高一下学期数学期末考试试题(共2套,含答案)

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）A．平均数小，方差大B．平均数小，方差小C．平均数大，方差大D．平均数大，方差小【答案】D【分析】根据平均数与方差的含义即可求解.【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小.故选：D2．下列说法错误的是（）A．一个棱柱至少有5个面B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【详解】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B3．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683 471257333027554488730863537039据此估计P的值为（）A ．0.6B ．0.65C ．0.7D ．0.75【答案】B【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率P 的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有13组，所以其3次射击至少2次击中目标的概率130.6520P ==，故选：B.4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A 不符合题意；对于B 中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B 不符合题意；对于C 中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C 不符合题意；对于D 中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.5．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为5，7，9的概率分别为123,,p p p ，则（）A ．132p p p <<B ．132p p p =<C ．132p p p =>D ．132p p p >>【答案】B【分析】根据题意可知，掷两枚骰子，一共有36种等可能的结果，分析出点数之和分别为5，7，9的情况种数，接下来利用概率计算公式进行计算，再比较三个概率的大小即可.【详解】掷两枚质地均匀的正方体骰子，记出现的点数为(,)m n ，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，共有36种结果，点数之和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种，191346p ∴==，点数之和为7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，261366p ∴==，点数之和为9的情况有3,6,4,5,5,4,()()()(6,3)，共4种，391346p ∴==，则132p p p =<.故选：B.6．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，这组数据中位数的估计值为（）A ．70B ．77C ．80D ．82【答案】B【分析】由频率之和为1求出x 值，由中位数公式计算中位数的估计值．【详解】由频率之和为1得：()100.0050.0350.0300.0101x ++++=，解得0.020x =，[50,70)的频率为0.005100.02100.250.5⨯+⨯=<，[50,80)的频率为0.005100.02100.035100.60.5⨯+⨯+⨯=>，则中位数在[70,80)内，所以这组数据中位数的估计值为0.50.2570770.035-+≈，故选：B ．7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）A ．5B ．22C ．10D ．15【答案】C【分析】将1,,AB AD AA作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示1AC uuur ，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得11,2AB AD AA === ，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒ ，因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++uuu r uuu r uuu r ,所以()2211AC AB AD AA =++ 212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒10=，所以110AC =uuur，故选：C8．我们可以用24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(小于10mm)，中雨(10mm －25mm)，大雨(25mm －50mm)，暴雨(50mm －100mm)，小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨【答案】C【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得积水厚度，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()300150mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()300200100mm 2300⨯=，高为()200mm 的圆锥，所以积水厚度()221π100200329.6mm π150d ⨯⨯=≈⨯，属于大雨.故选：C.二、多选题9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（）A ．直线AM 与1C C 是异面直线B ．A ，M ，B ，N 四点共面C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线MN 与AC 是相交直线【答案】AC【分析】根据图形及异面直线的定义判断即可.【详解】因为A ∉面11CDD C ，M ∈面11CDD C ，1C C ⊂面11CDD C ，1M C C ∉，所以AM 与1C C 是异面直线，故A 正确；连接11,A D BC ，因为N ∉面11ABCD ，B ∈面11ABC D ，AM ⊂面11ABC D ，B AM ∉，所以AM 与BN 是异面直线，故B 错误；因为M ∉面11BCC B ，1B ∈面11BCC B ，BN ⊂面11BCC B ，1B BN ∉，所以BN 与1MB 是异面直线，故C 正确；延长DC 与MN 交于点E ，因为M ∉面ABCD ，E ∈面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，E AC ∉，所以ME 与AC 是异面直线，即MN 与AC 是异面直线，故D 错误.故选：AC.10．如图是一个古典概型的样本空间Ω及事件A 和事件B ，其中()24n Ω=，()12n A =，()8n B =，()16n A B ⋃=，则（）A ．()23P A B ⋃=B ．()13P AB =C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】计算出事件A 和事件B ，以及A B ⋃，AB 的概率，即可判断A,B ；由于()4,n AB AB =≠∅，可判断C;分别计算()()(),P A P B P AB ⋅的值，看二者的关系，判断D.【详解】()()()()()Ω24,Ω24168,128164n n AB n n A B n AB =∴=-⋃=-==+-= ，()()()()()()41162,Ω246Ω243n AB n A B P AB P A B n n ⋃∴===⋃===，()81()(Ω)243n AB P AB n ===，故A 正确，B 正确；()4,n AB AB A =∴≠∅∴ 与B 不互斥，故C 错误；()()()()()()()()()12181111,,Ω242Ω243236n A n B P A P B P A P B P AB n n ======∴⋅=⨯== ，∴事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.11．已知,,a b l 为不同的直线，,,αβγ为不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bB ．若,,//a b αβαβ⊥⊂，则a b⊥r rC ．若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，则,a b 至少有一条与直线l 垂直D ．若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，则l α⊥【答案】BCD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A ，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD ．