337、404.5满足条件…（9分）所以…（10分）（3）因为输出i的值为2，所以该程序执行了循环体2次．…（11分）即：…（13分）解得23＜x≤70．故输入x的取值范围为（23，70]．…（14分）19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴，ω=2…（4分）又其图象的一个对称中心为，故，∴，由得…（5分）（2）由（1）知当a＞0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（7分）当a＜0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（9分）（3）当时，由x∈[0，a]得，…（10分）当时，由x∈[0，a]得，…（11分）当时，由x∈[0，a]得，…（12分）当时，由x∈[0，a]得，…（13分）综上所述：要使方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解，当时，；当时，；当时，；当时，﹣2a≤k≤2a…（14分）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．【解答】解：（1），∵，又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，∴，，∴．即．（2）由，得，即，故D，P，O三点共线，且x，所以i=0与i=i+1对于边x≤211的两高之比为i，x，所以x=3x+1与△ACD的面积比为．（3），==﹣2+4（λ+μ）﹣2λμ=1，所以①又==，所以②由①②得．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

广东省东莞市2011－2012学年度第一学期教学质量检测高一数学（A 卷）2012-1-10一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.）1．已知全集{1234567}U =，，，，，，，{245}A =，，，则A =C U （ ）A ． ΦB ． {246}，， C ． {1367}，，， D ．{1357}，，， 2．下列命题中，正确的是（ ）A ．经过不同的三点有仅有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一个平面的两条直线平行3．已知Rt ABC ∆的顶点坐标分别为(51)A -，，(11)B ，，(2)C m ，，若90C ∠=，则实数m 的值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）A ．124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 5．三个数0.3log 6a =，60.3b =，0.36c =，则的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1)e，B ．(12)，C ． (23)，D ．()e +∞， 7．已知直线1:0l ax y a -+=，2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．08．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（ ）ABCD9．已知点(10)A ，，(10)B -，，过点(01)C -，的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A ．[45135]， B ．[4590)(90135]，，C ．[045][135180]，，D ．[0135]，10．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，，．若2()(2)f m f m <-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1)(2)-∞-+∞ ，， B ．(12)-， C ．(21)-， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．幂函数()f x的图象过点(3 ，则()f x12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 2()log 1f x x =+，则(4)f -= .13．一个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此 几何体的侧棱长等于 .14．规定符号“*”表示两个正实数a 、b 之间的运算，即a b a b *=+，已知11k *=，则函数()(0)f x k x x =*>的值域是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分12分)已知集合{|17}A x x =≤<，2{|log (2)3}B x x =-<，{|}C x x a =<，全集为实数集R ．（1） 求A B ；（2） 如果A C ≠Φ ，且B C =Φ ，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分13分)设直线1:2l y x =与直线2:3l x y +=交于P 点．（1） 当直线m 过P 点，且与直线0:20l x y -=时，求直线m 的方程；（2） 当直线m 过P 点，且坐标原点O 到直线m 的距离为1时，求直线m 的方程．17．(本小题满分13分)某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满．