相似三角形判定(角角)

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定--角角一、内容及内容解析：1.内容：两角分别相等的两个三角形相似。

2.内容解析：三角形相似的判定是在学习了三角形内角和性质，三角形全等、多边形相似及三角形相似的后续学习，它是相似多边形中最为简单的相似图形。

在探究“两角分别相等的两个三角形相似”的过程中，学生看书自学，先度量发现结论成立，再通过作与∆A'B'C'相似的三角形，把证明三角形相似转化为三角形全等的问题。

此判定的学习具有承上启下的作用，培养学生对知识转化的能力和化繁为简的思想。

相似三角形是今后学习锐角三角函数和圆的知识基础，另外在学习物理等相关方面也要用到相似三角形的知识。

基于以上分析，本节课的教学重点是：判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”。

二、教学目标：1.课程标准：经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。

掌握判定两个三角形相似的基本方法。

2. 知识与技能：通过经历两个三角形相似条件的探索过程，发现“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法。

3.过程与方法：进一步发展学生的自学、探究、交流能力、合情推理能力和初步的逻辑推理意识，并能够运用三角形相似的条件解决简单问题。

4.情感、态度与价值观：通过自学，激发学生学习兴趣，培养学生自主学习的能力，培养学生主动、愉快的学习情感。

三、教学问题诊断分析在判定定理证明的过程中，教科书做了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用中介三角形与原三角形全等，这种转化的方法学生往往很难想到。

不同于以往证角相等的方法，也会给定理的证明带来一定的难度。

本节课的教学难点是：判定定理“两脚分别相等的两个三角形相似”的证明。

四、学情分析：1.九年级学生已经具备了一定的图形之间关系的认识。

2.学生在由合情推理向演绎推理的过渡阶段，合情推理的说理更加透彻。

3.经历过探索全等三角形判定，通过类比不难得到相似三角形的判定。

4.数学知识间的转化能力，对于学生们来说还不能更好地运用，有待于今后的训练。

4、《相似三角形的判定3》教学设计【教学目标】1、引导学生掌握相似三角形的判定定理AA,理解定理的证明方法。

培养学生筛选信息、体会并会寻找相似三角形的对应关系。

2、揣摩定理，会利用相似三角形的判定定理解决简单的问题。

3、从认识上培养学生从特殊到一般的认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维。

4、通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。

【教学重点】1、会寻找相似三角形的对应关系2、会利用相似三角形的判定定理（AA）解决相关问题。

【教学难点】1、探究三角形相似的条件，寻找相似三角形的对应关系2、灵活运用两个三角形相似的判定定理解决实际问题。

【教学过程】（一）1、导入新课师：1.观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？生：交流、发言。

2.自主探究：师：2.作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A '，∠B＝∠B '，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C '吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？生：观察，动手操作，进行度量，得出结论，整体感知。

师：对学生的回答予以评价，以鼓励和肯定为主。

师提出问题：你能得到判定两个三角形相似的又一方法吗？生自主探究给出证明：已知：∠A =∠A1，∠B =∠B1求证：△ABC∽△A1B1C1.学生板演讲解生小结：相似三角形的判定方法：（AA）并写出数学符号。

3.合作交流尝试应用''''''ACCACBBCBAAB、、师：我们带着这个定理挑战一下自己！生：先独立完成，再组内交流，小组展示自己的成果1、下列图形中两个三角形是否相似？（1）(2)(3) （4）2、判断题：⑴所有的直角三角形都相似. ( )⑵所有的等边三角形都相似. ( )⑶所有的等腰直角三角形都相似. ( )⑷有一个角相等的两等腰三角形相似. ( )重点讲解（4）师提问：几种情况，并给出生回答：分为三种情况：两个角为顶角成立两个角为底角成立；两个角一个为顶角一个为底角不成立。

相似三角形的性质及判定方法相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形具有一些特定的性质和判定方法。

本文将探讨相似三角形的性质以及如何判定两个三角形是否相似。

一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。

记为AA相似性质。

2. 对应边的比例性质：如果两个三角形的两对对应边的比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应边所对应的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SSS相似性质。

3. 角和对边的比例性质：如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，那么它们是相似的。

具体而言，如果两个三角形的对应角相等且对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

记为SAS相似性质。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也必然相等，从而满足AA相似性质。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的三对对应边的长度比例相等，则它们满足SSS相似性质。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们一定是相似的。

即，如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边的长度比例相等，则它们满足SAS相似性质。

三、实例分析为了更好地理解相似三角形的判定方法，我们来看一个实例。

已知三角形ABC和三角形DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE = BC/EF = CA/FD，我们需要判定这两个三角形是否相似。

根据给定条件可知，∠A=∠D，∠B=∠E，且BC/EF = CA/FD。

根据SAS判定法，如果对应角相等且对应边的长度比例相等，则两个三角形相似。

由此得出结论，三角形ABC和三角形DEF是相似的。

判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相近。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。

相似三角形介绍：
三角分别成正比，三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。

3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

投影全系列等三角形的认定定理，可以得出结论以下结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。

根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相近。

2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

教学设计27.2.1相似三角形判定(角角判定)内容分析：相似三角形的判定是相似三角形研究的重要内容。

前面已学习了“定义”、“平行线”、“三边”“两边及夹角”这几种方法，这些方法都与“边”有关，很自然地提出“无边”能否判定三角形相似。

“两角分别相等的两个三角形相似”是证明两个三角形相似最简单、最常用的方法。

学情分析：九年级学生已具备一定的逻辑推理能力，可放手给学生探究。

但外宿班同学基础较差，教师要适时加以提示点拨。

教学目标：第一，理解三角形相似的角角判定；第二，会运用角角判定解决简单问题；第三，在教学中渗透类比、转化、几何直观思想；第四，培养学生探究、合作精神；第五，通过知识的应用学会正确推理，以理服人教学重点：理解三角形相似的角角判定，会运用角角判定解决简单问题。

教学难点：三角形相似的角角判定的推导过程及几何证明题的书面文字表达。

教学方法：运用多媒体进行启发式、引导式教学。

教学过程：（运用多媒体教学）一、知回识顾相似三角形的判定方法（教师简单板书在黑板左边）1.定义法：三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似。

2. 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。

3. 边边边（SSS）: 三边对应成比例的两个三角形相似。

4.边角边(SAS): 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

学生回答完相似三角形的判定方法后做以下既简单又易错的练习，目的是达到温故知新。

练习：在△ABC和△A′B′C′中，已知：(1)AB＝6 ，BC＝8，AC＝15，A′B′＝12，B′C′＝16，A′C′＝35试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由。

（不相似）(2) AB=4，BC=5，AC＝8，DE＝16，EF＝32，DF＝20试判定△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。

（相似）教师根据学生的回答强调对应边要对应，不能只看给出的顺序。

二、类比探究教师用多媒体展示以下图形和问题，让学生类比猜想、探究。

三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。

在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。

本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。

一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。

当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。

在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。

即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。

5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。

相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。