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Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号x(t)如图original所示，请画出下列信号并给予标注：a）x(t-1)b）x(2-t)c）x(2t+1)d）x(4-t/2)e）[x(t)=x(-t)]u(t)f）x(t)[δ(t+3/2)-δ(t-3/2)](d),(e),(f)1.22一离散时间信号x[n]如图original所示，请画出下列信号并给予标注。
a)x[n-4]b)x[3-n]c)x[3n]e)x[n]u[3-n]f)x[n-2]δ[n-2]1.23确定并画出图original信号的奇部和偶部，并给予标注。
1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。
a)x(t)=3cos(4t+π/3)T=2π/4=π/2;b)x(t)=e )1(t j T=2π/π=2;c)x(t)=[cos(2t-π/3)]2x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2π/3))]/2, so T=2π/4=π/2;d)x(t)=E v {cos(4πt)u(t)}定义x(0)=1/2,则T=1/2; e)E v {sin(4πt)u(t)}非周期f ）x(t)=n n t e )2(假设其周期为T 则n n t e )2(=n T n t e )22(=n T n t e ))2(2(=n n t e )2(所以T=1/2(最小正周期)；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。
(a)x[n]=sin(6π/7+1) N=7(b)x[n]=cos(n/8-π) 不是周期信号（c ）x[n]=cos(πn 2/8)假设其周期为N ，则8/8/)(22n N n ＋k 2所以易得N=8（d ）x[n]=)4cos()2cos(n n N=8(e) x[n]=)62cos(2)8sin()4cos(2n n n N=16 1.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。
第七章7.6 解：见 8.17.8 解： (a) )]()([)21()(50πωδπωδπωk k j j X n k +--=∑= 信号截止频率 πω5=m采样频率 m s T ωπππω2102.022====对于正弦信号，会发生混叠 (b) ππω5==T c所以输出信号 )sin()21()(40t k t y k k π∑== 所以j e e t g tjk t jk k k 2)21()(40ππ-=-=∑ ∑-==44k t jk k e a π其中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=+-+14)21(0041)21(11k j k k j a k k k 7.10 解：(a) 错 信号时域为矩形波，频域为sinc 函数，无论怎么样都会混叠 (b) 符合采样定理，对(c) 符合采样定理，对7.15 解：要求 76N 2,76273ππππω>=⨯>即s 237max =<∴N N 取 7.16 解： 易见ππn n 2sin2满足性质1, 3对性质2，考虑时域乘积得频域卷积，易见2))2/sin((4][n n n x ππ=7.19 解：设x[n]经零值插入后得输出为z[n] (a) 531πω≤时， ⎪⎩⎪⎨⎧><=1101)(ωωωωωj e X ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<=30531)(11ωωπωωωj e Z所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=3031)(11ωωωωωj e W因此可得，n n n w πω/)3(sin ][1=又由 ]5[][n w n y =可得 )5/()35(sin][1n n n y πω= (b) 531πω>时 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><=53031)(11πωωωωωj e Z)/()5(sin ][n nn w ππ=∴][51)5/()(sin ][n n n n y δππ== 7.21 解： 采样频率m s Tωππω2200002>== 即πω10000<m 时，可以恢复 (a) 可以(b) 不可以(c) 不能确定(d) 可以 (e) 不可以 (f) 可以 (g) 可以7.22 解：)(*)()(21t x t x t y = 则有πωωωω10000)()()(21>==j X j X j Y πω1000=∴m 因而 πωω20002=>m s故 s T s 3102-=<ωπ 7.23 解：见 8.27.24 解：见 8.37.29 解：见 8.107.31 解：见 8.157.35 解：见 8.247.38 解：见 8.97.41 解：见 8.197.45 解： 见 8.17。
