4.2.3 对数函数的性质与图像一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 二、对数函数的性质与图像(0，＋∞)三、对对数函数定义的理解1、同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如22log y x =，22log y x =都不是对数函数，只有log a y x =（0a >且1a ≠）才是对数函数。
2、观察图像，注意变化规律（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，a 越大，图像向右越靠近x 轴，01a <<时，a 越小，图像向右越靠近x 轴；（2）左右比较：比较图像与直线1y =的交点，交点的横坐标越大，对应对数函数的底数越大.题型一 对数函数的概念理解【例1】下列函数是对数函数的是（ ）A ．log (2)a y x =B ．2log 2x y =C ．2log 1y x =+D ．lg y x = 【答案】D【解析】由对数函数的定义：形如log (0a y x a =>且1)a ≠的形式，则函数为对数函数，只有D 符合.故选D【变式1-1】给出下列函数：①223log y x =；②3log (1)y x =-；③(1)log x y x +=；④log e y x =.其中是对数函数的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.【变式1-2】已知下列函数： ①y ＝log 12(－x )(x ＜0)； ②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)； ③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)． 【答案】③【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③【变式1-3】下列函数是对数函数的是( )A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log e x y =D ．log x y x = 【答案】A【解析】对数函数log a y x =（0a >且1a ≠），其中a 为常数，x 为自变量．对于选项A ，符合对数函数定义；对于选项B ，真数部分是1x +，不是自变量x ，故它不是对数函数； 对于选项C ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D ，底数是变量x ，不是常数，故它不是对数函数．题型二 求对数函数的解析式【例2】若对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象经过点(4,2)，则实数=a ______. 【答案】2【解析】将点(4,2)代入log a y x =得2log 4a =，解得2a =故答案为：2.【变式2-1】若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 【答案】-3【解析】设()log a f x x =（0a >且1a ≠），将()4,2-代入得22211log 42,4,2,2a a a a -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭.所以()12log f x x=，()3112218log 8log 32f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.【变式2-2】若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，则=a .【答案】5【解析】根据对数函数的定义有245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =，故答案为：5．【变式2-3】已知对数函数()()233log m f x m m x =-+，则m =______．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得233101m m m m ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2m =．题型三 对数函数的定义域问题【例3】函数()ln f x x =的定义域为（ ）A ．()2,+∞B ．[)0,2C ．(]0,2D ．[]0,2 【答案】C【解析】要使函数解析式有意义，需满足20,2,00,x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩解得:(]0,2x ∈.故选：C【变式3-1】若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2 【答案】C【解析】函数()y f x =的定义域是[1，3]，∴1213x ≤-≤，解得12x ≤≤． 又0x >，且1x ≠，∴(]1,2x ∈． 故函数()h x 的定义域是(]1,2．故选：C.【变式3-2】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为_________.【答案】()(),02,-∞+∞【解析】由题可知220x x ->，即(2)0x x ->，解得0x <或2x >.故函数()()22log 2f x x x =-的定义域为()(),02,-∞+∞.故答案为: ()(),02,-∞+∞.【变式3-3】函数y = ）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】D【解析】由题意2log (32)0x -≥，321x -≥，1≥x ．故选：D ．【变式3-4】若函数()ln 2y x =+的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3 B ．3 C ．1 D ．-1 【答案】A【解析】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根， 所以120a ++=，得3a =-，故选：A【变式3-5】已知函数()()2lg 32f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据条件可知2320ax x ++>在R 上恒成立，则0a >，且980a ∆=-<，解得98a >，故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭.题型四 对数型函数过定点问题【例4】函数曲线log 1a y x =+恒过定点（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,1D ．()1,0 【答案】C【解析】 因为对数函数log a y x =恒过点(1,0)，所以函数曲线log 1a y x =+恒过点(1,1).