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实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
现代控制理论1.经典-现代控制区别:经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程.2.实现-描述由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的.3.对偶原理系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定第一章控制系统的状态空间表达式1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为05.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量第二章控制系统状态空间表达式的解1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t)2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ第三章线性控制系统的能控能观性1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为05.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的.第五章线性定常系统综合1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性(2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控(2)对完全能控的单输入-单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件[1]∑0完全能控[2]动态补偿器的阶数为n-1(3)对系统用从输出到x 线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7.传递函数没有零极点对消现象,能控能观8.对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置9.系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定(1)对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定(2)对系统通过输出反馈能镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的(3)对系统采用输出到x 反馈实现镇定充要条件是其不能观子系统为渐近稳定10.解耦问题:寻求适当的控制规律,使输入输出相互关联的多变量系统的实现每个输出仅受相应的一个输入所控制,每个输入也仅能控制相应的一个输出 11.系统解耦方法:前馈补偿器解耦和状态反馈解耦 12.全维观测器:维数和受控系统维数相同的观测器现代控制理论试题1 ①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。
§5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题一、渐近稳定渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。
所谓镇定问题是指受控系统∑),,(0C B A 通过状态反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。
显然，镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。
其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。
二、状态可镇定定义定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统∑),,(0C B A ，如果存在状态反馈增益矩阵k ，使得闭环系统∑-),,(C B Bk A k是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。
如果∑),,(0C B A 完全可控，则它必然是可镇定的。
但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。
定理5.5： 线性定常系统∑),,(0C B A 是状态可镇定的充要条件是：其不可控子系统是渐近稳定的。
0x - 初始状态e x - 平衡状态二维空间渐近稳定的几何解释示意图【例5.3.1】已知系统状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100201020101 试判别其是否为可镇定的。
若是可镇定的，试求一状态反馈增益矩阵k 使闭环系统为渐近稳定的。
解：（1）判别系统可控性 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==5210003102b A Ab bQ c ，n rankQ c <=2，故系统不完全可控。
（2）将系统按可控性进行规范分解。
[]321R R R R c =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2012R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0103R ，故而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021100010c R 变换后系统的动态方程为：u B x A x+= 式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x可控子系统动态方程：u x x c c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013110 u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒0131102121 不可控子系统动态方程：c c x x2-= 332x x -=⇒ c c AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-021100010201020101021*******⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--00110002110001011b R b c可见，由332x x-= 可得到)0(23x e x t -=，故不可控子系统是稳定的，所以该系统是可镇定的。
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。
而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。
采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。
然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。
设SISO 系统的状态空间表达式为： bu Ax x+=cxy =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：)(kx v b Ax x-+= bv x bk A +-=)(cxy =式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n ok k k k，称为状态反馈增益矩阵。
)(bk A -称为闭环系统矩阵。
闭环特征多项式为)(bk A I --λ。
可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。
状态反馈系统结构图【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10020110010 ， []x y 004=解：[]xk k k v kx v u21-=-=其中[]21k k k k=称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142xy u x x x x x x x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个mr ⨯维矩阵。
即mr rm r r mm k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。
因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。
所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵k 的设计，使闭环系统的极点恰好处于s 平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性。
本节只讨论SISO 系统的极点配置问题，因为SISO 系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。
定理5.1:用状态反馈任意配置极点的充要条件是：受控系统可控。
