高中数学-对数与对数函数

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在化简运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=logN ,其中③ a 叫做对数的底数,④N 叫做真数.a(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0,且a≠1) ⑤log a N常用对数底数为10 ⑥lg N自然对数底数为e ⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N .(a>0,且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩log b N =log a N(a,b均大于0且不等于1);log a b,log a b·log b c·log c d=log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于相关结论:log a b=1log b a0).(3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 log a (MN )= log a M +log aN; log a MN = log a M -log a N ; log a M n = n log a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M (m ,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域:(0,+∞) 值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0 当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数 y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称. 知识拓展对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y =1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c <d <1<a <b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)log a (MN )=log a M +log a N. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( )(3)log 2x 2=2log 2x. ( ) (4)若log a m <log a n ,则m <n. ( )(5)函数y =ln 1+x1-x 与函数y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(6)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),其图象经过第一,四象限.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)✕ (5)√ (6)√ 2.log 525+1612=( )A.94 B.6 C.214 D.9答案 B log 525+1612=log 552+(42)12=2log 55+4=6.故选B . 3.下列各式中正确的是( )A.log a 6log a3=log a 2 B.lg 2+lg 5=lg 7 C.(ln x )2=2ln x D.lg √x 35=35lg x答案 D 对于A 选项,由换底公式得log a 6log a3=log 36=1+log 32,故A 错;对于B 选项,lg 2+lg 5=lg(2×5)=1,故B 错; 对于C 选项,(ln x )2=ln x ×ln x ≠2ln x ,故C 错;对于D选项,lg √x 35=lg x 35=35lg x ,故D 正确.故选D.4.(2020安徽月考)已知a =log 23,b =(12)12,c =(13)13,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a <b <cB.a <c <bC.b <c <aD.c <b <a 答案 D 因为a =log 23>log 22=1,0<b =(12)12<(12)0=1,0<c =(13)13<(13)0=1, 又b 6=(12)3=18,c 6=(13)2=19,所以b 6>c 6,所以b >c ,即c <b <a.故选D.5.(2020河北唐山第十一中学期末)函数f (x )=lg(x -2)的定义域为 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)答案 D 函数f (x )=lg(x -2)的定义域为x -2>0,即x >2,所以函数f (x )=lg(x -2)的定义域为(2,+∞),故选D .6.(易错题)已知a >0,且a ≠1,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 的图象可能是( )答案 B 由函数f (x )=a x 与函数g (x )=log a x 互为反函数,得图象关于y =x 对称,从而排除A,C,D.易知当a >1时,两函数图象与B 选项中的图象相同.故选B. 易错分析 忽视反函数的定义.对数的概念、性质与运算角度一 对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m ,log a 5=n (a >0,且a ≠1),则a 3m +n = ( )A.11B.13C.30D.40 (2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x = . 答案 (1)D (2)1 (3)2 角度二 对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)·lg 2+2lg 5=(1+1)·lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2=12+13+14+16=54. 规律总结对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算.1.(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= . 答案 9解析 原式=lg 5·(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.2.如果45x =3,45y =5,那么2x +y = . 答案 1解析 ∵45x =3,45y =5,∴x =log 453,y =log 455,∴2x +y =2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f (x )=ln|x -1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x (a >0,且a ≠1),则a 的取值范围是 ( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)(3)已知函数f (x )=4+log a (x -1)(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是 .答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x >1时, f (x )=ln(x -1),又f (x )的图象关于直线x =1对称,所以选B .(2)易知0<a <1,函数y =4x与y =log a x 的大致图象如图所示,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a >√22,∴√22<a <1,故选B .方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式的问题常转化为相应函数的图象问题,利用数形结合求解.1.