高一下学期期末数学精彩试题(含问题详解)

2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则A B = （）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则{}1,0A B ⋂=-.故选：B.2．设2log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】C【分析】分析得到0,1,01a b c <><<即得解.【详解】由题得22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=，200.1.002,2c c =<=>所以b c a >>.故选：C3．条件p ：2450x x --<是条件q ：2650x x ++>的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分又非必要条件【答案】A【分析】分别解不等式化简命题，利用充分不必要条件的定义求解即可．【详解】p ：由2450x x --<，解得：15x -<<，q ：由2650x x ++>，解得：1x >-或5x <-，由p q ⇒，而q 推不出p ，p ∴是q 的充分不必要条件，故选：A .4．已知空间四点()4,1,3A ，()2,3,1B ，()3,7,5C -，(),1,3D x -共面，则x 的值为（）A ．4B ．1C ．10D ．11【答案】D【分析】求得AB 、AC 、AD的坐标，根据题意可知存在实数λ、μ，使得AD AB AC λμ=+ ，利用空间向量的坐标运算可得出关于λ、μ、x 的方程组，进而可求得实数x 的值.【详解】依题意得()2,2,2AB =-- ，()1,6,8AC =-- ，()4,2,0AD x =-- ，A 、B 、C 、D 四点共面，AB ∴ 、AC 、AD共面，∴存在实数λ、μ，使得AD AB AC λμ=+，即()()4,2,02,26,28x λμλμλμ--=--+--，所以42226028x λμλμλμ-=--⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩，解得4111x λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.【点睛】本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.5．已知某圆锥的底面半径为1，高为3，则它的侧面积与底面积之比为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【分析】计算圆锥的侧面积为12πS =，圆锥的底面积为2πS =，得到答案.【详解】圆锥的侧面积为：221ππ2πS rl r r h ==+=；圆锥的底面积为：22ππS r ==；122π2πS S ==故选：C6．已知向量a =（2，1），b = （1-，3），则向量a 在b 方向上的投影向量为（）A ．110bB ．110b -C ．110bD ．110b -【答案】C【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.【详解】因为向量a =（2，1），b = （1-，3），所以向量a 在b方向上的投影向量为2311910a b b b b b b⋅-+⋅==+，故选：C7．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是13，25，14，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（）A ．720B ．25C ．23D ．710【答案】D【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为121233311135435410⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：3711010-=.故选：D.8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A ．49.25mB ．50.76mC ．56.74mD ．58.60m【答案】B【分析】根据三角函数可得3,tan10R AB R AC ==︒，利用3100tan10RBC R =-=︒求解R 即可.【详解】如图，设球的半径为,3,tan10R R AB R AC ==︒3100tan10RBC R =-=︒，100100sin101cos103sin103tan10R ︒∴==︒-︒-︒，100sin1050sin1050sin102525.2sin(3010)sin 202sin10cos10cos100.985︒︒︒=====︒-︒︒︒︒︒50250.760.985R ∴=≈，故选：B二、多选题9．光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（）A ．选取的这部分学生的总人数为500人B ．合唱社团的人数占样本总量的40%C ．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人D ．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125【答案】ABD【分析】根据两个统计图表中的数据，先求出选取的总人数，然后再对选项进行逐一计算判断即可.【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10%所以选取的总人数为5010%500÷=人，故选项A 正确.合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的200240%5005==，故选B 正确.则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的140%20%10%15%15%----=所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为50015%75⨯=人，故选项C 不正确.选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D 正确.故选：ABD.10．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有（）A ．AC SB ⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面ABCD 所成角是SAD∠D ．AB 与BC 所成的角等于DC 与SC 所成的角【答案】ABC【分析】利用线面垂直的性质可判断A 选项；利用线面平行的判定定理可判断B 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用线线角的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，AC SD ⊥，因为SD BD D = ，SD 、BD ⊂平面SBD ，所以，AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以，AC SB ⊥，A 对；对于B 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD ，又因为AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以，//AB 平面SCD ，B 对；对于C 选项，因为SD ⊥平面ABCD ，所以，SA 与平面ABCD 所成角是SAD ∠，C 对；对于D 选项，因为AB BC ⊥，SD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以，SD CD ⊥，所以，SCD ∠为锐角，所以，AB 与BC 所成的角为直角，DC 与SC 所成的角为锐角，故AB 与BC 所成的角不等于DC 与SC 所成的角，D 错.故选：ABC.11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=++（0A >，0πϕ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，则关于函数()()sin 2g x A x ϕ=+下列结论正确的是（）A ．函数()g x 的图象关于直线π12x =对称B ．函数()g x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 的图象可由函数()1y f x =-的图象向左平移π3个单位长度得到【答案】AC【分析】根据函数图象，求解参数A ϕ、，代入()g x 的表达式中，利用正弦型函数的图象及性质，依次判断各项正误.【详解】由题意结合函数图象可得1311A A +=⎧⎨-=⎩，解得2A =，故()()2cos 21f x x ϕ=++，由()02cos 12f ϕ=+=，所以1cos 2ϕ=，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()π2cos 213f x x ⎛⎫ +⎪⎝⎭=+，()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为πππ2sin 21263g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x 的图象关于直线π12x =对称，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 30633g ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()g x 的图象的对称中心，故B 错误；对于C ，由π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得πππ2,332x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将函数()π12cos 23y f x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得()π2cos 2π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=-≠+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.12．在ABC 中，a ，b ，c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，下列叙述正确的是（）A ．若45,2,3A a b =︒==，则ABC 有两解B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>D ．若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC 为锐角三角形【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若45,2,3A a b =︒==，则由正弦定理sin sin a bA B=，可得23sin 32sin 22b AB a⨯===，所以60B =︒或120B =︒，此时ABC 有两解，A 正确；若cos cos a b B A=，则由正弦定理可得sin sin cos cos A BB A =，所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，所以有22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，B 不正确；若ABC 为锐角三角形，则π2A B +>，π2B A >-，因为cos y x =在()0,π为减函数，所以πcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，C 正确；若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则由正弦定理可得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，其中0k >；则c 为最大边，22222249161cos 022234a b c k k k C ab k k +-+-===-<⨯⨯，ABC 为钝角三角形，D 不正确.故选：AC.三、填空题13．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若复数()i i z a =-，2z =，则=a ．【答案】3±【分析】根据题意，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求得a ．【详解】因为()i i 1i z a a =-=+由2z =，得212a +=，得3a =±．故答案为：3±．14．已知2a = ，1b = ，向量a ，b 的夹角为3π4，则a b +=．【答案】1【分析】利用数量积的定义及运算律即可得解.【详解】因为2a = ，1b = ，向量a ，b 的夹角为3π4，所以()22222222112a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⋅+= .故答案为：115．若函数2()(2)g x f x x =-是奇函数，且(1)2f =-，则(1)f -=．【答案】52【分析】根据奇函数的定义，结合已知条件，求得()(),f x f x -的关系，赋值即可求得结果.【详解】函数2()(2)g x f x x =-是奇函数，()()g x g x -=-即222(2)(2)(2)(2)2f x x f x x f x f x x --=-+⇒+-=又(1)2f =-，令12x =，则215(1)(1)2()(1)22f f f +-=⇒-=.故答案为：52.四、双空题16．在梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD CD CB ====∥，将ACD 沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．此时该三棱锥的外接球的表面积为．【答案】3125π【分析】注意到三棱锥D ABC -体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，可知以B 为顶点时，BC 为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD 的距离、ACD 外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，ABCD 为等腰梯形，2,1AB CD ==12BE ∴=，3B π∴=由余弦定理得2222cos33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，即3AC =222AB BC AC =+ BC AC∴⊥易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时，BC ⊥平面ACD 易知，23D π∠=123sin 234ACD S AD CD π∴=⋅= 13313412D ABC V -∴=⨯⨯=记O 为外接球球心，半径为RBC ⊥ 平面ACD ，OB OC =∴O 到平面ACD 的距离12d =又ACD 的外接圆半径122sin3ACr π==22254R r d ∴=+=245S R ππ∴==故答案为：312，5π五、解答题17．已知复数z 是纯虚数，且21iz z ++-是实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若复数()2m z -所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围【答案】(1)2i3z =-(2)2(,)3+∞【分析】（1）设i,R z b b ∈=且0b ≠，化简得到2223i 1i 22z b b z +-++=+-，结合题意得到23=02b+，即可求解；（2）由2i 3z =-，求得()2244()i 93m z m m -=-+，根据题意得到2409m ->且4>03m ，即可求解.【详解】（1）解：由题意，设i z b =，其中R b ∈且0b ≠，可得()()()()i 21i 2i 2223i i i 1i 1i 1i 1i 22b z b b b z b b ++++-++=+=+=+---+，因为21i z z ++-为实数，可得23=02b +，解得23b =-，即2i 3z =-.（2）解：由2i 3z =-，则()222244(i)()i 393m z m m m -=+=-+，因为复数()2m z -所表示的点在第一象限，可得2409m ->且4>03m ，解得23m >，所以实数m 的取值范围为2(,)3+∞.18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)90,100，[)100,110，…，[)140150,后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[)120130,内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计本次考试的第50百分位数；(3)用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[)120130,内的概率．【答案】(1)0.3，直方图见解析(2)3703(3)35【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在[120，130)内的频率，并能补全这个频率分布直方图；（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110，120)中抽取的学生数为2人，分数段为[120，130)中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解．【详解】（1）解：由频率分布直方图，得：分数在[120，130)内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)100.3-++++⨯=，0.30.0310=，补全后的直方图如右图所示：（2）解：[90 ，120)的频率为(0.0100.0150.015)100.4++⨯=，[120，130)的频率为：0.030100.3⨯=，∴第50百分位数为：0.50.4370120100.33-+⨯=；（3）解：用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为[110，120)中抽取的学生数为：0.015620.0150.030⨯=+人，设为,A B ，分数段为[120，130)中抽取的学生数为：0.030640.0150.030⨯=+人，设为a b c d ,,,，从中任取2个，有,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15种，其中符合题意得有,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共9种，所以至多有1人在分数段[)120130,内的概率为93155=.19．