该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费．如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？第13题图18．(本小题满分14分)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，2CD AB =，E 为PC 的中点，PA = （1）证明：//BE 平面PAD ； （2）证明：BE ⊥平面PDC ； （3）求三棱锥E PBD -的体积．19．(本小题满分14分) 已知函数2()()21xf x a a R =-∈+ （1）判断并证明函数的单调性；（2）若函数为()f x 奇函数，求实a 数的值；（3）在（2）的条件下，若对任意的t R ∈，不等式22(2)()0f t f t tk ++->恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数()||f x x a =-，2()21g x x ax =++（a 为正实数），且函数()f x 与()g x的图象在y 轴上的截距相等． （1） 求a 的值；（2） 对于函数()F x 及其定义域D ，若存在0x D ∈，使00()F x x =成立，则称0x 为()F x 的不动点．若()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，求实数b 的取值范围；（3） 若n 为正整数，证明：()()410()45f ng n ⋅< (参考数据：lg30.3010=，94()0.13425=，164()0.02815=，254()0.00385=)第18题图2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（A 卷）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题 11．()x x f = 12．3- 13 14．()1,-+∞三、解答题15. （本小题满分12分）解：（1）由2log (2)3x -<，得028x <-<， ………………………2分210x ∴<<，即{|210}B x x =<<. ………………………4分∴}101|{<≤=x x B A . …………………………6分 （2）∅≠C A ，∴1a >. ……………………………8分 又∵B C =∅ ，∴2a ≤， …………………………10分 ∴12a <≤，即实数a 的取值范围是(]1,2. ……………………………12分16．（本小题满分13分）解：由23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得点()21，P . ………………………2分（1）因为m ⊥0l ，所以直线m 的斜率221110-=-=-=l m k k ， ……………………………4分又直线m 过点()21，P ，故直线m 的方程为：()221y x -=--，即240x y +-=. …………………………6分（2）因为直线m 过点()21，P ，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=. …………………7分所以坐标原点O 到直线m的距离1d ==，解得34k =， …………9分 因此直线m 的方程为：332044x y --+=，即3450x y -+=. …………10分 当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为1x =，验证可知符合题意．……12分 综上所述，所求直线m 的方程为1x =或3450x y -+=. ………………13分17．（本小题满分13分）解：设酒店将房费提高到x 元，每天的客房的总收入为y 元. …………1分则每天入住的客房间数为)1020200300(⨯--x 间, ……………3分 由20030010020x --⨯≥及0≥x ， …………………4分 得：8000≤≤x . ……………………5分 依题意知：)1020200300(⨯--=x x y ……………………8分 =x x 400212+-=80000)400(212+--x . ……………………10分因为8000≤≤x ，所以当400=x 时,y 有最大值为80000元. ………………12分答:酒店将房费提高到400元时，每天客房的总收入最高. ……………………13分18．（本小题满分14分）（1）证明：取PD 中点Q ,连结AQ 、EQ .……………1分E 为PC 的中点，CD EQ //∴且CD EQ 21=.………………2分又CD AB // 且CD AB 21=， AB EQ //∴且AB EQ =.…………………3分∴四边形ABED 是平行四边形，AQ BE //∴. …………………………4分又⊄BE 平面PAD ，⊂AQ 平面PAD ，∴//BE 平面PAD . …………………………5分（2）证明：⊥PA 底面ABCD ，CD PA ⊥∴. …………………………6分又AD CD ⊥ ，且A AD PA =⋂,⊥∴CD 平面PAD ，AQ CD ⊥∴. …………………………7分 AD PA = ，Q 为PD 的中点，PD AQ ⊥∴， …………………………8分,D PD CD =⋂⊥∴AQ 平面PDC . …………………………9分 AQ BE // ，∴⊥BE 平面PDC . …………………………10分（3）解法一∵E 为PC 的中点，∴E PBD B PDE V V --=＝B ECD V -＝E BCD V -. …………………………11分⊥PA 底面ABCD ，∴点E 到面BCD 的距离1122d PA ==. …………………………12分 1121122BCD S CD AD ∆∴=⨯=⨯⨯=. …………………………13分E BCD V -111113326BCD S d ∆=⨯=⨯⨯=，E 为PC 的中点，∴16E PBD V -=. …………………………14分 解法二由前面证明可知：BE 是三棱锥B PDE -的高，CD PD ⊥.