下载文档原格式
班级小组姓名成绩（满分120）一、生日（一）用简单的方法收集和整理数据（共4小题，每题3分，共计12分）例1.看一看，说一说。
例1.变式1.统计图形的个数。
例1.变式2.先涂色，再回答。
（1）4个同学一共做了（26）朵花。
（2）小明比小丽少做了（3）朵花。
（3）小丽比小刚多做了（5）朵花。
2224645322（4）小红做的花是小明的（2）倍。
（5）你还能提出哪些数学问题？小刚比小明少做了几朵花？例1.变式3.根据班长的选举结果，完成统计图和问题。
一个格子代表一票。
王芳赵刚可能会选王芳.（二）利用加减法等不同的运算来获得数据（共4小题，每题3分，共计12分）例2.做一做。
7×8=5628÷4=79×9=819-9=054-9=456+9=1556÷7=848÷8=652+9=614×9=3660-7=536×6=36例2.变式1.统计上题中的算式，每种计算方法各有几道？在方格里涂上颜色。
40例2.变式2.统计上题中的算式，填一填。
共有（12）道算式，（乘法）算式的数量最多，（减法）算式和（除法）算式一样多。
例2.变式3.根据哪个表格可以确定哪种饮料要多进一些？根据哪个表格可以确定什么季节要多进些饮料？由表一知冰红茶和农夫山泉应多进一些，由表二知7.9月份(夏季)多进一些。
二、栽树苗（一）（三）条形统计图（共4小题，每题3分，共计12分）例3.填一填。
（1）条形统计图能够清楚地表示（各种数量的多少）。
（2）一个格表示多少个单位与所画条形统计图表示的数据有关。
数据大，每格所表示的单位（小）；数据小，每格所表示的单位（大）。
（3）在一幅条形统计图中，用2厘米长的直条表示10厘米，用（6）厘米长的直条表示30厘米。
例3.变式1.小红统计的小区停车场的车辆停放情况如下：（单位：辆）轿车：35电动车：25三轮车：2自行车：40请你根据数据把统计图补充完整吧。
小学数学50经典题型一.解答题(共50题，共296分)1.在生活中，找出三种相关联的量，并写明这三种量在什么情况下成比例关系。
2.一个圆柱形铁皮水桶（无盖），高10dm，底面直径是6dm，做这个水桶大约要用多少铁皮？3.体育场共有12000个座位，举办方决定把门票总数的3%免费送给福利院的孩子们，送出去的门票有多少张？4.王阿姨录一份80页的稿件，第一天录了这份稿件的20%，第二天录了这份稿件的35%。
她两天一共录了多少页？5.修一段路，第一天修了全长的15%，第二天修了960米，还余全长的65%未修，这段路全长多少米？6.如图，有一个圆柱形的零件，高是10cm，底面直径是6cm，零件的一端有一个圆柱形的孔，圆柱形孔的直径是4cm，孔深5cm，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？7.生活中的数学。
下表是小欣家2021年4月份收入和支出的记录。
请根据表中信息，回答下面的问题：（1）小欣家2017年4月份收入多少元？（2）小欣家2017年4月份支出多少元？（3）小欣家2017年4月份在哪方面的支出最多？8.一个圆锥形沙堆，高是6米，底面直径4米。
把这些沙子铺在一个长为5米，宽为2米的长方体的沙坑里，铺的厚度是多少厘米？9.在下图中描点表示表中的数量关系，连接各点你发现了什么？10.一件上衣打八折后的售价是160元，老板说：“如果这件上衣对折就不赚也不亏”。
这件上衣成本是多少元?11.一个圆柱形的粮仓，从里面量得底面直径是3米，装有2.5米高的小麦.如果每立方米小麦重0.7吨，这个粮仓装有多少吨的小麦？12.压路机前轮直径10分米，宽2.5米，前轮转一周，可以压路多少平方米？如果平均每分前进50米，这台压路机每时压路多少平方米？13.我们把李明从家出发，向西走了500米记作走了－500米，那么李明又接着走了＋800米是什么意思？这时李明离家的距离有多远？14.下表是银行定期存款利率。
分类枚举经典讲解和练习题小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。
她想数数有多少钱。
小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。
所以很快就好了。
小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。
这是一种很重要的思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。
下面就让我们一起来看看它的本领吧！例题与方法例1．右图中有多少个三角形？例2．右图中有多少个正方形？例3．在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？例4．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？例5．往返于南京和上海之间的泸宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？例6．小明有面值为3角、5角的邮票各两枚。
他用灾些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？例7．有一种用6位数表示日期的方法。
例如，用940812表示1994年8月12日。
用这种方法表示1991年全年的日期，那么全年中6位数字都不相同的日期共有多少天？练习与思考1．下图中有多少个三角形？（1）（2）2．右图中有多少个长方形？3．用0，1，2，3可组成多少个不同的三位数？4．从北京到南京的特快列车，中途要停靠9个站。
在几种不同标价的车票？5．用3张10元和2张50元一共可以组成多少咱币值（组成的钱数）？6．中、日、韩进行四国足球赛。
每两队踢一场。
按积分排名次，一共踢多少场？7．丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶，红蓝、黑围巾各一条。
冬天，丽丽每天戴一顶帽子、围一条围巾，有几种不同的搭配方式？8．用例7的方法表示1994年的日期，6位数字各不相同的共有多少天？。
例题精讲例题一：从 0 按从小到大的次序连到100，你看到了什么小动物？〖难度〗：3难度9个梯度，1-3为简单4-6为中档7-9为偏难〖考点〗：100 之内数的认识〖剖析〗：题目中要求从0 连到 100，这一点考察了学生对100 之内数的熟记程度；题目还要修业生要按从小到大的次序连，这一点考察了学生能否知道100 之内数的大小关系，而连完以后会看到什么小动物反倒不是题目的考察要点，知识利用了学生的好奇心来提升学生的做题兴趣。
