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课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)[练基础]1．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6，3)，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－122．函数y ＝lg1x －1的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．3．函数y ＝log 2(1＋x )＋4－2x的定义域为( ) A ．(－1，2) B ．(0，2] C ．(0，2) D ．(－1，2]4．若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a ，1－b ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1 D ．(a 2，2b ) 5.已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是( ) A ．m >0，0<n <1 B ．m <0，0<n <1C ．m >0，n >1D ．m <0，n >16．(多选)设a ＞1，在下列函数中，图象经过定点(1，1)的函数有( ) A ．y ＝x aB ．y ＝ax －1C ．y ＝log a x ＋1D ．y ＝ax 3＋17．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________． 8．函数y ＝ln （x ＋1）1－x的定义域为________．9．已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，如果无论a ，b 在给定范围内取任何值，函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象与函数y ＝bx －c ＋3的图象总经过同一个定点，求实数c 的值．10．设f (x )＝log a (3＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (0)＝2. (1)求实数a 的值及函数f (x )的定义域． (2)求函数f (x )在区间[0，6]上的最小值．[提能力]11．(多选)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象不可能是( )12．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)13．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝ln (x 2＋ax ＋1)的定义域为A . (1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[培优生]16．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，求实数a 的取值范围．课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)1．解析：将点(6，3)代入f (x )＝log a (x ＋2)中， 得3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，a ＝2， 所以f (x )＝log 2(x ＋2)， 所以f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 答案：B2．解析：由题意，1x －1>0，解得x >1，即函数y ＝lg 1x －1的定义域为(1，＋∞)，所以可排除B 、C 选项；当1<x <2时，1x －1>1，此时lg 1x －1>lg 1＝0；当x >2时，0<1x －1<1，此时lg 1x －1<lg 1＝0，显然D 不符合题意，只有A 符合题意．答案：A3．解析：要使得函数有意义，则x ＋1>0，且4－2x≥0 解得x >－1且x ≤2. 即x ∈(－1，2]. 答案：D4．解析：x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ， 所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 的图象上． 答案：D5．解析：由图象知函数f (x )为增函数， 所以n >1，又f (x )的图象由y ＝log n x 的图象向上平移得到的，所以m >0. 答案：C6．解析：对于选项A ：当x ＝1时，y ＝1a＝1，所以选项A 正确， 对于选项B ：当x ＝1时，y ＝a 0＝1，所以选项B 正确， 对于选项C ：当x ＝1时，y ＝log a 1＋1＝1，所以选项C 正确，对于选项D ：当x ＝1时，y ＝a ＋1，图象不经过定点(1，1)，所以选项D 错误． 答案：ABC7．解析：由f (3)＝1可得：1＝log 2(9＋a )， ∴a ＝－7. 答案：－78．解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.答案：(－1，1)9．解析：因为函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象过定点(4，4)，所以y ＝b x －c＋3的图象必过定点(4，4)，所以4＝b4－c＋3，即c ＝4.10．解析：(1)由题意得，f (0)＝log a 3＋log a 3＝2log a 3＝2，所以a ＝3， 所以f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3<x <3，所以f (x )的定义域是(－3，3).(2)因为f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )＝log 3(3＋x )(3－x )＝log 3(9－x 2)， 且x ∈(－3，3)，所以log 3(9－x 2)在[0，6]上单调递减， 所以当x ＝6时，f (x )在区间[0，6]上取得最小值，是log 33＝1.11．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x过定点(0，1)且单调递减，则函数y ＝1ax 过定点(0，1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 过定点(0，1)且单调递增，则函数y ＝1a x 过定点(0，1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合．综上，选ABC.答案：ABC12．解析：当0<x ≤12时，4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的坐标代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若满足题意，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.答案：B13．解析：由题得函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)， 所以m ＝－1，n ＝3.所以g (x )＝－x 2－2bx ＋3, 函数的对称轴方程为x ＝－－2b－2＝－b ， 函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减， 所以－b ≤1，∴b ≥－1. 答案：[－1，＋∞)14．解析：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ，即b ＝1a，所以a ＋4b ＝a ＋4a .令g (a )＝a ＋4a ，易知g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞).答案：(5，＋∞)15．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋1>0，9－3a ＋1≤0，所以a ≥103.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.(2)由题意，得x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2. 故实数a 的取值范围为(－2，2).16．解析：因为函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R . 则t ＝ax 2＋2x ＋1可以取到(0，＋∞)内的任意值， ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围是[0，1].。
4.3 对数函数4.3.1 对数的概念 A 级必备知识基础练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92.(多选题)下列结论正确的是( ) A.log 24=2 B.2.10.5>2.1-1.8 C.3log 32=2D.-log 55=13.813+log 122等于( )A.0B.1C.2D.34.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= . 5.解答下列各题.(1)计算:log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y)=1,求xy 的值.6.求下列各式的值:(1)lo g 1162;(2)log 7√493;(3)log 2(log 93).B 级关键能力提升练7.若log a 3=m,log a 5=n(a>0且a≠1),则a 2m+n 的值是( ) A.15 B.75C.45D.2258.已知f(x 6)=log 2x,则f(8)=( ) A.43B.8C.18D.129.(多选题)下列函数与y=x 相等的是( ) A.y=√x 33B.y=√x 2C.y=log 77xD.y=7log 7x10.已知f(x)={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(2)的值为( )A.6B.5C.4D.311.已知lo g 12(log 2x)=lo g 13(log 3y)=1,则x,y 的大小关系是( ) A.x<y B.x=y C.x>yD.不确定12.若log 3(a+1)=1,则log a 2+log 2(a-1)= .C 级学科素养创新练13.已知二次函数f(x)=(log 3a)x 2+2x+4log 3a(a>0)的最大值是3,求a 的值. 答案：1.A ∵2log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.ABC log 24=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-log 55=-1,故D 不正确.故选ABC. 3.B 813=23×13=2.设lo g 122=x,则(12)x=2,即2-x =2,则-x=1,x=-1,即lo g 122=-1.故813+lo g 122=2-1=1.故选B.4.1 ∵a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.5.