在Rt PAD ∆中，PD =122BE AQ PD ===. ………………11分1112222PDE PDC S S PD DC ∆∆==⨯⨯⨯=， …………………………12分 E PBD B PDE V V --= …………………………13分11133226PDE S BE ∆=⨯=⨯=. …………………………14分19．（本小题满分14分）（1）函数()f x 为R 上的增函数．证明如下： ……………………………1分证明：函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，R x ∈2，设21x x <，则121222()()()()2121x x f x f x a a -=---++ …………………………2分 122121222(22)2121(21)(21)x x x x x x -=-=++++. …………………3分 因为2x y =是R 上的增函数，且12x x <，所以1222x x-＜０，……………………4分所以12()()f x f x -＜０即12()()f x f x <，函数()f x 为R 上的增函数. ……………5分 （2）解：∵函数()f x 为奇函数，∴(0)10f a =-=， …………………………6分 ∴1a =. …………………………7分当1a =时，2()121x f x =-+＝2121x x -+.()f x -=2121x x ---+＝1212x x -+＝－2121x x -+＝－()f x ，…………8分此时，()f x 为奇函数，满足题意．所以，1a =． …………………………9分（3）解：因为()f x 是奇函数，从而不等式22(2)()0f t f t tk ++->对任意的R t ∈恒成立等价于不等式22(2)()f t f tk t +>-对任意的R t ∈恒成立． …………………………10分 又因为在(,)-∞+∞上为增函数，所以等价于不等式222t tk t +>-对任意的R t ∈恒成立，即不等式2220t kt -+>对任意的R t ∈恒成立． …………………………11分 所以必须有2160k ∆=-<， …………………………12分 即44k -<<， …………………………13分所以实数k 的取值范围{}44k k -<<． …………………………14分20．（本小题满分14分）解：⑴ ∵函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等，∴()()00f g =，即1a =． ……………………………1分 又0a >，∴1a =． ……………………………2分⑵由（1）知，()()223 1=2 1x x b x f x g x b x x b x ⎧++≥⎪++⎨+++<⎪⎩．当1x ≥时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有23=x x b x ++，即()22=211b x x x --=-++． ………………………3分∵1x ≥，∴()2113x -++≤-，此时3b ≤-． ………………………4分 当1x <时，若()()f x g x b ++存在不动点，则有22=x x b x +++，即2=2b x -- ……………………5分∵1x <，∴222x --≤-，此时2b ≤-． ………………………6分故要使得()()f x g x b ++在其定义域内存在不动点，则实数b 的取值范围应为(]2-∞-，． ……………… …………………………………………7分⑶设()()()4105g n f n G n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．因为n 为正整数， ∴()212141005n n n G n -++⎛⎫=⋅>⎪⎝⎭． ………………………8分 ∴()()()()22+12+112+3121410+145=1045105n n nn n n n G n G n ++-++⎛⎫⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭． ………………………9分 当()()+11G n G n <时，2+341015n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()42+3l g 15n ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，亦即12lg 3132-->+n ，∴133.726lg 22n >-≈-． ………………………11分由于n 为正整数，因此当13n ≤≤时，()G n 单调递增；当4n ≥时，()G n 单调递减． ∴()G n 的最大值是()(){}max 3,4G G ． ………………………12分又()16243=10=1000.0281=2.815G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，()25344=10=10000.0038=3.85G ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，………………………13分 ∴()()44G n G ≤<． ………………………14分。