第10章z变换10.1 复习笔记一、z变换1．z变换的定义一个离散时间信号x[n]的z变换定义为其中z是一个复变量。
简单记为2．z变换与傅里叶变换的关系X（re jω）是序列x[n]乘以实指数r-n后的傅里叶变换，即指数加权r-n可以随n增加而衰减，也可以随n增加而增长，这取决于r大于1还是小于1。
若r＝1，或等效为|z|＝1，z变换就变为傅里叶变换，即（1）在连续时间情况下，当变换变量的实部为零时，拉普拉斯变换演变为傅里叶变换，即在虚轴jω上的拉普拉斯变换是傅里叶变换。
（2）在z变换中是当变换变量z的模为1，即z＝e jω时，z变换演变为傅里叶变换。
即傅里叶变换是在复数z平面中半径为1的圆上的z变换。
在z平面上，单位圆在z变换中所起的作用类似于s平面上的虚轴在拉普拉斯变换中所起的作用。
二、z变换的收敛域1．性质1X（z）的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环。
2．性质2收敛域内不包含任何极点。
3．性质3如果x[n]是有限长序列，那么收敛域是整个z平面，可能除去z＝0和/或z＝∞。
4．性质4如果x[n]是一个右边序列，并且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么|z|＞r0的全部有限z 值都一定在这个收敛域内。
5．性质5如果x[n]是一个左边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么满足0＜|z|＜r0的全部z值都一定在这个收敛域内。
6．性质6如果z[n]是双边序列，而且|z|＝r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含|z|＝r0这一圆环的环状区域。
7．性质7如果x[n]的z变换X（z）是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，或者延伸至无限远。
8．性质8如果x[n]的z变换X（z）是有理的，并且x[n]是右边序列，那么收敛域就位于z平面内最外层极点的外边，亦即半径等于X（z）极点中最大模值的圆的外边。
而且，若x[n]是因果序列，即x[n]为n＜0时等于零的右边序列，那么收敛域也包括z＝∞。
第2章线性时不变系统2.1 复习笔记一、离散时间线性时不变系统：卷积和1．用脉冲表示离散时间信号把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列δ[n－k]的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。
2．线性系统的卷积和（1）输入x[n]表示为一组移位单位脉冲的线性组合。
（2）h k[n]为该线性系统对移位单位脉冲δ[n－k]的响应。
（3）线性系统对输入x[n]的响应y[n]就是系统对这些单个移位脉冲响应的加权线性组合，即3．线性时不变系统的卷积和或叠加和用符号记为意义：既然一个线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，那么线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征。
4．用图解的方法来计算卷积和（1）对某一n值，比如n＝n0，已求得y[n]画出了信号h[n0－k]，将它与x[k]相乘，并对所有的k值将乘积相加。
（2）求下一个n值，即n＝n0＋1时的y[n]画出信号h[(n0＋1)－k]，即将信号h[n0－k]右移一点即可；（3）对于接下来的每一个n值，继续上面的过程把h[n－k]一点一点地向右移，再与x[k]相乘，并对所有的k将全部乘积相加。
二、连续时间线性时不变系统：卷积积分1．用冲激表示持续时间信号任意信号x(t)可表示成了一个加权的移位冲激函数的和上式为连续时间冲激函数的筛选性质。
2．连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示（1）单位冲激响应h(t)也就是h(t)是系统对δ(t)的响应。
（2）卷积积分或叠加积分意义：一个连续时间线性时不变系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。
两个信号x(t)和h(t)的卷积标记为3．求解连续时间信号的卷积的步骤（1）在任意时刻t的输出y(t)是输入的加权积分，对x（τ）其权是h（t－τ）。
（2）为了求出对某一给定t时的这个积分值，首先需要得到h（t－τ）。
（3）h（t－τ）是τ的函数，t为某一固定值，利用h（τ）的反转再加上平移（t＞0时就向右移t；t＜0时就向左移|t|），就可以求得h（t－τ）。
第10章Z变换习题10.1 试对下列和式，为保证收敛确定在r＝|z|上的限制：解:（a）为了保证收敛，需满足即使和式收敛的z均满足，亦即有又因在和式中含有一个正幂项z，故z≠∞。
