数学分析选讲大纲

数学分析教学大纲
一、教学目的
1、掌握分析几何的基本概念，具有对函数概念的基本认识，了解函
数的定义、表示法、域、值、图象等；
2、掌握分析几何的基本知识，能解决简单的函数的图标、极限、极
值问题，以及函数的导数问题；
3、具有良好的文字描述、符号说明及图形表示函数的能力，培养学
生从多个角度和不同维度思考问题的能力；
4、学会利用科学计算器和其它数学软件进行计算和研究，使学生能
够熟练地使用科学计算器进行科学计算。

二、教学内容
1、简介分析几何：了解概念、表示法、域、值、图象及其基本结构等；
2、基本概念：函数、上下界、定义域、值域、函数的增减性、单调性、奇偶性、周期性等；
3、函数的图象：定义域和值域的概念，绘制函数图象的方法，求函
数图象上特定点的特征；
4、极限：极限的概念，求函数极限的方法，利用极限解决实际问题；
5、极值：求函数极值的方法，利用极值解决实际问题；
6、导数：函数的导数的概念，求函数导数的方法，利用导数解决实
际问题；
7、科学计算器的应用：熟练操作科学计算器，掌握函数和曲线的绘制技术。

福建师范大学申请成人高等教育学士学位考试数学与应用数学专业《数学分析选讲》课程考试大纲考试形式：开卷 考试时间：120分钟一、参考教材（考生自备）《数学分析》（第五版）（上、下册），高等教育出版社出版，主编：华东师范大学数学系二、课程纲要第一章 函数、极限、连续（一）知识点函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小量和无穷大量的概念及其关系；无穷小量的性质及无穷小量的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：0sin lim 1x x x →= ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ；函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（二）考点1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．第二章一元函数微分学（一）知识点导数和微分的概念；导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；导数和微分的四则运算；基本初等函数的导数；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；高阶导数；一阶微分形式的不变性；微分中值定理；洛必达（L'Hospital）法则；函数单调性的判别；函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数的最大值与最小值（二）考点1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线．第三章一元函数积分学（一）知识点原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；积分上限的函数及其导数；牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式；不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分；定积分的应用（二）考点1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积等）．第四章多元函数微分学和积分学（一）知识点多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续的概念；有界闭区域上二元连续函数的性质；多元函数的偏导数和全微分；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值；二重积分的概念、基本性质和计算；三重积分的概念、基本性质和计算（二）考点1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分和三重积分的概念与基本性质，掌握二重积分和三重积分的计算方法．第五章无穷级数（一）知识点常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念；级数基本性质与收敛的必要条件；几何级数与p级数及其收敛性；正项级数收敛性判别法；交错级数与莱布尼茨定理；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域；幂级数的和函数；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；初等函数的幂级数展开式（二）考点1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.3．掌握正项级数收敛性比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7．理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10．掌握x e ，sin x ，cos x ，ln(1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.三、考试样卷福建师范大学201 年成人学士学位考试题目卷《数学分析选讲》A/B 卷 开卷教学中心 专业 学号 姓名 成绩注：考试时间为120分钟，试卷满分100分重要提示：本试卷仅为考试题目，所有答题必须填写在专用答题卡上方为有效，在本试卷直接作答均不给分。