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广东省东莞市2016—2017学年度上学期期末考试高一数学试卷考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球的表面积公式: 24S R π=，其中R 为球半径． 锥体体积公式：Sh V 31=，柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1。

集合{}{}R x y y B R x x y y A x ∈==∈+==,2,,1,则A B ⋂等于A. ()+∞,0B. {}1,0C. {}1,2 D 。

{})2,1(),1,0(2。

函数23212---=x x x y 的定义域 A 。

]1,(-∞ B 。

]2,(-∞ C 。

]1,21()21,(-⋂--∞ D. ]1,21()21,(-⋃--∞ 3。

若直线10mx y +-=与直线230x y -+=平行，则m 的值为A 。

2B 。

2- C. 12 D 。

12- 4．直线0ax by c ++=经过第一、第二、第四象限，则,,a b c 应满足A ．ab ＞0，bc ＞0B ．ab ＞0，bc ＜0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜05．已知两条不同的直线n m ,，两个不同的平面βα,，则下列命题中正确的是A.若,,//,βαβα⊥⊥n m 则n m ⊥B.若,,,//βαβα⊥⊥n m 则n m //C 。

2014-2015学年广东省东莞高中高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣12．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=77．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=08．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，10．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上．）11．（5分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是．12．（5分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．14．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．16．（12分）某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线，分别称为1号线和2号线，经过两年的运行，每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如表：其中m～n表示生产一台合格的该大型设备的时间大于m天而不超过n天，m，n为正整数．（1）现该企业接到甲、乙两公司各一个订单，每个公司需要生产一台合格的该大型设备，甲、乙两公司要求交货时间分别为不超过45天和55天，为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货，该企业应如何选择生产甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线；（2）该企业生产的这种大型设备的质量，以其质量等级系数t来衡量，t的值越大，表明质量越好，下面是两条生产线生产的6台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图．试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大型设备的质量做出分析．17．（14分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．19．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．2014-2015学年广东省东莞高中高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选：C．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选：C．3．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选：D．4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故选：B．5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则2﹣=．∴a=4，故选：A．7．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．8．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．2，﹣B．2，﹣C．4，﹣D．4，【解答】解：由题意可知T==π，∴ω=2，x=时，函数取得最大值2，可得：2sin（2×+φ）=2，﹣＜φ＜，φ=．故选：A．10．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上．）11．（5分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=，sin∅=）故函数的最大值为5，故答案为5．12．（5分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（1，）．【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量（1，）故答案为（1，）．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为7．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；故答案为：7．14．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为185cm．【解答】解：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高则Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型：用线性回归公式，求解得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185故答案为：185．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解答】解：（1）样本均值为；（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为．16．（12分）某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线，分别称为1号线和2号线，经过两年的运行，每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如表：其中m～n表示生产一台合格的该大型设备的时间大于m天而不超过n天，m，n为正整数．（1）现该企业接到甲、乙两公司各一个订单，每个公司需要生产一台合格的该大型设备，甲、乙两公司要求交货时间分别为不超过45天和55天，为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货，该企业应如何选择生产甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线；（2）该企业生产的这种大型设备的质量，以其质量等级系数t来衡量，t的值越大，表明质量越好，下面是两条生产线生产的6台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图．试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大型设备的质量做出分析．【解答】（本小题满分12分）解：（1）用A k表示事件“k号线生产甲公司订购的合格的大型设备时，在规定的时间内交货”，用B k表示事件“k号线生产乙公司订购的合格的大型设备时，在规定的时间内交货”，其中k=1，2．用频率估计相应的概率可得P（A1）=0.1+0.15+0.45=0.7，P（A2）=0.25+0.4=0.65．P（A1）＞P（A2），所以用1号线生产甲公司订购的合格的大型设备．P（B1）=1﹣0.1=0.9，P（B 2）=0.25+0.4+0.3=0.95．P（B2）＞P（B1）．所以用2号线生产乙公司订购的合格的大型设备．（7分）（2）1号线与2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数都是17．1号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差S=，2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的方差S=，∴S＜S．所以1号线与2号线生产合格的该大型设备的质量等级系数的平均数相同，但2号线生产合格的该大型设备的质量稳定性较高．（12分）17．（14分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）18．（14分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）把x=代入函数解析式得：f（）=2sin（×﹣）=2sin=；（2）由f（3α+）=，f（3β+2π）=，代入得：2sin[（3α+）﹣]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]=2sin（β+）=2cosβ= sinα=，cosβ=，又α，β∈[0，]，所以cosα=，sinβ=，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．19．