如图，在四边形OBCD 中，2OB DC = ，2OD OA = ，2O π∠=，且1OA CD == (1)用,OA OB 表示BC ；(2)点P 在线段AC 上，且3A A C P = ，求BC 与BP 的夹角θ的余弦值.【答案】(1)122BC OA OB =- (2)13205205【分析】（1）方法一：以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设BC xOA yOB =+ ，由向量坐标运算可求得,x y ，进而得到结果；方法二：根据向量线性运算得BC BO OD DC =++ ，整理即可求得结果；（2）方法一：根据111,333AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭可求得P ，从而得到BP ，由向量夹角的坐标运算可求得cos θ；方法二：由向量线性运算得1136AP OA OB =+ ，进而得到4536BP OA OB =- ；利用向量数量积的运算律可求得,BP BC ，根据cos BP BC BP BCθ⋅=⋅ 可求得结果.【详解】（1）方法一：由2OB DC = 得：//OB CD ；由2OD OA = 得：A 为OD 中点；由2O π∠=得：2D π∠=；以O 为坐标原点，,OD OB 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()1,0A ，()0,2B ，()2,1C ，()1,0OA ∴= ，()0,2OB = ，()2,1BC =- ，设BC xOA yOB =+ ，则221x y =⎧⎨=-⎩，解得：212x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，122BC OA OB ∴=- .方法二：由2OB DC = 得：12DC OB = ，则112222BC BO OD DC OB OA OB OA OB =++=-++=- .（2）方法一：由（1）知：()1,1AC =u u u r ，由3A A C P = 得：111,333AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则41,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，45,33BP ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，又()2,1BC =- ，851320533cos 2054153BC BP BC BP θ+⋅∴===⋅⨯ .方法二：由2O π∠=得：0OA OB ⋅= ，由2OB DC = 且1OA CD == 得：2OB = ，由3A A C P = 得：()111111333236AP AC AD DC OA OB OA OB ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ ；11453636BP BO OA AP OB OA OA OB OA OB ⎛⎫∴=++=-+++=- ⎪⎝⎭ ，2222451875852123623312312BP BC OA OB OA OB OA OA OB OB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133=，又2222245162025162512369936936BP OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 413，222221112424125244BC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ ，13132053cos 2054153BP BC BP BC θ⋅∴===⋅⨯ .20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB的中点．(1)求证：1BC ∥平面1C AD ；(2)若底面ABC 边长为2的正三角形，13BB =，求三棱锥11B A DC -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE ，由三角形中位线定理，得1DE BC ∥，进而由线面平行的判定定理即可证得结论；（2）利用等体积转化1111B A DC C A B D V V --=，依题意，高为CD ，再求底面11A B D 的面积，进而求三棱锥的体积.【详解】（1）连接1AC 交1AC 于点E ，连接DE∵四边形11AAC C 是矩形，∴E 为1AC 的中点，又∵D 是AB 的中点，∴1DE BC ∥，又∵DE ⊂平面1C AD ，1BC ⊄平面1C AD ，∴1BC ∥面1C AD ．（2）∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴AB CD ⊥，又∵1AA ⊥面ABC ，CD ⊂面ABC ，∴1AA CD ⊥．又∵AB ⊂面11AA B B ，1AA ⊂面11AA B B ，1AB AA A ⋂=，∴CD ⊥面11AA B B ，∴CD 为三棱锥11C A B D -的高，3CD =，又∵1BD =，13BB =，∴11112A D B D A B ===，113A B D S =△，∴三棱锥11B A DC -的体积111113313B A DC C A BD V V --==⋅⋅=．21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 3sin a c b C b C +=+.(1)求角B ；(2)若3b =，D 为AC 的中点，求线段BD 长度的取值范围.【答案】(1)23B π=(2)33,22BD ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案；（2）利用余弦定理结合()12BD BA BC =+ ，平方，将BD 用,a c 表示，再利用正弦定理求出,a c ，再根据三角恒等变换结合三角函数得性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为2cos 3sin a c b C b C+=+所以sin 2sin sin cos 3sin sin A B B C B C +=+，则()sin 2sin sin cos 3sin sin B C B B C B C ++=+，即sin cos cos sin 2sin sin cos 3sin sin B C B C B B C B C ++=+，所以2sin 3sin sin cos sin B B C B C =-，又()0,B π∈，则sin 0B ≠，所以3sin cos 2B B -=，即sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由()0,B π∈，得5,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以62B ππ-=，所以23B π=；（2）解：因为2222cos b a c ac B =+-，所以229a c ac ++=，因为D 为AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ，则()222221922444a c ac ac BD BA BC BA BC +--=++⋅== ，因为23sin sin sin abc A B C ===，所以23sin a A =，23sin 23sin 3cos 3sin 3c C A A A π⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，则()1cos 223sin 3cos 3sin 33sin 262A ac A A A A -=-=-⋅33sin 23cos 236sin 236A A A π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(]0,3ac ∈，所以9239,444ac -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以33,22BD ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.22．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点.(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3926(3)34【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理。

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。

2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是()A.3B. C.4 D.52.设等差数列的前n 项和为，若则()A.B.0C.5D.93.下列说法中：某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是若事件两两互斥，则若事件A ，B 满足，则A ，B 互为对立事件正确说法有个A.0B.1C.2D.34.已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是()A.B.C.D.5.设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为()A.若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C.若，，，则D.若m 、n 是异面直线，，，，，则6.在四面体ABCD 中，，且异面直线AB 与CD 所成的角为，M ，N 分别是边BC ，AD 的中点，则异面直线MN 和AB 所成的角为()A.或B.或C.D.7.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则下面说法不正确的是()A.圆台的母线长是20B.圆台的表面积是C.圆台的高是D.圆台的体积是8.已知ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则的最小值是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数，则下列结论不．正确的是()A.z在复平面对应的点位于第二象限B.z的虚部是iC. D.10.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则()A.事件甲与事件丙是互斥事件B.事件甲与事件丁是相互独立事件C.事件乙包含于事件丙D.事件丙与事件丁是对立事件11.如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是()A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2023-2024学年高一数学期末模拟卷全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若复数()()()221i z a a a =−+−∈R 为纯虚数，则复数z a +在复平面上的对应点的位置在（ ） A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内 D ．第四象限内【答案】A【分析】根据纯虚数的定义解出a ，利用复数的几何意义求解． 【详解】 复数(2)(21)i(R)z a a a =−+−∈为纯虚数，20,2210a a a −=∴∴=−≠，复数3i 2z a +=+在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限．故选：A ．2．对空中移动的目标连续射击两次，设A ＝{两次都击中目标}，B ＝{两次都没击中目标}，C ＝{恰有一次击中目标}，D ＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）A ．A D ⊆B ．B D =∅C ．A CD ∪= D ．A C B D = 【答案】D【分析】根据事件之间的关系与运算对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A ，事件A 包含于事件D ，故A 正确；对于选项B ，由于事件B ，D 不能同时发生，故B D =∅ ，故B 正确； 对于选项C ，由题意知C 正确；对于选项D ，由于A C ＝D ＝{至少有一次击中目标}，不是必然事件； 而B D 为必然事件，所以A C B D ≠ ，故D 不正确． 故选：D.3．已知单位向量a 与b的夹角为()π,3a kab ⊥+ ，则k =（ ）A ．12B C ．12−D ． 【答案】C【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得.【详解】依题意，π111cos 32a b ⋅=××= ，由()a ka b ⊥+ ，得21()02a ka b ka a b k ⋅+=+⋅=+= ，所以12k =−.故选：C4．若数据1210,,,x x x 的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A ．数据121041,41,,41x x x +++ 的平均数为13 B ．数据12103,3,,3x x x 的方差为12C ．10130i i x ==∑D ．1021130i i x ==∑【答案】B【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答.【详解】依题意，1011310i i x ==∑，21011413)(0i i x =−=∑，对于A ，10101111(4(410)4311310101)i i i i x x ===+=×++=∑∑，A 正确；对于B ，依题意，101011113(3)3391010i i i i x x ====×=∑∑，所以数据12103,3,,3x x x 的方差为：1221010111(3969)3)(9431010i i i i x x ====−×−=∑∑，B 错误； 对于C ，10130i i x ==∑，C 正确；对于D ，由10101010102222111111111(3)(69)(690)(90)410101010i i i i i i i i i i i x x x x x x =====−=−+=−+=−=∑∑∑∑∑， 解得1021130i i x ==∑，D 正确.故选：B5．已知向量,,a b c0a b c ++= ，则cos ,a c b c −−= （ ） A ．1314BC．14−D ．1314−【答案】A【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅、a c ⋅ 、b c ⋅ ，即可求出()()a cbc −⋅− 、a c − 、b c − ，再根据夹角公式计算可得.【详解】由题意得a b c ，则22()a b c +=有222121a b +⋅+ ，解得12a b ⋅= ， 又由a c b +=−，则22()a c b +=有222121a c +⋅+= ，解得32a c ⋅=− ， 同理可得32b c ⋅=− ， 所以()()2132a cbc a b a c b c c −⋅−=⋅−⋅−⋅+= ，a c −= ，b c −=所以()()13cos ,14a cbc a c b c a c b c−⋅−−−==−⋅−. 故选：A6．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件且1137(),(),()22424P AP B P AB AB ==+=，则()P AB =（ ） A ．18B ．1148C ．211 D ．713 【答案】A【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.【详解】因为113(),()224P A P B ==，故111(),()224P A P B ==，因为AB 与AB 为互斥事件，故()0P AB AB ⋅=， 所以()()()()()()()P AB AB P AB P AB P B P AB P A P AB +=+=−+−()1117222424P AB =+−=，故()13P AB =，故()()()11112438P AB P B P AB −−. 故选：A7．如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AMxAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为（ ）A B ．3C ．4D ．2【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到11133x y+=，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可.【详解】∵G 是ABC 的重心，1133AG AB AC ∴=+ ， 又,,AM xAB AN y AC == 1133AGAM AN x y∴=+，结合题意知0,0x y >>，因为,,M G N 三点共线, 111,33x y ∴+=1122(2)()113333x y x y x y x y y x +=++=++≥=当且仅当233xy y x=即x y 2x y ∴+A 正确. 故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到11133x y+=，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．8．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F −中，122AA AB ==，O 为棱1AA 的中点，则以O 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）A ．1πB ．2πC ．1πD ．2π 【答案】D【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球O 的半径为2，所以球O 不与侧而11ABB A 及侧面11AFF A 相交，连接111111,,,O E O C AC A E ．由题得11OA =，1111AC A E ==．所以12OC =，所以球O 与侧面11BCC B 交于点1C ，C ，与侧面11EFF E 交于点1E ，E ．在正六边形111111A B C D E F 中，易得1111A C C D ⊥，因为1CC ⊥平面111111A B C D E F ，11A C ⊂平面111111A B C D E F ． 所以111CC A C ⊥，又111111,C D CC C C D = ，1CC ⊂平面11CDD C ，所以11A C ⊥平面11CDD C ，即OG ⊥平面11CDD C ，且OG =1=，12OH OC OC ===． 所以球O 与侧面11CDD C 的交线为以1CC 为直径的半圆，同理可得球O 与侧面11EDD E 的交线为以1EE 为直径的半圆．由题易得111π3E A C ∠=，则球O 与上底面111111A B C D E F 及下底面ABCDEF 的交线均为16所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为12π122π2π6 ××+×× ． