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老师、同学们，大家好！今天我给大家分享一下“奇妙的数字12”。
我们都知道数字是由：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这10个数字组成的。
古时候，没有这些数字，人们都是用绳子打个结来计数的。
有了这10个数字之后呢，我们就可以用这些数字组成0到无穷大的任何一个数。
这些数呢，我们发现都是用10进制，来进行计数的。
就是：每数10个数，个位数就又回到了1。
可是，生活中我们发现有很多事情是用 12作为计数的！例如：一年是12个月；12月之后，又从1月开始了。
再例如：生肖动物有12个。
猪年过完了，又从鼠年开始了。
同学们：你还知道有什么事情是用12来计数的么？？？（等同学回答）。
对，时针在钟面上走一圈是12小时。
还有星座，天宫有12个星座。
那么，为什么有这么多事情是用12来计数呢？j ìz h ì j ìzh ū sh ǔg ōng原因是：12是一种天然规律。
一年中，月亮刚好月圆12次，就成了一种天然计算规律。
另一个原因是：12这个数字的分组灵活：例如：有12个小朋友，我们平均分组。
可以有4种分组方式——2人一组可以分6组；3人一组可以分4组；4人一组可以分3组；6人一组可以分2组。
可是，10这个数字分组的方式就很少：只有2种分组方式——2人一组可以分5组；5人一组可以分2组。
好了，我们了解了奇妙的数字12，下面我给同学们出道题： 有12个苹果——如果4个苹果装1个篮子，要装几个篮子呢？（请同学举手回答） 对了，答案是：3个篮子。
谢谢大家，今天的分享就这些，有哪位同学想和我一起交流下么？guī lǜguī lǜjūn。
第十二讲煤炭洗选本讲的主要内容是与煤炭洗选相关的煤炭概况（煤的形成、种类、物化特性等）、煤炭洗选技术与工艺（跳汰、重介、旋流器等工艺特点）、煤炭洗选行业的新技术与新工艺。
煤炭是我国最主要的能源，在已探明的化石能源资源总量中，煤炭占94.3%,石油和天然气仅占5.7%。
我国又是煤炭生产和消费大国，在一次能源消费结构中，煤炭约占70%。
长期以来，国内70%的燃料和工业动力、60%的化工原料和60%的民用商品能源，都是由煤炭提供的。
随着国民经济和社会的发展，能源需求不断增加，对煤炭的需求量也将越来越大，在今后50年内我国以煤炭作为主要能源的格局不会有根本性变化。
大量的原煤直接燃烧造成的煤烟型为主的大气污染，严重制约了我国国民经济的持续健康发展。
2002年我国烟尘排放量为1012Mt,SO2排放量为1926Mt,酸雨面积已超过国土面积的30%,而燃煤造成的烟尘和SO2排放量分别占到70%和85%o为了减少环境污染，提高煤炭的转化燃烧率，国家和用户对煤炭质量和品种的要求日趋严格，使围绕煤炭洁净加工与利用的洁净煤技术形成蓬勃发展的态势。
发展选煤是保护环境的需要，是煤炭工业可持续发展战略的重要组成部分。
众所周知，我国是煤炭生产和消耗大国,在一次能源构成中煤炭占据物的高额比重，而且这样的态势直到21世纪初叶不会改变。
然而，大量燃用煤炭已引起严重的环境问题，且将随煤炭生产量和消耗量的增加而日趋严重。
选煤是洁净煤技术的源头和基础，是现阶段最为成熟,最为经济的手段。
因此，在洁净煤技术起步时期，首先要加速发展选煤。
洗选煤市场份额的增大，将为选煤的发展拓宽道路。
以市场经济为主体的产煤国家的多年经验证明，在市场经济条件下，对于多数煤矿来说，选煤厂是不可缺少的生产环节。
选煤是使用物理、物理化学方法，将原煤分成不同质量、规格产品的加工过程。
选煤可以出去煤中的杂质，包括肝石和50%~70%的硫，提高煤炭产品的质量、增加煤炭品种、减少无效运输、提高热效率、节约能源、减少SO2、NOX和烟尘的排放量。
幼儿园12的分解教案5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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1. 掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2. 重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲模块一：质数合数I 有二张卡片，它们上面各写着数字 1， 2， 3，从中抽出一张、二张、二张，按任:意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数 ；都写出来.■ ■ 1 ■ _1 ■ =.用1, 2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并 :且只能用一次，那么这 9个数字最多能组成多少个质数？第12讲 数论综合（二）例题1 例题2;三个质数的乘积恰好等于它们和的 11倍，求这三个质数. 例题3— ■ — — ■ r^v_i -^^_1 — — — n — -i r"B_i — ■ r — — — — —«-!— — ■- — -1 r^^_i — — — — — r i:有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数 :字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ （2003年全国小学数学奥林匹克试题 ）有两个自然数相除，商是 17,余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多少？