上海静安、杨浦、青浦、宝山四区2014年高考二模 数学文

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ． 又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ， 则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分 当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分 考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。

上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学（文）试题（解析版）一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2.已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．3.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4.若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析：()(2)221(21)(2)a i i a ai i a a i ++=++-=-++是纯虚数，则21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =． 考点：复数的概念．5.抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 已知向量2a =，1b =，1a b ⋅=，则向量a 与a b -的夹角为 ．7.执行下图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ．【答案】21 【解析】试题分析：由题意，012345621S =++++++=． 考点：程序框图． 8.不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9.若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭ ．10.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．【答案】3【解析】 试题分析：由2r l πθ=，得2233rππ=，即1r =，∴22111333V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．11.设,x y ∈R ，若不等式组320,220,10x y x y ax y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数a 的取值范围是 ．12.从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 【答案】419013.已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．14.已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥； ② 20OB OC OA -⋅<； ③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件16.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为 （ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x xy --=（D ）22log 2x y x -=+ 【答案】A 【解析】试题分析：由于22log log x x -=，cos[2()]cos 2x x -=，因此,A B 都是偶函数，222222x x x x----=-，2222log log 22x x x x +-=--+，,C D 都是偶函数，而当0x >时，22log log y x x ==是增函数，故选A ．考点：函数的奇偶性与单调性．17.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18.对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ） （A ）()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭（B ）()221f x x =- （C ）()21xf x =+ （D ）()()2log 22f x x =- 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，(A)中[1,0]-与[0,1]都是()f x 的可等域区间，(B)中，()1f x ≥-，且()f x 在0x ≤时递减，在0x ≥时递增，若0[,]m n ∈，则1[,]m n -∈，于是1m =-，又(1)1f -=，(0)1f =-，而(1)1f =，故1n =，[1,1]-是一个可等域区间，有没有可等域区间[,]m n ，且0[,]m n ∉呢？若0n ≤，则222121n mm n⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得11044m n --==>，不合题意，若0m ≥，则221x x -=有两个非负解，但此方程的两解三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ， 且1cos22A C +=．（1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．求出()f A 的取值范围了．试题解析：（1）在△ABC 中，A B C π++=．由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭. ∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分 考点：（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围20.（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．（1）求异面直线DF 和BE 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．A由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD . ∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. (3)分 由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===在MEB △中，由余弦定理得M∴ 异面直线DF 和BE所成的角为arccos 6． ………………7分（２）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =.………………9分∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. NA∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分 考点：（1）异面直线所成的角；（2）几何体的体积．21.（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分（2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分考点：函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.22.（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知各项为正数的数列{}n a 中，11a =，对任意的*k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等比数列，公比为k q ；22122,,k k k a a a ++成等差数列，公差为k d ，且12d =．（1）求2a 的值； （2）设11k k b q =-，证明：数列{}k b 为等差数列；（3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=.∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列， ……10分（3）由（1）数列{}n a 的前几项为1,2,4,6,9，12q =， 由（2）11111b q ==-， 11,1k k k k b k q q k +===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k ka a k k q +==+， ()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………16分23.