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据球O 的半径为2，判断球O 只与侧而11CDD C 及侧面11EDD E ，上底面111111A B C D E F 及下底面ABCDEF 相交.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A ．若0z z +=，则i zz= B ．若2z z z ⋅=，则2z = C ．若1z z =，则1z z =D ．若10z z +=，则210z z z ⋅+= 【答案】BCD【分析】利用共轭复数的定义可判定A 、C ，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B 、D. 【详解】对于A ，由0z z +=，得1zz=−，则A 错误. 对于B ，因为2z z z ⋅=，所以22z z =，解得2z =或0z =（舍去），则B 正确. 对于C ，设i z a b =+（,R a b ∈，且0ab ≠）， 则1i z z a b ==−，所以1i z a b z =+=，则C 正确.对于D ，由10z z +=，得1z z =−. 设i z a b =+（,R a b ∈，且0ab ≠），则221()z z z z a b ⋅=−⋅=−+， 222z a b =+，从而210z z z ⋅+=，则D 正确. 故选：BCD10．如图，已知直三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为3，,,,D E F G 分别在棱1111,A B A C ，,AB AC 上，且11,,A D A EBF CG H P ===分别为1,BC A H 的中点，则（ ）A ．//DE 平面PFGB ．若,M N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为94C ．若13BF AB =，过,,P F G D ．过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线有且仅有1条 【答案】BC【分析】根据线面平行的定义判断A ；求出点P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点的距离判断B ；计算截面面积判断C ；找出与过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线条数判断D.【详解】直三棱柱111ABC A B C 的所有棱长均为3，对于A ，由11A D A EBF CG ===，得11//////DE B C BC FG ，显然FGDE 构成一个平面，连接DF ，EG ，1A B 和1A C ，正方形11AA B B 中，1A D BF =，设11A B DF O = ，显然11A DO ≌1BFO ， 则111A O BO =，即1O 为1A B 的中点，于是11DO FO =，即1O 为DF 的中点， 同理设12A C EG O = ，则2O 为EG 的中点，因此12O O 是1A BC 中位线， 由1A H 为1A BC 中线，得P 为12O O 中点，因为12O O ⊂平面FGED ，因此P ∈平面FGED ，即平面PFG 与平面FGED 为同一个平面，则DE 在平面PFG 内，A 错误； 对于B ，显然平面11A ABB 与平面11ACC 所成锐二面角大小为60°，计算可得点H 到平面11A ABB 和11A ACC A 知，P 是AH 的中点，则点P 到平面11A ABB 和11A ACC P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点分别为1M ，1N ， 则当M ，N 分别取直线11M N 与平面11A ABB 和11A ACC 的交点时，MNP △的周长最短，由1111||||120PM PN M PN °=∠=，得119||4M N =， 所以MNP △周长的最小值为94，B 正确；对于C ，由选项A 知，D ，E 在过P ，F ，G 三点的平面内，截面为四边形FGED ，1,2,DEFG DF EG ====1(12)2+，C 正确； 对于D ，显然1AA BC ⊥，过点A 作BC 的平行线B C ′′，则1AA B C ′′⊥， 与1AA 成45°的所有直线构成以A 为顶点的两个对顶圆锥（1AA 为轴）， 同理与B C ′′成45°的所有直线构成以A 为顶点两个对顶圆锥（B C ′′为轴）， 而1AA 与B C ′′所成角90°，因此圆锥面上公共直线共有两条，所以过点A 且与直线1AA 和BC 所成的角都为45°的直线有2条，D 错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且23cos 3cos b C c B a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．若2BC A +=，则ABC 的外接圆的面积为3πB ．若π4A =，且ABC 有两解，则b的取值范围为 C ．若2C A =，且ABC 为锐角三角形，则c的取值范围为( D ．若2A C =，且sin 2sin B C =，O 为ABC 的内心，则AOB【答案】ACD【分析】先由正弦定理得到3a =，选项A ，求出π3A =，进而由正弦定理得到ABC 的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到2209c b +−=，将其看做关于c 的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b 的取值范围；C 选项，由正弦定理结合3a =得到6cos c A =，再根据ABC 为锐角三角形得到ππ64A <<，从而得到c 的取值范围；D 选项，由正弦定理得到2b c =，sin 32sin C C =，结合三角恒等变换得到23cos 4C =，从而得到π6C =，π3A =，π2B =，由3a =求出b c 内切圆半径，进而求出AOB 的面积.【详解】因为23cos 3cos b C c B a +=，所以由正弦定理，得3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=， 即 ()3sin sin B C a A +=， 因为πA B C ++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以3a =. 选项A ：若2B C A +=，则π3A =，所以ABC的外接圆的直径2sin aR A==，所以R =所以ABC的外接圆的面积为2π3π×=，选项A 正确；选项B ：由余弦定理2222cos a b c bc A =+−得229b c =+，将此式看作关于c的二次方程2209c b +−=，由题意得此方程有两个正解，故()222900)490b b −>> −−>，解得b (∈，所以选项B 错误； 选项C ：由正弦定理，得sin sin 2a cA A= ，即2cos c a A =， 因为3a =，所以6cos c A =，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02π02A B C<<<<<< ，即π02π0π32π022A A A<<<−<<<，所以ππ64A <<，所以(6cos cA ∈，故选项C 正确；选项D ：因为sin 2sin B C =，由正弦定理得2b c =， 因为2A C =，所以()sin sin sin 3BA C C =+=， 所以由正弦定理sin sin b c B C =，得2sin 3sin c cC C=，即sin 32sin C C =， 所以sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=， 即222sin cos 2cos sin sin 2sin C C C C C C +−=，所以222cos 2cos 3C C +=， 所以23cos 4C =， 又因为2A C =，所以π0,2C ∈，故π6C =，π3A =，解得π2B = ，因为3a =，所以tan 30cos30abc a =°=°即ABC 是直角三角形，所以内切圆的半径为()12ra cb =+−= 所以AOB的面积为1122S cr ==D 正确. 故选：ACD.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为 分．【答案】86.25【分析】利用给定的频率分布直方图，借助频率估计75%即可.【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为(0.0040.0060.0200.030)100.6+++×=， 前五个小矩形的面积之和为0.60.024100.840.75+×=>，因此75%分位数位于[80,90)内，0.750.6801086.250.840.6−+×=−，所以估计这50名学生成绩的75%分位数为86.25分． 故答案为：86.2513．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，,,,,a b c d e 这5个数字未知，且,b d 为奇数，则5a b +>的概率为 .9a 7bc d4 e5【答案】23【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2共有12种等可能的结果，其中5a b +>的结果有8种， 所以5a b +>的概率为82123=. 故答案为：23.14．已知四棱锥P ABCD −的底面ABCD PA =PA ⊥平面ABCD ，M 为线段PA 的中点，若空间中存在平面α满足BD α∥，MC α⊂，记平面α与直线,PD PB 分别交于点E ，F ，则PEED= ，四边形MECF 的面积为 ．【答案】【分析】根据题意作出平面α即平面MQH ，取AD 中点G ，利用QDE QGM ∽△△和12MG PD =可求得PE ED的值；通过线面平行的性质得到EF QH ∥，23HF HM =，推理得到13QCE HCFMQH S S S == ，故可间接法求得四边形MECF 的面积.【详解】如图，过点C 作BD 的平行线QH 分别交,AD AB 的延长线于点,Q H ，易知,D B 分别为,AQ AH 的中点．连接,MQ MH ，分别交,PD PB 于点,E F ，则平面MQH 即平面α． 取AD 的中点G ，因ABCD 是正方形，则11,22GD AD QD ==连接MG ，则MG PD ∥， 易得QDE QGM ∽△△，则23QE ED QD QM MG QG ===，所以2133ED MG PD ==，所以2PE ED =． 连接EF ，因为BD α∥，平面α 平面PBD EF =，BD ⊂平面PBD ，所以BD EF ∥，所以EF QH ∥，23HF QE HM QM ==， 由图易得PD PB =,由BD EF ∥可得PE PF =，由PEM PFM ≅ 得ME MF =,从而MQ MH =， 由AC QH ⊥可得C 为QH 的中点.由AB =BD =,QH =3MC ,因121233QCE HCF MQH MQH S S S S ==×= ,故四边形MECF 的面积11111233366MQH MQH S S S QH MC =−×==×=×=（）．故答案为：2.【点睛】思路点睛：本题主要考查棱锥的截面位置和面积问题，属于难题.解题思路在于正确理解题意，作出合理的截面，充分利用平行与垂直的判定、性质定理，借助于相似三角形和三角形之间的面积关系计算即得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知a ，b ，c是同一平面内的三个不同向量，其中(1,2)a − ．(1)若||b = ，且a b ∥，求b的坐标；(2)若||2c = ，且||2|c c +=− c − 与c 的夹角的余弦值．【答案】(1)(4,8)b − 或(4,8)b =−(2)【分析】（1）由题意设(,2)b a λλλ−，结合模长公式即可列式求解参数λ，进而得解；（2）对已知等式两边平方并化简可得a c ⋅c − 的模，根据数量积的运算律可求得c − 与c的数量积，结合向量夹角公式即可得解.【详解】（1）因为(1,2)a − ，且a b∥，所以可设(,2)b a λλλ− ，R λ∈，所以||b =4λ=±，所以(4,8)b − 或(4,8)b =− ．................................................6分（2）因为|2|c c +=−，所以22)2)c c +=−，所以20c c ⋅−= ， 又||2c =，所以220c ⋅−=，解得a c ⋅又||a =|2|a c −=又2)242c c c c −⋅⋅−=−=− ，c − 与c 的夹角为θ，所以cos θ===，c − 与c的夹角的余弦值为..............................................13分16．（15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成AB 、两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.85． (1)求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值且估计甲离子残留百分比的中位数；(2)从A 组小鼠和B 组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．【答案】(1)0.35,0.1a b =，甲离子残留百分比的中位数为4； (2)0.105.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中,a b ，即可求中位数；（2）先求出A 组、B 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率．【详解】（1）由频率分布直方图可得：0.0510.85b +=−且0.150.20.150.85a +++=， 解得0.35,0.1a b =， 甲离子残留百分比的中位数为()0.153.54.5 3.540.3+−×=.．................................................7分 （2）A 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.15， B 组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为0.150.70.105×=.．.........................................15分 17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，1PAAD CD ===，2BC =，PB E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且12PF FC =.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)在棱BP 上是否存在点G ，使得点G 到平面AEF G 的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)靠近B 的三等分点【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；（2）根据（1）的结果，作出平面AEF 与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点P 到平面AEF 的距离，再根据比例关系，确定点G 的位置.【详解】（1）取BC 的中点S ，连结AS ，则四边形ASCD 是正方形，则1AS BS ==，AS BS ⊥，所以AB =1,PA PB ==所以222PA AB PB +=,所以PA AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD AB =，PA 在面PAB 内， 所以PA ⊥平面ABCD ；................................................6分 （2）在BC 上取点M ，使32CM =，连结PM ，在PM 上取点H ，使13MH MP =， 在PC 上取点N ，使13CN CP =，连结HN ，则//HN BC ，且23HN MC =，则1HN =， 即////HN BC AD ，且HN AD =，则四边形AHND 是平行四边形，所以//AH ND ，且AF AEFN ED=，即//EF ND ， 则//EF AH ，所以四点,,,A E F H 四点共面，连结BH ， ()22213334PH PM PB BM PB BC ==+=+()21113426PB PC PB PB PC =+−=+1122PB PF + ，因为11122+=，所以点,,H B F 三点共线，...............................................10分 所以,,,,A E F H B 五点共面，即BP 与平面AEF 交于点B ， 由（1）可知，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥，且AD DC ⊥，PA AD A ∩=，且,PA AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥， 且PAD 是等腰直角三角形，点E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，且CD PD D = ,PD CD ⊂平面PCD ， 所以⊥AE 平面PCD ，111662DEF PCD S S PD CD ==×××=,所以1113336A DEF DEF V S AE −=××== ，PE 13PF PC ==cos DPC ∠，所以22212cos 6EF PE PF PE PF DPC +−⋅⋅∠，即EF ，因为AE EF ⊥，所以1122AEF S AE EF =××=设点D 到平面AEF 的距离为h ，则D AEF A DEF V V −−=，即11336h =，所以h ，因为点E 是PD 的中点，所以点P 到平面AEF若点G 到平面AEF13BG BP =, 所以存在点G ，使得点G 到平面AEFG 为靠近点B 的三等分点.................................................15分18．（17分）如图，在平面四边形ABCD中，2DC AD ==2BAD π∠=，6BDC π∠=．(1)若cos ABD ∠ABD △的面积；(2)若C ADC ∠=∠，求BC ． 【答案】(1)(2)【分析】（1）根据cos ABD ∠tan ABD ∠，再结合AD = （2）设ADB θ∠=，再在BCD △中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可【详解】（1）由cos ABD ∠tan ABD ∠=AD =tan AD ABABD =∠故12ABD S AB AD =⋅= 分 （2）设ADB θ∠=，则cos θ=6C πθ∠=+，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD DC C DBC =∠，即=2sin 2cos sin 36ππθθθ −=⋅+，即2sin sin cos 3πθθθθ+=⋅+，利用降幂公式有11sin 2cos 2322πθθθ+=++，利用辅助角公式有1sin sin 2362ππθθ +=++，故21sin sin 23322πππθθ+=+−+，................................................11分 利用诱导公式可得2211sin cos 22sin 33232πππθθθ+=−++=+−，故212sin sin 0332ππθθ +−+−= ，又sin 03πθ +>，解得sin 3πθ +sin 6BCπ=，故BC =...............................................17分19．