解(1)因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0. (2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y)=1, 所以log 2y=3. 所以y=23=8. 所以xy=18×8=1.6.解(1)设lo g 1162=x,则(116)x =2,即2-4x =2,∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14.(2)设log 7√493=x,则7x=√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x,则9x =3,即32x =3,∴x=12.设log 212=y,则2y =12=2-1,∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.7.C 由log a 3=m,得a m =3,由log a 5=n,得a n =5, 则a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45. 8.D 令x 6=8,则x 2=2,因为x>0,所以x=√2,故f(8)=log 2√2.设log 2√2=y,则2y=√2,即2y=212,则y=12,故f(8)=12.9.AC 函数y=√x 33=x 的定义域为R,故与y=x 相等;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 对应关系不同,故不是同一个函数;函数y=log 77x =x,且定义域为R,对应关系相同,故与y=x 相等;y=7log 7x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一个函数.故选AC. 10.B 由题意得f(-2)+f(2)=(1+log 24)+2=5,故选B. 11.A 因为lo g 12(log 2x)=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y)=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33.因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A. 12.1 由log 3(a+1)=1得a+1=3,即a=2, 所以log a 2+log 2(a-1)=log 22+log 21=1+0=1. 13.解因为二次函数f(ax =16log 32a -44log 3a=4log 32a -1log 3a=3,所以4lo g 32a-3log 3a-1=0. 所以log 3a=1或log 3a=-14.因为log 3a<0,所以log 3a=-14.所以a=3-14.。
2019-2020年高二数学暑假作业10指对数函数函数图像与零点3理湘教版一. 选择题1．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b的值为( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．22．方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( )A ．(1，2)B ．(3，4)C ．(5，6)D ．(6，7) 3．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )4．已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c5、已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3二.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是 ．8．(2014·福建卷)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．9、已知函数f(x)＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列命题：①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}； ②f(x)有最小值； ③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．其中真命题的序号是________．10、给出下列四个命题：①函数1y x=-在R 上单调递增；②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点， 已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．12、若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. （1）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（2）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值； （3）当1a ≥时，求证：函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.作业10 指、对数函数，函数图像与零点（3）参考答案一. 选择题1．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b －a －b的值为( D ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．22．方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( C )A ．(1，2)B ．(3，4)C ．(5，6)D ．(6，7)解析：构造函数F(x)＝log 4x ＋x －7，F(5)＝log 45－2＜0，F(6)＝log 46－1＞0，F(x)在(5，6)内有零点，即log 4x ＋x －7＝0在(5，6)内有解． 答案：C3．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( A )解析：函数有意义，需使e x－e －x≠0，其定义域为{x|x ≠0}，排除C ，D ，又因为y ＝e x＋e－xe x －e－x＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数．故选A. 答案：A4．已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( A )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案：A5、已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)[解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3三.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是 [)1,3 ．8．(2014·福建卷)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析：令x 2－2＝0得，x ＝±2，只有x ＝－2符合题意；令2x －6＋ln x ＝0得，6－2x ＝ln x ，在同一坐标系内，画出y ＝6－2x ，y ＝ln x 的图象，观察知交点有1个，所以零点个数是2个．答案：29、已知函数f(x)＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列命题：①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}； ②f(x)有最小值； ③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．其中真命题的序号是________．解析：∵－1－a 与1的大小不能确定，须分类讨论，故①不对，而当a ＝0时，f(x)的值域是R ，即③正确，故②不对．显然，当a ＞0时f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故在[2，＋∞)上是单调函数，故④对．答案：③④ 10、给出下列四个命题：①函数1y x=-在R 上单调递增；②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点， 已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3 故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1， 即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R)恒成立． 于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1. 12、若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域． 解析 ∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1， ∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1＞－1.∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12.即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. （1）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（2）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值； （3）当1a ≥时，求证：函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.证明：()c ax g x x-+⋅=224，设任取任意实数121-≤<x x ()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-c a c a x g x g x x x x 22122422421121112221222422422x x x x x x x x a a +++-⋅-+⋅=()()212121212222224x x x x x x x x a ++---⋅= ()()21212122224x x x x x x a ++--⋅=11-≤<x x ，1,12424,222121≥=⋅<⋅-<+∴-+a x x x x ，即1-≤-a02421<-⋅∴+a x x ，又02221<-x x ，()()0,022121>-∴>+x g x g x x ，即()()21x g x g >()x g ∴在(]1,-∞-单调递减又R c ∈，结合函数图象知函数()x g 在(]1,-∞-上至多有一个零点.考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性.。
