数学分析选讲

• 数学分析的起源可以追溯到古希腊时期 • 17世纪，牛顿和莱布尼茨创立了微积分 • 19世纪，柯西等人建立了现代数学分析的基础
数学分析与其他数学分支的关系
数学分析与代数的关系
• 代数是数学分析的基础，数学分析 中的许多概念和定理都依赖于代数 • 数学分析中的许多方法也可以用于 解决代数问题
数学分析与几何的关系
数学分析在工程中的 应用
• 数学分析在工程中的应用 • 数学分析可以用于解决工程中的许多问题，如结构设计、系统 控制、信号处理等 • 数学分析在工程中的应用包括材料力学、结构力学、控制理论 等
数06学分析的发展趋势与展
望
数学分析的理论研究发展趋势
• 数学分析的理论研究发展趋势 • 数学分析的理论研究发展趋势包括非线性分析、概率论与数理 统计等 • 数学分析的理论研究发展趋势可以用于解决实际问题中的许多 问题，如复杂性科学、大数据分析等
• 微分方程的求解方法包括分离变量法、积分变换法等 • 微分方程的求解方法可以用于解决数学分析中的许多问 题，如运动学、动力学等
04
数学分析的经典定理
数列与级数的收敛性定理
数列的收敛性定理
• 数列的收敛性定理包括夹逼定理、单调有界定理等 • 数列的收敛性定理可以用于判断数列的收敛性、绝对收敛性和条件收敛性
极限方法的应用
• 极限方法可以用于求解函数的连续、可导和可积等性质 • 极限方法可以用于证明数学分析中的许多重要定理，如极限存在定理、夹逼定理等
微积分方法及其在数学分析中的应用
微分的定义和性质
• 微分是数学分析的基本概念，表示函数在某一点处的变化率 • 微分具有线性、局部性和可加性等性质
微积分方法的应用
• 连续函数的判定定理包括直接法、介值定理等 • 连续函数的判定定理可以用于判断函数的连续性

数学分析选讲教案教案-数学分析选讲一、教学目标1.了解数学分析选讲的内容和意义；2.掌握数学分析选讲中具体的知识点和方法；3.培养学生对数学问题的分析和解决能力。

二、教学内容1.极限与连续2.导数与微分3.积分与不定积分4.一元函数的级数展开5.二重积分与曲线积分三、教学过程1.首先介绍数学分析选讲的意义和重要性，引导学生对该学科的兴趣和学习动力。