（17分）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对()()1212,,z z z z C ∈视为一个向量，记作()12,z z α=．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量()12,z z α= ，()34,z z β= 的数量积记作αβ⋅，定义为1324z z z z αβ⋅=+ ；复向量α的模定义为α= (1)设()3,4α=，()1i,i β=− ，求复向量α与β的模；(2)已知对任意的实向量α与β，都有αβαβ⋅≤，当且仅当α与β平行时取等号；①求证：对任意实数a ，b ，c ，d，不等式ac + ②求证：对任意两个复向量α与β，不等式αβαβ⋅≤仍然成立；(3)当αβαβ⋅=时，称复向量αβ 平行．设()1i,2i α=+−，(),i z β=，z C ∈，若复向量α与β平行，求复数z 的值．【答案】(1)||5α=，||β= (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)31i 22z=+【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；（2）①实向量(),a b α=，(),c d β= ，根据条件αβαβ⋅≤ ，即可得证；②因为()()''1212,,,z z z z αβ==，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z zz z z z z z z z +≤+=+，分别计算即可得证；（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出z 和z 的值．【详解】（1）因为(3,4)α= ，所以3344334425αα⋅=×+×=×+×=，所以α的模为||5α= ；因为(1i,i)β=−，所以()(1i)1i i i (1i)(1i)i (i)213ββ⋅=−−+⋅=−++⋅−=+= ，可得β 的模为||β=................................................3分（2）①设实向量(),a b α=，(),c d β=， 则ac bd αβ⋅=+而ac bd αβ⋅=+， 根据已知αβαβ⋅≤ ，当且仅当α与β 平行时取等号，即0ad bc −=，所以ac +0ad bc −=时等号成立；................................................9分 ②因为()()''1212,,,z z z z αβ==，所以''1122z z z z αβ⋅=+ ，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z z z z z z z z z z +≤+=+，由a b a b ⋅≤，得1≤，所以1212x x y y +≤所以''1122z z z z +≤αβ=，综上所知，||||||.a a ββ⋅≤（3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k ，使得''1122kz z z z =， 根据题意，若复向量()1i,2i α=+−与()i,z β=平行，则(1i)i 31i 2i 55k z k +⋅==− −，则|2i ||i ||1i |z−==+ 结合31i 55z k =− ，得52k =； 所以53131i i 25522z =−=− ，所以31i 22z=+．...............................................17分。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。

高一数学注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024.7.1. 若()i 11z −=，则z =（ ）A. 1i +B. 1i −C. 1i −+D. 1i −−【答案】A 【解析】【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】由()i 11z −=得，1i z −=−，所以1i z =+. 故选：A.2. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2上单调递减的是（ ） A. cos y x = B. tan y x =C. cos2x y = D. sin y x =【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.【详解】对于A ：cos y x =的图象是由cos y x =的图象将x 轴下方的图象关于x 轴对称上去，x 轴及x 轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：则cos y x =的最小正周期为π，但是在π,π2上单调递增，故A 错误； 对于B ：tan y x =的最小正周期为π，但是在π,π2上单调递增，故B 错误； 对于C ：cos2xy =的最小正周期2π4π12T==，故C 错误； 对于D ：sin y x =的图象是由sin y x =的图象将x 轴下方的图象关于x 轴对称上去，x 轴及x 轴上方部分不变，其函数图象如下所示：则sin y x =的最小正周期为π，且在π,π2上单调递减，故D 正确. 故选：D3. 已知2sin cos αα=，则sin cos sin cos αααα+=−（ ）A. 4B. 4−C. 3−D. 3【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan α，再将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为2sin cos αα=，所以sin 1tancos 2ααα==， 所以11sin cos tan 1231sin cos tan 112αααααα+++===−−−−. 故选：C4. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为h ，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ）A.512h B.712h C.56h D. h【答案】B 【解析】【分析】先求出正四棱台的体积，再利用V V =四棱柱四棱台，且四棱柱的底面是边长为4的正方形，求解即可． 【详解】因为正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍， 所以令正四棱台的下底面边长为2，上底面边长为1，所以(174133V h h =×++×=四棱台， 由题意可得：V V =水四棱台，且四棱柱的底面是边长为2的正方形， 设四棱柱中水的高度为h ′，所以2723V h h ′=×=水，解得712h h ′=，即四棱柱中水的高度为712h ． 故选：B ．5. 已知3a = ，4b = ，且b 在a上的投影的数量为2−，则a b += （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据向量投影概念和模长公式进行推算即可求出结果.【详解】由题意可得向量b 在向量a 上的投影数量为：cos ,2b a b =−， 又3,4a b == ，·cos ,2a b b a b a==− ，则6a b =− ，a b+=故选：D.6. 已知π4sin 35α +=，则πcos 23α −=（ ） A.725B. 725−C.2425D. 2425−【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解.【详解】令ππ233ααx y =+=−，，则4sin 5x =，2πy x =− 所以()22π47cos 2cos cos 2πcos 22sin 1213525αy x x x −==−=−=−=×−=， 故选：A.7. 如图所示，从热气球A 上测得地面上点B 的俯角为60°，点C 的俯角为45°，图中各点在同一铅垂平面内，已知B ，C 两点间距离为100m ，则热气球距地面的高度AO 为（ ）A. (100m +B. mC. (150m +D. (150m −【答案】C 【解析】【分析】根据锐角三角函数，分别用含OA 的式子表示出OB 和OC ，再结合已知条件，列方程求解即可．【详解】在Rt AOB △中，30OAB ∠=°，所以tan OB OA OAB =∠=， 在Rt OAC 中，45OAC ∠=°，所以OC OA =， 因为B ，C 两点间距离为100m ，所以100OC OB OA −==，解得(150m OA =+．故选：C ．8. 在ABC 中，1AC =，2BC =，1CA CB ⋅=，()21CDtCA t CB =+− （t ∈R ），则CD 的最小值为（ ） A 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先求2CD ，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于t 的函数，利用函数的观点即可求最小值.【详解】因为()21CDtCA t CB =+− 所以()()()2222222214141CD CD tCA t CB t CA t CA CB t B t C +⋅ ==+−=−−+ 又因为1AC =，2BC =，1CA CB ⋅=，所以22221,4,1CA CA CB CB CA CB ====⋅=所以()()()2222214144134142CD t t t t t t t =−−=−+=+−++ 当12t =时，2min 3CD == 故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数()2523i z a a =+−（a ∈R ）的实部为5−，则（ ） A. 复数z 的共轭复数5i z =−B. z =C. 22410i z =−D. z 在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】首先化简复数z ，根据实部为5−，求a ，再根据复数的相关概念，判断选项. 【详解】因为复数的实部是5−，所以55a =−，解得：1a =−，所以5i z =−−， A ：复数z 的共轭复数5i z =−+，错误；.B ：z =，正确；C ：()222410i 5i z =−+−=，错误；D ：z 在复平面内对应的点是()5,1−−，位于第三象限，正确. 故选：BD.10. 函数()πsin cos 6f x x x=++，则（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的图象关于π6x =对称C. ()f x 在ππ,63− 上单调递增 D. 当ππ,32x∈−时，()f x 的值域为(【答案】ABD 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为()πππsin cos sin cos cos sin cos 666f x x x x x x=++=++31πcos sin 223x x x x x++，所以()f x 的最小正周期为2πT =，故A 正确；因为ππ3π66f =+=()f x 的图象关于π6x =对称，故B 正确； 当ππ,63x ∈−时，23πππ36,x +∈ ，因为sin y x =在π2π,63上不单调，所以()f x 在ππ,63−上不单调，故C 错误；当ππ,32x ∈−时，π5π0,36x +∈ ，所以(]1πsi ,n 30x+∈，所以()(f x ∈，故D 正确. 故选：ABD11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.可用公式S（其中a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积）表示.在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若2a =()1tan AA C =−，则（ ）A. =cB. ABC 面积的最大值是C. 当ABC 的面积最大时，其内切圆半径为3D. 若角A 的平分线AE 与边BC 相交于点E ，则AEAC的取值范围为(0,3 【答案】ACD 【解析】【分析】结合已知条件与两角和的正弦公式，推出sin C B =，再利用正弦定理角化边，即可判断A ；将=c ，2a =代入S 的计算公式中，结合配方法，即可判断B ；设ABC 内切圆半径为r ，结合1()2S a b c r =++及选项B 所得，即可判断C ；设2BAC α∠=，其中π(0,)2α∈，根据ABCABE ACE S S S =+△△△，利用三角形的面积公式，可得(3AEACα=，再结合余弦函数的性质，即可判断D ．【详解】对于A (1)tan A A C =−，sin (1)cos CA A C⋅，所以sin cos cos sin ))C A C A C A C B =+=+=，由正弦定理得=c ，故A 正确；对于B ，S=所以当24b =，即2b =时，ABC 的面积S B 错误；对于C ，由选项B 可知，当ABC 的面积S 最大时，2a b ==，c =，S =设ABC 内切圆半径为r ，因为1()2Sa b c r =++，1(222r ++，解得3=r ，故C 正确； 对于D ，设2BAC α∠=，其中π(0,)2α∈，则BAE CAE ∠=∠=， 因ABCABE ACE S S S =+△△△， 所以111sin 2sin sin 222AB AC AB AE AC AE ααα⋅=⋅+⋅，22sin cos sin sin AE b AE αααα⋅=⋅+⋅，因为sin 0α≠2cos AE α⋅+，所以(3AE AE AC bαα===， 因为π(0,)2α∈，所以cos (0,1)α∈，((30,3α∈，所以AEAC的取值范围为(0,3−，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键是引入参数α2cos AE α⋅+，从而转化为α的函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数()()tan f x x ϕ=+的图象关于点π,06中心对称，则常数ϕ的一个取值为______. 【答案】π6−（答案不唯一，满足ππ,Z 62k k ϕ=−+∈即可）为【解析】【分析】根据正切函数的对称性计算可得.【详解】因为()()tan f x x ϕ=+的图象关于点π,06中心对称，所以ππ,Z 62k k ϕ+=∈，解得ππ,Z 62k k ϕ=−+∈， 故答案为：π6−（答案不唯一，满足ππ,Z 62k k ϕ=−+∈即可） 13. 如图，一个水平放置的平面图形OABC 按斜二测画法得到的直观图O A B C ′′′′是直角梯形，又知2A B ′′=，1B C ′′=，则平面图形OABC 的面积为______.【答案】【解析】【分析】先求出梯形O A B C ′′′′的面积，再根据公式S S =直观图原，即可求解. 【详解】过C ′作C D ′′垂直O A ′′于点D ，如图所示， 因为O A B C ′′′′是直角梯形， 所以四边形A B C D ′′′′是矩形，所以2C D A B ′′′′==，1D A B C ′′′′==， 又因为45C O D ′′′∠= ，所以2O D C D ′′′′==， 所以123O A ′′=+=， 所以1(13)242O A B C S ′′′′=×+×=梯形，又因为S =直观图原，所以4OABCS ==四边形故答案为：.14.函数π3yx ω+ （0ω>）的图象和函数π6yx ω−（0ω>）的图象的连续两个交点为A ，B，若52AB <≤ω的取值范围为______. 【答案】π2π,23【解析】【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三角函数的相交性质进行求解即可.【详解】作出两个函数的图象如图，则根据对称性知AB BC =，即ABC 为等腰三角形．三角函数的周期2πT ω=，且AC T =，取AC 的中点M ，连接BM ，则BM AC ⊥，AB =，ππ36x x ωω+=−，得ππsin sin 36x x ωω +=−，得ππ7ππ366x x x ωωω+=−−=−，得5π26x ω=，得5π12x ω=，则π5ππ3π131234y x ω=+=+===， 即A 点纵坐标1，则2BM =，AB =52AB <≤34T <≤，即2π34ω<≤，得为2ππ32ω>≥， 即ω的取值范围为π2π,23． 故答案为：π2π,23. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知平面向量()2,1a = ，()3,b x = .（1）若a b ∥，求b ；（2）若()0a b a ⋅−= ，求cos ,a b b + . 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解出x 值，再利用向量的坐标表示即可得到答案； （2）根据向量垂直的坐标表示得到=1x −，再利用向量夹角的坐标表示即可.【小问1详解】因为(2,1),(3,)a b x = ，又因为//a b ，所以23x =，解得32x =，所以||b = 【小问2详解】因为(1,1)b a x −=− ，所以()2(1)0a b a x ⋅−=+−=，解得=1x −. 所以(3,1),(5,0)b a b =−+= ，所以()cos ,||||a b b a b b a b b +⋅〈+〉==+ . 16. 已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π.（1）求圆锥的体积；（2）求圆锥的内切球的表面积.【答案】（1）12π（2）9π【解析】【分析】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解.【小问1详解】由题意圆锥的底面半径为3r =，设母线长为l ，圆锥的高为h ，由圆锥的侧面积公式πS rl =得：3π15πl =，解得5l =，所以4h ==. 由圆锥的体积公式13V S h =底得:2211ππ3412π33V r h ==××=. 【小问2详解】如图所示，棱锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为R ，∵Rt SCO 相似于Rt SDB ， ∴=OC SO BD SB ，即435R R −=， 解得：32R =，所以内接球表面积：234π9π2S =×=. 17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()cos 2cos a B c b A =−. （1）求A ；（2）若D 是AC 的中点，且5AD =，7BD =，求a .【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）在ABD △中利用余弦定理求出AB ，再在ABC 中利用余弦定理求出a .