；已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少 :个？.（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整数，用它去除 70，110，160所得到 :的3个余数之和是50，那么这个整数是 .【巩固】（2002年全国小学数学奥林匹克试题 ）用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25,那么n= _________ . .一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除:220后所得的余数，则这个自然数是多少？~' ■-1_I-"-■—I ―>—1_I ~~■~~1—I _I~~>—I _!—■~~|_|~~■~~I_1—1~~I I ―>—I _I ―I I ―I_I —!■—1 ―I ~~―I_I —u —I _I —■~~~~■~~~~■~~I_1—1~~I_I~~■—1_I ~~>—1_I ―■~~1—1―■~~I_1—1~~I _I —u —I _I ――I _B —■—I _I 1_1—11—1_I 1—1~~■―I _■—1―I _1—11—1_I ~~■例题7 ■有一个整数，除39, 51, 147所得的余数都是3，求这个数.板块二余数问题例题5例题6例题8甲、乙、丙三数分别为603，939，393 .某数A除甲数所得余数是A除乙数所得10 余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？11（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与20032的和除以7的余数是【巩固】2200820082除以7的余数是多少?Z例题12 .（2009年走美初赛六年级）有一串数：1, 1 , 2, 3, 5, 8,……，从第三个数起, !每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？■■—.1—I I k —-—II I I -------- - ——LI I I ■ ■fl I--I L -1™I—- —■——I M-—.1 I ■•—■—I I II. —■ ---------- —■—■ I I ■ I I—LI—LJ-'--------------------- ■ I I II——”_・ I ■——【巩固】著名的裴波那契数列是这样的: 3所得的余数为多少？1、1、2、 3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以i （1997年全国小学数学奥林匹克试题）将12345678910111213.…依次写到第1997；个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是_________ .例题13 !【巩固】能否找到这么一个数，它加上 24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?z 厂…一 _________________________________________________________________- 例题18 '有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个 :数中最小数的最小值为 ________________________ .例题 :有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数 14 :字之和是10，第二个数的各个位数字之和是 8,求两个三位数的和.例题 15 '设20092009的各位数字之和为 A ， A 的各位数字之和为 B ， B 的各位数字之和为 1 \ C ，C 的各位数字之和为 D ，那么D ? 板块三完全平方数 :从1到2008的所有自然数中，乘以 72后是完全平方数的数共有多少个? 例题16 : 例题17 : 一个数减去100是一个平方数，减去 63也是一个平方数，问这个数是多少?板块四位值原理49] _________°F「例题19（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一~一例」题I9个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少？【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数数大8802 .求原来的四位数. （这个数也叫原数的反序数），新数比原（第五届希望杯培训试题）有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如例题20果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？