1.2排列与组合一、排列 1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement).【注】（1）排列的定义包含两方面的含义：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序”．（2）定义中规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了．（3）定义中的“一定的顺序”与位置有关.如取出数字1，2，3组成一个三位数，就与位置有关，因为123和321是不同的三位数. 2．排列数、排列数公式 （1）排列数从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示. （2）排列数公式 ①排列数公式的推导一般地，求排列数A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：假设有排好顺序的m 个空位，从n 个元素12,,,n a a a L 中任取m 个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m 个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m 个空位共有(1)(2)[(1)]n n n n m ----L 种填法.这样，我们就得到公式A m n =，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做排列数公式. ②全排列与阶乘n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，这时公式中m n =，即有A (1)(2)321n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n 的连乘积.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示.所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成A !n n n =.另外，我们规定0!=1. 于是排列数公式写成阶乘的形式为A m n =!()!n n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.【注】排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 二、组合 1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（combination ）.【注】（1）组合要求n 个元素是不同的，取出的m 个元素也是不同的，即从n 个元素中进行m 次不放回地抽取.（2）无序性是组合的本质，即元素没有位置要求.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，这两个组合都是相同的组合，如ab 与ba 是两个不同的排列，但它们是同一个组合；如果两个组合中的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合. 2．组合数、组合数公式 （1）组合数从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示. （2）组合数公式与排列数公式一样，组合数公式也有两个：①A C A m m nnm m==，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做组合数公式.②因为A mn =!()!n n m -，所以组合数公式还可以写成C mn =!!()!n m n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.另外，我们规定0C 1n =. 3．组合数的性质 性质1：C m n =.由于0C 1n =，因此该等式在m =n 时也成立.性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C m n 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.K 知识参考答案： 一、1．一列2．（1）不同排列 （2）(1)(2)(1)n n n n m ---+L二、1．合成一组2．(1)(2)(1)!n n n n m m ---+L3．C n mn-K —重点 排列、组合式的计算及应用 K —难点排列、组合的应用K —易错忽视排列、组合数中的限制条件致误，重复计数或遗漏计数致误，对特殊元素考虑不周致误，混淆分堆与分配问题致误等等.1．排列、组合公式的应用 对排列数公式的理解：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n ，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n −m +1,共有m 个因数相乘.（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时，采用阶乘形式较好. 对组合数公式的理解：（1）组合数的计算、组合恒等式的证明，求解组合等式或不等式中的字母值或取值范围主要应用公式：C m n =!!()!n m n m -，（2）对于含有字母的组合式的变形．．论证，利用C mn =(1)(2)(1)!n n n n m m ---+L 较为简便．【例1】（1）计算：①A 58＋A 48A 69－A 59；②C 410－C 37·A 33. （2）化简：①A 11＋2A 22＋3A 33＋···＋n A nn ；②383321C C nn nn -++.（3）解方程：①；②C x 14＝C 2x －414. 【答案】（1）①527；②0；（2）①A n ＋1n ＋1－1；②466；（3）①x ＝5；②x ＝4或6.【解析】（1）①原式＝4A 48＋A 484A 59－A 59＝5A 483A 59＝5A 483×9A 48＝527. ②原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.（2）①∵k A k k ＝(k ＋1)A kk －A kk ＝A k ＋1k ＋1－A kk ，∴原式＝1＋(A 33－A 22)＋(A 44－A 33)＋···＋(A n ＋1n ＋1－A n n )＝A n ＋1n ＋1＋1－A 22＝A n ＋1n ＋1－1.②∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n 3n ≤21＋n，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N *， ∴n ＝10，∴383321C C n nn n -++＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466. （3）①由得.,.化简整理得，解得(舍去)..②由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或14(24)241414x x x x =--⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，解得x ＝4或6. 【名师点睛】（1）利用组合数公式解题时，要注意有关限制条件：,m n *∈N ，且m n ≤. （2）应用排列数公式时应注意以下几个方面：①准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． ②合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．③合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，提公因式化简，可以提高运算的速度和准确性． 2．组合数性质的应用（1）性质“C mn ＝C n －mn ”的意义及作用．（2）与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈*N ，n ∈*N ，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． 