(2020黑龙江齐齐哈尔第六中学模拟)函数f(x)=|log a(x+1)|(a>0,且a≠1)的大致图象是()答案C函数f(x)=|log a(x+1)|的定义域为{x|x>-1},且对任意的x∈(-1,+∞),均有f(x)≥0,结合对数函数的图象可知选C.2.函数y=x-a与函数y=log a x(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是()答案C当a>1时,对数函数y=log a x为增函数,当x=1时,函数y=x-a的值为负,故A、D错误; 当0<a<1时,对数函数y=log a x为减函数,当x=1时,函数y=x-a的值为正,故B错误,C正确.故选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小典例4(1)(2018天津,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)已知f (x )满足f (x )-f (-x )=0,且在(0,+∞)上单调递减,若a =(79)-14,b =(97)15,c =log 219,则f (a ), f (b ), f (c )的大小关系为 ( )A.f (b )<f (a )<f (c )B.f (c )<f (b )<f (a )C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a ) 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知得c =log 23,∵log 23>log 2e>1,b =ln 2<1,∴c >a >b ,故选D . (2)∵f (x )-f (-x )=0,∴f (x )=f (-x ), ∴f (x )为偶函数.∵c =log 219<0,∴f (c )=f (-log 219) =f (-log 219)=f (log 29),∵log 29>log 24=2,2>(97)1>a =(79)-14=(97)14>(97)15=b >0,∴log 29>a >b.∵f (x )在(0,+∞)单调递减, ∴f (log 29)<f (a )<f (b ), 即f (c )<f (a )<f (b ). 故选C .角度二 解简单的对数不等式典例5 (1)函数f (x )=√(log 2x )-1的定义域为 ( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) (2)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( )A.[1,2]B.[1,2)C.[23,+∞)D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C角度三 对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f (x )=log a (ax 2-x +1)(a >0,且a ≠1). (1)若a =12,求函数f (x )的值域;(2)当f (x )在[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a =12时,ax 2-x +1=12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]>0恒成立, 故函数f (x )的定义域为R,∵12x 2-x +1=12[(x -1)2+1]≥12,且函数y =lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f (x )的值域为(-∞,1]. (2)由题意可知,①当a >1时,由复合函数的单调性可知,必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a <1时,同理可得必有y =ax 2-x +1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x +1>0对任意的x ∈[14,32]恒成立,所以{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞).规律总结1.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间值进行比较.2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x >log a b (a >0,且a ≠1)的不等式,需借助y =log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需要分为a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b (a >0,且a ≠1)的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解.1.设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则 ( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c答案 D ∵a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a >b >c.2.(2019山东高考模拟)已知f (x )=e x -1+4x -4,若正实数a 满足f (log a 34)<1,则a 的取值范围是( )A.a >34 B.0<a <34或a >43 C.0<a <34或a >1 D.a >1答案 C 因为y =e x -1与y =4x -4都是在R 上的增函数,所以f (x )=e x -1+4x -4是在R 上的增函数,又因为f (1)=e 1-1+4-4=1,所以f (log a 34)<1等价于log a 34<1,所以log a 34<log a a ,当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减,所以a <34,故0<a <34; 当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增,所以a >34,故a >1, 综上所述,a 的取值范围是0<a <34或a >1.故选C.3.(2020上海高三专题练习)函数y=√log0.5(4x2-3x)的定义域为.答案[-14,0)∪(34,1]解析由题意可知0<4x2-3x≤1,解得x∈[-14,0)∪(34,1].4.函数f(x)=lo g13(-x2+2x+3)的单调递增区间是.答案[1,3)解析令u=-x2+2x+3,由u>0,解得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3),根据二次函数的图象与性质可知函数u=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在[1,3)上单调递减, 因为函数f(x)=lo g13u为单调递减函数,所以根据复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递增区间为[1,3).5.已知函数f(x)=ln(√1+9x2-3x)+1,求f(lg 2)+f(lg12)的值.解析由√1+9x2-3x>0恒成立知函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)+f(x)=[ln(√1+9x2+3x)+1]+[ln(√1+9x2-3x)+1]=ln [(√1+9x2+3x)·(√1+9x2-3x)]+2=ln 1+2=2,所以f(lg 2)+f(lg12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A组基础达标1.已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4B.5C.6D.7答案 B2.log29×log34+2log510+log50.25= ()A.0B.2C.4D.6答案 D 原式=2log 23×(2log 32)+log 5(102×0.25)=4+log 525=4+2=6. 