【详解】若//,,a b αβαβ⊂⊂，,a b 可能平行也可能异面，A 错；,a ααβ⊥∥，则a β⊥，又b β⊂，则a b ⊥r r，B 正确；若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，假设a 与l 不垂直，过直线a 任一点P 在平面α内作直线c l ⊥，因为αβ⊥，所以c β⊥，又b β⊂，则c b ⊥，又b a ⊥，,a c 是平面α内两相交直线，因此b α⊥，而l ⊂α，所以b l ⊥，即直线,a b 中如果有一条不与l 垂直，则另一条必定与直线l 垂直，C 正确；若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，如图，设a αβ⋂=，b αγ= ，过直线l 上一点P 在平面β内作直线m a ⊥，则m α⊥，同理过P 在平面γ内作直线n b ⊥，则n α⊥，因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以,m n 重合，即重合为平面β和γ的交线l ，所以l α⊥，D 正确．故选：BCD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，1AC 交平面1A BD 于点E ，点F 为棱CD 的中点，则（）A ．1,,A E O 三点共线B ．异面直线BD 与1AC 所成的角为60︒C ．点1C 到平面1A BD 的距离为233D ．过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98【答案】ACD【分析】由题意可证得1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，可判断A ；由题意可证得BD ⊥平面11ACC A ，从而1BD AC ⊥，可判断B ；由题意可证得1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，求解可判断C ；取1D D 的中点G ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.【详解】因为O 为底面ABCD 的中心，所以O 为BD 和AC 的中点，则,O BD O AC ∈∈，因为BD ⊂平面1,A BD AC ⊂平面11ACC A ，所以O ∈平面1,A BD O ∈平面11ACC A ，所以点O 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；显然1A 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；因为1AC 交平面1A BD 于点1,E AC ⊂平面11ACC A ，所以E 也是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点，所以1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，即1,,A E O 三点共线，故A 正确；因为1C C ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1BD C C ⊥，又11,,,BD AC AC C C C AC C C ⊥=⊂ 平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，即异面直线BD 与1AC 所成的角为90︒，故B 不正确；根据证明1BD AC ⊥的方法，同理可得11AC A B ⊥，因为11,,BD A B B BD A B =⊂ 平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，显然E 为正三角形1A BD 的中心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以正三角形1A BD 的边长为2，所以12362323A E =⨯⨯=，又112AC =，所以2221111623233C E AC A E ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭,即点1C 到平面1A BD 的距离为233，故C 正确；取1D D 的中点G ，连11,,,FG GA BF A B ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，如图：因为122,2A B FG ==，152A G BF ==，所以等腰梯形1A BFG 的高为22113224A B FG h A G -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以等腰梯形1A BFG 的面积为()1112329222248A B FG h ⎛⎫+⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，即过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．从我校高三某班抽取10名同学，他们的数学高考成绩如下：116，117，122，125，127，131，135，139，143，150(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是．【答案】137【分析】根据百分位数定义可求.【详解】因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1351391372+=，故答案为：137.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角111B A C B --的余弦值为．【答案】33/133【分析】连接11AC 和11B D 交于点E ，可证得11A C ⊥平面11BB D D ，则11AC BE ⊥，又111A C B E ⊥，所以1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，解三角形即可求出结果.【详解】如图，连接11A C 和11B D 交于点E ，连接,BD BE ．∵1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，∴111BB AC ⊥，又11111111111,,,A C B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 平面11BB D D ，∴11A C ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，∴11A C BE ⊥，又111A C B E ⊥，∴1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，设12B B =，则12,6B E BE ==，故13c 3os 26B EB ==∠．故答案为：33.15．如图，圆柱的底面直径AB 与母线AD 相等，E 是弧AB 的中点，则AE 与BD 所成的角为．【答案】π3【分析】过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角，求解即可.【详解】如图，过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，连接AF ，DF ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角．不妨设2AB AD ==，则22BD =，由题意可得ABF △是等腰直角三角形，所以2BF AF ==．在直角AFD △中，DF =226AF AD +=，所以222DF BF BD +=，所以BDF V 是直角三角形，又2BD BF =，所以π3FBD ∠=，故答案为：π3．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，E 为棱CD 的中点，F 为棱11C D （包括端点）上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值是．【答案】2449π/2449π【分析】取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，求出286n m +=，得到m的取值范围，即得解.【详解】解：如图，取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，则三棱锥E ADF -外接球的球心O 在1MO 上．设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，则222R OE OF ==，即()2222222534R m OM MN NF m n =+=++=-++，所以286n m +=．因为03n ≤≤，所以41736m ≤≤，则226159R m =+≥.故三棱锥A DEF -外接球的表面积224449S R ππ=≥．故答案为：2449π四、解答题17．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos a B b A c +=.（1）求B ；（2）设2a c =，2b =，求c .【答案】（1）4π；（2）2.【分析】（1）由题设，根据正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=，结合三角形内角的性质得tan 1B =，即可求B ；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c .