（14分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），3x+y+2=0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2=（2﹣0）2+（0+2）2=8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2=8．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a ﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2015-2016学年广东省东莞市麻涌中学高一（下）第二次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin（﹣π）的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．2．已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若与共线，则m的值为（）A．B．2 C．D．﹣23．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．4 B．C．D．﹣14．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，305．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A．B．C．D．7．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27 B．11 C．109 D．368．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．39．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时10．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣111．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．1412．若=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1b1，a2b2），已知，且点P（x，y）在函数的图象上运动，点q在函数y=f （x）的图象上运动，且点p和点q满足：=⊗+（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（）A．1，πB．1，4πC．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．下列各数：101011（2），1210（3），110（8），68（12）中最小的数为．14．某班50名学生右眼视力的检查结果如表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.8 1.0 1.2 1.5人数113434468106则该班学生右眼视力的众数为，中位数为．15．已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f=．16．有下列命题：①已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为λ+μ，其中λ，μ∈R；②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则；③直线x﹣y﹣2=0的一个方向向量为（1，﹣1）；④在△ABC中，AB=2，AC=3，则BC=；其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．（1）求的值；（2）若，求sin（α+β）．18．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？19．已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=﹣，求：（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若，且α∈（，π）．求α．20．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.50.1670.5～80.51080.5～90.5160.3290.5～100.5合计50（Ⅰ）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；（Ⅱ）补全频数直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省东莞市麻涌中学高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．sin（﹣π）的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin（﹣π）=sin（4π﹣π）=sin=sin=，故选：D．2．已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若与共线，则m的值为（）A．B．2 C．D．﹣2【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．【解答】解：由题意可知=m（2，3）+4（﹣1，2）=（2m﹣4，3m+8）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）∵与共线∴（2m﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×4∴m=﹣2故选D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．4 B．C．D．﹣1【考点】循环结构．【分析】根据流程图，先进行判定条件，满足条件则运行循环体，一直执行到不满足条件即跳出循环体，求出此时的S即可．【解答】解：第一次运行得：S=﹣1，i=2，满足i＜6，则继续运行第二次运行得：S=，i=3，满足i＜6，则继续运行第三次运行得：S=，i=4，满足i＜6，则继续运行第四次运行得：S=4，i=5，满足i＜6，则继续运行第五次运行得：S=﹣1，i=6，不满足i＜6，则停止运行输出S=﹣1，故选D．4．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一，高二，高三各年级抽取的人数分别为（）A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，30【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高一年级抽取的人数是900×=45人，高二年级抽取的人数是1200×=60人，高三年级抽取的人数是600×=30人，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为45，60，30．故选D．5．在△ABC中，已知sinAcosA=sinBcosB，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用二倍角的正弦公式与诱导公式即可判断该△ABC的形状．【解答】解：∵在△ABC中，sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又sin2B=sin（π﹣2B），∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为（）A．B．C．D．【考点】向量的投影．【分析】先求得两向量的数量积，再求得向量的模，代入公式求解．【解答】解析：在方向上的投影为===．7．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27 B．11 C．109 D．36【考点】中国古代数学瑰宝．【分析】秦九韶算法可得f（x）=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，进而得出．【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）=x5+2x3+3x2+x+1=（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0=1，v1=1×3+0=3，v2=3×3+2=11，v3=11×3+3=36．故选：D．8．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵，∴设=λ，（λ＞0）得=+∴m=且=，解之得λ=8，m=9．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A．0.6小时B．0.9小时C．1.0小时D．1.5小时【考点】频率分布直方图．【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，再除以总人数即可．【解答】解：==0.9，故选B．10．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．【解答】解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将代入可得：sin+acos=解得a=﹣1故选D．11．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．12．若=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1b1，a2b2），已知，且点P（x，y）在函数的图象上运动，点q在函数y=f （x）的图象上运动，且点p和点q满足：=⊗+（其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（）A．1，πB．1，4πC．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设点P，Q的坐标，根据=⊗+得到P，Q的坐标之间的关系，从而写出函数的解析式即可求出答案．