高一【数学(人教B版)】对数函数的性质与图像-教学设计

第1课时 对数函数的性质与图像问题导学预习教材P24－P27的内容，思考以下问题：1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪些性质？对数函数一般地，函数y ＝log a x 称为对数函数，其中a 是常数，a >0且a ≠1. 对数函数y ＝log a x 的性质：(1)定义域是(0，＋∞)，因此函数图像一定在y 轴的右边． (2)值域是实数集R ．(3)函数图像一定过点(1，0)．(4)当a >1时，y ＝log a x 是增函数；当0<a <1时，y ＝log a x 是减函数． (5)对数函数的图像■名师点拨底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图像“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图像“下降”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 12是对数函数．( )(2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( )(3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×函数f (x )＝x －1＋lg x 的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x >0，所以x ≥1.下列不等号连接错误的一组是( )A ．log 0.52.2>log 0.52.3B ．log 34>log 65C ．log 34>log 56D ．log πe>log e π解析：选 D.函数y ＝log πx 在定义域上单调递增，e<π，则log πe<log ππ＝1.同理，log e π>log e e ＝1，则log πe<log e π.故D 错误．函数y ＝log(3a －1)x 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________. 解析：由题意可得0<3a －1<1， 解得13<a <23，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23对数函数的概念判断下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 【解】 (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x .若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析：选A.设对数函数的解析式为y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2， 所以a 2＝4，所以a ＝2，所以该对数函数的解析式为y ＝log 2x .对数函数的图像如图所示，曲线是对数函数y ＝loga x 的图像，已知a 取3，43，35，110，则对应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( ) A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35【解析】 法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图像靠近x 轴的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时图像靠近x 轴的底小，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.法二：作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.【答案】 A函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的 底数变化对图像位置的影响观察图像，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图像与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．1．函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点( ) A ．(1，2) B ．(2，1) C ．(－2，1)D ．(－1，1)解析：选D.令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图像过定点(－1，1)．2．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图像，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析：选B.作直线y ＝1，则直线y ＝1与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1.与对数函数有关的定义域问题若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.【答案】 C求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等式．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]解析：选B.因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x解析：选D.选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合．2．函数f (x )＝11－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图像形状可能是( )解析：选A.函数y ＝－log a x 恒过定点(1，0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0<a <1时，y ＝a x为减函数，y ＝－log a x 为增函数，排除D 项，故A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图像过定点为________． 解析：函数图像过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2，1)． 答案：(2，1)5．比较下列各组数的大小： (1)log 22________log 23； (2)log 32________1； (3)log 134________0.解析：(1)底数相同，y ＝log 2x 是增函数，所以log 22＜log 2 3.(2)log 32＜log 33＝1.(3)log 134＜log 131＝0.答案：(1)＜ (2)＜ (3)＜[A 基础达标]1．函数f (x )＝11－x＋lg (1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x ≠0，解得x >－1且x ≠1.2．对数函数的图像过点M (16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x解析：选D.由于对数函数的图像过点M (16，4)，所以4＝log a 16，得a ＝2.所以此对数函数的解析式为y ＝log 2x ，故选D.3．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log 2(3x＋1)＞0. 所以函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 4．函数y ＝lg(x ＋1)的图像大致是( )解析：选C.由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图像向左平移1个单位(或令x ＝0得y ＝0)，而且函数为增函数，故选C.5．已知函数f (x )＝log a (x －m )的图像过点(4，0)和(7，1)，则f (x )在定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a （4－m ），1＝log a （7－m ）.解得a ＝4和m＝3，则有f (x )＝log 4(x －3)．由于定义域是x ＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f (x )在定义域上是增函数．6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5. 答案：57．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图像过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：y ＝log a x 的图像恒过点(1，0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1，3]时，f (x )的值域是________． 解析：设f (x )＝log a x ，因为log a 9＝2，所以a ＝3，即f (x )＝log 3x .又因为x ∈[1，3]，所以0≤f (x )≤1.答案：[0，1]9．若函数y ＝log a (x ＋a )(a ＞0且a ≠1)的图像过点(－1，0)． (1)求a 的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y ＝log a (x ＋a )(a ＞0，a ≠1)中， 有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2＞0，解得x ＞－2， 所以函数的定义域为{x |x ＞－2}． 10．求下列函数的定义域与值域： (1)y ＝log 2(x －2)； (2)y ＝log 4(x 2＋8)．解：(1)由x －2＞0，得x ＞2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[B 能力提升]11．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C.当x ≥1时，log 2x ≥0，所以y ＝2＋log 2x ≥2. 所以函数y ＝2＋log 2x 的值域为[2，＋∞)．12．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，lg x －1≠0，x ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10，x ＞0，所以x ≥4且x ≠10，所以函数f (x )的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.13．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，即1＜a ＜2，若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1无解．所以a 的取值范围是(1，2)．答案：(1，2) 14．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图像；(2)若f (a )<f (2)，利用图像求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝f (x )＝log 3x 的图像如图所示． (2)令f (x )＝f (2)， 即log 3x ＝log 32，解得x ＝2. 由图像知：当0<a <2时， 恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为(0，2)．[C 拓展探究]15．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图像的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.。