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y 在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ． （1）求圆O 的方程及曲线Γ的轨迹方程；（2）若直线y x =和y x =-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的周长；（3）已知曲线Γ为椭圆，写出椭圆Γ的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．B D 、两点坐标，四边形周长随之而得；（3）已知曲线Γ为椭圆，要找它的对称轴，我们要通过方程证明直线y x =±是其对称轴，证明方法是设00(,)P x y 是曲线上任一点，它关于直线y x =的对称点100(,)Q y x ，关于直线y x =-的对称点为200(,)Q y x --，只要能证明12,Q Q 也是曲线上的点，即说明直线y x =±是其对称轴．接着求出曲线与对称轴的交点即椭圆的顶点，这样可求得长轴长2a 和短轴长2b ，根据公式所以，A （3，3），C （－3，－3） 同理，可求得B （1,1），D （－1,－1） 所以，四边形ABCD 的周长为：179（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）， 它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P 在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称，同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线y x =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===.在y x =-上取点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭ . 曲线Γ为椭圆：其焦点坐标为12,F F ⎛⎝⎭⎝⎭. 考点：(1)圆的标准方程与曲线的方程；（2）直线与曲线的交点；（3）椭圆的几何性质.。

2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）二阶行列式的值是．（其中i为虚数单位）2．（4分）已知是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量+的模等于．3．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）．5．（4分）已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=．6．（4分）若x∈（﹣π，π），则方程sin2x﹣cos2x=1的解是．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．8．（4分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．9．（4分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．10．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点（2，3），且它的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．12．（4分）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是．13．（4分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．14．（4分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）不等式＞2的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}16．（5分）“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又必要条件17．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：118．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线A1Q和PD所成的角为θ，求cosθ的值．20．（14分）某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0＜x＜10），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．22．（16分）已知数列{a n}满足（c为常数，n∈N*）（1）当c=2时，求a n；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使a n+3=a n恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．23．（18分）设函数g（x）=3x，h（x）=9x．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）=，求证：p（）+p（）+…+p（）=；（3）若f（x）=是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k •g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．2014年上海市宝山区、静安区、杨浦区、青浦区四区联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）二阶行列式的值是2．（其中i为虚数单位）【考点】O1：二阶矩阵．【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，据此求解即可．【解答】解：=（1﹣i）（1+i）﹣（1+i）×0=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二阶行列式的求法，属于基础题，解答此题的关键是根据二阶行列式的意义得出所求代数式．2．（4分）已知是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量+的模等于．【考点】98：向量的加法．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】表示出知向量，求出+的坐标，然后求解模即可．【解答】解：是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，∴，=（0，1），∴+=（1，1），|+|=，平面向量+的模：．故答案为：．【点评】本题考查向量数量积的运算，向量模的公式，基本知识的考查．3．（4分）二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为35．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数值．【解答】解：二项式（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1=•x7﹣r，令7﹣r=3，求得r=4，可得展开式中含x3项的系数值为=35，故答案为：35．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（4分）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B={﹣1，1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据正弦函数的值域确定出y的范围，得到集合A，集合B表示奇数集，求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的y=sinx，得到﹣1≤sinx≤1，即﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，集合B中x=2n+1，n∈Z，表示所有的奇数，∴B={…，﹣2，﹣1，0，1，2，…}则A∩B={﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．（4分）若x∈（﹣π，π），则方程sin2x﹣cos2x=1的解是．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由方程可得sin（2x﹣）=，可得2x﹣=2kπ+，或2kπ+，k∈z．