【巩固】（迎春杯决赛）有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数.【巩固】板块五a, b, c分别是0 9中不同的数码，用a, b, c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？进制冋题在几进制中有4 13 100?【巩固】算式1534 25 43214是几进制数的乘法?例题22 在6进制中有三位数abc,化为9进制为cba ,求这个三位数在十进制中为多少？练习:有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数:三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.!将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数:I:12345678910111213L 20072008，试求这个多位数除以9的余数.练习练习i在7进制中有三位数abc,化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?。
11和12的认识说课稿一、教学目标1.研究并认识数字11和12的大小和顺序。
2.能够用正确的手势和发音表达数字11和12.3.能够通过游戏和活动培养学生对11和12的数字概念。
4.提高学生的数学表达及观察能力。
二、教学准备1.数字11和12的卡片或标志物。
2.游戏道具如骰子等。
3.PPT或教具展示材料。
4.学生的研究记录表格。
三、教学步骤1.导入：通过展示数字11和12的卡片或标志物，向学生介绍这两个数字，并让学生观察数字的形状和大小。
2.认知：使用PPT或教具展示数字11和12的卡片，让学生通过观察图像，认识并说出数字11和12.3.数字排序：准备一组数字卡片，包括数字1到12，并让学生按照正确的顺序把数字11和12放在正确的位置上。
4.数字比较：使用游戏道具如骰子，让学生分组进行比较游戏。
每组一人掷骰子，得到的点数就是他们要比较的数字。
学生要根据骰子的点数，用手势和发音表达数字，并与其他组进行比较。
5.游戏活动：进行一些与数字11和12相关的游戏活动，如数字迷宫、数字接龙等。
通过游戏加深学生对数字11和12的理解和记忆。
6.评价与总结：根据学生的表现，给予积极的评价，并在学生的研究记录表格上记录学生的研究情况。
总结数字11和12的认识内容。
四、教学反思本节课通过引入数字11和12的卡片和游戏道具，让学生通过观察、比较和游戏等方式来认识和掌握数字11和12.通过多种形式的教学和活动，可以提高学生对数字的理解和记忆能力，并激发他们对数学的兴趣。
在今后的教学中，可以结合更多的游戏和实际生活中的例子来巩固学生对数字11和12的认识。
第二单元两、三位数除以两位数第12课时商不变的规律教学内容：教学第23页例7和“练一练”，练习五第1-5题。
教学目标：1、理解和掌握商不变的规律，并能运用这一规律口算有关除法，培养学生的观察、概括以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
2、学生在参与观察、比较、概括、验证等学习过程中，体验成功，收获学习的快乐。
教学重难点：重点：理解归纳出商不变的规律。
难点：会初步运用商不变的规律进行一些简便计算。
课前准备：课件。
教学过程：一、创设情境，激发兴趣导入同学们想玩游戏吗？今天我们就一起玩一个自编除法的游戏。
老师这有三个数字——8、2、0、，每个数字在一道算式中可以出现一次、两次或多次，也可以一次也不出现，但是要求每一道算式中的商必须等于4，限时一分钟，看谁写得多！预测：8÷2=4 80÷20=4 800÷200=4 8000÷2000=4•88÷22=4 888÷222=4 8888÷2222=4 88888÷22222=4•生活常识详细问题了解下！880÷220=4 8800 ÷2200=4 88000÷22000=4 •发现：我们无论编出多少道不同的算式，什么是不变的？（板书：商不变）商不变，是什么在变呢？（板书：被除数和除数）探究：被除数和除数究竟有怎样的变化，商却不变呢？这节课我们一起来研究商不变的规律（板书课题）二、合作学习、探究规律探究：请观察我们自己编的一组算式，看看被除数和除数究竟是怎样变化的而商却不变？要求：可以自己研究，也可以小组内共同探究。
交流：说出自己的发现。
预测1：学生对于“同时”、“相同”的用词不一定能用的准，理解不一定能非常透彻。
解决：让学生在自己充分理解、叙述的基础上提炼出“同时”、“相同”一词。
预测2:对于“零除外”，有些同学可能会想到这一情况，但对于其原因不是很清楚。