《数学分析选讲》考试大纲一、单项选择题1．设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）.A ．)(x f 与x 是等价无穷小B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 答案：B 2. 设函数111()1xx e f x e -=+，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．第二类间断点C ．跳跃间断点D ．连续点 答案：C3. 22lim (1)n nn→∞+等于( ).A ． 221ln xdx ⎰B ．212ln xdx ⎰C ．212ln(1)x dx +⎰ D ．221ln (1)x dx +⎰答案：B4. (,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数连续是(,)f x y 在该点连续的（ ）条件.A ．充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 答案：A5. 如果级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑均发散，则以下说法正确的是（ ）.A. 1()n n n u v ∞=±∑一定都收敛 B. 1()n n n u v ∞=±∑一定都发散C. 1()n n n u v ∞=-∑可能收敛，但1()n n n u v ∞=+∑一定发散D. 1()n n n u v ∞=±∑都可能收敛答案：D6. 设232)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ ）A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小 C. )(x f 是比x 高阶的无穷小 D. )(x f 是比x 低阶的无穷小答案;B 7. 设arctan (),xf x x=则0x =是()f x 的（ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 答案：B8. 下列极限计算中，正确的是（ ）A ．01lim(1)x x e x +→+= B. 01lim(1)1x x x +→+= C. 1lim(1)x x e x →∞-=- D. 1lim(1)x x e x -→∞+=答案：B9. 设函数)(x f 在0x 处可导，且2)(0'=x f ，则=--→hx f h x f h )()(lim000（ ）A.21 B. 2 C. 21- D. -2 答案：D10. 下列反常积分中收敛的是 （ ） A. 211x dx x +∞+⎰B. 1+∞⎰12011sin dx x x ⎰ D. 10ln xdx ⎰答案：D11. 函数()y f x =，若0000()(2)3,|limx x h f x f x h dy h=→--==则（ ）A. 32dx B.32dx - C.3dx D.3dx -答案：A12. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则下述四个选项中正确的是 ( ). A ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 B. 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点 C. 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点D. 根据所给条件无法判断点(0,0)是否是(,)f x y 的极值点 答案：A13. lim →∞n 等于( ) A. 1ln ⎰xdx B. 0ln +∞⎰xdx C. 1⎰xdx D. 0+∞⎰xdx .答案：A14.设)(x f 在],[b a 上连续，则0[()]xd f t dt dx -⎰等于( )A. ()f x -B. ()f x -C. ()f x --D. ()f x 答案：A15.下列结论正确的是（ ）.A. 若0()f x dx +∞⎰和0()f x dx -∞⎰均发散，则()f x dx +∞-∞⎰一定发散；B. 若0()f x dx +∞⎰发散，0()g x dx +∞⎰发散，则0[()()]f x g x dx +∞+⎰一定发散； C. 若0()f x dx +∞⎰发散，0()g x dx +∞⎰发散，则0()()f x g x dx +∞⎰一定发散； D. 若0()f x dx +∞⎰收敛，0()g x dx +∞⎰发散，则0()()f x g x dx +∞⎰一定发散.答案：A16.lim →∞n 等于( ) A. 1ln ⎰xdx B. 0ln +∞⎰xdx C. 1⎰xdx D. 0+∞⎰xdx .答案：A 17. 函数2ln(1)y x =+单调增加且图形为凹的区间是（ ）.A. (,1)-∞-B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,)+∞答案：C18. 设二元函数(,)f x y 存在偏导数，则00000(2,)(,)lim x f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（ ）.A. 0B. 00(,)x f x x y +∆C. 002(,)x f x yD. 003(,)x f x y 答案;D19. 若24()f x dx x C '=+⎰，则)(x f =（ ）A ．2x C + B. 33x C + C.5285x C + D. 4x C +答案：C20. 部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C.充分必要D.非充分非必要 答案：C21．当0→x 时，x x sin -与x 比较是（ ）.A.等价无穷小B.高阶无穷小C.低阶无穷小D.同阶无穷小 答案：B22. 设32()431f x x x x =+--，则方程()0f x =（ ）. A.在(0,1)内没有实根 B.在(1,0)-内没有实根C.在(,0)-∞内有两个不同的实根D.在(0,)+∞内有两个不同的实根 答案：C23. 设32,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（ ）.（A ）左右导数都存在（B ）左导数存在，右导数不存在 （C ）左右导数都不存在（D ） 左导数不存在，右导数存在 答案：B24. 0()0f x '=是()f x 在0x x =取得极值的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案：D25. 