〖详解〗：第一找出图中全部的数字为：0 5 10 20 15 25 30 35 40 45 95 10055 50 65 60 90 85 80 75 70；而后再从小到大摆列：0 5 10 15 20 25 30 35 40 4550 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100；而后再挨次在图中连结。
〖答案〗：小狗〖贯通融会〗：送小动物上火车。
分析：“10 个十”既考察学生的整十的加法，又考察了学生关于一百的大小写的认识，10 个十 =一百；四十七前面的一个数=四十六；七十二前面的第三个数=72-3=69；七十九后边第 5 个数 =79+5=84。
例题二：1.小明拿着 20 元钱，可能买了哪些东西？花了多少钱？（每件商品只有一个）2.找回多少钱？〖难度〗：4难度9个梯度，1-3为简单4-6 为中档7-9 为偏难〖考点〗：题的第一问考察学生100 之内数的大小判断、相关钱的计算和两位数和一位数或许两位数的加法；第二问是在第一问的基础长进行考察，考察学生对100 之内的数的减法的掌握程度。
〖剖析〗：小明手中有 20 元钱，21 元的汽车比 20 元要贵； 18 元的洋娃娃比 20 元少 2元，能够购置，可是货架上没有 2 元或许比两元少的商品，因此只好买一个商品；13元的玩具熊比20 元少 7 元，因此在能够购置玩具熊的同时，能够购置等于或许少于7元的商品，因此 7 元的相框和13 元的玩具熊恰好凑够 20 元，或许 5 元的皮球和 13 元的玩具熊能够一同购置，这是还剩 2 元，不可以再购置其余的商品； 7 元的相框和 5 元的玩具熊加一同是 12 元，比20 元少 8 元，而剩下的8 元不可以再购置其余的商品。
小学数学50经典题型一.解答题(共50题, 共283分)1.某地12月18日的最低气温是－7℃, 最高气温是5℃, 这一天的最高气温与最低气温相差多少？2.六年级有200名同学, 本学期的体育成绩如下图。
（1）不合格的人数占全年级总人数的百分之几?（2）各个等级的人数分别是多少?3.求圆柱体的表面积和体积。
4.在打谷场上, 有一个近似于圆锥的小麦堆, 高1.2米, 测得底面直径是4米, 每立方米小麦约重350千克, 这堆小麦大约有多少千克？5.蔬菜基地今年生产了2.4万吨蔬菜, 比去年增产了二成, 去年这个蔬菜基地的产量是多少万吨？6.解答题。
（1）一台冰箱, 打八折比打九折少花320元, 这台冰箱原价多少元？（2）一种洗衣机加价二成五后售价为980元, 这种商品的进价是多少元？7.幼儿园买回240个苹果, 按照大、中、小三个幼儿班的人数分配给各个班。
大班有28人, 中班有25人, 小班有27人。
三个班各应分多少个苹果？8.2019年12月2日, 中俄两国东线天然气管道正式投产通气, 给我国人民生活带来极大的方便。
俄罗斯境内管道全长约3000km, 中国境内新建管道3371km, 利用已建管道1740km。
中国新建管道比俄罗斯境内管道全长多百分之几？9.在一个底面半径为10厘米的圆柱形杯里装满水, 水里放了一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤, 当铅锤从水中完全取出后, 杯里的水面下降了0.5厘米, 这个铅锤的体积是多少？10.新华书店打折出售图书, 张老师用340元买了一套《中国四大名著》, 而原价是400元。
这套《中国四大名著》打了几折?11.小明在银行存入700元, 记作＋700, 如果小明的账户余额从2000变成2500, 那么应该记作?12.修路队修一条路, 八月份修了4800米, 九月份修了全长的/, 这两个月一共修了全长的60%, 这条路全长多少米？13.一件西服原价180元, 现在的价格比原来增加了10％ , 现在的价格是多少元？14.修建一个圆柱形的沼气池, 底面直径是3米, 深2米.在池子的四壁和下底面抹上水泥, 抹水泥的面积是多少平方米？15.哈尔滨的气温的－30℃, 北京的气温比哈尔滨高19℃, 请问北京的气温是多少度?16.解答题。
三年级数学数的认识练习题及讲解数学是一门抽象而又实用的学科，在现代社会中有着广泛的应用。
对于三年级的学生来说，数的认识是数学学习的基础，也是后续学习的重要内容。
为了帮助三年级学生更好地理解和掌握数的认识，下面给出一些练习题及其详细的讲解。
一、数的认识练习题1. 将下列数字按从小到大的顺序排列：8、3、9、5、1。
2. 将下列数字按从大到小的顺序排列：12、7、16、9、14。
3. 将图形中的数量与对应的数字进行匹配：(图形1) (图形2) (图形3)[ ] [ ] [ ]a) 五 b) 四 c) 六4. 在给出的数轴上，标出下列数字的位置：2、-4、0、6。
5. 按照数字的大小关系，填写下列表格：| 数字 | 顺序 ||------|------|| 5 | || 9 | || 1 | || 7 | |二、数的认识讲解1. 数的大小比较数字的大小可以通过比较来确定。
在题目1和2中，我们需要将一组数字按照从小到大或从大到小的顺序进行排列。
当数字越大，其在排列中的位置越靠后；当数字越小，其在排列中的位置越靠前。
2. 数的数量与图形的对应在题目3中，我们需要将图形和对应的数字进行匹配。
这个练习可以帮助学生发展空间思维和数的数量概念。
通过观察图形中的元素数量，学生能够理解每个数字所代表的具体数量。
3. 数的位置与数轴数轴可以帮助我们表示数字的相对位置。
在题目4中，我们需要将给定数字标在数轴上。
这样做有助于学生形象地认识数字之间的大小关系，并且加深他们对数轴的理解。
4. 数的顺序填空在题目5中，学生需要按照数字的大小关系填写表格。
通过这个练习，可以让学生直观地比较数字的大小，并掌握数字的顺序。
通过以上的练习题及讲解，学生可以巩固和提高数的认识能力。
在实际教学中，还可以结合游戏、实物等教具，引导学生在实践中巩固数的认识。
希望三年级的学生们通过练习和讲解，能够更好地掌握数的认识，为今后的数学学习打下坚实的基础。
（2021.12.12,私密整理）小学数学30种典型应用题分类讲解附带例小学数学30种典型应用题讲解应用题可分为一般应用题与典型应用题。
没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。