故选：C【变式4-1】函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点_________ 【答案】()2,4【解析】因为函数()4log (1)a f x x =+-(0a >且1a ≠)，令11x -=，解得2x =，所以()24log 14a f =+=，即函数()f x 恒过点()2,4.【变式4-2】函数23log 21a x y x +=++（0a >且1a ≠）的图象经过的定点坐标为__________. 【答案】(2,2)- 【解析】23log 21ax y x +=++，取2311+=+x x∴2=-x 时，2y =，即过定点(2,2)-【变式4-3】函数()()log a f x x b c =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点（3，2），则b c +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C【解析】由题意，函数()()log a f x x b c =-+，当1x b -=时，即1x b =+时，可得y c =，即函数()f x 恒经过点(1,)b c +，又因为()f x 恒经过点(3,2)，可得132b c +=⎧⎨=⎩，解得2,2b c ==，所以4b c +=.故选：C.【变式4-4】若函数()21x f x a +=+与()()log 2a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是________. 【答案】25【解析】函数()21x f x a +=+图象过定点(2,2)-，函数()()log 2a g x x m n =++图象过定点1(,)2mn -， 依题意，1222mn -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得5,2m n ==，则2525n m ==所以n m 的值是25.题型五 对数函数的图像问题【例5】已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【解析】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a <<又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D【变式5-1】已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<， 因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11b a a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确； 因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误，故选：C.【变式5-2】已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1) B ．(0， +∞) C ．(0，1] D ．[1，+∞) 【答案】D【解析】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥．故选：D ．【变式5-3】如图是对数函数loga y x =的图象，已知a 53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（ ）A．18，45，53 B 53，45，18 C ．5345，18 D 53，18，45【答案】B【解析】∵当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势，又当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a越小，图象向右越靠近x 轴，故1C ，2C ，3C ，4C 对应的a 53，45，18．故选：B ．【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数y x a =+与对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象关系可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距1a >，矛盾，B ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距01a <<，矛盾，C ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距01a <<，保持一致，D ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距0a <，矛盾，故选：C ．【变式5-5】已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1.当a ＞1时，0＜b ＜1，函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，b ＞1，函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B ，故选：B ．题型六 指数与对数比较大小【例6】已知0.60.622e log 0.6a b c -===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】由于0.60.602022e e >2log 0.6lo <0<g 1a b c -====<=1,0=1，，故a b c >>，故选：C【变式6-1】设4log 6a =， 1.22b =， 2.10.7c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】因为函数()4log f x x =在()0,+∞上单调递增，则444log 4log 6log 8<<，即41log 62<<，所以12a <<； 因为函数2xy =在R 单调递增，则1 1.222<，所以2b >；因为函数0.7xy =在R 上单调递减，则 2.100.70.71<=，所以1c <，综上，c a b <<.故选：A.【变式6-2】已知3log 4a =，4log 5b =，32c =，则有（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】依题意，23043<<，3243∴< ，3log y x =是单调递增，32333log 4log 32∴<=，a c ∴<，23054<<，3254∴<，4log y x =是单调递增，32443log 5log 42∴<=，b c ∴<， 45430>>，5443∴> ，3log y x =是单调递增，54335log 4log 34∴>=，54a ∴>，45054<<，5454∴<，4log y x =是单调递增，54445log 5log 44∴<=，54b ∴<，综上所述，c a b >>，故选：D.