3.(2020河北冀州中学模拟)函数y =√log 3(2x -1)+1的定义域是 ( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 C4.log 6[log 4(log 381)]的值为( )A.-1B.1C.0D.2 答案 C5.(2019河南郑州模拟)设a =log 50.5,b =log 20.3,c =log 0.32,则 ( )A.b <a <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <b <c答案 B a =log 50.5>log 50.2=-1,b =log 20.3<log 20.5=-1,c =log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3,log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2,即c <a ,故b <c <a.故选B .6.若lg 2=a ,lg 3=b ,则log 418= ( ) A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a ,lg 3=b ,所以log 418=a+2b 2a.故选D .7.已知函数f (x )=lg 1-x1+x ,若f (a )=12,则f (-a )= ( ) A.2 B.-2 C.12 D.-12答案 D ∵f (x )=lg 1-x1+x 的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f (x ), ∴f (x )为奇函数,∴f (-a )=-f (a )=-12.8.设f (x )=lg(10x +1)+ax 是偶函数,则a 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.12 D.-12答案 D 函数f (x )=lg(10x+1)+ax 的定义域为R,因为f (x )为偶函数,所以f (x )-f (-x )=0,即lg(10x +1)+ax -[lg(10-x +1)+a (-x )]=(2a +1)x =0,所以2a +1=0,解得a =-12.B 组 能力拔高9.已知f (x )=lo g 12x ,则不等式(f (x ))2>f (x 2)的解集为 ( ) A.(0,14) B.(1,+∞) C.(14,1) D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f (x ))2>f (x 2)得(lo g 12x )2>lo g 12x 2⇒lo g 12x ·(lo g 12x -2)>0,即lo g 12x >2或lo g 12x <0,解得原不等式的解集为(0,14)∪(1,+∞).10.若x 、y 、z 均为正数,且2x =3y =5z ,则 ( ) A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z答案 D 令2x =3y =5z =k (k >1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 5k ,∴2x 3y =2lgklg2·lg33lgk =lg9lg8>1,则2x >3y ,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk =lg25lg32<1,则2x <5z ,故选D . 11.(2020福建莆田第六中学模拟)已知函数f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm = . 答案 9解析 ∵f (x )=|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),∴0<m <1<n ,-log 3m =log 3n ,∴mn =1. ∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,且函数f (x )在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数, ∴-log 3m 2=2或log 3n =2.若-log 3m 2=2,则m =13(舍负),故n =3, 此时log 3n =1=-log 3m ,符合题意, 即nm =3÷13=9;若log 3n =2,则n =9,故m =19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故nm =9.C 组 思维拓展12.(2020四川攀枝花第七中学模拟)设函数f (x )=|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n -m 的最小值为13,则实数a 的值为 . 答案 23解析 作出y =|log a x |(0<a <1)的大致图象如图所示,令|log a x |=1,得x =a 或x =1a ,又1-a -(1a -1)=1-a -1-a a=(1-a )(a -1)a<0,所以1-a <1a -1,所以n -m 的最小值为1-a =13,即a =23.13.若log a (a 2+1)<log a (2a )<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a (2a )<0,所以0<a <1,又2a >1,所以a >12.综上,实数a 的取值范围为(12,1).14.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f (x )=log 2x2·lo g √2√x2的值域. 解析 由2x ≤16得x ≤4,∴log 2x ≤2, 又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f (x )=log 2x2·lo g √2√x 2=(log 2x -1)·(log 2x -2) =(log 2x )2-3log 2x +2 =(log 2x -32)2-14,∴当log 2x =32时, f (x )min =-14.又当log 2x =12时, f (x )=34; 当log 2x =2时, f (x )=0, ∴当log 2x =12时, f (x )max =34. 故函数f (x )的值域是[-14,34].15.已知函数f (x )=3-2log 2x ,g (x )=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h (x )=[f (x )+1]·g (x )的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h (x )=(4-2log 2x )·log 2x =-2(log 2x -1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2], 故函数h (x )的值域为[0,2]. (2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )得 (3-4log 2x )·(3-log 2x )>k ·log 2x. 令t =log 2x ,因为x ∈[1,4], 所以t =log 2x ∈[0,2],所以(3-4t )·(3-t )>k ·t 对任意的t ∈[0,2]恒成立. 当t =0时,k ∈R; 当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立,即k <4t +9t -15恒成立. 因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k <-3.综上,实数k 的取值范围是(-∞,-3).高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学重点知识总结对数函数及对数函数图象性质一、对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。