设()f x 和()g x 均为区间I 内的可导函数，则在I 内，下列结论正确的是（ ）.A ．若()()f x g x =, 则()()f x g x ''= B. 若()()f x g x ''=，则()()f x g x = C. 若()()f x g x >，则 ()()f x g x ''> D. 若()()f x g x ''>，则()()f x g x > 答案：A26．()f x 在[,]a b 有界是()f x 在[,]a b 可积的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既非充分又非必要条件 答案：B27. 设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)13lim x f f x x →--=，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )A. 3B. 3-C. 1D. 1-答案：A二、判断题：以下各题若正确请在（ ）内填“√”, 若错误填“×”. 1. 若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 必存在收敛子列. （ ） 答案：√2.)(x f 在],[b a 上连续是⎰ba dx x f )(存在的充要条件 . （ ）答案：×3. 若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则00lim ()()x x f x f x →= .（ ） 答案：√4. 若(1,2)n n u v n ≤=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑不一定收敛.（ ）答案：√5. 已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且224(,)(0,0)(,)lim1()x y f x y xyx y →-=+，则点(0,0)是(,)f x y 的极小值点. （ ） 答案：×6.若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 任一子列均不是无穷大量. （ ） 答案：×7. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积. （ ） 答案：×8. 当0x x →时，()f x 不以A 为极限，则存在00{},(1,2),()n n n x x x n x x n ≠=→→∞，使{()}n f x 不以A 为极限.（ ） 答案：√9. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛但和不一定是0 . （ ）答案：×10. 对),(y x f z =, 偏导数连续,则全微分存在. （ ） 答案：√11.若{}n x 不是无穷大量，则{}n x 必存在有界子列. （ ） 答案：√12. 若函数()f x 在[,]a b 上可积，而()g x 只在有限个点上与()f x 的取值不相同，则()g x 在[,]a b 上也可积，且有()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰.（ ）答案：√13.若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 既是右连续，又是左连续. （ ） 答案：×14. 函数21xx-展开成x 的幂级数为210,1n n x x ∞+=<∑. （ ）答案：√15.二元函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，在点(0,0)处连续，偏导数存在.（ ） 答案：√ 三、填空题1、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 的值为 .答案：0或12、设21(2021)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：20213、级数1nn ∞=的收敛区间是 .答案：（2，4）或[2,4）4.设21(10)n n x ∞=-∑收敛，则lim n n x →∞= .答案：105.(,)(0,0)limx y →= .答案：46.级数21nn ∞=的收敛区间是_____________.答案：（1，3）7.广义积分20110k dx x π+∞=+⎰，则1k= . 答案：58.1lim 1+xx x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 答案：e9.设21,0()0,0x x f x x x e ⎧--⎪≠=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 答案：1四、计算题1. 2+3200lim (sin )x x x t dtt t t dt→-⎰⎰.解 原式=++320026lim lim 12(sin )1cos xx x x x x x x x→→⋅==--2.求sin cos cos 2x x y x e π+=+ 的导数.解：cos sin ()'=-x x xe e esin sin ln sin sin ()cos n ()l ()'='=+xx x x xex x x xx cos 02'π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin sin cos ln '()sin 所以+=-x x x xe xy x x x e . 3.求积分cot 1sin xdx x+⎰.解：cot 1sin xdx x+⎰=()sin sin 1sin d x x x +⎰=11sin sin 1sin d x x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎰=ln sin ln 1sin x x c -++ 4.将函数1()12f x x=+展成1-x 的幂级数. 解：1001111()21232(1)31(1)312(1)2()(1)(1),333nn n n n n n f x x x x x x ∞∞+=====++-+--=-=--∑∑收敛域为15 (,)22 -.五、综合题.1.241lim cos1nnnn→∞-+！. （请说明理由）答：原式＝０（有界量乘以无穷小量）2. 叙述一元函数可导，可微，连续的关系.答：一元函数可导与可微是等价的，可导推出连续，连续不一定可导.（温馨提示：照抄答案，没有加入自己的答案，一律不给分。