【详解】（1）由正弦定理得：sin sin sin cos sin A B B A C +=，而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴sin sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，cos 0B ≠，∴tan 1B =，又0B π<<，即4B π=.（2）由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，即2a c =，∴222242222c c c =+-⨯，解得2c =.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AC 与BD 交于点O ，PA ⊥面ABCD ，且2PA =.(1)求证BD ⊥平面PAC .；(2)求PD 与平面PAC 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】（1）由AC BD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得BD ⊥平面PAC ；（2）连接PO ，得到DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，在直角DPO 中，即可求得PD 与平面PAC 所成的角.【详解】（1）解：因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（2）解：连接PO ，因为BD ⊥平面PAO ，所以DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，因为2AB PA ==，所以6,2PO DO ==，在直角DPO 中，23tan 36DODPO PO∠===，所以30DPO ∠= ，即PD 与平面PAC 所成的角为30 .19．在①sin 4a C =，②62a b c ++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断 ABC 的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 ABC ，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2,23ABC a c b S +== ，______？，注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选①，由sin 4a C =结合23ABC S = 可得3b =，则23a c +=，后由基本不等式结合23ABCS = 可判断三角形是否存在；若选②，由题可得224223ABC b a c S ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ .由余弦定理结合23ABC S = 可得11cos sin B B+=，可解得π3B =，可得,ac a c +.即可判断三角形是否存在.【详解】解：若选①，这样的 ABC 不存在.理由如下：则1sin 233,232ABC S ab C b a c ==⇒=+= 则()213323422sin sin ABC a c ac S ac B B +≤=⇒==≤ .得43sin 13B ≥>，与正弦函数的有界性矛盾.故这样的 ABC 不存在；若选②，这样的 ABC 存在.22223426223ABC ABC a c bb S ac a b c S ⎧+==⎧⎪⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩ .由余弦定理：()()2222221cos cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+.得()cos 112ac B +=.又123432sin sin ABC S ac B ac B ==⇒= .则1133162cos πsin cos sin sin B B B B B⎛⎫+=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭.因为a ，b ，c 成等差数列，b 不是最大边，所以π02B <<，所以ππ66B -=，即π3B =.则82242ac a c a c =⎧⎪⇒==⎨+=⎪⎩，则此时 ABC 为等边三角形.20．立德中学在端午节到来之际准备举办端午知识趣味竞赛，甲、乙两位同学组成“星队”参赛，每轮活动由甲、乙各回答一道题，已知甲每轮猜对的概率是p ，乙每轮猜对的概率是89p ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，其中112p <<．(1)若在一轮比赛中“甲答对题目且乙答错题目”的概率为14，求p ;(2)在（1）的条件下，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．【答案】(1)34(2)512【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列式求解；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，根据独立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【详解】（1）根据题意，81194112p p p ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩，所以34p =；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据题意得()()1231133339,444484416P A P A =⨯+⨯==⨯=，()()1221124224,33339339P B P B =⨯+⨯==⨯=．设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 相互独立，所以()()()()()()()12211221P A P A B P A B P A PB P A P B =+=+349458916912=⨯+⨯=，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为512．21．4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图．(以各组的区间中点值代表该组的各个值)男生一周课外阅读时间频数分布表小时频数[)0,29[)2,425[)4,63[]6,83女生一周课外阅读时间频率分布直方图(1)从一周课外阅读时间为[)4,6的学生中按比例分配抽取6人，再从这6名学生中选出2名同学调查他们阅读书目．求这两人都是女生的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数,x y ；(3)估计总样本的平均数z 和方差²s ．参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为2 2.4s =男和23s =女，()()404060602222211111()()100i i i i i i s x x x z y z y y ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，()140i x i ≤≤和()160i y i ≤≤分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中Z i ∈．【答案】(1)23(2)3x =，4y =；(3) 3.6z =，23s =.【分析】（1）首先求出[)4,6中女生的人数，再利用分层抽样计算抽取的男生与女生的人数，利用古典概型公式求出概率；（2）根据平均数公式计算可得；（3）首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.【详解】（1）一周课外阅读时间为[)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158⨯⨯=人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有361315⨯=+人，女生有1565315⨯=+人，用a 表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，则样本空间为{}Ω1,2,3,4,5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45a a a a a =，设事件A =“选出两人都是女生”，则{}12,13,14,15,23,24,25,34,35,45A =，由于抽中Ω中每一个样本点的可能性相等，所以这是一个古典概型，所以()()()102Ω153n A P A n ===.（2）估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x ⨯+⨯+⨯+⨯==；估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（3）估计总样本的平均数3404603.6100z ⨯+⨯==，∵()()4060222211112.4,34060i i i i x x s y ys ==-==-==∑∑男女，∴()()406022221140 2.44096,60360180i i i i x xs y ys==-=⋅=⨯=-=⋅=⨯=∑∑男女，4060222211()40(3 3.6)14.4,()60(4 3.6)9.6i i x z y z ==-=⨯-=-=⨯-=∑∑，∴21[9614.49.6180]3100s =+++=，所以估计总样本的平均数 3.6z =，方差23s =．