二、对数函数的图象三、对数函数图象的性质1.图象都过定点()0,1。

定义域：()0,+∞，值域：R 。

2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。

3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。

四、对数函数图象的对称性由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。

五、反函数1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。

2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。

如3x y =与3log y x =互为反函数。

3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。

六、指、对、幂函数的增长快慢比较任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。

（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。

（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。

七、高中阶段常见的考查方式1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。

2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。

3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。

4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。

5.跟据对数式值的正负找不等式关系。

如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。

若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。

6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或 判断奇偶性。

7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。

【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。

3.2.2 对数函数课堂导学三点剖析一、对数函数定义域、值域问题【例1】求下列函数的定义域与值域.(1)y=log 2(x 2-4x-5);(2)y=log 3(9-x 2); (3)y=32x log ; (4)y=)34(log 5.0-x .思路分析：(1)(2)题,用y=log a x 的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=log a x 中的x 的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.解：(1)∵x 2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.∴y=log 2(x 2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R .(2)由9-x 2>0,得-3<x<3,∴y=log 3(9-x 2)的定义域为{x|-3<x<3}.又知0<9-x 2≤9且y=log 3x 是增函数,∴y=log 3(9-x 2)≤log 39=2.∴y=log 3(9-x 2)的值域为(-∞,2］.(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,∴所求定义域是{x|x>0},值域为R .(4)要使函数y=)34(log 5.0-x 有意义,必须log 0.5(4x-3)≥0=log 0.51.∴0<4x -3≤1.∴43<x≤1. ∴所求定义域是{x|43<x≤1},值域为［0,+∞). 二、比较大小问题【例2】比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 310.3,log 20.8;(2)log a 5.1,log a 5.9;(3)log 67,log 76.思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.解：(1)由对数的性质,知 log 310.3>0,log 20.8<0,∴log 310.3>log 20.8.(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a 与1哪个大,因此需要对底数a 进行讨论.当a>1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9;当0<a<1时,函数y=log a x 在(0,+∞)上是减函数,5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.(3)∵log 67>1,log 76<log 77=1,∴log 67>log 76.三、函数单调性的判定与单调区间的求法【例3】(1)求证:函数f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)=log 2(x 2-1)的单调区间.(1)证明:在(0,+∞)上任取x 1、x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(-log 51x 1)-(-log 51x 2)=log 51x 2-log 51x 1.又y=log 51x 在(0,+∞)上是减函数,有log 51x 2<log 51x 1, ∴log 51x 2-log 51x 1<0,即f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=-log 51x 在(0,+∞)上是增函数.(2)解析：由x 2-1>0得x>1或x<-1,∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).令g(x)=x 2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减且f(x)=log 2x 为增函数.故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).温馨提示(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=log a x 的单调性来证明复合函数单调性.(2)G(x)=f ［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.各个击破类题演练1已知函数y=log a (a-a x )(其中a>1),求它的定义域和值域.解析：根据题意a-a x >0,∴a x <a.又∵a>1,y=a x 是增函数,∴x<1.∵a x <a,且a x >0,0<a-a x <a,∴log a (a-a x )<1.∴函数y=log a (a-a x )的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.变式提升1求下列函数的定义域:(1)y=log 7x311 ;(2)y=)32lg(422-+-x x x ; (3)y=log (x+1)(16-4x). 解析：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-,031,0311x x 得x<31, ∴所求函数的定义域为{x|x<31}. (2)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-+≥-.0)32lg(,032,04222x x x x x 即⎩⎨⎧±-≠-<≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-+>-<-≤≥.51,63213213222x x x x x x x x x 或或或∴函数y=)32lg(422-+-x x x 的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-15-}. (3)由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-.0,1,2,0,1,44110104162x x x x x x x x x 得∴y=log (x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1<x<2且x≠0}.类题演练2比较下列各组数中两个值的大小: (1)log 213,log 513;(2)log 3π,log 20.8.解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=log 51x 的图象在y=log 21x 图象的上方, ∴log 513>log 213.(2)∵log 3π>log 31=0,log 20.8<log 21=0,∴log 3π>log 20.8.变式提升比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.解析：把lgm 看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm 进行讨论:当1>lgm>0,即1<m<10时,y=(lgm)x 在R 上是减函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x 在R 上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm )1.9<(lgm)2.1.类题演练3求函数f(x)=log 0.5(x 2-2x-3)的单调区间.解析：由x 2-2x-3>0得x>3或x<-1,令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.又f(x)=log0.5x是减函数,故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).变式提升3判断f(x)=log a(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0. 设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2). ∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.∴g(x1)>g(x2).又当a>1时,f(x)=log a x是增函数,∴f(x1)=log a g(x1)>log a g(x2)=f(x2).∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.同理可证,当0<a<1时,f(x)在(3,+∞)上是减函数.。