综上所述，使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即满足|2z|＜1，从而知使和式收敛的z的模需满足为了保证收敛，需，即|z|＞1；为了保证收敛，需，即|z|＞1综上所述，使和式收敛的z的模需满足r＞1。
对于上式右端第二项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第三项，要保证其收敛，需，即|z|＜2。
对于上式右端第四项，要保证其收敛，需，即。
对于上式右端第五项，要保证其收敛，需，即。
综上所述，要使和式收敛，z的模需满足。
10.2 设信号x[n]为利用式（10-3）求该信号的z变换，并标出对应的收敛域。
解:为使该级数收敛，需，即，于是可得10.3 设信号x[n]为已知它的z变换x（z）的收敛域是试确定在复数α和整数n0上的限制。
解:令x[n]＝x1[n]＋x2[n]，其中x1[n]＝（－1）n u[n]，x2＝αn u[－n－n0]于是有则X（z）＝X1（z）＋X2（z），1＜|z|＜|α|由于已知X（z）的收敛域为1＜|z|＜2，所以α应满足|α|＝2，而n0可为任意整数。
10.4 考虑下面信号：对x（z）确定它的极点和收敛域。
解：因为，要使x（z）收敛，显然应有及，即X（z）的ROC为由于故X（z）的两个极点分别为，它们是互为共轭自两个复数极点。
10.5 对下列信号z变换的每个代数表示式，确定在有限z平面内的零点个数和在无限远点的零点个数。
解:（a）由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高1阶，所以X（z）在有限z平面上零点的个数为1（即X（z）的有限零点个数为1），同样在无穷远处的零点个数也为1。
由于x（z）的分母多项式与分子多项式有相同的阶数，所以X（z）仅有2个有限零点，而在无穷远处无零点。
由于X（z）的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高2阶，所以X（z）有1个有限零点，而在无穷远处有2个零点。
第7章采样第8章通信系统第9章拉普拉斯变换第10章Z变换第11章线性反馈系统第7章采样7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。
试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。
7.6在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x1（t）和x2（t）相乘，其乘积W （t）由一冲激串采样，x1（t）带限于ω17.7信号x（t）用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0（t），设x1（t）是在x（t）的样本上经过一阶保持处理的结果，即7.8有一实值且为奇函数的周期信号x（t），它的傅里叶级数表示为7.9考虑信号x（t）为7.10判断下面每一种说法是否正确。
7.11设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：7.12有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：7.13参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入xc（t）为带限，而有7.14假定在上题中有重做习题7.13。
7.15对进行脉冲串采样，得到若7.16关于及其傅里叶变换7.17考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为7．18假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。
7.19考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。
零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中W[n]是抽取系统的输入序列。
若输入x[n]为试确定下列ω1值时的输出y[n]：7.20有两个离散时间系统S1和S2用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。
第二部分课后习题第7章采样基本题7.1已知实值信号x（t），当采样频率时，x（t）能用它的样本值唯一确定。
问在什么ω值下保证为零？解：对于因其为实函数，故是偶函数。