【小问1详解】因为()cos 2cos a B c b A =−，又正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos AB C B A =−， 则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=，所以sin 2sin cos C C A =， 又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，又()0,πA ∈，所以π3A =； 【小问2详解】在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅， 即214925252AB AB =+−××，解得8AB =或3AB =−（舍去）， 在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AC AB A =+−⋅， 即22218102810842a +−×××，所以a =18. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，24AB AD CD ===，E 是BC 中点.（1）求AE BE ⋅；的（2）连接BD ，交AE 于点M ，求AM ；（3）若1P ，2P ，3P ，…，n P 为BC 边上的1n +等分点，当100n =时，求()123n MP MP MP MP AB +++⋅⋅⋅+⋅ 的值. 【答案】（1）1（2（3）240【解析】【分析】（1）建立合适的直角坐标系，再求出相关向量，根据向量数量积的坐标公式即可；（2）设,AM AE BM BD λµ==，,R λµ∈，根据向量坐标运算得到方程组，解出,λµ，最后利用向量模的坐标公式即可；（3）首先证明123100100MP MP MP MP ME ++++= ，最后转化为求解ME AB ⋅ 即可. 【小问1详解】因为AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则(0,0),(4,0),(2,4),(3,2)A B C E ，(3,2),(1,2)AE BE − ，所以341AE BE ⋅=−+= .【小问2详解】设,AM AE BM BD λµ== ，,R λµ∈，AM BM AE BD λµ−=− ，所以AB AE BD λµ=− ，所以(4,0)(3,2)(4,4)(34,24)λµλµλµ−−+−，所以344240λµλµ+= −= ，解得4525λµ = =，所以44||||55AM AE ==× . 【小问3详解】在MBC 中，因为E 为BC 中点，所以2MC MB ME += ，又因为123100,,,,P P P P 是边BC 101等分点，110029950512,2,,2MP MP ME MP MP ME MP MP ME +=+=+= ， 所以123100100MP MP MP MP ME ++++=， 所以()123100MP MP MP MP AB ++++⋅ 100ME AB ⋅由（2）得132,,(4,0)555ME AE AB ===， 所以312455ME AB ⋅=×= ， 所以()123100*********MP MP MP MP AB ++++⋅× . 19. 设O 为坐标原点，定义非零向量(),p a b = 的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），(),p a b = 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”. （1）若函数()1πsin 6f x x x =+−，求函数()1f x 的“相伴向量”1p ； （2）若函数()2f x为向量212p =−的“相伴函数”，将函数()2y f x =图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，若函数()()()24a h x g x ag x =−+在ππ,64 − 上有三个不同零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<. ①求实数a 取值范围； ②若123π2212x x x ++>−，求实数a 的取值范围. 的【答案】（1）112p = ；（2）①41,3；②43 ． 【解析】【分析】（1）化简函数()1f x ，根据相伴向量的概念即可求解；（2）①由函数变换得()2ππsin 2sin 2334a h x x a x=+−++ ，令πsin 23t x +，得()2,014a h t t at t =−+≤≤，根据题意204a t at −+=在[]0,1内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a 的范围；②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解．【小问1详解】由题意，函数()1πππsin sin cos cos sin sin 666f x x x x x x =+−=+−1sin 2x x 所以()1f x 的“相伴向量”112p = ；【小问2详解】因为函数()2f x为向量212p =−的“相伴函数”， 所以()21πcos sin 26f x x x x −=−， 由题意，函数，()πππsin 2sin 2463g x x x=+−=+ ()2ππsin 2sin 2334a h x x a x =+−++， 由ππ,64x ∈− ，可得π5π20,36x +∈ ， 令πsin 23t x +，则()2,014a h t t at t =−+≤≤，根据题意204a t at −+=在[]0,1内有两个不同的实根， 1 关于t 的方程204a t at −+=的一个根在区间10,2 ，另一个根在1,12 ， 当一个根为0时，即04a =，所以0a =， 此时方程为20t =，所以0=t ，不合题意； 当一个根是12，即110424a a −+=，解得1a =， 此时方程为2104t t −+=，所以12t =，不合题意； 当一个根在10,2，另一个根在1,12， 则有()()0010210h h h > <> ，解得413a <<； 2 当一个根是1，另一个根在1,12内， 由104a a −+=得43a =， 此时方程为241033t t −+=，解得1t =或13t =，不合题意； 综上，a 的取值范围是41,3； ② 设12,t t 为方程204a t at −+=的两个不相等的实数根，且12t t <， 由①知，11π1sin 20,32t x=+∈ ，所以1ππ20,36x +∈ ，即1ππ,612x ∈−−， 22π1sin 2,132t x =+∈，所以23,x x 关于π12对称，则23π6x x +=， 所以2πππ2,362x +∈ ，即2ππ,1212x ∈−， 由123π2212x x x ++>−且23π6x x +=，可得122π2πππ34312x x x >−++−=−，因为12ππππ20,0,36126x x +∈−∈，，所以12ππsin 2sin 312x x +>− ， 所以222212ππ1cos 21sin 2ππ63sin 2sin 31222x x x x −−−+ +>−== ， 所以21221t t >−，又12124t t a a t t += ⋅=，且12t t <所以12t t = =，所以221> 整理得()()218540a a a −−−>， 因为10a −>，所以28540a a −−>，解得a <a >413a <<，43a <<， 所以，实数a的取值范围是43 ，． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题中，第①题的关键是先图象变换得到()g x ，然后得到()h x ，换元后构造二次函数()2,014a h t t at t =−+≤≤，转化为方程在[]0,1内有两个不同的实根，再进行分类讨论即可得解；第②题的关键是，巧妙的将二次函数及三角函数结合起来，在三角恒等变换后，通过换元，再一次转化为一元二次方程根的分布问题，从而得解.。

2022-2023学年辽宁省沈阳市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若()i1iz a a =+∈-R 是纯虚数，则=a （）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【分析】化简复数z ，然后根据实部为0可得.【详解】因为i i(1+i)11i 1i (1i)(1+i)22z a a a =+=+=-+--是纯虚数，所以102a -=，得12a =.故选：B 2．设13cos6sin 622a =︒-︒，22tan131tan 13b ︒=-︒，1cos502c -︒=，则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()13cos 6sin 6sin 30cos 6cos 30sin 6sin 306sin 2422a =︒-︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，1cos50sin 252c -︒==︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C3．已知向量a ，b 满足||1a = ，||1b = ，a 与b 的夹角为π4，则a b - 在b 上的投影向量为（）A ．24b B ．22b C ．424b +rD ．222b -+【答案】D【分析】根据数量积定义先计算()a b b -⋅，然后由投影向量定义可得.【详解】因为||1a = ，||1b = ，a 与b 的夹角为π4，所以()22π2cos 142a b b a b b a b b -⋅=⋅-=-=-，所以a b - 在b上的投影向量为()222122a b b b b b b b -⋅⎛⎫-+⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D4．在ABC 中，120,BAC AD ∠=︒平分,3BAC AD ∠=，则2AC AB +的最小值为（）A ．632+B ．632-C ．962+D ．962-【答案】C【分析】记,AB c AC b ==，在ABD △中，2293BD c c +=-，在ACD 中，2293CD b b =+-，由AD平分BAC ∠，得到c b =或3()b c bc +=，当c b =时，求得218AC AB +=；当3()b c bc +=时，得1113c b +=，再由1123(2)AC AB b c c b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求得结果．【详解】如图，记,AB cAC b ==，在ABD △中，3,60,AD BAD AB c =∠=︒=，则2221923932BD c c c c +-⨯⨯=-=+，在ACD 中，3,60,AD CAD AC b =∠=︒=，则2221923932CD b b b b =+-⨯⨯=+-,∵AD 平分BAC ∠，∴BD AB cCD AC b ==，∴2222229393BD c c c CD b b b+-==+-，∴()()22229393c b b b c c +-=+-，∴22229393c bc b b c -=-∴222233c bc b b c -=-，∴()()222230c b bc b c ---=∴3()()()0c b c b bc c b +---=，∴()[3()]0c b c b bc -+-=，∴c b =或3()b c bc +=，当c b =时，ABC 为等腰三角形，∴AD BC ⊥，6cos 60ADc b ===︒，∴2218AC AB b c +=+=；当3()b c bc +=时，13b c bc +=，即1113c b +=，∴11223(2)AC AB b c b c c b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭233b c c b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2323b c c b ⎛⎫≥⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭962=+，当且仅当2b cc b=，即2c b =时，等号成立，∵96218+<，∴2AC AB +的最小值为962+.故选：C.5．正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+【答案】A【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,AC BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO AC ⊥.又BD AC ⊥，SO BD O ⋂=，SO BD ⊂，平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE AC ⊥则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，即如图EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面//SBD 平面EFG ，又由面面平行的性质可得//EG SB ，//GF SD ，//EF BD ，又E 是边BC 的中点，故,,EG GF EF 分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意222,226BD SB SD ===+=，故()16622622EG EF GF ++=++=+.即动点P 的轨迹的周长为62+.故选：A6．已知底面半径为3的圆锥SO ，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．83π【答案】C【分析】作出圆锥的轴截面SAB ，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得.【详解】如图作出圆锥的轴截面SAB ，依题意3OB OA ==，1OD OC ==，6SB =，所以2233SO SB OB =-=，易知BDF BOS ∽，则BD DFBO SO=，所以23DF =，即圆锥的内接圆柱的底面半径1r =，高23h =，所以圆柱的侧面积2π2123π43πS rh ==⨯⨯=.故选：C7．已知函数()2πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()y f x =的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则（）A ．()f x 的周期为πB ．若()()122f x f x -=，则12min 2πx x -=C ．将()f x 的图像向右平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数D ．函数()22y f x =+在[]0,π上有2个零点【答案】B【分析】对于A ，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B ，由A 知()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C ，根据三角函数平移性质判断即可；对于D ，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A ，因为函数2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以()f x 的最小正周期T 满足3π22T ≥，即π3π2ω≥，所以203ω<≤，因为()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以π2πππ,Z 332k k ω-+=+∈，得13,Z 2k k ω=-∈，所以当0k =时，12ω=，所以2π4π12T ==，故A 错误；对于B ，()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()122f x f x -=，则()()12,f x f x 为1,1-，则12min x x -为半周期，即2π，故B 正确；对于C ，将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()1π2π1cos sin 2332g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，()g x 为奇函数，故C 错误；对于D ，12π2cos 0232x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即12π2cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令12π23t x =+，当[0,π]x ∈时，2π7π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故仅有3π4t =，故D 错误．故选：B.8．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是线段1A B 上的一动点，则1AP PC +最小值为（）A ．6B ．7C ．13+D ．25+【答案】B【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112AC =，即12AC '=,在1A AB △中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BAC ∠=︒，所以在1AA C ' 中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.二、多选题9．已知复数5iz 1i+=+，则下列说法正确的是（）A ．z 13=B ．z 的虚部为－2C ．z 在复平面内对应的点在第四象限D ．z 的共轭复数为32i--【答案】BC【分析】根据复数的除法运算法则求出z ，再根据复数的模长公式、复数的概念、复数的几何表示以及共轭复数的概念可得答案.【详解】5i z 1i +=+(5i)(1i)(1i)(1i)+-=+-64i32i 2-==-，22||3(2)13z =+-=，故A 不正确；z 的虚部为－2，故B 正确；32i z =-在复平面内对应的点(3,2)-在第四象限，故C 正确；32i z =-的共轭复数为32i z =+，故D 错误.故选：BC10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题是真命题的是（）A ．若cos cos aB b A =，则ABC 为等腰三角形B ．若π4B =，2c =，65b =，则ABC 只有一解C ．若()cos 2cos 0b A a c B +-=，则π3B =D ．