对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式 A 对数函数的概念 B 对数函数的图象和性质C 指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以想象,于是便产生了简化计算的想法.从16031611年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数.俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥知识框架例题精讲高考要求第5讲 对数运算和对数函数思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高.(一)知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1.对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数.关系式axy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈对数式 log a y x = 底数(0,1)a a >≠ 对数(R)x ∈ 真数(R )y +∈ 对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =.2.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N .4.对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=.5.指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=.N a N a =log ，log N a a N =（二）主要方法：1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题2.熟练运用指数和对数的互化板块一：对数的定义和相关概念（三）典例分析：【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【例2】 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303【例3】 ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345(一)知识内容1.对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈ ⑷1log log naa N N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） <教师备案>以性质⑴为例进行证明如下： 已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN 设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2.换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） <教师备案>证明： 法一：根据指数的运算性质推导 设log b N x =，则x b N =.两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =， 所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=. 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log bN b a a a N b b N ⋅==，所以有log log log a b a NN b=. 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=. 3.关于对数的恒等式板块二：对数的运算性质和法则①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a=④log log n n a a M M = ⑤log log log log a b a b M MN N=（二）主要方法1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.（三）典例分析【例4】 求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵log ；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺；⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【例5】 求值：⑴2572lg3lg7lg lg 94++-；⑵32516log 4log 9log 5⋅⋅.【例6】 若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则A.a b =B.1a b=C.a b =或1a b=D.a 、b 为一切非1的正数【例7】 ⑴8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于______（用p ，q 表示）；⑵知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.【点评】⑴换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=⑵181818log 2log 9=，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用. 【例8】 已知2log 3a =，37b =，求12log 56【例9】 已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.【例10】 已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于A.1x -B.1x +C.1xD.1x -【例11】 已知12()x f x a-=，且(lg )f a =a 的值.【例12】 下列各式中，正确的是A.2lg 2lg x x =B.1log log a a x n =C.log log log a a a x xy y=1log 2a x =【例13】 已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.【例14】 设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.1.对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R .2.对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R性质⑴过定点(1,0)，即1x =时，0y =⑵在(0,)+∞上是减函数； （2）在(0,)+∞上是增函数.<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等.y=log a x (0<a <1)O 1yx y=log a x (a >1)O 1yx板块三：对数函数【例15】 求下列函数的定义域：⑴2log a y x =；⑵log (4)a x -；⑶y .【例16】 求下列函数的定义域：⑴31log (32)y x =-；⑵1log (3)x y x -=-.【例17】 已知()log (1)x a f x a =-(0,a >且1)a ≠，⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；【例18】 求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的定义域和值域.【例19】 函数2lg(20)y x x =-的值域是A.y ＞0B.y ∈RC.y ＞0且y ≠1D.y ≤2【例20】 已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++，⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围；⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.【例21】 已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m ，n 的值.【例22】 下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x a y =与x y a log =在定义域内均为增函数B.函数x y 3=与x y 3log =图象关于直线x y =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【例23】 已知),,)(lg()(为常数b a b a x f xx-=①当a ，b ＞0且a ≠b 时，求f (x )的定义域；②当a ＞1＞b ＞0时，判断f (x )在定义域上的单调性，并用定义证明【例24】 在函数10(log <<=a x y a ，)1≥x 的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4，（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）； （2）判断S ＝f （t ）的单调性； （3）求S ＝f （t ）的最大值.【例25】 已知函数22log )(+-=x x x f a的定义域为[],αβ，值域为[]log (1),log (1)a a a a βα--，且)(x f 在[],αβ上为减函数. （1）求证α＞2； （2）求a 的取值范围.【例26】 对于212()log (23)f x x ax =-+，⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，.【例27】 ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.【例28】 比较下列各组数的大小：⑴2log 3.4，2log 8.5；⑵0.3log 1.8，0.3log 2.7；⑶log 5.1a ，log 5.9a (0,a >且1)a ≠;⑷20.3，2log 0.3，0.32.【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中间值法或者图象法得到相关结论.如：设110a <<，比较2lg a ，2(lg )a ，lg(lg )a 的大小.1100lg 1a a <<⇒<<，于是22lg(lg )0(lg )lg a a a <<<.【例29】 设2(log )2(0)x f x x =>，则f （3）的值是A.128B.256C.512D.8【例30】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【例31】 （2005年天津文） 已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【例32】 如果02log 2log <<b a ，那么a ，b 的关系及范围.【例33】 ⑴若log 2log 20a b <<，则（）A.01a b <<<B.01b a <<<C.1a b >>D.1b a >> ⑵已知2log 13a <，求a 的取值范围.【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数log a y x =，底数a 的大小比较可以通过作一条直线：1y =，于四条曲线分别交于点1234,,,P P P P ，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.【例34】 已知函数()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，⑴试比较函数值()f x 与()g x 的大小；⑵求方程|()()|()()4f x g x f x g x -++=的解集.【例35】 函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围.【例36】 已知a ＞0，a ≠1，10<<x ，比较|)1(log |x a +和|)1(log |x a -的大小.【例37】 若23log 1a <，则a 的取值范围是 A.203a <<B.23a >C.213a <<D.203a <<或a ＞1【例38】 若关于23lg lg )lg(=--x a x 至少有一个实数根，则求a 的取值范围.【例39】 设a ，b 为正数，若lg()lg()10ax bx +=有解，则求b a 的取值范围.【例40】 如果2112222log (1)log 2a a a a +++≤，求a 的取值范围.【例41】 已知}2)385(log |{2>+-=x x x A x ，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实数k 的取值范围.【例42】 设正数a ，b ，c 满足222c b a =+. （1）求证：1)1(log )1(log 22=-++++bc a a c b ； （2）又设1)1(log 4=++a c b ，32)(log 8=-+c b a ，求a ，b ，c 的值.【例43】 （1）已知0(2log log >=+a y x a a ，)1≠a ，求yx 11+的最小值. （2）已知2052=+y x ，求y x lg lg +的最大值.（3）已知4422=+y x ，求xy 的最大值.【例44】 解方程)12(log 2)22(log 212+=++x x。