由题意及采样定理知的最大角频率即当时，7.2连续时间信号x（t）从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x（t）完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x（t）在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？解：因为x（t）是某个截止频率的理想低通滤波器的输出信号，所以x（t）的最大频率就为＝1000π，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样m点恢复出x（t），需采样频率即采样时间问隔从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x（t）由其采样点恢复，而（b）不能。
7.3在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。
试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（b）x（t）的频谱函数为由此可见故奈奎斯特频率为（c）x（t）的频谱函数为由此可见，当故奈奎斯特频率为7.4设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：解：（a）因为的傅里叶变换为可见x（t）的最大频率也是的最大频率，故的奈奎斯特频率为0 。
（b）因为的傅里叶变换为可见x （t）的最大频率也是的最大频率．故的奈奎斯特频率仍为。
（c）因为的傅里叶变换蔓可见的最大频率是x（t）的2倍。
从而知x 2（t）的奈奎斯特频率为2（d）因为的傅里叶变换为，x（t）的最大频率为，故的最大频率为，从而可推知其奈奎斯特频率为7.5设x（t）是一个奈奎斯特率为ω0的信号，同时设其中。
当某一滤波器以Y（t）为输入，x（t）为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。
解：p（t）是一冲激串，间隔对x（t）用p（t-1）进行冲激采样。
先分别求出P（t）和P（t-1）的频谱函数：注意0ω是x（t）的奈奎斯特频率，这意味着x（t）的最大频率为02ω，当以p（t-1）对x（t）进行采样时，频谱无混叠发生。
第9章拉普拉斯变换习题9.1 对下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数σ的值：解：（a）因可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＞0，即σ＞－5，此时积分为。
（b）此题中的被积函数与（a）相同，只是积分区间不同。
利用（a）中的积分过程可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＜0，即σ＜－5。
σ＜－5即为实数σ的取值范围。
（c）与（b）相似。
由于积分是在一个有限的区间[－5，5]上进行的，所以无论σ取何实值，积分均收敛，即实数盯的取值范围为－∞＜1＜∞。
（d）与（b）相似。
要使积分收敛，当t→∞时，应有5＋σ＞0，即t＞－5；且当t→－∞时，又应有5＋σ＜0，即σ＜－5。
综合以上分析可知，无论σ取何值，该积分都不收敛。
（e）此积分可化为以上第一个积分要收敛，需满足σ＞－5。
对于第二个积分，由于可见要使其收敛，需满足σ＜5。
综上所述，当－5＜σ＜5时，积分收敛。
（f）此积分可化为由（e）中分析可知，当实数σ＜5时，积分收敛。
9.2 考虑信号x（t）＝e-5t u（t－1）其拉普拉斯变换记为X（s），（a）利用式（9.3）求X（s），并给出它的收敛域。
（b）确定有限数A和t0，以使g（t）＝Ae-5t u（-t－t0）的拉普拉斯变换G（s）与X （s）有相同的代数式。
对应于G（s）的收敛域是什么？解：（a）由拉普拉斯变换的定义得（b）由拉普拉斯变换的定义得要使G（s）收敛，当t→∞时，需满足，即，此时对比G（s）与X（s）的代数表达式可发现，要使两者相同，应有A＝－1，t0＝－1,G （s）的ROC为9.3 考虑信号x（t）＝e-5t u（t）＋e-βt u（t）其拉普拉斯变换记为X（s）。
若X（s）的收敛域是Re{s}＞-3，应在β的实部和虚部上施加什么限制？解：利用常用信号的拉普拉斯变换对可直接写出这里的β可为复数，也可为实数。
若β为复数，那么只有它的实部对X（s）的ROC有影响。
X（s）的ROC为Re{S}大于－5和Re{－β}中的大者。
第11章线性反馈系统
习题
11.1 考虑图11-1所示的离散时间线性时不变系统的互联，试将总系统函数用H0（z），
H1（z）和G（z）表示。
图11-1
解：系统中H1（z）和G（z）构成闭环系统，用1
1
()
()
1()()
H z
Q z
G z H z
=
+
表示，然后与H0（z）相加，得到总系统函数如下
1
100
1
()
()()()()
1()()
H z
Q z Q z H z H z
G z H z
=+=+
+
11.2 考虑图
11-2
所示连续时间线性时不变系统的互联，试将总系统函数用H1（s），
H2（s），G1（s）和G2（s）表示。
图11-2
解：首先H1（s）和G1（s）构成闭环系统，用
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
)
(
Q
1
1
1
1+