讲 授 内 容 备 注 第十二讲四、Cauchy 中值定理 1、推导中值公式Cauchy 中值定理：若()F x ，()G x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内 可导，()0G x '≠．则(,)a b ξ∃∈，使得()()()()()()F b F a FG b G a G ξξ'-='-． 适当选取函数()F x ，()G x ，就可以得到新的中值公式．例14 设()f x 在(,)a b 内可微，,0a b >，且(0)f a +，(0)f b - 均存在（为有限数）．试证：(,)a b ξ∃∈，使得1()()(0)(0)a bf f f a f b a b ξξξ'=-+--．证 令()(0)f a f a =+，()(0)f b f b =-， 则()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，而[]11()()(0)(0)a b af a bf b f a f b a b a b=-+---()()f b f a b a b a-=- 令()()f x F x x =，1()G x x =，则()F x ，()G x 在[,]a b 上满足Cauchy 中值定理的条件，所以()()()111x f x f b f a x b a b ax ξ='⎛⎫- ⎪⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭()()f f ξξξ'=-．3学时例15 设函数()f x 在(,)a b 内二次可微．试证：0,(,)x x a b ∀∈，ξ∃在0,x x 之间，使得200001()()()()()()2!f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+-． (1) 证 只证明0x x >的情况（0x x <时类似可证，0x x =时显然） 将(1)式改写00020()()()()()1()2f x f x f x x x f x x ξ'---''=-．设 000()()()()()F x f x f x f x x x '=---，201()()2G x x x =-则 0()()()F x f x f x '''=-，0()G x x x '=- 注意到 0000()()()()0F x G x F x G x ''==== 两次应用Cauchy 中值定理0000200()()()()()()1()()()2f x f x f x x x F x F x G x G x x x '----=-- 00()()()()()()()()()F F x F F fG G G x G ηηξξηηξ'''''-''===='''''- 0x x ξη<<<注意 将Cauchy 中值公式改写成[]()()()()()()F F b F aG b G a G ξξ'-=-'则选取不同的函数()G x ，便可把()()F b F a -表示成不同的形式．若另取1()G x ，[]111()()()()()()F F b F aG b G a G ηη'-=-'． 则有[][]111()()()()()()()()F FG b G a G b G a G G ξηξη''-=-''． 一般来说，当()G x 采用n 个不同的函数（只要满足Cauchy 中值定理的条件），便可得到含n 个中值的1n -个等式．例16 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0)a b <<，()()f a f b ≠．证明：,(,)a b ξη∃∈，使得()()2a bf f ξηη+''=． (1) 证 以b a -乘(1)式两端：22()()()()12f f b a b a ξηη''-=- 取()()F x f x =，2(), G x x x =，在[,]a b 上分别应用Cauchy 中值定理()()()1f f b f a b a ξ'-=-，22()()()2f f b f a b aηη'-=- 2222()()()()()()()f b f a f b a f b f a b a b aξ-'-=-=-- 22()()2f b a ηη'=- 所以 ()()2a bf f ξηη+''=,(,)a b ξη∈． 例17 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0)a b <<． 证明：在(,)a b 内存在123,,x x x ，使得22123332212ln()()()()24b f x f x a b a x f x x x b a'''=+=-． 证 以22b a -乘上式两端[]22443123123()()()()()ln ln 124f x f x f x b a b a b a x x x '''-=-=-． 取()()F x f x =，2()G x x =，41()G x x =，2()ln G x x = 则得[]221111()()()()()()2F x f x G b G a b a G x x ''-=-'[]4422113122()()()()()()4F x f x G b G a b a G x x ''-=-' [][]3322233()()()()ln ln ()F x f x G b G a b a G x x ''-=-'上述三式左边相等，右边亦相等，结论成立．2、作为函数与导数的关系例18 设()f x 在(,)-∞+∞上连续可导，且2sup ()x x ef x --∞<<+∞'<+∞．证明：2sup ()x x xe f x --∞<<+∞<+∞．证 因为2()x xe f x -在[1,1]-上连续，所以2()x xe f x -在[1,1]-上有界．只须证明2()x xef x -在(,1)-∞-与(1,)+∞上有界．以(1,)+∞为例进行证明．