数学分析选讲教学大纲一、课程简介本课程是一门针对高年级本科生的数学分析选修课，旨在为学生提供更深入的数学分析知识和技能。

通过本课程的学习，学生将进一步拓宽对数学分析的理解，并掌握其在实际问题中的应用。

二、教学目标1.掌握数学分析的基本概念和原理；2.能够运用数学分析的方法和技巧解决实际问题；3.增强数学分析的逻辑思维能力和抽象推理能力；4.培养学生严谨的数学论证能力和问题解决能力。

三、教学内容1.实数和数列a.实数的性质和运算规律b.数列的收敛性和极限c. 数列的一致收敛性和Cauchy准则2.函数极限和连续性a.函数极限的定义和性质b.函数连续性的定义和性质c.中值定理和连续函数的性质3.函数导数和微分a.导数的定义和性质b.微分的定义和性质c.高阶导数与泰勒展开4.不定积分和定积分a.不定积分的定义和性质b.定积分的定义和性质c.积分计算的基本方法和技巧5.级数和幂级数a.级数的收敛性和性质b.幂级数的收敛半径和性质c.幂级数的求和和收敛域四、教学方法1.传统讲授：通过讲授理论知识和解题技巧，向学生介绍数学分析的基本概念和原理。

2.问题导向：通过提出问题和引导学生讨论，培养学生的抽象思维和问题解决能力。

3.探究式学习：引导学生通过实际例子和实验观察，发现数学分析中的规律和性质。

五、评估方式1.平时成绩：包括课堂参与和作业完成情况（占比30%）；2.期中考试：对学生对前半学期内容的理解和掌握程度进行测试（占比30%）；3.期末考试：对全学期内容进行综合测试，检验学生对数学分析的综合能力（占比40%）。

六、参考教材。

《数学分析》教学大纲《数学分析》教学大纲一、课程概述《数学分析》是数学专业的一门重要基础课，它旨在为学生提供深入的数学分析知识和技能，为后续的高级数学课程打下坚实的基础。

本课程的目标是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

二、课程目标1、理解并掌握数学分析的基本概念、原理和方法，包括极限、导数、微分、积分等。

2、理解并掌握数学分析中的一些重要定理和公式，包括微积分基本定理、泰勒定理、格林公式等。

3、培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力，使学生能够运用所学的数学分析知识解决复杂的数学问题。

4、培养学生的自学能力，使学生能够自主地学习新的数学分析知识和技能。

三、课程内容1、数列的极限、函数的极限、连续函数、导数、微分、不定积分、定积分、级数、泰勒定理等基本概念和原理。

2、微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、导数的应用、积分的应用、多元函数的微分和积分等进阶内容。

3、一些重要的数学分析方法和技巧，包括无穷级数、瑕积分、傅里叶分析、微分方程等。

4、数学分析在其他领域中的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

四、课程安排本课程分为两个学期，每个学期为36个学时，每个学时为45分钟。

每周安排4个学时，共12周。

五、教学方法本课程采用讲授、演示、练习、讨论等多种教学方法，使学生能够更好地理解和掌握数学分析知识。

六、作业和考试本课程要求学生完成一定数量的作业，包括课堂练习和课外作业。

作业内容主要是针对课堂讲授的知识和技能进行练习和巩固。

考试形式为笔试，考试内容主要是针对学生掌握的数学分析知识和技能进行测试。

七、教师队伍本课程的教师队伍由具有丰富教学经验和深厚数学分析知识的教授和副教授组成，他们将为学生提供全面的教学支持和指导。

八、教学资源本课程将提供各种教学资源，包括教材、参考书籍、网上资料、教学视频等，以帮助学生更好地学习和掌握数学分析知识和技能。

九、课程评估本课程的评估将采用多种方式进行，包括作业、考试、课堂表现等。

数学分析选讲课程设计一、选课背景和目的本课程为数学专业的本科生选修课，旨在通过精心设计的教学内容和教学方法，帮助学生深入理解数学分析中的重要概念和定理，提高数学思维能力和分析问题的能力，为将来从事数学研究打下坚实基础。