22．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；(3)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】(1)24(2)52(3)1111【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出1222PG AM ==，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭；（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到29cos 80609t t α=+-，结合t 的取值范围求出余弦值的最小值【详解】（1）取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==，底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=（2）取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△PAB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQ AB =，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.（3）连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为22PG =，所以()222sin ,cos ,1cos 222PH GH DH θθθ===-，所以()()002211cos 1cos 222x y θθ==-⨯=-，02sin 2z θ=所以()()1121cos ,1cos ,sin 222P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 121,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1111101cos cos 12sin 0222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令12z =，则()1tan ,tan ,2n θθ= ，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，因为()cos 1cos 321,0,0,,,sin 222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 32sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令22sin y θ=，可得：()20,2sin ,3cos n θθ=+ ，设两平面夹角为α，则()()21222212sin 2322cos 3cos 1cos cos 11cos 6cos 2tan2sin 6cos 10n n n n θθθθαθθθθθ++⋅+===⋅-++++ 2213cos 3380201201801cos cos 1133393cos 9cos 33θθθθθ+==⎛⎫⎛⎫+--++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以29cos 80609t t α=+-，所以当3t =时，cos α有最小值1111，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为1111【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学【最新】高一下学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．三条平行直线必共面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2．已知直线l 过点(1,8)-，(4,2)-，则直线l 的方程为（ ）A ．260x y +-=B ．260x y --=C ．260x y +-=D ．260x y --= 3．已知直线1l ：2470x y -+=，2l ：250x y -+=，则1l 与2l 的关系（ ） A ．平行B ．重合C ．相交D ．以上答案都不对4．如图1，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为16的一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．16πD ．20π5．设变量x ，y 满足约束条件3,{1,1,x y x y y +≤-≥-≥则目标函数z=4x+2y 的最大值为A ．12B ．10C ．8D ．26．长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1AB AA AD ===，则异面直线1BC AC 与所成角的余弦值为（ ）A B ．12 C D ．157．与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程是（ ）A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+= D ．3450x y --= 8．两条平行直线3490x y +-=和3410x y ++=的距离是（ ）A ．85B ．2C ．115D ．759．直线210x y -+=与直线210ax y ++=的垂直,则a = （ ）A ．1B ．-1C ．4D ．-410．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则三棱锥1D ABC -的体积为（ ）A ．6B ．2C ．16D ．1211．在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心且与直线210mx y m ---= ()m R ∈ 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)2x y -+=C ．22(2)(1)1x y -++= D ．22(2)(1)2x y -++=12．在正方体1111ABCD A B C D -中， E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ， 记1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ， 下列说法正确的是个数是（ ）①点F 的轨迹是一条线段②1A F 与1D E 不可能平行③1A F 与BE 是异面直线④tan θ≤⑤当F 与1C 不重合时，平面11A FC 不可能与平面1AED 平行A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．圆22:2220C x y x y +++-=，:20l x y -+=，求圆心到直线l 的距离________． 14．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''= ，则原ABC 的面积为______.15．直线:sin 10()l x y R αα+-=∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为___________ 16．设,,l m n 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列五个判断: ①若,,l m l m αβ⊥⊥⊥则αβ⊥；②若,m β⊂n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则m l ⊥；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；⑤若圆224x y +=上恰有3个点到直线：:l y x b =+的距离为1，则b其中正确的为___________.三、解答题17．根据下列条件，分别求直线方程：（1）经过点(3,0)A 且与直线250x y +-=垂直；（2）求经过直线10x y --=与220x y +-=的交点，且平行于直线230x y +-=的直线方程．18．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，求证：（1）//PA 平面BDE ；（2）BD ⊥平面PAC .19．一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且直线y x =被圆所截得的弦长为，求此圆的方程.20．如图，DC ABC ⊥平面，22EB DC AC BC EB DC ，＝＝＝＝，120ACB P Q ∠︒＝，，分别为AE AB ，的中点(1)证明：平面AED ⊥平面ABE ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．21．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是1AD BD 、和的中点.（1）求证：平面MNP //平面11CC D D .（2）求二面角1N B C B --的正切值22．