2.然后分别介绍每个知识点的基本概念和定义，并通过一些具体的例子进行说明。

比如，对于极限与连续，可以通过函数在其中一点处的极限和函数的连续性来说明。

3.接着，讲解每个知识点的具体计算方法和应用。

比如，对于导数与微分，可以讲解导数的定义和性质，并介绍如何求导和微分的计算方法。

同时，通过一些实际问题的应用，如求速度、加速度等问题，来说明导数与微分的应用。

4.在讲解知识点的同时，可以穿插一些习题的讲解和训练，以检测学生对知识点的掌握情况，并培养学生的解题能力。

5.最后，总结每个知识点的要点和注意事项，并给出一些练习题供学生进行巩固和深化。

四、教学方法1.以讲授和演示为主，结合习题训练和实例分析，培养学生的数学分析思维和解题能力。

2.采用逐步推导和详细解释的方法，使学生更好地理解和掌握每个知识点。

3.灵活运用多种教学手段和教学资源，如课堂讨论、实验演示等，提高学生的主动参与和探索能力。

五、教学评价1.基于每个知识点的习题和问题进行评价，考察学生对知识点的掌握情况和解决问题的能力。

2.引导学生对学习过程进行自我评价和反思，发现自己的不足和提高的方法。

3.结合考试、小测验和作业等方式，全面评价学生的数学分析水平和综合能力。

六、教学反思1.整个教案的设计要简洁明了，符合学生的认知特点，避免内容过于冗杂和抽象，能够引起学生的学习兴趣和主动参与。

2.在教学过程中，要注意与学生的互动和沟通，帮助他们理解和解决问题，培养他们的逻辑思维和数学思维能力。

3.针对每个知识点的讲解，要重点讲解基本概念和计算方法，并给出一些典型的例子和习题，帮助学生加深对知识点的理解和掌握。

数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。

数学分析方法选讲
数学分析是现代数学的一个重要分支，它涉及到无穷序列、极限理论、微积分等基本概念和方法。

下面是关于数学分析方法选讲的一些内容：
1.微积分：微积分是数学分析的基础，它涉及到导数、积分、微分方程等许多重要的概念和方法。

微积分的应用非常广泛，例如在物理、工程、经济学等各个领域都有应用。

2.点集拓扑：点集拓扑是现代分析中的一门重要学科，它研究的是空间和集合的性质及其变化规律。

点集拓扑主要研究空间的连续性、紧致性、度量空间等概念和其相关定理，以及连续映射和同胚等映射的性质。

3.函数分析：函数分析是数学分析中一个重要的分支，它主要研究无限维空间中的函数和算子。

函数分析不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机等学科中也有重要的应用。

4.常微分方程：常微分方程是微积分的一个重要分支，它主要研究描述物体运动、力学、电路等过程中变化率的方程。

常微分方程中的基本概念包括初值问题、线性化、自由振动等，常微分方程的应用非常广泛。

5.偏微分方程：偏微分方程是微积分的另一个重要分支，它主要研究描述变量连续变化的方程。

偏微分方程经常被用于描述和解决物理、工程、流体力学等复杂
问题。

以上是数学分析方法选讲的一些内容，需要对这些基础知识进行系统学习和掌握。

《数学分析方法选讲》讲义第一章介绍了数学分析的基本概念和思想。

首先介绍了实数和实数集，包括实数的有序性、稠密性和连续性等性质。

接着介绍了数列和数列极限的概念，包括数列的单调性、有界性和收敛性等重要性质。

最后介绍了函数和函数极限的概念，包括函数的连续性、极限存在性和极限唯一性等重要性质。

第二章介绍了函数的导数和微分的概念。

首先介绍了导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算、导数的求法和导数的计算等。

接着介绍了微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的计算和微分的应用等。

最后介绍了高阶导数和高阶微分的概念，包括高阶导数和高阶微分的计算和应用等。

第三章介绍了函数的积分和不定积分的概念。

首先介绍了不定积分的定义和性质，包括不定积分的基本性质、不定积分的计算和不定积分的应用等。

接着介绍了定积分的定义和性质，包括定积分的几何意义、定积分的计算和定积分的应用等。

最后介绍了变限积分和变限积分的计算和应用等。

第四章介绍了无穷级数和幂级数的概念。

首先介绍了收敛级数和发散级数的概念，包括级数的收敛性和级数的发散性等性质。

接着介绍了正项级数和交错级数的概念，包括正项级数的比较判别法和交错级数的莱布尼茨判别法等。

最后介绍了幂级数的概念和性质，包括幂级数的收敛区间和收敛半径等重要性质。

第五章介绍了微分方程和常微分方程的概念和基本方法。

首先介绍了微分方程的基本概念和分类，包括微分方程的定义、微分方程的阶数和微分方程的解等。

接着介绍了常微分方程的基本解法，包括一阶线性微分方程的解法、二阶常系数线性齐次微分方程的解法和二阶常系数线性非齐次微分方程的解法等。

最后介绍了常微分方程的应用，包括生物学、物理学和工程学等领域中的应用。

《数学分析方法选讲》讲义全面而详尽地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法，对于学生理解和掌握数学分析的基本原理和基本技巧具有重要的指导作用。