若ABC 为锐角三角形，则()()222222sin cos a b c A a b c B+->+-【答案】ACD【分析】对于A 、C ：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B ：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D ：根据题意结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项A ：由cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，则()sin 0A B -=，因为0,πA B <<，则ππA B -<-<，可得0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于选项B ：若π4B =，2c =，65b =，则6sin 125c B c =<<=，所以ABC 有两解，故B 错误；对于选项C ：若()cos 2cos 0b A a c B +-=，有正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0B A A C B +-=，则()sin 2sin cos B A C B +=，即sin 2sin cos C C B =，因为(),0,πB C ∈，则sin 0C >，可得1cos 2B =，所以π3B =，故C 正确；对于选项D ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B π<+<，可得π2A B >-，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，又因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222cos 02a b cA ab+-=>，可得2220a b c +->，所以()()222222sin cos a b c A a b c B +->+-，故D 正确．故选：ACD.11．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD AD ==，点E 是棱PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ．直线l 与平面PAD 有一个交点B ．PC DE⊥C ．直线PA 与l 所成角的余弦值为32D ．平面α截四棱锥P ABCD -所得的上下两个几何体的体积之比为35【答案】BD【分析】根据所给图像，作PC 中点F ，连接EF ，则EF 为交线l ，然后根据线面平行的基本定理可判断A ；结和线面垂直的判定及性质可判断B ；结合异面直线所成角的定义可判断C ；结和棱锥的体积公式可判断D.【详解】如图，取棱PC 的中点F ，连接EF ，DF ，因为E 是棱PB 的中点，则//AD EF ，即A ，D ，E ，F 四点共面，则l 为直线EF ，又AD ⊂平面PAD ，EF ⊂/平面PAD ，所以//EF 平面PAD ，即//l 平面PAD ，故A 错误；由PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，由PD AD =，可得PDC △为等腰直角三角形，而斜边PC 的中点为F ，所以PC DF ⊥，再由底面ABCD 是正方形，易得AD CD ⊥，又PD CD D ⋂=，且,PD CD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，所以AD PC ⊥，又AD DF D ⋂=，且,AD DF ⊂平面ADFE ，所以PC ⊥平面ADFE ，又DE ⊂平面ADFE ，所以PC DE ⊥，故B 正确；由//AD EF ，则直线PA 与l 所成的角，即PA 与AD 所成的角，由PD AD ⊥，则2cos 2AD PAD AP ∠==，即PA 与AD 所成的角的余弦值为22，故C 错误；11111333P ABCD ABCD V PD S -=⋅=⨯⨯=，111122113322228P AEFD AEFD V PF S -⎛⎫=⋅=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以1153824ABCDFE P ABCD P AEFD V V V --=-=-=，所以1385524P AEFD ABCDFEV V -==，故D 正确.故选：BD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A ．异面直线1DD 与1B F 所成角的正切值为13B ．点P 为正方形1111DC B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为324C ．过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为2132+D ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π【答案】BC【分析】根据11//DD BB 可得1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F 所成的角，即可判断A ，作出截面，找到P 的轨迹，即可求出DP 的最小值，从而判断B ，作出截面，再利用空间向量确定点的位置，从而求出线段的长度，即可得到截面周长，从而判断C ，确定球心及半径，即可求出外接球的表面积，从而判断D.【详解】对于A 选项，11//DD BB ，∴在1Rt BB F 中1∠BB F 即为异面直线1DD 与1B F 所成的角，11112tan 12BF BB F B B ∴∠===，∴异面直线1DD 与1B F 所成的角的正切值为12．故A 错误；对于B 选项，取11A D 的中点11,M D C 的中点N ，取AD 的中点S ，连接MN ，DM ，1,,DN A S SF ，1111//,,//SF AB A B SF AB A B ==∴11A B FS 为平行四边形，11//SA B F ∴，1//A S DM ，1//MD B F ∴，同理可得1//DN B E，又DM ⊄ 面1B EF ，1B F ⊂面1B EF ，DN ⊄面1B EF ，1B E ⊂面1B EF ，DM ∴//面1B EF ，//DN 面1B EF ，又DM DN D ⋂= ，DM DN ⊂,面DMN ，∴面//DMN 面1B EF ，又//DP 面1B EF ，P ∈面1111D C B A ，P ∴轨迹为线段MN ，∴在DMN 中，过D 作DP MN ⊥，此时DP 取得最小值，在1Rt DD M △中，112D M =，11=D D ，52DM ∴=，在1Rt DD N 中，112D N =，11=D D ，52DN ∴=，在1Rt MD N 中，112D N =，112D M =，22MN =∴，∴如图，在Rt DPN 中，223224MN DP DN ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故B 项正确；对于C 选项，延长EF 交DA 的延长线于点G ，交DC 的延长线于点H ，连接1D H 交1CC 于点N ，连接1D G 交1AA 于点M ，再连接ME 、NF ，则过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形1D MEFN ，平面11//AA D D 平面11BB C C ，截面1D MEFN 与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于1D M 与FN ，1//D M NF ∴，同理可得1//D N ME ，如图以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD方向为x 轴､y 轴､z 轴正方向建立空间直角坐标系D xyz -，设AM m =，CN n =，则()1,0,M m ，()0,1,N n ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D ，10,,2ME m ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()10,1,1D N n =-，()11,0,1D M m =- ，1,0,2NF n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1//D M NF ，1//D N ME ，即1//D M NF 且1//D N ME，()()112112m n n m ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，解得1313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，13AM ∴=，13CN =，123A M ∴=，123C N =，∴在11Rt D A M 中，111D A =，123A M =，1133D M ∴=，同理：1133D N =，在Rt MAE △中，13AM =，12AE =，136ME ∴=，同理：136FN =在Rt EBF △中，12BE BF ==，22EF ∴=，1113132222133622D M D N ME FN EF ∴++++=⨯+⨯+=+，即过点1D E F 、、的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为2132+．故C 正确；对于D 选项，如图所示，取EF 的中点1O ，则111O E O F O B ==，过1O 作11//OO BB ，且使得111122OO BB ==，则O 为三棱锥1B BEF -的外接球的球心，所以OE 为外接球的半径，在Rt EBF △中，22EF =，22222211823224EF R OE OO ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23π4π2S R ∴==球．故D 项错误，故选：BC ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合空间中点、线、面的位置关系确定点的位置，从而求出线段最小值及截面周长.三、填空题13．已知2= a ，1= b ，3a b +=，则a b -= .【答案】7【分析】利用向量恒等式()2222||2a b a b a b ++-=+⨯ ，即可得到答案；【详解】()2222||2a b a b a b ++-=+⨯ ，22537a b ∴-=⨯-= ，7a b ∴-=，故答案为：714．在ABC 中，2π3A =，D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AD AB的最小值为.【答案】33【分析】将AD 用,AB AC 表示，再平方可求得2AD ，再由22AD AB 结合二次函数得性质即可得解.【详解】由2BD DC =，得()11213333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，则22222141433999AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭，所以222412999AD c b bc =+-，则222222224124121119991999933c b bc AD b b b AB c c c c +-⎛⎫==+⋅-⋅=-+≥ ⎪⎝⎭，当1bc=时，取等号，所以AD AB 的最小值为33.故答案为：33.【点睛】关键点点睛：将AD 用,AB AC表示，再平方是解决本题的关键.15．在ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AE 交BD 于点M .若4AB =，6AC =，π3BAC ∠=，则ME MD ⋅=.【答案】29-【分析】分析可知M 为ABC 的重心，利用AB、AC 表示向量ME 、MD ，利用平面向量数量积的运算性质可求得ME MD ⋅的值.【详解】如下图所示：因为在ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AE 交BD 于点M ，则M 为ABC 的重心，所以，()11113332ME AE AB BE AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()11113226AB AC AB AB AC ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，()()11111233326MD BD AD AB AC AB AC AB ⎛⎫==-=-=- ⎪⎝⎭ ，因为4AB =，6AC =，π3BAC ∠=，由平面向量数量积的定义可得π1cos 641232AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以，()()()2211223636ME MD AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-⋅-()221261224369=--⨯=-.故答案为：29-.16．某园区有一块三角形空地ABC （如图），其中π103m,40m,2AB BC ABC ==∠=，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求23APB ∠=π，则CP 的最小值为m．【答案】102110-【分析】根据23APB ∠=π可知点P 的轨迹，再利用正弦定理以及圆周角和圆心角之间的关系，易知当P 为OC 与圆的交点时，CP 取最小值，再利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，因为23APB ∠=π，所以P 在如图所示的圆O 上，圆O 的半径为110310232⨯=，由圆周角的性质可得2πππ2πππ,2,33336ADB AOB OBA OAB ∠=-=∠=⨯=∠=∠=，连接OC ，可得OP CP OC +≥，所以当P 为OC 与圆的交点时，CP 取最小值，即CP OC OP =-，又10OB OP ==，在OBC △中，2π10,40,3OB BC OBC ==∠=，根据余弦定理可知22110402104010212OC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以CP 的最小值为()102110m -．故答案为：102110-四、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()sin sin sin c C a A b a B -=-．(1)求C ；(2)若4b =，ABC 的面积为63，求边长c 的值．【答案】(1)π3C =(2)27c =【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到222a b c ab +-=，再由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解；（2）由ABC 的面积为63，列出方程求得6a =，结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得()22c a b a b -=-，即222c a b ab =+-，即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为()0,πC ∈，所以π3C =．（2）解：由ABC 的面积为63，所以113sin 463222ABC S ab C a ==⨯⨯⨯= ，可得6a =，又由22212cos 3616264282c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以27c =．18．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，D 为1CC 的中点，12BB BC =.(1)求证：平面1AB C ⊥平面ABD ；(2)若3AB BD ==，求三棱锥1B ABD -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)63【分析】（1）先证AB ⊥平面11BB C C ，得到1B C AB ⊥①，再借助三角形相似证明1B C BD ⊥②，最后证出平面1AB C ⊥平面ABD ；（2）等体积法求1A BB D V -即可.【详解】（1） 111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB BB ⊥，又 AB BC ⊥，1BC BB B = ，∴AB ⊥平面11BB C C1B C ⊂平面11BB C C ，∴1B C AB ⊥①设BC t =，则12BB t =，12tan 2BB C ∠=，11222tCD CC ==，2tan 2CD CBD BC ∠==，∴1BB C CBD ∠=∠ 1190BB C B CB ︒∠+∠=，∴190CBD B CB ︒∠+∠=，故1B C BD ⊥②由①②，AB ABD ⊂平面，AD ABD ⊂平面，且AB BD B = ，知1B C ⊥平面ABD 又 1B C ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面ABD（2）由222BC CD BD +=，得2232t t +=，解得2t =∴1BB D △的面积11122BB D S BB BC =⋅=△由（1）知AB ⊥平面11BB C C ，∴三棱锥1A BB D -的体积111633A BB D BB D V S AB -=⋅=△∴三棱锥1B ABD -的体积1163B ABD A BB D V V --==19．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，3AB =，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、11C D 的中点.(1)求三棱锥A GEF -的体积；(2)点P 在矩形ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，求线段1D P 长度的最小值.【答案】(1)324(2)72【分析】（1）等体积由A GEF G AEF V V --=可得.（2）先证平面//EFG 平面1ACD ，则由直线1//D P 平面EFG 可得点P 在直线AC 上，进而可得线段1D P 长度的最小值【详解】（1）依题意有1131322228AEF S AE BF =⋅⋅=⋅⋅=，所以三棱锥A GEF -的体积11133133824A GEF G AEF AEF V V S DD --==⋅⋅=⋅⋅=；（2）如图，连结11,,AC D A D C ，∵,,E F G 分别为11,,AB BC C D 的中点，∴//,AC EF EF ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，∴//EF 平面1,ACD∵1//,EG AD EG ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，∴//EG 平面1ACD ，∵EF EG E = ，∴平面//EFG 平面1ACD ，∵1//D P 平面EFG ，∴点P 在直线AC 上，在1ACD △中，112,2,2===AD AC CD ，12212722()222AD C S =⨯⨯-=，∴当1D P AC ⊥时，线段1D P 的长度最小，最小值为172=11222C AD S AC ⨯⨯△＝72.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.(1)求B ；(2)若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，π3EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】(1)π3；(2)33ππ,2π6216sin sin 3S ααα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，333,48S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ62α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得33ππ,2π6216sin sin 3S ααα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【详解】（1）因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及2b c ==可知ABC 为等边三角形.