【变式6-3】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+单调递增，若0.13a =，30.1b =，3log 0.1c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>【答案】C【解析】由偶函数知()()()()333log 0.1log 0.1log 10f c f f f ==-=，又0.1132a <=<，300.11b <=<，3log 102>，显然0.133log 1030.1>>，又在[)0,∞+单调递增，则()()()f c f a f b >>.故选：C.题型七 对数型函数的单调性【例7】函数()()2=ln 28f x x x --的单调递增区间是（ ）A ．()2-∞-，B ．()1-∞-，C ．()1+∞，D ．()4∞+， 【答案】D【解析】由题知()f x 的定义域为()(),24,-∞-+∞，令228t x x =--，则ln y t =，函数单调递增，当(),2x ∞∈--时，t 关于x 单调递减，()f x 关于x 单调递减， 当()4,x ∞∈+时，t 关于x 单调递增，()f x 关于x 单调递增， 故()f x 的递增区间为()4,∞+．故选：D ．【变式7-1】函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,1 【答案】A【解析】由220x x ->，得02x <<，令22t x x =-，则2log y t =，22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为2log y t =在定义域内为增函数，所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)，故选：A【变式7-2】若函数()()2ln 1f x x ax =--在区间()1,+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是___．【答案】(],0-∞【解析】由函数()()2ln 1f x x ax =--在区间()1,+∞上是单调增函数，只需函数21y x ax =--在()1,+∞上是单调增函数，且当1x >时210x ax -->恒成立，所以满足1,2110,aa ⎧≤⎪⎨⎪--≥⎩解得0a ≤．【变式7-3】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】（－4，4]【解析】二次函数23y x ax a =-+的对称轴为x ＝2a ，由已知，应有2a≤2，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0，即2,24230,a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩解得－4<a ≤4． 故答案为：（－4，4]【变式7-4】已知函数()()2log 7,222,2a x x f x x ax a x ⎧+≥=⎨+--<⎩（0a >且1a ≠），若对1x ∀，()212[1,)x x x ∈-+∞≠，都有()()12120f x f x x x ->-．则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,3]【解析】因为对[)12,1,x x ∀∈-+∞，且12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以函数在[)1,-+∞上单调递增.所以()112log 274222a a a a a >⎧⎪-⎪≤-⎨⎪+≥+--⎪⎩，解得23a ≤≤.故答案为：[2,3]题型八 解对数型不等式【例8】若实数x 满足不等式()()222log 2log 4x x x ->+，则实数x 的取值范围是______．【答案】()()4,14,--⋃+∞【解析】()()222log 2log 4x x x ->+，22242040x x x x x x ⎧->+⎪∴->⎨⎪+>⎩，解得4x >或41x -<<-.【变式8-1】不等式()212log 70x x --+>的解集为______.【答案】3⎫⎛-⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】由()212log 70x x --+>，可得()21122log 7lo 1g x x --+>， 所以227170x x x x ⎧--+<⎨--+>⎩，3x <<-或2x << ∴不等式()212log 70x x --+>的解集为3⎫⎛-⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【变式8-2】不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x << 【答案】D【解析】由()211log 31133x x +<⇔-<<，由于1110333x x <<⇒-<<，而1133x -<<⇒103x <<，故不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是103x <<，A 选项是充要条件，B 选项是既不充分也不必要条件，C 选项是必要不充分条件. 故选：D.【变式8-3】不等式1log (4)log a ax x->-的解集是_______．【答案】当1a >时，解集为(0,2)；当01a <<时，解集为(2,4) 【解析】∵1log log a ax x-=，∴原不等式等价于log (4)log a a x x ->，当a >1时，0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得0＜x ＜2．当01a <<时，0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，解得2＜x ＜4．∴当a >1时，不等式1log (4)log a ax x->-的解集为(0,2)； 当01a <<时，不等式1log (4)log a ax x->-的解集为(2,4)故答案为：当a >1时，解集为(0,2)；当01a <<时，解集为(2,4)【变式8-4】已知实数0a >，且满足不等式324133a a ++>，则不等式log (32)log (85)+<-a a x x 的解集为________． 【答案】38,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为324133a a ++>，所以32411a a a +>+⇒<，而0a >，则01a <<，于是32038850,453285x x x x x+>⎧⎪⎛⎫->⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪+>-⎩.【变式8-5】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在区间[)0,∞+上为增函数，则不等式12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()0,∞+ 【答案】C【解析】由题意知：(0)0f =，又()f x 在区间[)0,∞+上为增函数，当0x >时，()(0)0f x f >=，当0x <时，()0f x <，由12log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得12log 0x >，解得01x <<.