在平面直角坐标系中，点(5,4),(1,0)M N ---,圆C 的半径为2，圆心在直线1:12l y x =--上 （1）若圆心C 也在圆22640x y x +-+=上，过点M 作圆C 的切线，求切线的方程．（2）若圆C 上存在点R ，使RM =,求圆心C 的纵坐标b 的取值范围．参考答案1．D【解析】选项A 应该是不共线的三点才能确定一个平面，选项B 应该是直线和直线外一点才能确定一个平面，选项C 应该是两条平行线才必共面，故选D.2．A【解析】 由两点式可得828260(1)4(1)y x y x ---=⇒+-=---- ，故选A. 3．A【解析】 由已知可得1112175,242k k b b ===-≠-= ，故两直线平行，故选A. 4．C【解析】所求表面积为22416ππ⨯⨯⨯= .5．B【分析】由上图可得z 在(2,1)A 处取得最大值，即max 422110z =⨯+⨯= .【详解】请在此输入详解！【点睛】请在此输入点睛！6．D【解析】22222211111cos 2?5D A AC D C D AC D A AC+-+-∠=== ,故选D. 7．B【解析】 试题分析：令x=0，可得直线3x ﹣4y+5=0与y 轴的交点．令y=0，可得直线3x ﹣4y+5=0与x 轴的交点，此点关于y 轴的对称点为．可得：与直线3x ﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线经过两点：，．利用截距式即可得出．解：令x=0，则y=，可得直线3x ﹣4y+5=0与y 轴的交点． 令y=0，可得x=﹣，可得直线3x ﹣4y+5=0与x 轴的交点，此点关于y 轴的对称点为． ∴与直线3x ﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线经过两点：，． 其方程为：=1，化为：3x+4y ﹣5=0．故选：A ． 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．8．B【解析】 所求距离为2d == ，故选B.9．A【解析】 122112a k k a ⎛⎫=⨯-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选A. 10．C 【解析】 111111326V =⨯⨯⨯⨯= .故选C.11．B【解析】记圆心为()1,0C ，直线方程可化为()210m x y ---=⇒ 直线过定点(21)P -，当CQ 与已知直线垂直时圆的半径最大，最大值为r ==，因此圆的标准方程为22(1)2x y -+= ，故选B.12．C【解析】由上图可得F MN ∈ ，故①正确；当F 与M 重合时1A F 与1D E 平行，故②错误；1 A F 与BE 既不平行也不相交，直线1A F 与BE 是异面直线，故③正确；F 为MN 中点时1B F最小，此时11max 1tan A B B F θ===,故④正确；显然平面11A FC 不可能与平面1AED 平行，故⑤正确，综上正确命题有4个，故选C.13【解析】圆方程可化为()()22114x y +++=⇒圆心(1,1)C d --⇒==14【分析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.【详解】解：依题意得到直观图的原图如下：且1BO CO ==，222A O AO '='⨯==所以11222ABC S BC AO ∆=⋅=⨯=【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题．15．3[0,][,)44πππ 【解析】 当sin 00a θ=⇒= ，当1sin 011,0(0,sin a k k k a θ-≠⇒=⇒-≤≤≠⇒∈且 ][3,)44πππ⋃，综上][3[0,,)44ππθπ∈⋃. 16．①②【解析】两个面的垂线互相垂直，这两个面必垂直，故①正确，由三垂线定理可得：垂直射影的直线必垂直斜线，故②正确；不一定是正三棱锥，故③错误；体积应扩大为原来的64倍，故④错误；1d b ==⇒=，故⑤错误，综上正确命题为：①②.17．（1）230x y --= （2） 210x y +-=【解析】试题分析：（1）易得直线的斜率为12k =⇒ 所求直线方程为：0y -= ()132x -⇒，230x y --= ；（2）由101(1,0)2200x y x x y y --==⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨+-==⎩⎩所求直线方程为：0y -= ()112x --⇒210x y +-= . 试题解析：（1）由已知可得所求直线的斜率为1,2k =∴ 所求直线方程为：0y -= ()132x -，即：230x y --= . （2）由10220x y x y --=⎧⎨+-=⎩ ，解得10x y =⎧⎨=⎩，即交点为(1,0),∴所求直线方程为：0y -= ()112x --，即：210x y +-= . 18．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连接OE ，利用中位线有//PA OE 即可证得线面平行；（2）由于底面是正方形，故BD AC ⊥，而BD PO ⊥，故BD ⊥平面PAC .试题解析：证明：（Ⅰ）连接OE ，在CAP ∆中，,,//CO OA CE EP PA EO ==∴， 又PA ⊄平面BDE ，EO ⊆平面BDE .//PA ∴平面BDE .（Ⅱ）PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PO ∴⊥， 又四边形ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，,,AC PO O AC PO ⋂=⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC .19．22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【解析】试题分析：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=（0r >），根据题设条件，列出方程组，求得的,,a b r 的值，即可得到圆的方程．试题解析：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=（0r >），则有：r a =，30a b -=，222r +=，解得3,{1,3,a b r ===或3,{1,3.a b r =-=-= 所以，所求圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．考点：圆的标准方程．20．（1）见解析 （2 【解析】试题分析：（1）先证//PQ BE 且12PQ BE =,又//CD BE 且12CD BE =⇒ //CD PQ 且CD PQ =⇒四边形CQPD 为平行四边形⇒//DP CQ ,又因为CD ⊥平面ABC CD CQ ⊥,CQ DP ⊥⇒以CQ ABDP ABDP ⊥⊥⊥平面ABE ⇒平面ADE ⊥平面ABE（2）由DP ⊥平面ABEAP 是AD 在平面ABE 内的射影⇒DAP ∠为AD 与平面ABE 所成的角⇒sin DAP ∠=为所求. 试题解析：（1）连接DP,CQ ，因为,P Q 为,AE AB 的中点，所以//PQ BE 且12PQ BE =,又因为//CD BE 且12CD BE =,所以//CD PQ 且CD PQ =,所以四边形CQPD 为平行四边形，有//DP CQ ,又因为CD ⊥平面ABC ，所以CD CQ ⊥,CQ DP ⊥,又AC BC =,所以CQ AB ⊥,所以DP AB ⊥,又因为AB PQ Q ⋂=,所以DP ⊥平面ABE ，又因为DP ⊂平面ADE ,所以，平面ADE ⊥平面ABE（2）因为DP ⊥平面ABE ,所以AP 是AD 在平面ABE 内的射影，所以DAP ∠为AD 与平面ABE 所成的角，sin 5DAP ∠=21．（1）见解析 （2【解析】 试题分析：（1）先证1//MN CD ⇒111 M N CC D DPN C D 平面.再证11//C PN C D D 平面 ⇒平面MNP //平面11CC D D ；（2）作辅助线并证得NER ∠为二面角1N B C B --的平面角⇒tan NR NER ER∠==. 试题解析：证明：（1）连接1,AC CD ,连接11,BC C D 因为ABCD 为正方形，N 为BD 中点，所以N 为AC 中点，又因为M 为1AD 中点，所以1//MN CD ，因为11111,MN CC D D CD CC D D ⊄⊂平面平面，所以11MN CC D D 平面.又因为11BB CC 为正方形，P 为1B C 中点，所以P 为1BC 中点，又因为N 为BD 中点，所以1PN C D .因为11111,PN CC D D C D CC D D ⊄⊂平面平面，所以11//C PN C D D 平面，又MN PN N ⋂=，所以平面MNP //平面11CC D D .（2）取BC 的中点R ，过R 做1B C 的垂线，垂足为E ，连接NE ，则NER ∠为二面角1N B C B --的平面角，tan NR NER ER∠==22．