读者通过学习这本讲义，将能够加深对数学分析的理解，提高解题能力，为进一步学习和研究数学奠定坚实的基础。

数学分析选讲___本文旨在介绍数学分析选讲___的目的和重要性，以及本大纲的结构和组织方式。

数学分析选讲___是一门旨在深入探讨数学分析领域的课程，由___教授精心编写和讲授。

该课程旨在帮助学生深入理解数学分析的基本概念和原理，提高数学分析的解题能力和证明能力。

本大纲将按照以下结构和组织方式进行展开：第一部分：数学分析选讲___的目的和重要性介绍数学分析在数学学科中的重要地位和应用领域解释数学分析选讲___的目标和意义强调研究数学分析的好处和优势第二部分：数学分析选讲___的内容和主题概述数学分析的基本概念和理论探讨数学分析的常见问题和应用案例分析数学分析在实际问题中的应用第三部分：数学分析选讲___的教学方法和评估方式介绍___教授的教学方法和教学理念探讨数学分析选讲的教学评估方式和要求提供研究数学分析的研究资源和参考资料通过研究数学分析选讲___，学生将能够更好地理解和应用数学分析的基本原理和方法，提升数学分析的解题能力和证明能力，为进一步深入研究数学分析打下坚实的基础。

本课程为数学分析选讲___的概述，旨在介绍课程的内容和重点，以及涵盖的主题和技能。

课程内容包括但不限于以下主题：极限与连续性导数与微分积分与积分学基本定理级数与级数收敛通过研究该课程，学生将能够掌握以下技能：理解数学分析的基本概念和原理应用极限、导数、积分等概念解决实际问题分析级数的性质和收敛性提升数学推理和解决问题的能力该课程对于数学分析的初学者和对数学分析感兴趣的学生都是一个很好的选择，希望能够为学生提供扎实的数学基础和思维训练。

本课程将采用多种教学方法，以帮助学生更好地理解数学分析的核心概念和技巧。

以下是教师将采用的教学方法：讲授: 教师将通过讲解数学分析的重要理论和定理，以及解决相关问题的方法和技巧，向学生传授知识。

讨论: 学生将有机会参与课堂讨论，提出问题和分享自己的见解。

通过与教师和其他同学的讨论，学生可以深入理解数学分析的各个方面。

[ 求极限 lim
π 2
n→∞
π sin π sin 2n sin π n + + ··· + . (北京大学, 1999) 1 1 n+1 n+ 2 n+ n
]
答案提示: = 思考 1.4
2 n 1 + ··· + 2 ; = 2 2 n→∞ (n + n + 1 n +n+2 n +) n+n 2 1 1 1 (2) 求极限 lim √ −√ − ··· − √ ; = −1 2 2 2 n→∞ n −1 n −2 n −n (1) 求极限 lim +
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数 学 分 析 方 法 选 讲 (李 松 华 )
湖南理工学院
第一章 极 限
第一章 极 限
§1.1 数列极限
一、内容提要
1. 与数列极限有关的定义（共8个）
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
lim xn = a ⇔ ∀ε > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn − a| < ε成立. lim xn ̸= a ⇔ ∃ε0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 − a| ≥ ε0 成立. lim xn = ∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有|xn | > K 成立. lim xn = +∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn > K 成立. lim xn = −∞ ⇔ ∀K > 0，∃N ∈ N，∀n > N ，有xn < −K 成立. lim xn ̸= ∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有|xn0 | ≤ K0 成立. lim xn ̸= +∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≤ K0 成立. lim xn ̸= −∞ ⇔ ∃K0 > 0，∀N ∈ N，∃n0 > N ，有xn0 ≥ −K0 成立.

2聚点与聚点定理
是 的聚点，
聚点是对数集而言，极限是对数列而言。聚点不一定是极限点，极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。
， 不是 的聚点，但数列有极限。
有聚点但不是没有极限点
20m
第3页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
聚点的等价定义： 是 的聚点，以下三个定义等价：
I 含有 的无穷多个点
而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，，反之亦然。
若函数 在 上有定义恒取正值，
= 则 在[a, b]上必有正的下界。
重点与难点
重点：函数的性质和实数理论。
难点：实数理论
教学方法
手段（教具）
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
参考资料
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题
2006年高等数学考试测试题
课后作业与
思考题
作业1.2.3.4.5.6
思考题：六个实数完备性定理的相互证明。
教学后记
讲稿部分
教学过程
时间分配
20m
第4页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
并记 显然 再由
这与 为 的唯一最值点矛盾。
4．多种方法证明
设函数 在 上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明
在 上有界
1． ：（致密性定理）反证，若 在 上无界，存在 ，可找出 ， 有界，必有收敛的子列
时 在 上无界。
小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。