二、课程教学内容与大纲该课程内容包括数学分析中的重要概念和定理，如极限、连续性、导数和微积分等，课程大纲如下：1. 数列和极限•数列的性质及极限概念•数列极限的性质及判别法•极限的运算法则•无穷小量和无穷大量2. 函数连续性•函数连续性的基本概念•函数连续性的基本性质及判别法•函数间的运算法则3. 导数•导数的概念和性质•函数可导的条件及判别法•高阶导数及其应用•导数的运算法则4. 微分学及其应用•微分学的基本概念和理论•中值定理及其应用•极值及其应用•曲率及其应用三、课程教学方法为了提高学生的自主学习能力和科学研究能力，本课程采取以下教学方法：1. 理论授课通过多媒体演示、板书讲解和互动答疑等方式，对数学分析中的基本概念和定理进行深入讲解和探讨，协助学生理解和掌握各部分的内容。

2. 经典例题讲解通过引导学生独立思考和分析解题思路，巩固和加深学生对数学分析的理解和应用能力。

3. 作业批改和指导通过给予学生具有实际应用价值和难度的习题，帮助他们巩固和加强对知识点的掌握程度，在对其作业进行批改和指导，帮助他们发现和解决问题。

4. 学科竞赛指导针对数学专业学生，加强其科学研究和竞赛能力的培养，引导学生参加各类学科竞赛，并提供相应的指导和解析，提高学生的学科水平和创新能力。

四、课程评价与改进教学评价是促进教学发展和提高教学质量的有效手段，本课程采用以下方法对教学效果进行评价：1. 学生满意度调查通过定期对学生的满意度进行调查，了解学生对课程内容、教学方法、作业布置、与教师互动等方面的满意度和不满意度，及时发现和解决教学问题。

2. 课堂表现评价通过对学生上课情况、作业情况等进行评价，发现学生的不足之处和优势所在，及时给予指导和鼓励。

《数学分析选讲》课程教学大纲一、《分析选讲》课程说明课程代码：0741123110课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis开课对象：数学与应用数学本科生课程的性质：考试学时：72数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。

本课程的前导课程为数学分析。

教学目的：通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.教学内容：本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。

教学时数教学时数：７2学时学分数：学分教学方式课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。

严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章 函数与极限教学要点：本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。

教学时数：8学时。

教学内容： 第一节 函数1.1 求函数的定义域与值域1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程第二节 极限2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法2.3 确定极限存在性的方法 考核要求：通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。