（1）4y =或2845400x y --=（2）6655b ++-≤≤-或6655b ≤≤ 【解析】试题分析：（1）建立方程组22112640y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪+-+=⎩⇒圆心（2，-2），设切线方程，再由点到直线的距离公式解得0k =或2845k =⇒所求切线方程为4y =或2845400x y --= （2）设点(),R x y，由()()223464RM x y =-+-=⇒点R 在以()3,4D 为圆心，以8为半径的圆上，由圆C 与圆D 有公共点⇒610CD b ≤≤≤≤b ≤≤试题解析：（1）22112640y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪+-+=⎩解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心（2，-2），设切线方程为()45y k x +=+，即540kx y k -+-=2=，解得0k =或2845k =，所求切线方程为4y =或2845400x y --=（2）设圆C 的方程为()()22224x b y b +++-=，设点(),R x y ，因为RM ,=化简得()()223464x y -+-=，所以点R 在以()3,4D 为圆心，以8为半径的圆上，由题意知点R 在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则610CD ≤≤，即610≤≤，所以2551259b b -≤+≤，解得b ≤≤b ≤≤。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）1. 是第_____________象限角，2. 复数_____．3. 函数的最大值是______.4. 已知，且，则______．5. 已知是实系数方程一个虚根，则______．6. 已知等比数列满足，，则______．7. 已知，则在上的数量投影是______．8. 在中，，则______．9. 已知复数z 满足，则的最大值为___________.10. 等差数列前项和分别是，若，则______．11. 若函数在上严格减，则正实数的取值范围是______．12. 已知平面向量，，，，满足，，，则最大值为______.二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. “”是“是纯虚数”（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 既不充分也不必要D. 充要14. 若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与的的的的20242(1i)+=3sin 4cos y x x =+()()1,3,2,a b k == a b ⊥k =12024i +20x px q ++=p ={}n a 134a a +=246a a +=35a a +=()()3,4,2,1a b == a bABC V 36,5,cos 5b c bc A +====a 34i 2z ++≤z {}{},n n a b n ,n n S T 542n n S n T n +=+44a b =()sin 0y x ωω>=3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω1e 2e 3e p 1231e e e ===u r u r u r 120e e ⋅= 1p ≤r ()()12p e p e -⋅-+u r u r r r ()()()()2331p e p e p e p e -⋅-+-⋅-u r u r u r u r r r r r 1m =()()2322i z m m m =-++-12,e e 12e e + 12e e - 122e e + 122e e + 123e e - 2126e e - 2e 12e e +15. 在中，，则（ ）A. B. C. 或 D. 以上答案均不正确16. 已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题：①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即；②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；则下列说法正确的是（ ）A. 命题①②都是真命题B. 命题①②都是假命题C. 命题①是真命题，命题②是假命题D. 命题①是假命题，命题②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间.（2）当时，求的最值.18. 在数列中，已知．（1）求的通项公式；（2）计算：．19. 在复数范围解方程．（1）关于的实系数一元二次方程的两根满足的值；（2）关于的实系数一元二次方程的两根，请根据实数的不同取值范围讨论的值．20. 在中，，平面上点满足，，动点在线段上（不含端点）．（1）设，用含有的式子表示；的ABC V 53sin ,cos 135A B ==cos C =56651665-56651665-()()11100,R,0,1,,n n n n n i P z a z a z a z a a a i n --=++++≠∈= n n z ()P z ()0P z =z ()P z ()0P z =()P z 22()cos sin cos =-+f x x x x x ()f x 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x {}n a 11,11n n n a a a a +==+1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭122320242025a a a a a a +++ x 220x x k ++=12,x x 12x x -=k x 220x x k ++=12,x x k 12x x +ABC V 3,4,60AB AC BAC ∠=== ,D E 23AD AB = 34A A E C = P DE ()01DP k DE k =<< ,,k AD AE AP（2）设，求的最小值；（3）求的最小值．21. 一个如果定义在上的函数使得，则称是一个元置换，可以用一个的数表来简单表示，例如表示一个4元置换，对于一个元置换和，按照的递推关系定义的数列称为关于生成的数列．（1）对于3元置换，直接写出2关于的生成数列的前四项；（2）给出两条新定义：①对于一个数列，如果存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称是一个周期数列，并称是的一个周期；②对于一个元置换，如果存在正整数，使得对任意，都是关于的生成数列的一个周期，则称是元置换的一个周期．对于5元置换，求的一个周期；（3）王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针转动一圈，就会按照某个10元置换运作，将在第个位置的凹槽转移到第个位置上．机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥匙多少次，才能保证能打开机关盒？AP xAB y AC =+ 12xy +PB PC ⋅{}1,2,,m f ()()(){}{}1,2,,1,2,,f f f m m = f m 2m ⨯()()()1212m f f f f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭12344213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()14,22,31,43f f f f f ====：m f {}1,2,,a m ∈ ()11,1n n a f a n a a+⎧=≥⎨=⎩{}n a a f 123231f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f {}n a {}n b T n n T n b b +={}n b T {}n b m f T {}1,2,,a m ∈ T a f {}n a T m f 1234525431f ⎛⎫= ⎪⎝⎭f f k ()f k ()110k ≤≤华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 答案一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）【1题答案】【答案】三【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】-2【6题答案】【答案】【7题答案】【答案】【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】7【10题答案】【答案】##0.4【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2i523-92523107,,3232⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5+二、选择题（本大题共4题，满分20分）【13题答案】【答案】D【14题答案】【答案】C【15题答案】【答案】B【16题答案】【答案】A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）最小值1，最大值为2.【18题答案】【答案】（1）；（2）【19题答案】【答案】（1）—1或3；（2）【20题答案】【答案】（1）； （2）； （3）【21题答案】【答案】（1）（2）（3）有办法，π,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈n 202420251202,011k x x k k ⎧≤⎪+=<≤⎨⎪>⎩()1AP k AD k AE =-+ 496289112-2,3,1,262519。