题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题.以下主要研究41类典型应用题： 1、近似值与估算问题 2、整除问题 3、余数、周期问题 4、空瓶子换水问题 5、还原问题 6、合理安排问题 7、最不利原则 8、逻辑问题9、奇偶性问题 10、孙子问题及约束 11、棋盘的覆盖 12、归一问题 13、归总问题 14、和差问题 15、和倍问题 16、差倍问题 17、倍比问题 18、相遇问题 19、追及问题 20、植树问题 21、年龄问题 22、行船问题 23、列车问题 24、时钟问题 25、盈亏问题 26、工程问题 27、正反比例问题 28、按比例分配 29、百分数问题 30、“牛吃草”问题 31、鸡兔同笼问题 32、方阵问题 33、商品利润问题 34、存款利率问题 35、溶液浓度问题36、构图布数问题 37、幻方问题 38、抽屉原则问题 39、公约公倍问题 40、最值问题41、列方程问题 1. ★近似值与估算问题在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。
但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。
例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。
又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。
用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。
要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有：1（1）四舍五入法。
四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。
统计案例分析及典型例题(共34页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-统计案例分析及典型例题§抽样方法基础自测1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，总体的一个样本是 .答案 200个零件的长度2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 .答案①②③3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 .答案3，9，184.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，那么此样本的容量n= .答案80例1某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.解抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.随机数表法：第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18)第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读；第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09.第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解 （1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k=100001=100将总体均分为10段，每段含100个工人.（5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l.（6）按编号将l ，100+l ，200+l,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本. 例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法并写出具体过程.解 应采取分层抽样的方法.3分 过程如下：（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.5分（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×153=60（人）；300×152=40（人）； 300×155=100（人）；300×152=40（人）； 300×153=60（人），10分因此各乡镇抽取人数分别为60人，40人，100人，40人，60人. 12分 （3）将300人组到一起即得到一个样本.14分练习：一、填空题1.（安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 .答案15，10，202.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为 .答案系统抽样，简单随机抽样3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（填序号）.①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样答案③4.（2013·重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 .答案分层抽样法5.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是（填序号）.①高一学生被抽到的概率最大②高三学生被抽到的概率最大③高三学生被抽到的概率最小④每名学生被抽到的概率相等答案①②③6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 .答案67.（天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人. 答案 108.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 . 答案 07959.