证 明： （1）充分性：设受控系统可控，则一定可通过线性变换（即x P x =），将A 、b 化为可控标准型。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==--12101100001000010n a a a aAP P A， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-10001 b P b[]11-==n CP C βββ在变换后引入状态反馈增益矩阵k []11-=n k k k kx k v u -=故变换后的状态反馈系统的动态方程为v b x k b A x+-=)( x c y = 其中：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=---11221100100001000010n n k a k a k a ka kb A闭环特征多项式为)()(k b A I f --=λλ)()()(0011111k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ设闭环系统的期望极点为n λλλ,,,21 ，则系统的期望特征多项式为)())(()(21*n f λλλλλλλ---=*0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ欲使闭环系统的极点取期望值，只需令 )()(*λλf f = 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+---*000*111*111a k a a k a a k a nn n只要适当选择110-n k k k，就可以任意配置闭环极点。
（2）必要性若受控系统不可控，必有状态变量与u 无关，则[]11-=n k k k k，x k v u -=中一定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置。
按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵k 的一般步骤如下：（1）对给定可控系统∑),,(c b A ，进行P 变换，即x P x =，化成可控标准型u b x A x+= x c y =其中：AP P A 1-=，b P b 1-=，cP c =（2）导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式)(λf )()()(0011111k a k a k a n n n n +++++++=---λλλ（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式)(*λf *0*11*1a a a n n n ++++=--λλλ（4）确定对于可控标准型下的状态变量x 的反馈增益矩阵k )()(*λλf f =[])()()(1*11*10*0-----=n n a a a a a a k（5）把k 化成对于给定状态变量x 对应的k1-=Pk k【例5.1.2】已知SISO 系统的传递函数为)2)(1(10)(++=s s s s G试设计状态反馈增益矩阵k 使闭环极点配置在-2，j ±-1。
解：由于SISO 系统的)(s G 无零极点对消，故系统可控。
可直接写出可控标准型。
u x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10032100010 ，[]x y 0010=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的特征方程为)()(bk A I f --=λλ0)2()3(01223=+++++=k k k λλλ期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ令)()(*λλf f =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=43624210k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒144210k k k 故[]144=k分析说明：在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型，从而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵k ，对闭环系统进行极点配置。
但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集的，如果要使设计出来的k 能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现。
比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理。
即 )2)(1(10)(++=s s s s G 2111110+⋅+⋅⋅=s s s原受控系统的动态方程为：u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10020110010 ， []x y 0010=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的特征方程为)()(bk A I f --=λλ0)2()3(021223=++++++=k k k k λλλ期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ 令)()(*λλf f =，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=436242210k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒134210k k k 故[]134=k受控系统结构图【例5.1.3】已知SISO 系统的传递函数为 )2)(1()1(10)(+++=s s s s s G试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2，j ±-1的可能性。
解：该SISO 系统的传递函数)(s G 存在零极点对消。
（1）若选择可控标准型实现（便不可观测），仍可以配置极点，方法步骤同【例5.1.2】。
（2）若选择可观测标准型实现（便不可控）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0101031201000，[]x y 10=设状态反馈增益矩阵k 为： []210k k k k =状态反馈系统的闭环状态矩阵为 []210101031201000k k k bk A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=3101021010110101021210k k k k k k状态反馈系统结构图状态反馈系统的特征方程为)()(bk A I f --=λλ)103020()2104030()31010(2102102103k k k k k k k k ++++++++++=λλλ 期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：)1)(1)(2()(*j j f ++-++=λλλλ046423=+++=λλλ令)()(*λλf f =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=++41030206210403043101021021010k k k k k k k k方程组无解，即这种情况下用状态反馈不能配置极点。
二、闭环系统期望极点的选取总的来说，系统的性能主要取决于闭环主导极点，而远极点只有微小的影响。
也就是说，把系统看作是一个其极点就是主导极点对的二阶系统。
可根据动态指标%σ和s t 来确定期望主导极点的位置：%100%21⨯=--ξπξσe )10(<<ξns w t ξ5.4=%)2(±22,11ξξλ-±-=n n jw w （2,1λ为期望的主导极点）【例5.1.4】试设计如图所示系统的状态反馈增益矩阵k ，使闭环系统满足下列动态指标：（1）输出超调量%32.4%≤σ （2）调节时间5.0≤s t 秒解：确定闭环系统的期望主导极点21,λλ，由%32.4%100%21≤⨯=--ξπξσe)(5.05.4s w t ns ≤=ξ解出707.0≥ξ，0.9≥nw ξ，则99122,1j jw w n n ±-=-±-=ξξλ令第三个极点90]Re[1013-==λλ 故)99)(99)(90()(*j j f ++-++=λλλλ14580178210823+++=λλλ)()(bk A I f --=λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210000006011200100000k k k λλλ 021223)1272()18(k k k k ++++++=λλλ由)()(*λλf f =，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=1081817821272145802210k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒9043014580210k k k 故[][]904301458021==k k k k§5-2 状态反馈对可控性与可观测性的影响定理5.2:若线性定常系统∑),,(c b A 是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统),,(c b bk A k-∑也一定是可控的。