河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

秘密★启用前云南省巍山彝族回族自治县第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后,请将本试题和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)注意事项：1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出结果后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目地结果标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他结果标号.在试题卷上作答无效.一､选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给地四个选项中,只有一项是符合题目要求地)1.已知集合{}0,1A =,集合{}1,0,1,2,3B =-,则图中阴影部分表示地集合是（）A.[]1,3B.(]1,3C.{}1,2,3-D.{}1,0,2,3-2.已知i 是虚数单位,a ∈R ,若复数i12i a --为纯虚数,则a =（ ）A.2- B.2C.12-D.123.函数()2f x x=-,则函数()f x （ ）A.在R 上地增函数 B.在R 上地减函数C.在(),0-∞上是增函数D.在()0,+∞上是减函数4.总体由编号为01,02,03,,50 地50个个体组成,利用随机数表从中抽取5个个体,下面提供随机数表地第5行到第7行：931247795737891845503994557392296111609849657350984730309837377023104476914606792662206205229234若从表中第6行第5列开始向右依次读取,则抽取地第4个个体地编号是（ ）A.49B.30C.47D.505.已知,0x y >且1x y +=,则11p x y x y=+++地最小值为（ ）A.3B.4C.5D.66.已知函数()tan sin cos f x x x x =-,则（ ）A.()f x 地最小正周期为2πB.()f x 地图象有关y 轴对称C.()f x 地图象不有关π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 地图象有关()π,0对称7.已知,a b 为单位向量,且0a b ⋅= ,若3c a = ,则cos ,a c 〈〉= （ ）8.已知函数()()ln sin ,03,3,3,x x x f x f x x ⎧-<⎪=⎨->⎪⎩…则()f x 在()0,10上地零点个数为（ ）A.6B.7C.8D.99.设样本数据122021,,,x x x 地平均数为x ,方差为2s ,若数据()()()12202121,21,,21x x x +++ 地平均数比方差大4,则22s x -地最大值为（ ）A.1-B.12C.2-D.110.古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中,运用穷竭法证明了与球地面积和体积相关地公式.其中包括他最得意地发现-“圆柱容球”,设圆柱地高为2,且圆柱以球地大圆(球大圆为过球心地平面和球面地交线)为底,以球地直径为高,则球地表面积与圆柱地体积之比为（ ）A.4:3B.3:2C.2:1D.8:311.ABC 地三个内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,若2cos ,cos cos c a B a B b A =+=,则ABC 地形状是（ ）A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形12.如图,点P 在正方体1111ABCD A B C D -地面对角线1BC 上运动,则下面结论正确地个数是（）①三棱锥1A D PD -地体积不变。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

上海市虹口高级中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、填空题：（4*10＝40分）1．设复数z 满足32i z i ⋅=+，其中i 为虚数单位，则Imz = ． 〖解 析〗由32i z i ⋅=+可得32(32)23i i iz i i i i++===-⋅，3Imz ∴=-． 〖答 案〗3-2．已知向量(1,1)a =-，(,2)b m =，若存在实数λ，使得a b λ=，则实数m 的值为 ． 〖解 析〗0b ≠，且a b λ=，∴a 与b 共线，20m ∴--=，解得2m =-．〖答 案〗2-3．已知||2,4b a b =⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为 ． 〖解 析〗向量a 在向量b 方向上的数量投影为||cos a a ⋅<，4||22||||||a b a b b a a b b ⋅⋅->=⋅===-⋅．〖答 案〗2-4．将边长为2的正方形ABCD 水平放置，得到的直观图A B C D ''''的面积为 ． 〖解 析〗将边长为2的正方形ABCD 水平放置，原图面积为224⨯=，∴得到的直观图A B C D ''''的面积为4=〖答5．已知复数1z i =，若复数z 满足12iz z =，则复数z 的辐角主值为 ．〖解 析〗1z i =，12iz z =，∴1cos sin 233z i ππ====+， 故复数z 的辐角主值为3π． 〖答 案〗3π 6．已知复数z 满足：20(ii i z++=为虚数单位），则||z = ．〖解 析〗20i i z ++=，∴22(2)12i i iz i i i++===-+--， 12z i∴=--，∴||z〖答7ABC 中，设,,AB c BC a CA b ===，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ． 〖解 析〗933cos12032a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯︒⨯=-．〖答 案〗92-8．已知一元二次方程220x px ++=的两个虚根分别为1x ，2x ，且满足12||2x x -=，则实数p 的值为 ．〖解 析〗因为一元二次方程220x px ++=的两个虚根1x ，2x 为共轭虚根， 所以可设1x a bi =+，2x a bi =-（其中a ，b R ∈，21)i =-． 所以由根与系数的关系可得12221222x x a px x a b +==-⎧⎨=+=⎩． 而12|||2|2x x bi -==，解得：1b =±，1a =±． 所以当1a =时，2p =-；当1a =-时，2p =． 故实数p 的值为2或2-． 〖答 案〗2或2-9．已知向量,OA OB 的夹角为3π，||5OA =，若||||OA OB OA tOB --对一切t R ∈恒成立，则||OB 的值为 ．〖解 析〗根据题意作出如下所示图形，向量tOB 可为图中向量(1i OB i =，2，3，)⋯⋯， 因为||||OA OB OA tOB --对一切t R ∈恒成立，所以||||i BA B A 恒成立，即||BA 是||i B A 的最小值，当且仅当点B 与点2B 重合时，||i B A 取得最小值2||B A ，此时22AB O π∠=，所以25||||||cos 5cos32OB OB OA AOB π==∠=⨯=．〖答 案〗5210．在复平面中，已知点(1,0)A -、(0,3)B ，复数1z 、2z 对应的点分别为1Z 、2Z ，且满足12||||2z z ==，12||4Z Z =，则12AZ BZ ⋅的最大值为 ．〖解 析〗由题意设1(2cos ,2sin )Z αα，2(2cos ,2sin )Z ββ，02απ<，02βπ<，由12||4Z Z =4=， 整理得cos()1αβ-=-，02απ<，02βπ<， 22παβπ∴-<-<，可得αβπ-=±，1(2cos 1,2sin )AZ αα=+，2(2cos ,2sin 3)BZ ββ=-，则12(2cos 1)2cos 2sin (2sin 3)AZ BZ αβαβ⋅=++-4cos cos 4sin sin 2cos 6sin 4cos()2cos 6sin αβαββααββα=++-=-+- 142cos()6sin 46sin 2cos )4(tan )3παααααϕϕ=-+±+-=---=-+-=，∴12AZ BZ ⋅的最大值为4．〖答 案〗4 二、选择题：（5*420分）11．已知复数z ，则“0z z +=”是“z 为纯虚数”的( )条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要〖解 析〗复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0， 若z 为纯虚数，则0z z +=，故“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件． 〖答 案〗B12．在ABC ∆中，若2·0AB BC AB +=，则ABC ∆的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形〖解 析〗在ABC ∆中，，∴AB AC ⊥，2A π∴∠=，则ABC ∆为直角三角形．〖答 案〗B 13．下列命题中①空间中三个点可以确定一个平面． ②直线和直线外的一点，可以确定一个平面．