（(,1)-∞-的情况类似） 设1x >为任意数，则21x x >>，2x x e e e >>2222()()1(1)(1)()1(1)(1)xxxx xf x xf x f f xf x f f ee e e e e--=+≤+- ()2()()|(1)|()xx xf x f ee ξ*='=+'1x ξ<< (1) 其中()*：取()()F x xf x =，2()x G x e =，应用Cauchy 中值定理()22()()()()2x x xf x f f e eξξξξξξ=''+='22211()(0)1(0)()2202f f f e f e e ξξξξξξξ---'≤++- 222111()()(0)222e e f e f f ξξξξηξ---''≤++0ηξ<< 即2()x ef x -'有界，证2()x xe f x -有界22111()()(0)222e f e f f ξηξη--''≤++． (2) 因为2()x e f x -'有界，综合(1)与(2)可知，2()x xe f x -亦有界．§3．3 Taylor 公式本节主要讨论带Peano 余项、Lagrange 余项的Taylor 公式在接替中的若干应用． Taylor 公式的两种形式1 若()()n fx 在[,]a b 上连续，(1)()n fx +在(,)a b 内存在．0,[,]x x a b ∀∈，ξ∃在0,x x 中间，使得下式成立 000()()()()f x f x f x x x '=+-()220000()()()()()2!!n n f x f x x x x x R x n ''+-++-+ 其中 (1)101()()()(1)!n n n R x f x x n ξ++=-+ （Lagrange 余项） 02 若()f x 在点0x 有n 阶导数，则在0x 的邻域内Taylor 公式成立．其中 ()0()()n n R x o x x =- 0()x x → （Peano 余项） 在Taylor 公式中，若把0x 看成定点，x 看成动点，则Taylor 公式通过定点0x 处的函数值0()f x 及导数值0()f x '，，()0()n f x 表达动点x 处的函数值．当问题涉及到二阶以上的导数时，通常可考虑用Taylor 公式求解．其中关键在于选取函数()f x 、点0x 、 展开的阶次n ，以及余项的形式．点0x 一般应选在有特点的地方． 如，使某()0()0i f x =的地方等． 一、证明中值公式例1设()f x 在[,]a b 上三次可导．试证：(,)c a b ∃∈，使得31()()()()()()224a b f b f a f b a f c b a +''''=+-+- (1) 证 （待定常数法）设k 为使下式成立之实数2x e -的单调性31()()()()()0224a b f b f a f b a k b a +'-----= (2 ) 则问题归结为证明：(,)c a b ∃∈，使得 ()k f c '''= (3)令31()()()()()()224a x g x f x f a f x a k x a +'=----- (4) 则()()0g a gb ==．()g x 满足Rolle 定理的条件(,)a b ξ∃∈，使得()0g ξ'=．由(4)式得21()()()()()02228a a kf f f a a ξξξξξ++''''-----= (5) 这是关于k 的方程．而()f ξ'在2a ξ+的Taylor 公式21()()()()()022222a a a a f f f f c ξξξξξ++--'''''''=++= (6)其中(,)c a b ∈．比较(5)、 (6)可得()k f c '''=．例2 设()f x 在[,]a b 上有二阶导数．试证：(,)c a b ∃∈，使得3 1()()()()()224baa b f x dx b a f f c b a +''=-+-⎰(1)证I 对函数 ()()xaF x f t dt =⎰利用上例结果,或重复上例的证明过程即得．证II 将函数 ()()xa F x f t dt =⎰在点02a bx +=处按Taylor 公式展开，记2b ah -=，则 23000011()()()()()2!3!F x h F x f x h f x h f h ξ'''+=+++23000011()()()()()2!3!F x h F x f x h f x h f h η'''-=-+-其中,(,)a b ξη∈．00 ()()()baf x dx F x h F x h =+--⎰[]30()()()()()48b a b a f x f f ξη-''''=-++由导数的介值性 (,)c a b ∃∈，使得[]1()()()2f c f f ξη''''''=+．代入上式即得所证结论． 二、证明不等式例3设()f x 在[,]a b 上二次可微，且()0f x ''<．