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取 解 用分层抽样抽取. （1）∵20∶100=1∶5， ∴510=2，570=14，520=4∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数表法抽取14人.（3）将2人、4人、14人编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.10.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.解 总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为n36，分层抽样的比例是36n ,抽取工程师36n ×6=6n （人），抽取技术人员36n ×12=3n (人），抽取技工36n ×18=2n （人）.所以n 应是6的倍数，36的约数即n=6,12,18,36.当样本容量为（n+1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为135+n ，因为135+n 必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.总体分布的估计与总体特征数的估计1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为，则该组的频数为 . 答案 52.（2008·山东理）右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 . 答案3.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m,该组在频率分布直方图的高为h ，则|a-b|= . 答案 hm4.（2008·山东文，9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 .分数 5 4 3 2 1 人数2010303010答案 51025.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为岁～18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在［，）的学生人数是 . 答案 40典型例题：基础自测例1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交 作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题： （1）本次活动共有多少件作品参加评比 （2）哪组上交的作品数量最多有多少件（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高 解 （1）第三组的频率为1464324+++++=51又因为第三组的频数为12，∴参评作品数为5112=60.（2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95，第六组上交的作品数量为60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高.例4（14分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别 记录抽查数据如下： 甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99；乙：110， 115， 90， 85，75，115， 110.（1）这种抽样方法是哪一种 （2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解 （1）因为间隔时间相同，故是系统抽样.2分（2）茎叶图如下：5分（3）甲车间： 平均值：1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100，7分方差：s 12=71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈ 6.9分乙车间：平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100，11分方差：s 22=71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈ 4. 13分 ∵1x =2x ，s 12＜s 22,∴甲车间产品稳定.14分练习：1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是，，，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内 解 （1）第四小组的频率=1-++=. (2)设参加这次测试的学生人数是n, 则有n=第一小组频率第一小组频数=5÷=50（人）.（3）因为×50=5,×50=15,×50=20,×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.练习：一、填空题1.下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 .①直方图的高表示取某数的频率②直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率③直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值④直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案①②③2.甲、乙两名新兵在同样条件下进行射击练习，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则这两人的射击成绩比稳定.答案甲乙4.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组：右图是得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 .答案, 356.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则x甲x乙，比稳定.