【例2】（1）计算：C 58＋C 98100·C 77； （2）计算：C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； （3）证明下列各等式： ①C mn ＝nmC m －1n －1； ②C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； ③C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2＋···＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m . 【答案】（1）5006；（2）32；（3）见解析.【解析】（1）原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.（2）原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×(6＋5×42×1)＝32.（3）①右边(1)!!!(1)![(1)(1)]![(1)!]()!!()!n n n n m m n m m m n m m n m -=⋅==----⋅---=C mn =左边， ∴原式成立.③左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋···＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋···＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋···＋C m －1n ＋m －1＝(C 3n ＋4＋C 4n ＋4)＋···＋C m －1n ＋m －1＝···＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边， ∴原式成立．【名师点睛】组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到. 组合数公式②的主要作用有：计算m ，n 较大时的组合数；对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 3．排列的应用解排列应用题的基本思路：实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)． 【例3】（无限制条件的排列问题）利用1,2,3,4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？（用数字作答）. 【答案】24.【解析】这是从1,2,3,4这四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有34A =4×3×2=24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数.【技巧点拨】没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.【例4】（元素相邻问题）有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数为 A ．12 B ．24 C ．144D ．288【答案】D【解析】第1步,把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有22A 种排法；第2步,对男、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有33A 种，男生“内部”的排法有44A 种.故符合题意的排法共有22A ·33A ·44A =288种.【技巧点拨】解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11A n k n k -+-+种排法;然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有A k k 种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11A A k n k n k k -+-+⋅种.【例5】（元素不相邻问题）5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有 A ．86400种 B ．14400种 C ．720种D ．120种【答案】A【技巧点拨】解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻(k ≤n −k +1)，求不同排法种数的方法是：先将(n −k )个元素排成一排,共有A n k n k --种排法;然后把k 个元素插入n −k +1个空隙中，共有1A k n k -+种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有A n kn k--·1A k n k -+种. 【例6】（定位、定元问题）6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有多少种不同站法？ 【答案】480.【解析】方法一(位置分析法)：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:方法二(元素分析法)：先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有14A 种站法； 第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有55A 种站法.由分步乘法计数原理可知,共有14A 55A =480种不同站法.【技巧点拨】定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.【例7】（数字排列问题）用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个. （1）六位奇数；（2）能被5整除的四位数； （3）比210435大的六位数．【答案】（1）288；（2）108；（3）453.【解析】（1）先排个位，个位数字只能从1,3,5中选有3种方法； 再排首位，首位不能为0，故还有4个数字可选，有4种方法； 最后排中间四位，没有其他附加条件，排法数为4！，由分步乘法计数原理知，共有不同排法种数为3×4×4！＝288个．（2）能被5整除，个位只能是0或5，个位是0时，没有其他附加条件，其他三个数位排法有A 35种； 个位是5时，首位排法有4种，再排十位与百位，有A 24种，∴个位是5的有4A 24种， 由分类加法计数原理知共有A 35＋4A 24＝108个． （3）①首位是4、3、5时满足要求，有3×A 55个；②首位是2时，当万位是4、3、5时满足要求，有3×A 44个；当万位是1时，千位是4、3、5时满足要求，有3×A 33个；当首位为2，万位是1，千位是0时，若百位是5，有A 22个，若百位是4，则十位为5，只有1个． 由分类加法计数原理知，共有比210435大的六位数3A 55＋3A 44＋3A 33＋A 22＋1＝453个． 【技巧点拨】数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．（2）常用方法：直接法、间接法．（3）注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 4．组合的应用【例8】（无限制条件的组合问题）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种.小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是.（用数字作答） 【答案】266故共有58C +48C ·23C =266种不同买法.【技巧点拨】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．