数学分析选讲
数学分析是一门重要的数学学科，在科学研究、工程设计、商业应用等各个领域都有着深远的影响。

数学分析的核心在于对实数、复数的认识，以及对函数的理解与分析。

在数学分析中，有很多有趣的知识，值得我们深入学习。

以下是关于数学分析选讲的介绍：
一、函数分析
函数分析是数学分析中最基础、最重要的知识，它涉及函数的概念、性质、解法，广泛应用于各种科学领域。

函数分析的具体内容包括：函数定义、函数增减性、函数的导数、极限、微分、积分、曲线的拐点及分类等。

二、线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵及其变换的数学学科，它是复杂问题分析的基础，具有重要的应用价值。

线性代数的内容包括：矩阵的运算、线性方程组的解法、向量空间及其子空间、矩阵特征值等。

三、微积分
微积分是探索连续变化与瞬时变化规律的数学理论，是数学分析的重要内容。

微积分的内容涉及微分、积分、微分方程以及各种解析和数值计算的方法。

四、概率论
概率论是研究不确定性随机事件、概率变量等概念及其运算的数学理论。

概率论的内容包括：随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、概率分布、条件概率等。

以上就是关于数学分析选讲的介绍。

通过数学分析，我们可以更好地掌握数学知识，运用数学原理解决复杂问题，从而为我们日常生活、科学研究、工程设计等提供有力的帮助。

数学分析选讲课程教学标准（合集5篇）第一篇：数学分析选讲课程教学标准《数学分析选讲》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。

本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。

这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，19992、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章一元函数的极限复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。

通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。

本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：§1.1数列极限和无穷大量§1.2函数极限§1.3数列的上、下极限第二章实数的基本定理及函数的连续性对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。

数学分析专题选讲教案目录第一专题极限理论中的若干基本方法教案1(数学分析专题选讲教案1-1) (1)教案2(数学分析专题选讲教案1-2) (8)教案3(数学分析专题选讲教案1-3) (16)教案4(数学分析专题选讲教案1-4) (25)第二专题函数连续性中的若干基本方法教案5(数学分析专题选讲教案2-1) (32)教案6(数学分析专题选讲教案2-2) (44)第三专题微分中值定理中的若干基本方法教案7(数学分析专题选讲教案3-1) (51)教案8(数学分析专题选讲教案3-2) (58)教案9(数学分析专题选讲教案3-3) (65)教案10(数学分析专题选讲教案3-4) (69)第四专题定积分中的若干基本方法教案11(数学分析专题选讲教案4-1) (77)教案12(数学分析专题选讲教案4-2) (88)教案13(数学分析专题选讲教案4-3) (95)教案14(数学分析专题选讲教案4-4) (103)第五专题无穷级数与无穷积分中的若干基本方法教案15(数学分析专题选讲教案5-1) (111)教案16(数学分析专题选讲教案5-2) (119)教案17(数学分析专题选讲教案5-3) (126)第六专题多元函数微分学中的若干基本方法教案18(数学分析专题选讲教案6-1) (131)教案19(数学分析专题选讲教案6-2) (141)教案20(数学分析专题选讲教案6-3) (148)第七专题函数级数与含参变量无穷积分中的若干基本方法教案21(数学分析专题选讲教案7-1) (156)教案22(数学分析专题选讲教案7-2) (162)教案23(数学分析专题选讲教案7-3) (169)教案24(数学分析专题选讲教案7-4) (177)第八专题多元函数积分学中的若干基本方法教案25(数学分析专题选讲教案8-1)……………………………………185. 教案26(数学分析专题选讲教案8-2)……………………………………195. 教案27(数学分析专题选讲教案8-3)……………………………………205. 教案28(数学分析专题选讲教案8-4)……………………………………217. 教案29(数学分析专题选讲教案8-5)……………………………………225.附件:1.数学分析专题选讲课程简介 (231)2.数学分析专题选讲课程教学大纲 (232)3.数学分析专题选讲课程考试大纲 (238)。