根据x∈（﹣π，π），求得x的值【解答】解：由方程sin2x﹣cos2x=1可得sin（2x﹣）=，∴2x﹣=2kπ+，或2x﹣=2kπ+，k∈z．∵x∈（﹣π，π），∴2x﹣∈（﹣，），∴2x﹣的值可以为：﹣，﹣，，，∴x的值为﹣，﹣，，，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为x+y﹣3=0．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】求出圆心坐标，利用圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，求出直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程．【解答】解：由题意，圆x2+（y﹣1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵=1，∴k AB=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（4分）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y 的最小值．【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；∴x+y的最小值为．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．9．（4分）满足约束条件的目标函数f=x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，即可求出平面区域的面积．利用f的几何意义求f的最小值．【解答】解：由f=x+y，则y=﹣x+f，平移直线y=﹣x+f，由图象可知当直线y=﹣x+f经过点A时，直线的截距最小，此时f最小．由，解得，即A（），代入f=x+y得f=．故答案为：；【点评】本题主要考查简单的线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．10．（4分）阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量z，y的值，并输出的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是 1 2 3第二圈是 2 3 5第三圈是 3 5 8第四圈是 5 8 13第五圈是8 13 21第六圈否此时=故答案为：．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点（2，3），且它的一个顶点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2=4x的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入点的坐标，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则双曲线的一个顶点为（1，0），设双曲线方程为，代入点（2，3），可得，∴b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线、双曲线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（4分）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有种，所选3人中恰有两位女志愿者的方法有种，由此求得所选3人中恰有两位女志愿者的概率．【解答】解：所有的选法共有种，所选3人中恰有两位女志愿者的方法有种，∴所选3人中恰有两位女志愿者的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查等可能事件的概率的求法，属于中档题．13．（4分）若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为0．【考点】6F：极限及其运算；83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a，c的值，然后代入数列极限求得答案．【解答】解：∵a，1，c成等差数列，∴a+c=2 ①又a2，1，c2成等比数列，∴a2c2=1 ②联立①②得：或或，∵a≠c，∴或，则a+c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．14．（4分）函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，]．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m 的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）不等式＞2的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞0}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＞﹣1}D．{x|﹣1＜x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由不等式＞2，可得＜0，由此解得x的范围．【解答】解：由不等式＞2，可得＜0，解得﹣1＜x＜0，∴不等式＞2的解集为{x|﹣1＜x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】57：三角函数的图像与性质；5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数的图象和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx=﹣cos2ωx，当ω=1时，函数的周期T=，∴充分性成立．若函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π，则T=，解得ω=±1，∴必要性不成立．故“ω=1”是“函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx的最小正周期为π”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的周期性是解决本题的关键．17．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．18．（5分）已知向量，满足：，且（k＞0）．则向量与向量的夹角的最大值为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量模及其夹角的计算公式即可得出．【解答】解：∵（k＞0），∴=3（），∵=，∴=3（），化为，∵k＞0，∴=2．∴，当且仅当k=1时取等号．∴．∴向量与向量的夹角的最大值为．故选：B．【点评】熟练掌握向量的数量积、模及其夹角的计算公式是解题的关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线A1Q和PD所成的角为θ，求cosθ的值．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，得∠A1QC为异面直线A1Q、PD 所成的角（或其补角）．由此能求出两条异面直线A1Q和PD所成的角的大小．【解答】解：由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，故∠A1QC为异面直线A1Q、PD所成的角（或其补角）．由题设知，，取BC中点E，则QE⊥BC，且QE=3，QC2=QE2+EC2=32+12=10．由余弦定理，得=．∴两条异面直线A1Q和PD所成的角θ=arccos．【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（14分）某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0＜x＜10），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3H：函数的最值及其几何意义．【专题】12：应用题．【分析】（1）掌握扇形的周长公式；（2）熟记扇形面积公式，总费用是四迥的装饰费用之和；变形成双勾函数，利用双勾函数的单调性求出最值．【解答】解：（1）设扇环的圆心角为θ，则30=θ（10+x）+2（10﹣r），即，（2）花坛的面积为：S==（5+x）（10﹣x）=﹣x2+5x+50，（0＜x＜10），装饰总费用为9θ（10+x）+8（10﹣x）=170+10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比，令t=17+x，则，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，．