第五章 MIMO 非线性系统的反馈线性化初步理论引言：对于多输入多输出系统仍可以用下列紧缩的形式的方程来描述：)()()(x h y u x g x f x=+=& （*） n R x ∈若输入的个数与输出的个数的数目相同时，可令)1( )](),...,([)()1()](),...,([)()()](),...,([)()1(),...,()1(),...,(11111⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=m x h x h Col x h n x f x f Col x f m n x g x g x g m y y Col y m u u Col u m n m m m )(),...,(),(1x g x g x f m 均是光滑的向量场,)(),...,(1x h x h m 是光滑的函数,均定义在n R 的某个开集上。
5.1 向量相对阶和总相对阶：一个多变量非线性系统（*），在οx 处有向量相对阶},...,{1m r r 是指：(i) 0)(=x h L L i k f g j 对所有：111-<≤≤≤≤i r k m i m j οx x ∈∀的邻域(ii) m m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------)(..)(....)(..)()(..)()(11212111111221111x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x h L L x A m r f g m r f g r f g r f g r f g r f g m m m m m 在οx x =处是非奇异的。
注意：（1）该定义涵盖了SISO 系统。
（2）整数m r r ,...,1中的某个i r 是与系统第i 个输出)(x h i 有关的。
行向量： )](),...,([111x h L L x h L L i r f g i r f g i m i --，至少有一个元素是非零的，即行向量不是零向量，否则矩阵)(οx A 就是奇异的了。
所以对某个i y 来说至少有一个j u ，对这样的单输入单输出系统说来，它在οx 处的相对阶就是i r ，而对于其他可以选择的k u 说来，其在οx 处相应的相对阶如果存在的话，一定大于或等于这个i r 。
（3）i r 也是在0t t =时刻，从)(t y i 的微分中得到至少)(0t u 中一个分量的显式表示时所需要微分的次数。
（4）若系统在0x x =处有向量相对阶},...,{1m r r ，则行向量)(),...,(),()(),...,(),()(),...,(),(010*********11010121x h dL x h dL x dh x h dL x h dL x dh x h dL x h dL x dh m r f m f m r f f r f f m ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是线性无关的。
证明该性质可以仿照单输入单输出的思路： 若i r r >1，m i ≤≤2，构造两个矩阵：))(),...,(),...,(),...,(),(),...,((121211121x h dL x dh x h dL x dh x h dL x dh Col Q m r f m r f r f m ---=))(),...,(),...,(),...,((111111x g ad x g ad x g x g Col P m r f r f m --=然后将QP 相乘，再对它的行重新排列后，矩阵就呈现一个块三角的结构，其对角线上的块组成)(x A 矩阵的行。
由)(x A 的非奇异性即可证明QP 的行是线性无关的，因而Q 的行也是线性无关的。
（5）当系统的输入数目大于输出数目时，向量相对阶定义中的条件（ii ）,)(0x A 阵的非奇异性用该矩阵的秩等于它的行数（也就是输出通道的个数）来代替。
实际多输入多输出系统关键的是输入的数目。
所谓输出是看效果的地方，所以采集某个量、观察某个量都可以看作是输出。
（6）m r r r r +++=...21称为总相对阶，且有n r ≤。
5.2 局部坐标变换和标准形若系统在0x 处有向量相对阶},...,{1m r r ，称m r r r r +++=...21为总相对阶，则n r ≤。
设m i ≤≤1，则对于某一指定的i ，取下列映射：)()()()(21x h L x x h x i f i i i ==φφ. . .)()(1x h L x i r f i r i i -=φ当r 严格小于n 时，总可以找到另外r n -个函数)()...(1x x n r φφ+，使得)](),...,(),...,(),...,(),...,(),...,(),(),...,([)(1122111121x x x x x x x x Col x z n r mr m r r mφφφφφφφφφ+==在0x 处的雅可比矩阵是非奇异的，则)(x φ就有资格作坐标变换。