又因为π3EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ62α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得,sin sinDE BDB BED=∠，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，CFDα∠=,由正弦定理可得，sin sinDF CDC CFD=∠，即32sinDFα=.所以31π33ππsin,2π2π8362sin sin16sin sin33Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为2π31sin sin cos sin sin322ααααα⎛⎫⎛⎫-=+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231311sin cos sin sin2cos222444ααααα=+=-+1π1sin2264α⎛⎫=-+⎪⎝⎭，因为ππ62α≤≤，所以ππ5π2,666α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin2,162α⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1π113sin2,26424α⎛⎫⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.所以[]2π16sin sin8,123αα⎛⎫-∈⎪⎝⎭，所以111,2π12816sin sin3αα⎡⎤∈⎢⎥⎛⎫⎣⎦-⎪⎝⎭，所以33333,2π4816sin sin3Sαα⎡⎤=∈⎢⎥⎛⎫⎣⎦-⎪⎝⎭.所以S 的取值范围为333,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．如图，在三棱锥-P ABC中，ABC是边长为62的等边三角形，且6PA PB PC===，PD⊥平面ABC，垂足为,D DE⊥平面PAB，垂足为E，连接PE并延长交AB于点G.(1)求二面角P AB C --的余弦值；(2)在平面PAC 内找一点F ，使得EF ⊥平面PAC ，说明作法及理由，并求四面体PDEF 的体积.【答案】(1)33；(2)答案见解析，43.【分析】（1）根据条件确定PGD ∠就是二面角P AB C --的平面角，构造三角形求解；（2）根据给定的条件知PB ⊥平面PAC ，过点E 作PB 的平行线与PA 交于F ，则EF ⊥平面PAC ，再求出三棱锥P EFD -的底面积和高即可.【详解】（1）PA PB PC == ，并且ABC 是等边三角形，∴三棱锥-P ABC 是正三棱锥，D 是ABC 的中心，点G 是AB 边的中点；由PD ⊥平面ABC ，DE ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，可知,,AB PD AB DE PD DE D ⊥⊥⋂=，PD ⊂平面PDG ，DE ⊂平面PDG ，所以AB ⊥平面PDG ，进而得,AB PG AB DG ⊥⊥，所以PGD ∠就是二面角P AB C --的平面角，又ABC 是边长为62的等边三角形，且6PA PB PC ===，222PA PB AB +=，PAB ∴ 是等腰直角三角形，同理,PAC PBC △△都是等腰直角三角形；1322PG AB ∴==，113626332GD CG ==⨯⨯=，3cos 3GD PGD PG ∠==，即二面角P AB C --的余弦值为33；（2）,,,PB PC PB PA PA PC P PA ⊥⊥=⊂ 平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PB ∴⊥平面PAC ，同理PC ⊥平面PAB ，又DE ⊥平面PAB ，//ED PC ∴，E ∴与点P ，D ，C 共面，即E 点在线段PG 上，又1,23EDG PGC ED PC ∴== ，2,223PE CD PE PG CG ===，π4APG ∠=，过E 点在平面PAB 内作PB 的平行线，与PA 交于F ，则EF ⊥平面PAC ，PEF !也是等腰直角三角形，22PEEF ==，又DE ⊥平面PAB ，EF ⊂平面PAB ，DE EF ∴⊥，将PEF !作为底面，则ED 是三棱锥D PEF -的高，11142223323P DEF D PEF PEF V V S DE --∴===⨯⨯⨯⨯= ，即四面体PDEF 的体积为43.22．已知点O 是锐角ABC 的外心，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，222a b c bc =+-，(1)求角A ；(2)若4a =，求ABC 面积的最大值；(3)若cos cos sin sin A C BA BC xOB C A+= ，求x 的取值范围．【答案】(1)π3A =(2)43(3)(2,1)--【分析】（1）利用余弦定理求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出bc 的最大值，结合三角形的面积公式可求得ABC 面积的最大值；（3）由题意画出图形，设ABC 的外接圆半径为R ，根据三角形外心的性质可得：,OD AB OE BC ⊥⊥，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出BA OB ⋅ 和BC OB ⋅ ，在已知的等式两边同时与OB 进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，结合两角和的正弦公式和内角和定理求出x 的范围．【详解】（1）因为222a b c bc =+-，则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，所以π3A =；（2）因为2222a b c bc bc bc bc =+-≥-=，则216bc a ≤=，当且仅当4b c ==时，等号成立，所以11πsin 16sin 43223ABC S bc A =≤⨯⨯=△，所以ABC 面积的最大值为43.（3）分别取AB ，BC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可得211()||22BA OB BA OD DB BA DB BA BA BA ⎛⎫⋅=⋅+=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭ ，同理可得21||2BC OB BC ⋅=- ，由cos cos sin sin A C BA BC xOB C A += 得，2cos cos sin sin A C BA OB BC OB xOB C A ⋅+⋅= ，所以2221cos 1cos 2sin 2sin A C BA BC xOB C A -⋅-⋅= ，即2||||cos cos 2sin sin BA BC A BA C BC x OB C A ⋅⋅+⋅⋅=- ，在ABC 中，由正弦定理得：||||2sin sin BA BC R C A == ，（R 为ABC 的外接圆的半径）代入上式得2cos ||2cos ||22A BA R C BC R xR ⋅⋅+⋅⋅=- ，则cos ||cos ||A BA C BC xR ⋅+⋅=- ，由正弦定理得，||2sin ,||2sin BA R C BC R A == ，代入上式得，2sin cos 2cos sin R C A R C A xR +=-；所以2sin()C A x +=-，所以2sin B x =-，即2sin x B =-，因为π3A =，且ABC 为锐角三角形，2πππ0,0322B B <-<<<，所以ππ62B <<，所以1sin 12B <<，所以22sin 1B -<-<-，即x 的取值范围(2,1)--．。

某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。

镇海中学2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（ ） A. 2B.C. D. 4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =. 故选：C .2. 若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +−构成基底的向量是（ ） A. aB. 2a b +C. 2a c +D. c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +−表示即可得.【详解】由{,,}a b c是空间中的一组基底，故,,a b c 两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c =++−，故A 错误； 对B ：设()()22a b m a c n a c +=++− ，则有()()22a b m n a m n c +=++−， 该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +−构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c +=+−−，故C 错误； 对D ：有()()123c a c a c =+−−，故D 错误. 故选：B.的3. l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（ ） A. l 平行平面α内的无数条直线 B. l 平行于平面α的法向量 C. l 垂直于平面α的法向量 D. l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项． 【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误； 对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行. 所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确. 故选：D 4. 己知 (2,2,1)(1,1,0)ab =，，则a 在b上的投影向量的坐标为（ ）A. (1,1,0)B. (1,2,0)C. (2,2,0)D. (1,1,1)【答案】C 【解析】.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b b b⋅×==，故选：C5. 点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点， 则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A.6. 如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈ ，则||AP的最小值为（ ）A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈， 则()()111AP AA x AB AA y AD AA −=−+− ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，所以111BD DA A B===， 所以三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以12233A H ==所以AH =，所以||AP的最小值为AH =故选：B .7. 实数,x y 满足2222x y x y +=−，则|3|x y −+的最小值为（ ）A. 3B. 7C.D. 3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，运用几何法求解即可.【详解】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，圆心()1,1−到直线距离为d =则|3|x y −+3=. 故选：A8. 在棱长为2的正四面体O ABC −中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（ ）A. 23B. 23C.D. 【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到sin sin θϕ+，最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E OF O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC −为正四面体，所以1O A =1O F =，1O O =()10,0,0O，B，C −，O，1O O = ，OB =，OC − ，设0,M a，N b，a ∈ ，[]1,1b ∈−，则(),MNb a =−， 由题意得1O O可以作为平面ABC 的一个法向量，则11sin MN O O MN O Oθ⋅== ，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，00m OB x y z m OC x y z ⋅==⋅=−=，则0x =，令y =，则z =所以m = ，sin m MN m MNϕ⋅==sin sin θϕ+=因为a ∈，[]1,1b∈−，所以[]2332,3a −+∈，[]20,1b ∈，2，sin sin θϕ+=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9. 已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,F F ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（ ）A.椭圆CB. 12F PF △的周长为3C. 12F PF ∠不可能是直角D. 当1260F PF ∠=°时，12FPF △【答案】AD.【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上， 由245a −=3a ⇒=.所以椭圆的离心率ce a ==，故A 正确； 根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误； 如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=−⋅−−=−<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误； 如图：当1260F PF ∠=°时，设11PF t =，22PF t =， 则1222121262cos 6020t t t t t t += +−°= ⇒12221212620t t t t t t += +−= ⇒12163t t =，所以12121116sin 60223F PF S t t =°=× ，故D 正确. 故选：AD10. 已知圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ．则下列选项正确的是（ ）A. 直线12C C 恒过定点(3,0)B. 当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C. 若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D. 当13a =时，圆1C 与圆2C 【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ， 可知()()121,2,4,C a C a −，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=−−， 即()3y a x =−−，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确； 对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R 即()()222:44,C x y a a −++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++=+=；同理求得当43a =−时，max ||10PQ =，B 正确； 对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C −<<+，即15<<，解得4433a −<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交， 2212:(1)()93C x y −+−=，()2221:443C x y −++=， 将两方程相减可得公共弦方程596203x y −−=， 则121,3C到596203x y −−=则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为，D 正确， 故选：ABD11. 埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图511122A PE P E −与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n −=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D −′′′′的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45°，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n nn n n A B C D A B C D n ′′′′−=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（ ）A. 在图5中，1322A P E P ⊥B. 在图5中，直线12Q A 与平面122A E PC. 在图10中，设点nA ′的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D. 