数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。

《数学分析选讲》课程教学大纲《数学分析选讲》课程教学大纲浙江教育学院《数学分析选讲》课程教学大纲一、课程基本情况课程代码:22022总学时数:50课程类型:专业选修课适用对象:数学与应用数学专业四年制本科二、课程性质和目标1、课程的基本特性《数学分析选讲》是本科数学与应用数学专业的专业选修课,是在数学分析的基础上的提高和拓展，是对数学分析在理论上加以补充深化,在思想方法上介绍更为全面,作为数学分析的后续课之一,是让学生更完整、牢固掌握函数论的基本内容和方法，促进学生研究函数论能力的提高，训练学生的基本数学技能，同时也为学习函数论的其它课程打下良好的基础. 2、课程的教学目标通过本课程的学习，使学生从中学到分析问题和解决问题的方法和能力.提高函数论的理论水平和处理有关问题的能力，对函数论的基本思想有进一步的认识，形成解决函数论问题的思维方式.三、课程教学方法与手段课堂讲授+习题课训练四、课程教学内容、要求及重点、难点第一章一元函数极限(一)主要教学内容第一节(函数.第二节(用定义证明极限的存在性.第三节(求极限值的若干方法.第四节(上、下极限.(二)学习目的要求1. 理解函数的概念及一些基本性质.2(熟练掌握证明极限存在及求极限的值常用方法.(三)重点和难点1.教学重点:求极限的值;证明极限的存在性.2.教学难点:求极限的值;证明极限的存在性;讨论序列及函数的上、下极限问题. 第二章一元函数的连续性(一)主要教学内容第一节(连续性的证明与应用.第二节(一致连续性.(二)学习目的要求11.掌握函数连续性的证明方法及函数连续性的应用.2.掌握函数一致连续与非一致连续的证明方法.3.掌握一致连续与连续的区别.(三)重点和难点1.教学重点:连续性及一致连续的的证明;一致连续与连续的关系.2.教学难点:一致连续的与非一致连续的证明.第三章一元函数微分学(一)主要教学内容第一节(导数.第二节(微分中值定理.第三节(Taylor公式.第四节(不等式与凸函数.第五节(导数的综合应用.(二)学习目的要求1(掌握一元函数导数的计算及可微性的讨论. 2(掌握微分中值定理及Taylor 公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.3 .掌握凸函数的一些基本性质.4.掌握利用导数求最值或极值的方法，并证明一些不等式. (三)重点和难点1.教学重点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式;掌握利用导数求最值或极值的方法.2.教学难点:掌握微分中值定理及Taylor公式，并能利用它们证明一些等式或不等式.第四章一元函数积分学(一)主要教学内容第一节(积分与极限.第二节(定积分的可积性.第三节(积分值估计、积分不等式及综合应用. 第四节(反常积分.(二)学习目的要求1(掌握积分的概念及可积性的证明.2(掌握常用的积分技巧.3(掌握一些积分值的估计;积分不等式的证明. 4. 掌握反常积分的计算，收敛性判断;反常积分的极限. (三)重点和难点1.教学重点:常用的积分技巧;积分值的估计;积分不等式的证明;反常积分的计算和收敛性判断.2.教学难点:积分值的估计;积分不等式;反常积分的收敛性判断;反常积分的极限.第五章级数(一)主要教学内容第一节(数项级数.2第二节(函数项级数.第三节(幂级数.第四节(Fourier级数.(二)学习目的要求1.掌握级数的敛散性判断的基本方法.2(掌握函数项级数的一致收敛的判断及应用. 3(掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法;求和问题. 4(掌握求Fourier展开式的基本方法.(三)重点和难点1.教学重点:级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断;求幂级数的收敛域及求和问题.2.教学难点: 级数敛散性的判断;函数项级数的一致收敛的判断. 第六章多元函数微分学(一)主要教学内容第一节(多元函数的极限与连续.第二节(多元函数的偏导数.第三节(极值.第四节(方向导数与梯度.(二)学习目的要求1. 掌握多元函数的极限存在性的判断及连续性的判断.2. 掌握多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断.3. 掌握利用多元函数偏导数的性质解决极值问题.4. 掌握方向导数的与梯度的概念及计算.(三)重点和难点1.教学重点:多元函数偏导数的求法;多元函数可微性的判断;极值问题.2.教学难点:多元函数可微性的判断;极值问题. 第七章多元函数积分学(一)主要教学内容第一节(含参变量积分.第二节(重积分.第三节(曲线积分与Green公式.第四节(曲面积分Gauss公式及Stokes公式. 第五节(场论.(二)学习目的要求1. 掌握含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断.2. 掌握反常积分的常用计算方法.3. 掌握重积分及曲线积分与曲面积分的计算.4. 掌握场论的一些基本概念.(三)重点和难点1.教学重点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;重积分及曲线积分与曲面积分的计算.32.教学难点:含参变量积分的敛散性的判断;一致收敛的判断; 反常积分的常用计算方法;重积分及曲线积分与曲面积分的计算.五、各教学环节学时分配其它教学内容课堂讲授课程实验习题或讨论小计环节6 17 (一)一元函数极限4 4 (二)一元函数的连续性7 1 8 (三)一元函数微分学6 17 (四)一元函数积分学7 1 8 (五)级数(六)多元函数微分学 6 1 78 1 9 (七)多元函数积分学总计 44 6 50六、推荐教材和教学参考书教材:《数学分析中的典型问题与方法》(第二版), 裴礼文编,高等教育出版社,2006. 参考书:1(《数学分析》(第二版)，陈传璋等编,高等教育出版社，2006. 2.《分析中的基本定理和典型方法》，宋国柱编,科学出版社，2004. 3.《微积分教程》(第八版)，F.M.菲赫金哥尔茨著,高等教育出版社，2006.大纲制订人:阮建苗制订日期:2007年9月4。

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。