答：当x=1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．【点评】本题是考查，扇形的周长公式和面积公式，要求学生熟记这两个公式，掌握双勾函数的单调性．属于中档题．21．（14分）已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A1，A2，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE 为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出a2的值，结合隐含条件b2=a2﹣c2求出b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出k2的值，则E点到y轴的距离可求．（Ⅰ）依题设A1（﹣a，0），A2（a，0），则，．【解答】解：由，得：（﹣a﹣1）（a﹣1）=﹣1，解得a2=2，又c=1，所以b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形．事实上，依题直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立，得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x0，y0），则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令y=0，得，则．若四边形ADBE为菱形，则x E+x D=2x0，所以．y E+y D=2y0，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即9k4+8k2=2（2k2+1）2整理得k4=2，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．22．（16分）已知数列{a n}满足（c为常数，n∈N*）（1）当c=2时，求a n；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使a n+3=a n恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）c=2时，推出关系式a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，进而推出递推公式，再利用递推公式求解数列的通项公式．（2）观察数列特点，利用数列的周期性即可求解．（3）假设存在常数c，使a n+3=a n恒成立，利用此关系式求出c，并进行验证．【解答】解：（1）c=2时，a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2）∴a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1∴a n﹣a n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣2=…=a2﹣a1=6∴a n=a n﹣1+6 （n≥2）∴n≥2时，a n=a n﹣1+6=a n﹣2+6×2=…=a2+6×（n﹣2）=6n﹣4又n=1时，亦有a1=6×1﹣4=2 成立综上可知，a n=6n﹣4（2）c=1时，a n+1+a n﹣1=a n（n≥2）∴a n+3=a n+2﹣a n+1=﹣a n，a3=a2﹣a1=6，a4=a3﹣a2=﹣2∴a n+6=a n+3+3=﹣a n+3=a n∴数列{a n}为一周期为6的数列．∵2014=335×6+4，∴a2014=a4=﹣2．（3）假设存在常数c，使a n+3=a n恒成立．∵a n+3=a na n+2+a n=ca n+1+a n=ca n+1 ①∴a n﹣1又a n+1+a n﹣1=ca n ②①式减②式得，（a n+1﹣a n）（1+c）=0．∴a n+1﹣a n=0，或1+c=0．又n∈N*，a n+1﹣a n=0时，数列{a n}为常数数列，不满足要求．∴1+c=0∴c=﹣1c=﹣1时，有：a n+1+a n﹣1=﹣a n，即对于n∈N且n≥2，都有a n+1=﹣a n﹣a n﹣1．∴a n+3=﹣a n+2﹣a n+1，a n+2=﹣a n+1﹣a n．∴a n+3=﹣a n+2﹣a n+1，=a n+1+a n﹣a n+1=a n（n≥1）．所以存在常数c=﹣1，使a n+3=a n恒成立．【点评】本题主要考察了利用数列的递推式求数列的通项，属于难题．23．（18分）设函数g（x）=3x，h（x）=9x．（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；（2）令p（x）=，求证：p（）+p（）+…+p（）=；（3）若f（x）=是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k •g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知条件推导出9x﹣8•3x﹣9=0，由此能求出原方程的解．（2）由已知条件推导出ρ（）=，ρ（x）+ρ（1﹣x）=1，由此能证明ρ（）+ρ（）+…+ρ（）=．（3）由已知条件推导出a=﹣3，b=1．由此利用已知条件能求出实数k的取值范围．【解答】（1）解：∵g（x）=3x，h（x）=9x．h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0，∴9x﹣8•3x﹣9=0，解得3x=9，x=2．（2）证明：ρ（）=ρ（）==．∵ρ（x）+ρ（1﹣x）==+=1，∴ρ（）+ρ（）+…+ρ（）=1006+=．（3）解：∵f（x）=是实数集上的奇函数，∴a=﹣3，b=1．f（x）=3（1﹣），f（x）在实数集上单调递增．由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k•g（x））＞0，得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k•g（x）），又∵f（x）是实数集上的奇函数，∴f（h（x）﹣1）＞f（k•g（x）﹣2），又∵f（x）在实数集上单调递增，∴h（x）﹣1＞k•g（x）﹣2，即32x﹣1＞k•3x﹣2对任意的x∈R都成立，即k＜3x+对任意的x∈R都成立，k＜2．【点评】本题考查方程的解法，考查等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．。

上海市浦东新区2014届高三二模数学（文）试题一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集{}U=1,2,3,4,5，若集合{}A=2,3，则U A ð=__{}1,4,5___2. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 43y x =± .3.函数()31cos 4sin xx x f =的最大值为__5_____4.已知直线1:210l ax y a -++=和()()2:2130l x a y a R --+=∈，若12l l ⊥，则a =13. 5.函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，如果函数()y f x =的图像过点()2,2-，那么函数()11y f x -=+的图像一定过点___(2,3)-___.6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =__23522n n -___.7.π，则球的体积为 __323π__ ． 8.(文) 把3本不同的语文书、7本不同的数学书随机的排在书架上，则语文书排在一起的概率是__115__ 9.设a R ∈，8(1)ax -的二项展开式中含3x 项的系数为7，则2lim()nn a a a →∞+++=L __13-__． 10.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形，主视图和俯视图是同一图形(如图)，那么搭成这样一个立体图形最少需要 5 个小立方块．11.(文) 已知数据3,4,,,11x y 的均值为6，方差为8，则x y -=____2 _.12.在ABC ∆中, 角B 所对的边长6b =,ABC ∆的面积为15,外接圆半径R 5=，则AB C ∆的周长为_____6+13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(,0)m -，则PF PA的最小值为2.14.(文) 已知函数()f x 的定义域为{}1,2,3，值域为集合{}1,2,3,4的非空真子集，设点()A 1,(1)f ，()B 2,(2)f ，()C 3,(3)f ，且()BA BC AC 0+⋅=uu u r uu u r uu u r，则满足条件的函数()f x 有＿12＿个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “1x >”是“11x<”的( A ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16. （文）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ A ）17.