③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面． ④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面． ⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合． 真命题的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个 D ．4个〖解 析〗命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，错误． 〖答 案〗A14．设函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中R ϕ∈．若()()6f x f π对任意的x R ∈恒成立，则下列结论正确的是( ) A ．2(,0)3π为函数()f x 的一个对称中心 B ．()f x 的图像关于直线512x π=对称C ．()f x 在3[,]24ππ上为严格减函数D ．函数|()|f x 的最小正周期为2π〖解 析〗由()()6f x f π对任意的x R ∈恒成立得函数在6x π=取得最大值，所以sin(2)16πϕ⨯+=，则2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，整理得()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=++=+，对于A ，229()sin(2)sin 13366f ππππ=⨯+==-，则2(,0)3π不是函数()f x 的对称中心，故A错误； 对于B ，55()sin(2)sin 012126f ππππ=⨯+==，则512x π=不是函数()f x 的对称轴，故B 错误； 对于C ，令11222,262k x k k Z πππππ-+++∈，解得,36k x k k Z ππππ-++∈， 显然不包含区间3[,]24ππ，故C 错误；对于D ，|()||sin(2)|6f x x π=+，所以|()|f x 的最小正周期为22242πππω==，故D 正确．〖答 案〗D15．欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位，x R ∈，e 为自然对数的底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论： ①10i e π+=；②2299(cossin)(cossin )....(cos sin )101010101010i i i i ππππππ+++=． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对〖解 析〗根据欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位，x R ∈，e 为自然对数的底数）， 对于①：1cos sin 10i e i πππ+=++=，故①正确； 对于②：2299(cossin)(cossin )....(cos sin )101010101010i i i ππππππ+++ 299 (10)1010299cossin 22i i i i eei i i ππππππ+++===+=． 〖答 案〗A三、解答题（6+8+8+8+10＝40分）16．（6分）已知向量x 、y 满足||1,||2x y ==，且(2)(2)15x y x y -⋅-=． （1）求向量x 与向量y 的夹角θ； （2）若()mx y y -⊥，求实数m 的值．解：（1）||1,||2x y ==，且(2)(2)15x y x y -⋅-=，∴2225225815x x y y x y -⋅+=-⋅+=，∴1x y ⋅=-，11cos ||||122x y x y θ⋅-∴===-⋅⨯，又[0θ∈，]π，23πθ∴=； （2）()mx y y -⊥，∴()0mx y y -⋅=，∴20mx y y ⋅-=，40m ∴--=，4m ∴=-．17．（8分）已知复数212(3)z a a i =++-，22(31)(z a i a R =-+∈，i 是虚数单位）． （1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 的值． 解：（1）22(31)z a i =-+，∴22(31)z a i =++，22122(3)(2(31))(34)z z a a i a i a a a i -=++--++=+--，又复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，0a ∴>且2340a a -->， 解得4a >，即实数a 的取值范围为(4,)+∞，（2）虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，∴虚数1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，则112221136402(2)6(2)(3)m z z a z z a a m∆=-<⎧⎪+=+=⎨⎪⋅=++-=⎩，解得13m =．18．（8分）已知,(2cos ,sin cos ),(3sin ,sin cos ),0x R m x x x n x x x ωωωωωωω∈=+=->，记函数()f x m n =⋅，若函数图像相邻两条对称轴之间距离为2π． （1）求函数()f x 单调递增区间；（2）设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对应三边a 、b 、c ，满足f （B ）2=，且b =，求BA BC ⋅的最大值．解：（1）()23cos sin (sin cos)(sin cos )f xm n x x x x x x ωωωωωω=⋅=⋅++- 222sin cos 2cos22sin(2)6x x x x x x πωωωωωω=+--=-，因为函数图像相邻两条对称轴之间距离为2π，所以最小正周期22T ππ=⨯=，而22T πω=，所以1T ππωπ===，所以()2sin(2)6f x x π=-， 令2[262x k πππ-∈-，2]2k ππ+，k Z ∈，则[6x k ππ∈-，]3k ππ+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间为[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈．（2）由f （B ）2sin(2)26B π=-=，得sin(2)16B π-=，因为(0,)B π∈，所以3B π=，由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，所以2213222a c ac ac ac ac =+-⨯-=，当且仅当a c =时，等号成立， 所以ac 的最大值为3，所以13cos 322BA BC ca B ⋅=⨯=， 故BA BC ⋅的最大值为32． 19．（8分）已知向量2(cos2,2),(1,sin ),2a b m a b θθ=-=-=⋅+，在复平面坐标系中，i 为虚数单位．复数11m iz i+=-对应的点为1Z ． （1）求1||z ；（2）若点Z 为曲线11|2|1(z z z -=为1z 的共轭复数）上的动点，求Z 与1Z 之间距离的取值范围．解：（1）222222cos22sin cos sin 2sin cos sin 1a b θθθθθθθ⋅=+=-+=+=， 2123m a b ∴=⋅+=+=，13(3)(1)33124121(1)(1)22i i i i i iz i i i i +++++-+∴=====+--+，1|||12|z i ∴=+=． （2）由（1）可得112z i =-，1(1,2)Z ，曲线1|2|1z z -=， 即|(24)|1z i --=，∴曲线是复平面内以0(2,4)Z -圆心，半径为1的圆，0Z 与1Z ，Z ∴与1Z 之间距离的取值范围是11]．20．（10分）如图，已知正方形ABCD 边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB 、CD 分别交于点M 、N ．（1）求BD DC ⋅的值；（2）若Q 是BC 的中点，求QM QN ⋅的取值范围；（3）若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC λλ=+-，求PM PN ⋅的最小值． 解：（1）90BCD ∠=︒，∴0BC DC ⋅=，∴22()()()4BD DC BC CD DC BC DC CD CD ⋅=+⋅=⋅-=-=-，（2）2()()||QM QN QO OM QO ON QO QO ON OM QO OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅，O 为MN 的中点，∴OM ON =-，∴22||||QM QN QO OM ⋅=-， ||1,1||2QO OM =，∴10QM QN -⋅，∴QM QN ⋅的取值范围[1-，0]，（3）22()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM ⋅=+⋅+=-，设2OF OP =，则2(1)OF OP OB OC λλ==+-，T ∴、B 、C 三点共线，∴||1OF ，1||2OP ， 又1||2OM ，∴2217()()244PM PN PO OM ⋅=--=-， ∴PM PM ⋅的最小值为74-．。

2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。