=
s表示，再与H2（s）相乘，得到
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
）
s
（
H
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
2+
=
=s
H
s
Q
s
Q。
它们再与G2（S）构成闭环系统，则有
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
G
）
s
（
H
）
s
（
H
1
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
）
s
（
H
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
+
+
+
=
+
=
s
G
s
Q
s
Q
s
Q
化简得：
=
)
(s
Q
11.3 考虑图11-3（a）中的连续时间反馈系统，其
对于什么样的b值，该反馈系统是稳定的？
（a）连续时间系统（b）离散时间系统
图11-3 基本反馈系统的组成
解：系统函数为
2
b
1
-s
1
2
1
1-s
b-s
1
1-s
1
+
⋅
=
+
=
则只有一个极点
2
s=
则系统稳定的条件为0
2
b
1
<
+
，即b＜－1。
11.4 一个输入为x（t）和输出为y（t）的因果线性时不变系统S，其微分方程为
现在要用H（s）＝1/（s＋1）时的图11-3（a）的反馈互联来实现系统s，试求G（s）。
解：对微分方程两边进行拉氏变换，得到
则其系统函数为
s
1
s
1
1
s
Q
+
+
=
）
（
图11-3（a）中的系统函数为
）
（
）
（s
G
s
1
1
s
1
1
s
G
1
s
1
1
+
+
=
+
⋅
+
+
=
故
11.5 考虑图11-3（b）中的离散时间反馈系统，其
对于什么样的b值，该反馈系统是稳定的？
解：图11-3（b）中的系统函数为
4b 21-z z 21z 2
1-1bz -11z 21-11
1
-1-1
-+=+
=
其极点为4b 21z +=，故系统稳定的条件是1|4
b
21|<+
即
11.6 考虑图11-3（b ）中的离散时间反馈系统，其
这个系统是无限脉冲响应的，还是有限脉冲响应的？ 解：其系统函数为
1
--N
z
1z -1+= 利用终值定理：1
()=lim(z 1)X(z)z x →∞−
可得：1111q()=lim(z 1)Q(z)lim(z 1)0
1
N
z z
z z
−−→→−∞−=−=+ 则这个系统是有限脉冲响应FIR 。
11.7 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定保证该反馈系统是稳定的K 值范围。
解：1
()()(2)(3)
G s H s s s =
++
K 为正和K 为负的根轨迹开始于s ＝－2和s ＝－3这两个极点，均终止于无穷远。
K ＞0时的根轨迹如图11-4所示，两支分别始于s ＝－2和s ＝－3，在s ＝－5/2处分离，然后平行于虚轴，随着K 趋于＋∞，一直延伸至Re{s}＝－5/2，Im{s}＝±∞。
K ＜0时的根轨迹如图11-4所示，一支始于s ＝－3，随着K 趋于－∞，一直延伸至Re{s}＝－∞，另一支始于s ＝－2，随着K 趋于－∞，一直延伸至Re{s}＝＋∞。
根轨迹如图11-4所示
图11-4 根轨迹
由图11-4可见发生不稳定的K 值对应于根轨迹通过s ＝0这点。
此时K 值为
1
6|(0)(0)|
K G H =−
=−
故当K ＞－6时，该反馈系统是稳定的。
11.8 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定保证该反馈系统是稳定的K 的负值范围。
解：1
()()(1)(2)
s G s H s s s −=
++
系统的特征方程为2(1)(2)(1)0(3)(2)0s s K s s K s K +++−=⇒+++−= 对于K ＜0，位于根轨迹上的实轴部分是和。
根轨迹从s ＝
－2和s ＝－1开始，移入
的区域。
在某一点上，根轨迹分裂为两支而进入
复平面，并沿着某一条轨迹回到s ＞1的实轴上。
一旦回到实轴上之后，一支向左移直到s ＝1为止，另一支一直向右移直到s ＝∞，如图11-5所示。
图11-5 K ＜0的根轨迹
由图11-5可见发生不稳定的K 值对应于根轨迹通过虚轴上的某一点。
即上述系统特征方程解的实部为0，即303K K +=⇒=−。
故该反馈系统是稳定的K 的负值范围为：－3＜K ＜0。
11.9 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定：是否存在可调节增益K 的任何值，使得该系统的单位冲激响应含有
形式的振荡分量？这里ω0≠0。
解：开环传递函数为(s+1)(3)
(s)(s 2)(s 4)
K s G +=
++，
其中m ＝2，n ＝2，故应该有2条根轨迹；
系统根轨迹的起始点为12p 2p 4=−=−，；根轨迹的终点为12z 1z 3=−=−，；。