答案＜乙甲7.（上海，9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12,,,20,且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是 .答案、二、解答题10.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少样本容量是多少（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少 （3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内请说明理由.解 （1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：391517424+++++=.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数=08.012=150. （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为39151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.线性回归方程1.下列关系中，是相关关系的为 （填序号）. ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①②2.为了考察两个变量x 、y 之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两人的试验中发现变量x 的观测数据的平均值恰好基础自测相等，都为s,变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法中正确的是（填序号）.①直线l1,l2有交点（s,t)②直线l1,l2相交，但是交点未必是(s,t)③直线l1,l2由于斜率相等，所以必定平行④直线l1,l2必定重合答案①3.下列有关线性回归的说法，正确的是（填序号）.①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程答案①②③4.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=bˆx+aˆ及回归系数bˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势.其中正确命题的序号是 .答案①②③5.已知回归方程为yˆ=则x=25时，yˆ的估计值为 .答案例1下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15 20 25 30 35 40 45水稻产量320 330 360 410 460 470 480（1）将上述数据制成散点图；（2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗解（1）散点图如下：（2）从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化 肥施用量的增加而增长.例2 （14分）随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i （收入）千元y i （支出）千元（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关 （2）若二者线性相关，求回归直线方程. 解 （1）作出散点图：5分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系.7分 （2）x =101 +++++++++=,y=101（+++++++++）=，9分bˆ=∑∑==-•-ni ini i i x n xyx n y x 1221≈ 6，aˆ= 6≈ 3， 13分∴回归方程yˆ= 6x+ 3.14分例3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据.x 3 4 5 6 y34（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 （参考数值：3×+4×3+5×4+6×= 解 （1）散点图如下图:（2）x =46543+++=,y =45.4435.2+++=∑=41i ii yx =3×+4×3+4×5+6×=.∑=412i i x =32+42+52+62=86∴bˆ=24124144x x yx yx i i i ii -•-∑∑===25.44865.45.345.66⨯-⨯⨯-=aˆ =y -bˆx =所求的线性回归方程为y ˆ=+.（3）现在生产100吨甲产品用煤 y=×100+=， ∴降低=(吨)标准煤.1.科研人员为了全面掌握棉花新品种的生产情况，查看了气象局对该地区年降雨量与年平均气温的统计数据（单位分别是mm,℃)，并作了统计.年平均气温 年降雨量748542507813574701432（1）试画出散点图；（2）判断两个变量是否具有相关关系. 解 （1）作出散点图如图所示，(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系.2.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度(x) 0 10 20 50 70 溶解度（y)由资料看y 与x 呈线性相关，试求回归方程. 解 x =30,y =50.1283.1120.850.767.66++++=.bˆ=25125155x xyx yx i ii ii -•-∑∑==≈ 9.aˆ=y -bˆx = 9×30=.∴回归方程为yˆ= 9x+.3.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份 产量（千件）单位成本（元）1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6568（1）求出线性回归方程；（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少 （3）假定产量为6 000件时，单位成本为多少元 解 （1）n=6，∑=61i i x =21，∑=61i i y =426，x =,y =71,∑=612i i x =79，∑=61i i i y x =1 481，bˆ=26126166x xyx yx i ii ii -•-∑∑===25.3679715.364811⨯-⨯⨯-=.aˆ=y -bˆx =71+×=. 