§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。

第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0，log a a＝1，a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．解析：lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案：q p ＋q2．计算：2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析：原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案：53．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝22a ＝2，∴a ＝12.∴lg x ＝12，∴x ＝10.答案：104．log 225·log 34·log 59＝________.解析：原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案：8[典例感悟]计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－202．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案：13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.解析：∵4a ＝5b ＝10，∴a ＝log 410，1a ＝lg 4，b ＝log 510，1b ＝lg 5，∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.答案：2突破点二 对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象 函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征 在y 轴右侧，过定点(1,0)当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析：y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.答案：13．若f (x )＝log 2x ，则f (x )>0的x 的范围是________． 答案：(1，＋∞)[全析考法]考法一 对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一：函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.法二：||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二 对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a <b ，得－ln a ＝ln b,0<a <1<b ，1a ＝b .令g (b )＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g (b )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (b )>g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|log12x|的图象(如图)，可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当x >1时，log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________． 答案：[2，＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞3．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案：2或12[全析考法]考法一 与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3.综上0≤m <3，故选B.[答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0，且a ≠1)的定义域为R ，求参数范围时，要注意分p ＝0，p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二 与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12，c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12，所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三 与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考法四 对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <b <aD ．a >b >c解析：选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1，b ＝log 20.3<log 20.5＝－1，c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2.答案： 2[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ； 又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析：选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy )，因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：选A 由函数f (x )的解析式可得：f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4， ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A ，C ；当x >0时，y ＝ln x ，只有B项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6， ＋∞)．当0<a <1时，A ＝(－∞，log a 2＋5)，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，得1<a ≤2.综上所述，选C.6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.7．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[ 12，23 ]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 8．(2019·六安一中一模)计算：(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析：原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案：269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，解得a >4，且0<a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a－6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9.答案：911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1， 当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a(3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.[C 级 难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：因为点A 的纵坐标为2，所以令2x ＝2，解得点A 的横坐标为12，故x D ＝12.令x 12＝2，解得x ＝4，故x C ＝4.所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14，故y D＝14，所以D ⎝⎛⎭⎫12，14.答案：⎝⎛⎭⎫12，143．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：9。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。