故选：C.【变式8-6】已知函数33()log log (3)27xf x x =⋅，求不等式()0f x >的解集． 【答案】103x x ⎧<<⎨⎩或}27x >【解析】33333333()log log (3)(log log 27)(log 3log )(log 3)(log 1)27xf x x x x x x =⋅=-+=-+， 则不等式()0f x >，即331log 1log 3x <-=或33log 3log 27x >=， 故103x <<或27x >，所以不等式()0f x >的解集为103x x ⎧<<⎨⎩或}27x >．题型九 对数型函数的就奇偶性问题【例9】已知函数()31log 1x f x x -=+，求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性. 【答案】()(),11,-∞-⋃+∞；奇函数 【解析】由101x x ->+解得1x <-或1x >，所以()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞， 定义域关于原点对称，且()()333111log log log 111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+， 所以()f x 为奇函数.【变式9-1】若函数()1ln 1ax f x b x +⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则=a ___________，b =___________. 【答案】1；0【解析】因为函数()1ln 1ax f x b x+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数， 故()00f =，即ln10b +=，即0b =.又()()0f x f x +-=，故11ln ln 011ax ax x x +-+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭， 即11111ax ax x x +-+⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，222111a x x -=-恒成立， 故21a =，所以1a =或1a =-，当1a =-时()()1ln ln 11x f x x-+⎛⎫==- ⎪-⎝⎭无意义. 当1a =时()1ln 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足奇函数.故1a =综上，1a =，0b =【变式9-2】若函数f （x ）＝x ln （xa 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．1或﹣1 【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x ln （xx ∈R ，∴设g （x ）＝ln （x 则g （0）＝0，即0=1，则a ＝1．故选：B ．【变式9-3】已知函数()24log 1f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若()1f x +是奇函数，则实数a =______．【答案】1【解析】由题意，(1)(1)f x f x -+=-+，即2244log log 22a a x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，所以242224a ax x x a ax --+=--+，化简得()22211a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =．题型十 对数型函数的值域问题【例10】函数212log (610)y x x =-+的值域是________.【答案】(,0]-∞【解析】令2610t x x =-+，则12log y t=，因为22610(3)11t x x x =-+=-+≥，所以2610t x x =-+的值域为[1,∞+）， 因为12log y t=在[1,∞+）是减函数，所以1122log log 10y t =≤=，所以212log (610)y x x =-+的值域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞【变式10-1】已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域； 【答案】[]4,0-【解析】()()()()()2444444log 3log 4log 3log 1log 2log 3f x x x x x x x =-⋅=-⋅+--=，令4log t x =，由1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-， 所以有()222314y t t t =--=--，[]1,2t ∈-，所以当1t =时，max 4y =-，当1t =-时，min 0y = 所以函数()f x 的值域为[]4,0-.【变式10-2】函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（ ）．A ．10B ．1C ．11D ．lg11 【答案】B【解析】设14211x x t +=-+，则lg y t =，因为()()221421122211211010x x x x xt +=-+=-⋅+=-+≥，所以lg lg101y t =≥=，所以()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值为1，故选：B【变式10-3】已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在[]0,3上的最小值.【答案】（1）3a =，定义域()2,4-；（2）[)1,4；（3）3log 5 【解析】（1）()f x 的图象过点()1,2，可得：()()()1log 21log 412log 32a a a f =++-==，解得：3a = 则有：()()()33log 2log 4f x x x =++- 定义域满足：2040x x +>⎧⎨->⎩，解得：24x -<<故()f x 的定义域为()2,4-（2）由（1）知：()()23log 82f x x x =+-令()228219t x x x =+-=--+可得：t 在[)1,4上单调递减 故()f x 的单调递减区间为：[)1,4. （3）令()228219t x x x =+-=--+，[]0,3x ∈故当x =3时，min 5t = 可得：()3min log 5f x =【变式10-4】若函数()()212log 2f x ax x =++的最大值为0，则实数a 的值为___________. 【答案】14【解析】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，因此应有0811,4a a a >⎧⎪-⎨=⎪⎩解得14a =.。