回归方程为yˆ=a ˆ+b ˆx=（2）因为单位成本平均变动b ˆ=＜0,且产量x 的计量单位是千件,所以根据回归系数b 的意义有:产量每增加一个单位即1 000件时,单位成本平均减少元. (3)当产量为6 000件时,即x=6,代入回归方程:yˆ=（元） 当产量为6 000件时，单位成本为元.一、填空题1.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .答案 a,c,b2.回归方程yˆ=,则下列说法正确的有 个. ①y =x②15是回归系数a ③是回归系数a ④x=10时，y=0 答案 13.（2009.湛江模拟）某地区调查了2～9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)与年龄x(岁)的回归模型为yˆ=+,下列叙述正确的是 . ①该地区一个10岁儿童的身高为 cm ②该地区2～9岁的儿童每年身高约增加 cm ③该地区9岁儿童的平均身高是 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个2～9岁儿童的身高 答案 ②4.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .答案 yˆ=+ 5.某人对一地区人均工资x(千元）与该地区人均消费y(千元）进行统计调查，y 与x 有相关关系，得到回归直线方程yˆ=+.若该地区的人均消费水平为千元，估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为 . 答案 83%6.某化工厂为预测产品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取8对观测值,计算,得∑=81i i x =52, ∑=81i i y =228, ∑=812i i x =478, ∑=81i i i y x =1 849,则其线性回归方程为 .答案 yˆ=+7.有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.其中，具有相关关系的是 .答案①③④8.已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元），有如下统计资料：使用年限23456x维修费用y若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程yˆ=bˆx+aˆ表示的直线一定过定点 .答案（4，5）二、解答题9.期中考试结束后，记录了5名同学的数学和物理成绩，如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系吗（2）请你画出两科成绩的散点图，结合散点图，认识（1）的结论的特点.解（1）数学成绩和物理成绩具有相关关系.（2）以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如下：由散点图可以看出，物理成绩和数学成绩对应的点不分散，大致分布在一条直线附近.10.以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积x（m2)11511080135105销售价格y(万元）22（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线. 解 （1）数据对应的散点图如图所示：（2）x =109,y =,∑=512i i x =60 975,∑=51i iiy x=12 952,bˆ=25125155x xyx yx i ii ii -•-∑∑==≈ 2aˆ=y -bˆx ≈ 2 ∴所求回归直线方程为yˆ= 2x+ 2. 11.某公司利润y 与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：x 10 15 17 20 25 28 32 y12（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润. 解 （1）散点图如图所示：（2)x =71(10+15+17+20+25+28+32)=21,y=71(1+++2+++=,∑=712i i x =102+152+172+202+252+282+322=3 447,∑=71i iiy x=10×1+15×+17×+20×2+25×+28×+32×=,bˆ=27127177x x yx yx i i i ii -•-∑∑===221744731.22173.346⨯-⨯⨯-≈, aˆ=y -bˆx =y ˆ把x=24(千万元）代入方程得， yˆ=（千万元）. ∴估计销售总额为24千万元时，利润为千万元.12.某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:x 2 4 5 6 8 y3040605070（1）画出散点图； （2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大 解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i3040605070x i y i60 160 300 300 560因此，x =525=5,y =5250 =50,∑=512i i x =145, ∑=512i i y =13 500, ∑=51i i i y x =1 380.于是可得：bˆ=25125155x xyx yx i ii ii -•-∑∑===55514550553801⨯⨯-⨯⨯-=;aˆ=y -bˆx =×5=. 因此，所求回归直线方程为：yˆ=+. （3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，yˆ=×10+=(百万元)，即这种产品的销售收入大约为百万元.§ 统计案例1.