一般来说，附加的变换函数)(),...,(1x x n r φφ+是可以任选的，但是当分布},...,{1m g g Span G =在0x 处是对合的，则与SISO 情况相似，总可以找到)(),...,(1x x n r φφ+，使 0)(=x L i g j φmj n i r ≤≤≤≤+11 0x x ∈∀的邻域⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-r n m r m r m m z ηηξξξξηξξξηξM M M M M M 11111211....则利用上述坐标变换后，新坐标表示的系统方程可以分成（m+1）组:第1组:)()(13121212121111t dtd t dt d ξφξξφφξ=====••. . .1111111111111)()()()()(11111ξξξξ=⋅+=⋅+==∑∑==-•-•y u z a z b u x h L L x h L t j mj j j m j r f g r fr r r j其中)),((),()()),((),()(11111111111ηξφηξηξφηξ---====h L L a z a h L b z b r f gj j j r f注意前式j u 中所乘的系数)(111x h L L r f gj -正是)(x A 阵中的第),1(j 项。
第i 组:)()(3221t t i ii iξξξξ==•• . . .ii j mj ij i j m j ir f g i r fr ir i r y u z a z b u x h L L x h L i j i i ii11111)()()()(ξξξξ=⋅+=⋅+==∑∑==-•-•再令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-)(...)(...11x x n r r n φφηηη对一般情况下：u P q u P q j mj j ),(),(),(),(1ηξηξηξηξη+=⋅+=∑=•若分布},...,{1m g g Span G =是对合的，又由此可得)(x i φ满足：0)(=x L i gj φ则该方程可简化成),(ηξηq =•将以上各组合并起来就得到多输入多输出系统的标准形。
5.3 零动态由输出零化的概念同样可以定义零动态。
由于输出及其各阶导数为零，可得：)(...)()(...0)(...)()(111111========--x h L x h L x h x h L x h L x h m r f m f m r ff m及∑==⋅+=mj j ij i r iu a b t yi 1)(0),0(),0()(ηη （共m 个）写成矩阵和向量的形式则有：0),0(),0(=+u A b ηη其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(11x h L x h L x b m r f r f m ),0(),(11ηφηξφ--==x )(x A 其中就是以前定义向量相对阶时的矩阵，所以：[]),0(,0()(1ηηb A t u --=）η是 ))(,0(0t q ηη=⋅在0)0(ηη=下的解。
对一般情况：[]),(),(),(),(1ηξηξηξηξηb A p q --=& 对零动态，则在0)0(,0)0(ηηξ==下求解。
5.4 参考输出复制问题若参考输出))(),...,(()(1t y t y Col t y mR R R = 其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)(...)()()(21t t t t t m R i R R R R ξξξξξ； ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-)1()1()0(...)()()(ir iR iR iR iR y t y t y t ξ m i ≤≤1则类似推导后可得：(i) 初始时刻对准，即)0()0(R ξξ=,而内动态0)0(ηη=可以任取。
(ii) 取))(...)())(),(())((),(()()()(111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=-t y t y t t b t t A t u m r mR r R R R ηξηξ其中η为下列方程的解：))(...)()),(()(),(()),(()),(()()(111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅+=-⋅t y t y t b t A t p t q m r mR r R R R R R ηξηξηξηξη0)0(ηη=同样可以将解释为原系统的逆实现。
5.5 反馈线性化：当n r r r r m ==+++...21时，可以实现状态反馈精确线性化（此时没有内部动态）。
即取：[]ννβα+-=+=-)()()()()(1x b x A x x t u当n r r r r m <=+++...21时，可以实现输入输出精确线性化（此时有内部动态），但解的式子与上面的表达式一样。
5.6 输入输出解耦控制（或互不影响的控制） ⑴问题的提法： 给定一个非线性系统)(...)()()(111.x h y x h y u x g x f x m m mi ii ==+=∑=给定初始状态0x 及0x 的邻域0U ，找一个静态状态反馈控制律∑=+=mj j ij i i x x u 1)()(νβα使闭环系统∑∑∑===+⋅+=mj j mi ij i mi i i x x g x x g x f x 111.))()(()()()(νβα)(...)(11x h y x h y m m ==的每一输出i y ，m i ≤≤1，只受相应的输入i ν的影响，而与其他)(j i j ≠ν无关。