能够把椭圆2214x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是．．椭圆的“可分函数”为（ D ） （A ）3()4f x x x =+（B ）5()ln5x f x x -=+（C ）()arctan 4x f x =（D ）()x xf x e e -=+ 18. （文）方程2lg 4(||200)(||202)x x x =---的解的个数为（ C ）（A ）2 (B ）4 （C ）6 （D ）8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. （文）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 是1CC 的中点，点M 在线段11A B 上.（1）当M 为11A B 中点时，求异面直线DM 与AB 所成角的大小.（2）指出直线1CC 与平面MAB 的位置关系（不用证明），并求三棱锥D MAB -的体积.解：（1）∵11//AB A B∴1A MD ∠或其补角是异面直线DM 与AB 所成的角. …………………………………3分 连接1A D ，则三角形1A DM 为直角三角形，且0190DA M ∠=，1AD =， 112A M =∴111tan A DA MD A M∠== …………………………5分 ∴异面直线DM 与AB所成的角为分（2）1CC //平面11AA B B 即1CC ∥平面MAB （不必证明）…………………………7分 ∵CA AB ⊥， 1CA AA ⊥，CA ⇒⊥平面11AA B B 所以C 到平面11AA B B 的距离为CA=1.1CC ∥平面11AA B B ，可知D 到平面11AA B B 的距离与C 到平面11AA B B 的距离相等，为CA=1. …………9分 又11//AB A B ，∴MAB ∆的面积11122ABMS AB AA =⋅=……………………………11分 ∴13D MAB ABMV SCA -=⋅111326AC =⋅⋅=.……………………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面.设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S . （1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值. 解：（1）ABCD ABP ADQ S S S S ∆∆=-- ……………………………………………………2分10050tan 50tan()4πθθ=--- ……………………………………………4分1tan 10050tan ,(0)1tan 4θπθθθ-⎛⎫=-+<< ⎪+⎝⎭…………………………………6分 （2）令1tan ,(1,2)t t θ=+∈ …………………………………………………………8分BDCAP21(1)221005010050(2)20050()t S t t t t t ⎡⎤+-=-=-+-=-+⎢⎥⎣⎦ ……………10分2t t +≥=（当且仅当2t t =时，即()1,2t =，等号成立）…12分∴当t =S 的最大值为200-（平方海里）此时，1)θ= …………………………………………………………14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. （文）已知定义在*N 上的函数)(x f ，对任意正整数1n 、2n ，都有1212()1()()f n n f n f n +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有(2)1n n a f =+，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列； （2）若对任意正整数n ，()f n 使得不等式2()3log (1)28n f n x <+恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）令121n n ==，得()()(2)111f f f =++，则(2)3f =，1(2)14a f =+= …………………………………………………………1分令122n n ==，得()()(4)122f f f =++，则(4)7f =，2(4)18a f =+= ……2分令122n n n ==，得(22)1(2)(2)n n n nf f f +=++，即1(2)12(2)n n f f +=+， ……………………………………………………………4分则1(2)121(2)n nf f +⎡⎤+=+⎣⎦，12n n a a +=所以，数列{}n a 是等比数列，公比2q =，首项14a =. …………………………6分（2）令12,1n n n ==，得(1)1(1)()f n f f n +=++，即(1)()2f n f n +=+则)}({n f 是等差数列，公差为2，首项(1)1f =.故122)1(1)(-=⋅-+=n n n f . …………………………………………………8分 设()21()22nn f n n g n -==，则 11212132(1)()222n n n n n ng n g n +++--+-=-=当1n =时，(1)()0g n g n +->，即(2)(1)g g >当2n ≥时，(1)()0g n g n +-<，即2n ≥时，)}({n g 是递减数列. 所以，max 3(2)4g g ==………………………………………………………………11分 从而233log (1)84x +>，即2log (1)2x +>…………………………………………12分则1014x x +>⎧⎨+>⎩，解得(3,)x ∈+∞．……………………………………………………14分22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.（文）定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．（1）已知函数21xy =-的定义域为[],a b ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，写出区间[],a b 长度的最大值与最小值.（2）已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图像的每点横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移8π()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求区间[,]a b 长度的最小值．（3）已知函数()M f x 的定义域为实数集[2,2]D =-,满足(),,M x x Mf x x x M∈⎧=⎨-∉⎩ (M 是D 的非空真子集) . 集合[]1,2A =,[]2,1B =-- ,求()()()()3A B A B f x F x f x f x =++的值域所在区间长度的总和． 解：（1）1212x-=，解得1x =-或23log 2x =， 210x -=，解得0x =，……………………2分画图可得：区间[],a b 长度的最大值为2log 3，最小值为23log 2. …………………4分 （2）()2sin(2())2sin(2)84g x x x ππ=++=++分11()0sin(2)424g x x x k πππ=⇒+=⇒=-或7,24x k k Z ππ=-∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为6π和56π， …………………………………………8分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有2014个零点，则b a -的最小值为 511007100666πππ-=．…………………………………………………………10分（3）(),3,(1,1)23xx A B F x x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈-⎪-⎩…………………………………………………12分当x AB ∈，2112(),,3333F x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………13分 当(1,1)x ∈-，1()(1,)5F x ∈-，……………………………………………………14分 所以[2,2]x ∈-时，112()(1,),533F x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……………………………………15分 所以值域区间长度总和为2315。