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程yˆ=a ˆ+b ˆx 中，回归系数b ˆ与0的大小关系为 .（填序号） ①大于或小于②大于③小于④不小于答案 ①2.如果有90%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据χ2 .(用“＞”,“＜”,“=”填空) 答案 ＞3.对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是 .基础自测①模型Ⅰ的相关系数r 为 ②模型Ⅱ的相关系数r 为 ③模型Ⅲ的相关系数r 为 ④模型Ⅳ的相关系数r 为 答案 ①4.下列说法中正确的有：①若r ＞0，则x 增大时，y 也相应增大；②若r ＜0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r=1或r=-1，则x 与y 的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个点均在一条直线上 . 答案 ①③例1 （14分）调查339名50岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情况，获数据如下：患慢性气管炎未患慢性气管炎 总计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计56283339试问：（1）吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关 （2）用假设检验的思想给予证明. （1）解 根据列联表的数据，得到χ2=))()()(()(2c d b d c a b a bc ad n ++++-2分=13428356205)1316212143(3392⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=＞6分 所以有99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”.9分（2）证明 假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系”，由于事件A={χ2≥}≈，即A 为小概率事件，而小概率事件发生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约有1%.14分例2 一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有 缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内 解 （1）x =,y =,∑=41i iiy x=438，4x y =，∑=412i i x =660，∑=412i i y =291，所以r=)4)(4(42412241241y yx xyx yx i ii ii ii --•-∑∑∑====)25.272291()625660(5.412438-⨯--=25.6565.25≈62.2550.25≈ 4.因为r ＞,所以y 与x 有很强的线性相关关系.（2）yˆ= 1. （3）要使yˆ≤⇒ 1≤10, 所以x ≤ 3.所以机器的转速应控制在 3转/秒以下.例3 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数,y 表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归方程.使用年数x12345678910年均价格y（美元）2651194314941087765538484290226204解作出散点图如图所示.可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y与x之间应是非线性相关关系.与已学函数图象比较，用yˆ=e a x bˆˆ 来刻画题中模型更为合理，令zˆ=ln yˆ，则zˆ=bˆx+aˆ，题中数据变成如下表所示：x 12345678910z相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合.由表中数据可得r≈.|r|＞.认为x与z之间具有线性相关关系，由表中数据得bˆ≈,aˆ≈,所以zˆ=+,最后回代zˆ=ln yˆ,即yˆ=+为所求.1.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工合计（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系说明理由.解 （1）随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18+6=24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P 1=5024=2512，又因为不太主动 参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P 2=5019.（2）由2χ统计量的计算公式得2χ=25252624)761918(502⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈，由于＞，所以可以有%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”.2.某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y （元）与该周每天销售这种服装的件数x 之间的一组数据如下：已知∑=712i i x =280, ∑=712i i y =45 309, ∑=71i i i y x =3 487,此时=.（1）求x ,y ;（2）判断一周内获纯利润y 与该周每天销售件数x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出回归直线方程.解 （1）x =71(3+4+5+6+7+8+9)=6,y=71 (66+69+73+81+89+90+91)≈.(2)根据已知∑=712i i x =280, ∑=712i i y =45 309, ∑=71i i i y x =3 487,得相关系数。