【解答】解：P（x0，y0），Q（x，f（x）），∵=⊗+=（x0+y0）+（0，1）=（x0，y0+1），∴（x，f（x））=（x0，y0+1），∴x0=x，f（x）=y0+1∴y0=2f（x）﹣2，∵P（x0，y0）在的上，∴2f（x）﹣2=sin∴f（x）=sin+1，∴f（x）max=，T==4π，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．下列各数：101011（2），1210（3），110（8），68（12）中最小的数为1210（3）．【考点】进位制．【分析】将各数都转化为十进制数，即可比较大小，从而得解．=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25=53．【解答】解：A、101011（2）B、1210（3）=0×30+1×31+2×32+1×33=3+18+27=48C、110（8）=0×80+1×81+1×82=8+64=72D、68（12）=8×120+6×121=80最小．比较可得：1210（3）故答案为：1210．（3）14．某班50名学生右眼视力的检查结果如表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.8 1.0 1.2 1.5人数113434468106则该班学生右眼视力的众数为 1.2，中位数为0.8．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用众数、中位数的定义直接求解．【解答】解：由某班50名学生右眼视力的检查结果统计表，知：该班学生右眼视力的众数为1.2，该班学生右眼视力的中位数为：0.8．故答案为：1.2，0.8．15．已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f=1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知条件，然后求解所求的表达式的值即可．【解答】解：函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，f+bcos=﹣1即asinα+bcosβ=1，f+bcos=asinα+bcosβ=1，故答案为：1．16．有下列命题：①已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为λ+μ，其中λ，μ∈R；②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则；③直线x﹣y﹣2=0的一个方向向量为（1，﹣1）；④在△ABC中，AB=2，AC=3，则BC=；其中正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由向量的基本定理，，是平面内两个不共线向量，即可判断①；由向量的多边形法则，结合中点向量，即可判断②；由直线的方向向量为（1，k），k即为斜率，即可判断③；由向量的数量积的定义和余弦定理，解方程可得BC，即可判断④．【解答】解：对①，由平面向量定理可得，，是平面内两个不共线向量，则平面内任一向量都可表示为λ+μ，其中λ，μ∈R，故①错；对②，对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，=++，=++，两式相加可得2=（+）+（+）+（+）=+（+）+，则，故②正确；对③，直线x﹣y﹣2=0的一个方向向量为（1，1），故③错；对④，在△ABC中，AB=2，AC=3，，可得﹣2BC•cosB=1，由cosB==﹣，则BC=，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．（1）求的值；（2）若，求sin（α+β）．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据三角函数定义得到角的三角函数值，把要求的式子化简用二倍角公式，切化弦，约分整理代入数值求解．（2）以向量的数量积为0为条件，得到垂直关系，在角上表现为差是90°用诱导公式求解．【解答】解：（1）由三角函数定义得，，∴原式=；（2）∵，∴∴，∴∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=．18．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s）的数据如下：甲273830373531乙332938342836（1）画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】（1）由已知条件画出茎叶图，从茎叶图上看，甲、乙二人得分情况是分布均匀的，只是乙更好一些，乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．（2）由题设条件能求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、极差、方差，选乙参加比赛比较合适．【解答】解：（1）画出茎叶图如下，中位数为数据的十位数．从茎叶图上看，甲、乙二人得分情况是分布均匀的，只是乙更好一些，乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．（2）甲的平均数=（27+38+30+37+35+31）=33，乙的平均数=（33+29+38+34+28+36）=33，甲的方差=≈15.67．乙的方差=≈12.67．甲的极差为：38﹣27=11，乙的极差为：38﹣28=10．由甲、乙平均数相等，乙的方差较小，知选乙参加比赛比较合适．19．已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=﹣，（1）f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若，且α∈（，π）．求α．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）f（x）解析式利用平面向量的数量积运算法则计算，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；由正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；（2）利用f（x）解析式化简已知等式求出sin（α﹣）的值，根据α的范围即可确定出α的度数．【解答】解：f（x）=•﹣=2cos2x+2sinxcosx﹣=sin2x+cos2x=2sin（2x+）；（1）∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为T=π；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）∵f（﹣）﹣f（+）=，∴2sinα﹣2cosα=，∴2sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，∵α∈（，π），∴α﹣∈（，），∴α﹣=或，∴α=或．20．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：分组频数频率60.5～70.50.1670.5～80.51080.5～90.5160.3290.5～100.5合计50（Ⅰ）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；（Ⅱ）补全频数直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意第三个数据是用样本容量减去其他三个数得到．（2）首先根据表格中已知频率乘以总人数即可求出小组的频数，再根据所有频率之和为1可以求出最后一个未知小组的频率，然后乘以总人数就可以求出这组的频数，最后根据表格数据库补全频数分布直方图；（3）先计算出成绩在76.5～85.5的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234（人）．【解答】解：（1）分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.580.1670.5～80.5100.2090.5～100.5120.24合计50 1.00（2）频数直方图如图所示（3）成绩在75.5～80．的学生占70.5～80.5的学生的，因为成绩在70.5～80.5的学生频率为0.2，所以成绩在75.5～80.5的学生频率为0.1，成绩在80.5～85.5的学生占80.5～90.5的学生的，因为成绩在80.5～90.5的学生频率为0.32，所以成绩在80.5～85.5的学生频率为0.16所以成绩在76.5～85.5的学生频率为0.26，由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234（人）21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．【解答】解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，∴sin=0．而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）=，得sin（2α+）+sin（2α﹣）=，即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．∴（sinα+co sα）2=1+=．∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．22．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；（Ⅱ）求使f（x）≥0时，x的取值范围；（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，，得，即可解得x的取值范围．（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，该函数为偶函数，则需满足，从而解得m的值，即可得解．【解答】解：（Ⅰ）∵=，∴由sinx≠0知，x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（x）≥0知，即，∴，即，∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，即，若要使该函数为偶函数，则需满足，∴，∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．2017年4月21日。