【例9】（有限制条件的组合问题）某医院从10名医疗专家中抽调6名赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ （2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ （3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 【答案】（1）90；（2）185；（3）115.【解析】（1）分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C 24种选法，再从除外科专家的6人中选取4名，有C 46种选法，所以共有C 24·C 46＝90种抽调方法．根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．解法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有C610－C14·C56－C55＝185种抽调方法．（3）“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．【技巧点拨】（1）解有限制条件的组合问题与解有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法.（2）要正确理解题中的关键词（如“都”与“不都”,“至少”与“至多”，“含”与“不含”等）的确切含义，正确分类，合理分步.【例10】（几何中的组合问题）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，则它们共能构成________个平行四边形.【答案】1 260【解析】第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有C28C210＝1 260(个)．【技巧点拨】要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．处理几何中的计数问题时要抓住“对应关系”，如不共线三点对应一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等．可借助于图形思考问题，要善于利用几何的有关性质或特征解题，避免重复或遗漏．【例11】（排列、组合的综合问题）有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1、2与3、4与5、6与7、8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【答案】432.第三类：0和1都不取，有不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，不同的三位数共有C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432个．方法二：任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432个．【技巧点拨】（1）解决排列、组合的综合应用题时注意以下三点：①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；②深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；③对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决．（2）解决排列与组合的综合问题时,应遵循三大原则：①先特殊后一般；②先组合后排列；③先分类后分步.5．对特殊元素考虑不周致误【例12】4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有A．12种B．14种C．16种D．24种【错解】若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A44＝24种排法，甲跑第一棒有A33＝6种，乙跑第四棒有A33＝6种，故一共有A44－A33－A33＝12种．【错因分析】解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况导致了错误结论A44－2A33＝12.【正解】用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A44＝24种排法，减去甲跑第一棒有A33＝6种排法，乙跑第四棒有A 33＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A 22＝2种排法，共有A 44－2A 33＋A 22＝14种不同的出场顺序．故选B ． 【答案】B【易错警示】解决此类问题一定要不重不漏． 6．忽略排列的有序性致误【例13】8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有种排法.【错解】错解1：甲、乙两人在前排,前排还少2人,有25A 种排法；丙在后排,有33A 种排法,故共有25A ·33A =120种排法.错解2：甲、乙两人在前排,有22A 种排法,再从余下5人（不含丙）中选2人排在前排,有25A 种排法；其余4人(含丙)在后排,有44A 种排法,故共有22A ·25A ·44A =960种排法.【错因分析】甲、乙两人在前排,但甲、乙位置不能确定,需对甲、乙两人位置排列.同样地,丙在后排,丙的位置也不能确定,后排4人位置需排列.【正解】先排甲、乙,有24A 种排法,再排丙,有14A 种排法,其余5人有55A 种排法, 故共有24A 14A 55A =5 760种排法. 【答案】5 760【易错警示】排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题中要时刻把握这一“原则”.7．重复计数与遗漏计数致误【例14】有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有种(用数字作答). 【错解】错解1：分三步完成：第1步,从10人中选出4人，有410C 种方法.第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法. 第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有410C 24A 22A =5 040种. 错解2：分三步完成，不同的选法共有410C 24C 22C =1 260种.【错因分析】错解一中对“排列”“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .错解二中剩下的2人承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应为22A .【正解】正解1：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有210C 18C 17C =2 520种.正解2：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有210C 28A =2 520种. 【答案】2 520【易错警示】计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.8．不能正确分堆与分配致误【例15】有12本不同的书，分成4堆. （1）若每堆3本，有几种方法？（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？（3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式) 【错解】（1）若每堆3本，有C 312C 39C 36C 33种分法.（2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有C 112C 311C 48C 44种分法. （3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有C 112C 211C 39C 66种分法．【错因分析】A 、B 、C 、D 四本书平均分为两堆，只有AB ，CD ；AC ，BD ；AD ，BC 三种分法，而C 24·C 22＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB ，再取CD 和先取CD ，再取AB 是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．