习题2—11、若自然数n是无理数。

(),,,pp q N p qq=∈且互质，于是2222nq pp nq p pp nq=⇒=⇒而(),p q互质，故p不整除q⇒p整除n，记()nn ps s N ps+=∈⇒=，故()2222nnq n qss=⇒=，即n为完全平方数，矛盾。

假设不成立。

2、设,a b是两个不同的实数，证明,a b之间一定存在有理数。

证明：不妨设a b<，则存在m N+∈，使得()111m m b a mb mab a>⇒->⇒>+-又因为存在整数n，使得1n ma n-≤<由1,,1ma n ma nma n mb a b m N n Zma mb m+<≤+⎧⇒<<⇒<<∈∈⎨+<⎩，nm是有理数。

3、设x为无理数，证明存在无穷多个有理数(),,0pp q Z qq∈>，使得21pxq q-<，证明：假设只有n个有理数满足21pxq q-<，设为12,,na a a⋅⋅⋅其中()1,2ia i n=⋅⋅⋅为有理数，且12,na a a<<⋅⋅⋅<对于区间()1,i ia a-显然112i ii ia aa a--+<<，而12i ia a-+为有理数，且11222112i ii na ax a a a a xq q-+-<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<<+12i ia a-+满足要求，故假设不成立。

习题2—21、求下列数集的上，下确界()111n⎧⎫-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为0（达到）()121nn N n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭上确界为e （不达到），下确界为2（达到） ()()()11311nn n +⎧⎫-+-⎨⎬⎩⎭上确界为1（不达到），下确界为-1（不达到） ()214,1,2y x x ⎧⎫⎛⎫=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭上确界为1（不达到）下确界为0（达到）2、 设{}2,2,,E x x x Q =<∈验证infE =证明：()1 2,2x E x x ∀∈<⇒>，即是E 的一个下界()2若2β<，则由有理数集在实数系中的稠密性，存在()2x β'∈，且x '为有理数，于是222x x β''<<<⇒<，即存在22,,x E x ββ''∈<故不是E 的下界。

计算题1、 求求242lim(1)(1)(1)(1)(1)nn x x x x x ®¥++++< 解：12422(1)(1)(1)(1)(1)1nn x x x x x x+-++++=- ，且1x <所以，原极限所以，原极限==()1211lim 111n x x x x+®¥-=--。

2、 求250ln(1)lim 1cos x x x x ®++- 解: 2525200ln(1)1limlim 1cos 22x x x x x xx x®®+++==-（等价无穷小的代换）（等价无穷小的代换） 3 3、设、设21sin 000x x x y x ì¹ï=íï=î , , 求求y ¢解：当0x ¹时，2111sin 2sin cos y x x x x x ¢æö¢==-ç÷èø 当0x =时，使用导数定义计算：201sin 01(0)limlim sin00x x x x y x x x®®-¢===-。

故112sin cos ,00, 0x x y x x x ì-¹ï¢=íï=î 4、求cos x dx xò解：令t x =则2,2x t dx tdt ==则原积分则原积分==cos 22cos 2sin ttdt tdt t C t ==+òò=2sin x C + 5、求幂级数0(1)(1)(2)n nn xn n ¥=-++å的收敛域。

的收敛域。

解：解由0(1)(1)(2)n n n x n n ¥=-++å知(1)(1)(2)nn a n n -=++，则1(1)(2)lim lim 1(2)(3)n n n n n n a a n n r +®¥®¥++==-=++， 收敛半径11R r==，又1R =时级数0(1)(1)(2)nn n n ¥=-++å是交错级数，收敛。