在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===， 则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E−， 所以()13221111,1,1,,,222A P E P−−−，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⋅=−−⋅−=−+=≠， 13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q −，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E，()20,1,0P 则()121,1,1Q A =，()120,0,1A P =− ，22111,,222E P=−−，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z = ，则122200n A P n E P ⋅=⋅= ，得01110222z x y z −= −+−= ，令1y =得，01z x ==，， 即()01,1n =，，又由121212cos ,Q A n Q A n Q A n⋅==， 所以直线12Q A 与平面122A E P，故B 正确； 对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45°，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A ′的坐标为(1,0,,点2A ′的坐标为(0,1,,−点3A ′的坐标为)1,−则()()()()322211212129nn n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D，由图知：)21,0A −，)2B，(2C,(20,D −,)3A ,则()2301,1A A =，， 由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈， 所以())222222220,2,0,2,D E D C C E D C C B λλ+++，则22cos,D E At λ−=，t ∈−，则22cos ,D E A =，由11,t ∈+，得2211,18t −≥−=即223cos ,D E A A =≤所以异面直线2D E 与23A A，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)−，则点A 到平面α的距离是_______．【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果. 【详解】由题知(2,1,1)AB − ，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =−， 所以点A 到平面α的距离为d13. 已知点P 是直线80−+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y −+−=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______． 【答案】34##0.75 【解析】【分析】结合切线性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠， 设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==−，由()()22:114C x y −+−=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sinMCPCPC α==，又min PC =， 则()max min 2sin PC α== 的则()22min 3cos 12sin 124MPN α∠=−=−×=. 故答案为：34.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c −，下顶点为点()0,M b −，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】 ①. 12##0.5 ②.【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径. 【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ， 由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =， 又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =， 由椭圆定义可知122NF NF a +=， 即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==； 则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =−−=−， 即12NF m =+，4NM m =−，则有()()()22222111442πcos32224m m MF MN NF MF MN m +−−++−=×⋅××−， 计算可得45m =，则()11π24sin 23MNF S m =××−=又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有4r=r =.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15. 已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1． （1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 坐标为(6,3)−，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +−=（2）10，1515,77P【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)−关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.的【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =， 此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x −=−，即440kx y k −−+=， 则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11，解得158k =−，即得15604088x y −−++=，即158920x y +−=， 故直线l 的方程为4x =或158920x y +−=； 【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =， 故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ， 连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥=，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立， 即||||PB PC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=−+−，联立y x =， 解得157xy ==，即151577P ,. 16. 如图，正三棱柱111ABC A B C 所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D AB =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小. 【小问1详解】 如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A −，()C，()12C ，1,0,23D，()1,0,1E ， 所以4,0,23AD =，113DC =−，()1EC =−− . 设平面1AC D 法向量为(),,n x y z =，的由1n AD n DC ⊥⊥ ⇒()()4,,,0,2031,,03x y z x y z ⋅=⋅−=⇒4600x z x += −+= ，取()6n−.因为()()16EC n ⋅=−−⋅−9360=−++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D . 【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos,n AE n AE n AE ⋅===⋅=. 17. 已知圆C 的圆心在x轴上，且过(−． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P −的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠A 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224x y += （2）存在，且()4,0A − 【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【小问1详解】设圆C 为()222x a y r −+=，则有()()2222212a r a r −−+=−=，解得204a r == ，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =−，()11,E x y ，()22,F x y ， 联立2214x my x y =−+=，有()221230m y my +−−=， 2224121216120m m m ∆=++=+>， 12221my y m +=+，12231y y m −=+， 设(),0A t ，1t ≠−，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=， 即()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t −+−+==−−−−， 即()1221120y x y x t y y +−+=， ()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +−+=−+−−+ ()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +−−+−−++=−==+++， 即()()621240m m t m t ++=+=， 则当4t =−时，0AE AF k k +=恒成立， 故存在定点()4,0A −，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB =，点E 是线段AB 的中点， （i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得1||4PB PB +=且1||PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i；（ii ）存在，(2,0,0)P − 【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,联立（∗），解出即可 【小问1详解】 如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥=， ,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz.12BB =,点E 是线段AB的中点，则AB BC CA ===1OAOB OC ===． 1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,)22A B C B C E −−，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =−=−=− . 设平面1ECC 法向量(,,)m x y z =，则100m CE m CC ⋅=⋅=即1102220x y z x −+= −= 解得012x y z = = = ，故(0,1,2)m = ； 同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n =.则cos ,m n m n m n⋅==⋅， 设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则cos θ=． （ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC ==，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=, 则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,a c b===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,与（∗）联立方程组. 2222560334x z x z x+++==−，解得120x z =−= ，22180)x z =−<（ ，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)−．19. 在空间直角坐标系O xyz −中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c−−−==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z −+−+−=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=． （1）若平面1:210x y α+−=，平面1:210y z β−+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值； （3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1）212,,333−−（2）1m =−（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥ ，1l β⊥，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =− ，根据p γ⊥，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥ ，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ ⋅=+= ⋅=−=，取2x =，则(2,1,2)l =−− ， 所以直线l 的单位方向向量为212,,333−−． 【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=， 由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，所以4103105210a a b c a b c += +−+=−+++= ，解得14140a b c=−=− = ，即2:4x y α+=， 所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p=−， 所以p γ⊥，即()1210p m m m m γ⋅=−+++=+= ，解得1m =−．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =×××=正四棱锥，3244461283S V =××+×=， 设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +−=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n =，平面:40ECD y z +−=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n =，所以121cos cos ,2n n θ==， 所以几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z =(2−ai)(1+2i)为纯虚数，则实数a =( )A. −2B. 2C. −1D. 12.已知向量a =(2,−1)，b =(k,2)，且(a +b )//a ，则实数k 等于( )A. −4B. 4C. 0D. −323.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若α⊥β，γ⊥β，则α⊥γC. 若m ⊥α，n ⊥α，则m//nD. 若m//α，m//β，则α//β4.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为线段AC 和线段A 1B 的中点，求直线MN 与平面A 1B 1BA 所成角为是( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 75∘5.已知cos 2α=23，则cos(π4−α)cos(π4+α)的值为( )A. 13B. 23C.23 D.2 296.设a ，b 为单位向量，a 在b 方向上的投影向量为−12b ，则|a−b |=( )A. 1B. 2C.2D.37.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H(单位：米，记水筒M 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式H =2sin(π30t +φ)+54，φ∈(0,π2)，且t =0时，盛水筒M 位于水面上方2.25米处，当筒车转动到第80秒时，盛水筒M 距离水面的高度为( )米．A. 3.25B. 2.25C. 1.25D. 0.258.已知角α，β满足cos α=13，cos (α+β)cos β=14，则cos (α+2β)的值为( )A. 112B. 18C. 16D. 14二、多选题：本题共3小题，共15分。

2023-2024学年北京市清华大学附属中学高一下学期期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，且，则a 可以为()A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则()A. B.C. D.3.若向量，，，则()A. B.C.4D.4.函数的定义域为()A. B.C.D.5.下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是()A. B.C.D.6.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B.C.D.7.若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是()A.甲命中个数的极差为29B.乙命中个数的众数是21C.甲的命中率比乙高D.甲每组命中个数的中位数是259.已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为()A. B. C. D.10.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下不含所需的训练迭代轮数至少为参考数据：A.72B.74C.76D.78二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设是等差数列，且，，则数列的前10项和__________.12.现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为__________.13.函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个取值为__________，若函数存在极值，则a的取值范围为__________.14.已知函数，则__________.15.若等差数列满足对，在中的所有项组成集合记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④所有正确的命题的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。