试证：12n a x x x b ∀≤<<<≤ ， 0i k ≥，11nii k==∑，有11()n ni i i i i i f k x k f x ==⎛⎫> ⎪⎝⎭∑∑ 证 取01ni i i x k x ==∑ 将()i f x 在0x x =处展开Taylor 公式200001()()()()()()2i i i i f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+- 000()()()i f x f x x x '≤+- (1,2,,)i n =以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加111()()()()n nniiiiii i i k f x k f x f x k x x ==='<+-∑∑∑而0011()0nniii ii i k x x k x xx x ==-=-=-=∑∑得11()()()nniii ii i k f x f x f k x ==<=∑∑．例4 设()f x 有二阶导数，()1()()()2f x f x h f x h ≤++-． 试证：()0f x ''>．证 x ∀∈ ，由Taylor 公式221()()()()()2f x h f x f x h f x h o h '''±=±++ 两式相加，并除以2h ，有22()()2()()()f x h f x h f x f x h o h ''++-=++22()()0f x h o h ''+≥ 22()()0o h f x h ''+≥ 令0h →，得()0f x ''>．三、导数的中值估计例5 设()f x 二次可微，(0)(1)0f f ==．01max ()2x f x ≤≤=．试证：01min ()16x f x ≤≤''≤-．证 因为()f x 在[0,1]上连续，所以必有最大值、最小值． 又因为(0)(1)0f f ==，01max ()2x f x ≤≤=，所以()f x 的最大值必在(0,1)内部达到．0(0,1)x ∃∈，使得001()max ()2x f x f x ≤≤==．即0()f x 为极大值，由Fermat 定理知0()0f x '=．在0x 处，将(0)f ，(1)f 按Taylor 公式展开 (0,1)ξ∃∈，(0,1)η∃∈，使得2000010(0)()()()()()2f f x f x x f x ξ'''==+-+- 2012()2f x ξ''=+．所以204()f x ξ''=-， 2000010(1)()()(1)()(1)2f f x f x x f x η'''==+-+- 2012()(1)2f x η''=+- 所以204()(1)f x η''=--．{}22010044min ()min (),()min ,(1)x f x f f x x ξη≤≤⎧⎫--''''''≤=⎨⎬-⎩⎭当01[,1]2x ∈时， 222000444min ,16(1)(1)x x x ⎧⎫---=≤-⎨⎬--⎩⎭ 01[0,]2x ∈时， 222000444min ,16(1)x x x ⎧⎫---=≤-⎨⎬-⎩⎭ 于是 01min ()16x f x ≤≤''≤-．类似可证：若()f x 在[0,1]上有二阶导数，(0)(1)0f f ==，01min ()1x f x ≤≤=-，则01max ()8x f x ≤≤''≥，011min ()8x f x ≤≤''≤． 例7若()f x 在[,]a b 上有二阶导数，且()()0f a f b ''==． 试证： (,)a b ξ∃∈，使得24()()()()f f b f a b a ξ''≥--．证I 将()2a bf +分别在,a b 点展开Taylor 公式， 21()()()()()()222!2a b a b a b f f a f a a f a ζ+++'''=+-+-21()()()22b a f a f ζ-''=+ 2a ba ζ+<< (1)同理可得21()()()()222a b b a f f b f η+-''=+ 2a bb η+<< (2) (2)－(1)得 []21()()()()()08f b f a f f b a ηζ''''-++-= []24()()1|()||()||()|()2f b f a f f f b a ηζξ-''''''≤+≤- 其中 , |()||()|, |()||()|f f f f ζζηξηζη''''≥⎧=⎨''''<⎩．证II 若()()f a f b =，问题得证．设()()f a f b <（()()f a f b >类似可证），记2a bc +=．01 若[]1()()()2f c f a f b ≥+，则 []2()()()()f c f a f b f a -≥-21()()()()()222a b b a f c f f a f ζ+-''==++ 2a ba ζ+<< 所以 0()()()()fb f a f b f a <-=-[]22()()()()2b a f c f a f ζ-''≤-= （必有()0f ζ''≥）即 24()()()()f f b f a b a ζ''≥--．02 若[]1()()()2f c f a f b <+，则 []2()()()()f c f b f a f b -<- []2()()()()f c f b f b f a -->-21()()()()()222a b b a f c f f b f η+-''==++ 2a bb η+<< 所以 0()()()()f b f a f b f a <-=-[]22()()()()2b a f c f b f η-''<--=- （必有()0f η''<） 即 24()()()()f f b f a b a η''>--．。