《对数函数图像与性质》的教学设计必修1的《对数函数图像与性质》。

设计分为：教材分析、学情分析、教学目标、教学重点与难点、教法与学法、教学过程六个部分。

第一部分：教材分析函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。

本节的主要内容就是函数x y 2log =的图像和性质。

它是函数x y a log =的直观体现，是进一步学习对数函数的图像和性质的准备，又是学习函数图像作法的载体，学习它也是培养和建立数形结合思想的有效途径。

本节内容还涉及到前面的指数函数，所以它应该是从指数函数向对数函数过渡的有效纽带。

第二部分：学情分析。

在学习本节课之前，学生们已经学习了二次函数、指数函数图像画法及有关性质，经历了作图、观察、比较、归纳、应用，以及猜想、验证的学习过程，已经了解如何去分析函数式到作图，研究性质去应用，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。

但是学生对指、对数及运算还不灵活，函数定义不甚理解，也不能灵活应用图像及有关性质去解题。

第三部分：教学目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观：（1）学生经历学习，掌握函数图像求作的两种基本方法，即描点法和图像变换法，并会用它们作函数x y 2log =的图像；学生经历作图的过程，感受到图像对函数性质的探究非常重要，并会通过图像获知互为反函数的两个函数的图像关于直线y = x 对称，会用x y 2log =的图像特征概括出函数x y 2log =的性质，会用研究x y 2log =的图像和性质的方法类比研究函数x y a log =的图像和性质。

（2）学生能从作函数x y2log =和x y 2=的图像的过程中较深刻的体会出图像变换法作图的特点和意义，并以此感悟出转化思想在数学中的重要意义；学生在不断感受用图形解题的过程中，会逐步建立起数形结合的思想意识；学生在自己做出的美妙的曲线中感悟出数学的美，并知道数学也具有形象的一面和很感性的地方，学生会更加喜爱数学这门学科。

3.2.2对数函数一、教学目标：1、理解对数函数的概念。

2、掌握对数函数的图像和性质。

3、对数函数性质的应用。

重点：对数函数的图像和性质。

难点：对于底数a>1与0<a<1时，对数函数的不同性质。

二、知识梳理1、函数 叫做对数函数，其中自变量是 ，因变量是 。

2、对数函数的定义域是 ，值域是 。

3、对数函数y= log a x ，当a>1时，其是 ；当0<a<1时，其是 。

4、对数函数y=log a x （a>0且a ≠1）恒过定点 。

5、在同一坐标系下作出对数函数y=2log x 与y=12log x 的图像：6、常用的结论：（1）当a>1，x>1时，函数值y>0，当a>1，0<x<1时，函数值y<0；（2）当0<a<1，x>1时，函数值y<0，当0<a<1，0<x<1时，函数值y>0；（3）直线y=1与对数函数图像交点的横坐标等于底数。

三、例题解析题型一 对数函数的定义域例1求下列函数的定义域(a>0，a ≠1)：（1）y 2log a x = （2）y log (4)a x =-（3）y= （4）y= (1)log (164)xx +-变式训练：课本104页练习A 第2题。

题型二 对数函数的单调性例2、（1）比较2log 3与2log 3.5的大小；（2）已知0.7log (2)m < 0.7log (1)m -，求m 的取值范围。

变式训练1：课本104页练习A 第3题。

变式训练2：若a 2>b>a>1，试比较log a a b ，log b b a，log b a ，log a b 的大小。

题型三 求与对数函数有关的复合函数的单调区间例3求函数y= 20.1log (253)x x --的递减区间。

变式训练：已知f （x ）= log (1)x a a -（a>0，a ≠1）.（1） 求函数f （x ）的定义域；（2） 判断函数f （x ）的单调性。