【正解】（1）若每堆3本，有C 312·C 39·C 36·C 33A 44种分法． （2）若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有C 112C 311C 48C 44A 22种分法． （3）若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有C 112C 211C 39C 66种分法． 【易错警示】（1）分堆与分配问题将一组n 个不同元素平均分给A 、B 、C 等不同的单位，每个单位m 个，可先从n 个不同元素中选取m 个给A ，再从剩下的n －m 个不同元素中选取m 个给B ，…，依次类推，不同方法种数为C m n C m n －m ···C mm 个；将一组n 个不同元素平均分成k 堆，每堆m 个，由于某m 个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为C mn ·C mn －m ·…·C mmk ！.（2）相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．1．若n ∈*N 且n <20，则(27－n )(28－n )···(34－n )等于 A ．A 827－n B ．A 27－n34－n C ．A 734－nD ．A 834－n2．计算C 34＋C 35＋C 36＋···＋C 32016的值为 A ．C 42017B ．C 52017C ．C 42017－1D ．52017C 13．从1、2、3、4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为 A ．2B ．4C ．12D ．244．下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动； ③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母，然后按顺序排列成一列； ⑤从集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }的子集中取出含有3个元素的子集； 其中是排列问题的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5．安排7名志愿者中的6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答) 6．若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合是______. 7．解方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4.8．解答下列问题：（用式子表示）（1）8个人排成一排，共有多少种不同的排法？（2）8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ （3）8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？9．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有 A ．24种 B ．36种 C ．38种D ．108种10．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有A ．720种B ．360种C．240种D．120种11．某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为A．84 B．72C．76 D．13012．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有A．150种B．180种C．200种D．280种13．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？（答题要求：先列式，后计算, 结果用具体数字表示．）14．5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.（1）求两名女生相邻而站的概率；（2）求教师不站中间且女生不站两端的概率.15．（2017年高考新课标II卷）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种16．（2016年高考四川卷）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C．60 D．7217．（2017年高考浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）18．（2017年高考天津卷）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）1 2 3 4 9 10 11 12 15 16D C C B B C D A D D1．【答案】D【解析】由排列数公式定义知，上式＝A834－n，故选D．【名师点睛】恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．3．【答案】C【解析】本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即24A＝12.故选C.4．【答案】B【解析】①④是排列，②③⑤是组合，故选B．【名师点睛】区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判断它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．5．【答案】140【解析】第一步安排周六有C37种方法，第二步安排周日有C34种方法，所以不同的安排方案共有C37C34＝140种．6．【答案】{6,7,8,9}【解析】∵C4n>C6n，∴!!4!(4)!6!(6)!n nn n>--，∴n2－9n－10<0，∴－1<n<10，∵n∈N*且n≥6，∴n＝6、7、8、9，∴n的取值集合为{6,7,8,9}．【名师点睛】利用组合数公式解题，并注意有关限制条件．7．【答案】x＝11.【解析】由排列数和组合数公式，原方程可化为(3)!(4)! 35(7)!4!(6)!x xx x--⋅=⋅--，则3(3)4!x-＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．∴方程的根为x＝11.【思路分析】恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．8．【答案】（1）A88；（2）A88；（3）A88.【解析】（1）由排列的定义知共有A88种不同的排法．（3）同（2）的分析可知，共有A38×A55＝A88(种)．【名师点睛】（1）解决排列应用问题的步骤：①分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．②注意对元素或位置有无特殊要求．③借助排列数公式计算．（2）无限制条件的排列问题，主要根据排列数的定义及分步乘法计数原理解决．n人排队或n个元素排成若干排的问题，可采用排成一排的方法，也可用乘法原理分步进行．9．【答案】B【解析】按电脑编程人员的分配方案进行分类：第一类：电脑编程人员分给甲部门1人，另2人去乙部门，有C13·C12·C23＝18种；第二类：电脑编程人员分给甲部门2人，另1人去乙部门，有C23·C12·C13＝18种．∴共有不同分配方案18＋18＝36种．选B.【名师点睛】解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．10．【答案】C【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法，由分步乘法计数原理可知：共有A55·A22＝240种不同的排法，故选C．【名师点睛】（1）解排列应用题的基本思路实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．。
