2020版高考数学大一轮复习-第2讲排列与组合分层演练(理)(含解析)新人教A版

专题十计数原理【真题典例】(2Dia®Z, 16, 4分｝故I, k 0 7.号中仆JFC亍fh M(u・ 4, <i 中任............................. Yttwaw农字的叫位■丄用就耘禅iO核心电去2”爼合一* 3,分丛卓曲汁数旦理.❷知识備备IM9列问堆的LTFAtei直察肌忧先底、拥綁法，懂窒桩.何搖床.2 QP2问鹰:小和吋打配冋也；必店肛均*ms.工播酬*辺許的灯汁啜用.❸思路分析ti£ -：解性 _____________________________.粮職建翻4牛航站这4许饭聘琬IIitM4l-故屮才o. 讪带「就的菲應崩,[ 稈出H园・章話"位貌的*敷]❹易错養示1.错解：从・，仏九7. HWMHK 打种方愉.Wh 2, 4, ft中任胞2乍览有氏料灯施.这4丫敢脚1磺逆何由芟救宁舸四I* '■炖宵1：「1；；：1斗网打这z術妙拆析：樹射》元*，m 仁族错的主UWW.Ttilffjtt字不權忌“0”+闪此*0" 元札” T-忖”屁脅祿位.KA “(T 人刊yOlT❺有法指导<先选后榨是辭答排刊*鉅音问昭的根亭方医.制川先遼研排法加善问爼冃需三堆叩叮左城.勒一举：逹兀荒，即选出捋斡枭件I的元索土蜡二排列.即耙选出的元秦技雯求旌忏排列；第三歩；即根据分歩乗堆计tt匝理、分塗imifc计数眾♦挥计算总髓❻能力要求|.AMMNK讨I和薛険些简草的实1障阿紙艸* ta合釈淡向唯的冥衍何题-❼命题總律1-醪专内客：汁盟限理-掛赳.爼爵-1 2■专SHtS式：以逢择融，填空尊为主，将排列、闱合奪合握率轴決一些实际问翡.也規常与豪敕好布列问皐WH结合.❽解答过程15秦见HM7.10.1 排列、组合挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点计数原理、排(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2018 课标I ,15,5分组合问题分类加法计数原理★★★11分析解读从近五年的考查情况来看，本节主要考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的应用，一般以选择题、填空题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查，有时也与概率问题相结合以解答题的形式呈现•主要考查学生的逻辑推理能力•破考点【考点集训】考点计数原理、排列、组合1. （2018四川德阳三校联考，7）从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物竞赛,其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A.48B.72C.90D.96答案D2. （2018广东中山一中第五次统测，7）从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.49C.56D.28答案 B3. 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P 点处进,Q 点处出，沿图中线路游览 A,B,C 三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O 外）的游览线路有（）D.48 种答案 D炼技法 【方法集训】方法1求解排列问题的常用方法1. （2018安徽合肥调研性检测，9）用数字0,1,2,3,4 组成没有重复数字且大于 3 000的四位数,这样的四位数有（ ）A.250 个B.249 个C.48 个D.24 个答案 C2. （2017河南百校联考质检，7）甲、乙、丙、丁、戊、己 6名同学站成一排照毕业相，要求甲 不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻 ，则不同的站法种数为（）A.60B.96C.48D.72答案 C3. （2017江西八所重点中学联合模拟,13）摄像师要对已坐定一排照相的 5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为 ____________ .（用数字 作答）答案 20C.12 种 A.6种B.8种方法2 分组、分配问题的求解策略1. （2018广东珠海模拟，7）将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球则不同放法共有（ ）A.480 种B.360 种C.240 种D.120 种答案 C2.（2017河南豫南九校2月联考，10）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共 8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医 生、外科医生和护士 ，则不同的分配方案有（ ）A.72 种B.36 种C.24 种D.18 种答案 B过专题 【五年高考】A 组统一命题课标卷题组1.（2017课标II ,6,5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人 完成，则不同的安排方式共有（ ） A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种答案 D2. （2016课标1,5,5分）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）答案 BA.24B.183. （2016课标川,12,5分）定义规范01数列”a n｝如下:｛a n｝共有2m项，其中m项为0,m项为1, 且对任意k<2m,a i,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的规范01数列"共有（）A.18 个B.16 个C.14 个D.12 个答案C4. ______________________ （2018课标I ,15,5分）从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）答案16B组自主命题省（区、市）卷题组1. （2014重庆,9,5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.168答案B2. （2014安徽,8,5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对答案C3. （2018浙江,16,4分）从1,3,5,7,9 中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_________ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）答案 1 2604. （2017浙江,16,4分）从6男2女共8名学生中选出队长1 人,副队长1 人,普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________ 种不同的选法.（用数字作答）答案660C组教师专用题组1. （2015四川,6,5分）用数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个答案B2. （2014辽宁,6,5分）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A.144B.120C.72D.24答案D3. （2014四川,6,5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A.192 种B.216 种C.240 种D.288 种答案B4. （2014 广东,8,5 分）设集合A={（x 1,X2,X3,X4,X5）|x i € {-1,0,1},i=1,2,3,4,5}, 那么集合A 中满足条件1弓X1| + |X 2|+|X 3| + |X 4| + |X 5| W”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130答案D5. （2015广东,12,5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_________ 条毕业留言.（用数字作答）答案 1 5606. （2014北京,13,5分）把5件不同产品摆成一排•若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_________ 种.答案367. （2014浙江,14,4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖•将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有____________ 种（用数字作答）.答案60【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共35分）1. （2019届广东肇庆第一次统测,11）将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A B、C D共4所学校，每所学校至少一人，且甲不去A学校，则不同的分配方法有（）A.72 种B.108 种C.180 种D.360 种答案C2. （2018河北唐山二模,6）用两个1, 一个2, 一个0可组成不同四位数的个数是（）A.18B.16C.12D.9答案D3. （2018河南商丘二模,8）高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（）A. X 种B. X54种C. X 种D. X54种答案D4. （2017江西新余二模,9）2017年3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A.34 种B.48 种C.96 种D.144 种答案C5. （2018福建福州二模，8）福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（）A.90 种B.180 种C.270 种D.360 种答案B6. （2018河南豫北名校联考，9）2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中（1）班、（2）班、（3）班、（4）班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中（1）班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有（）A.18 种B.24 种C.48 种D.36 种答案B7. （2018山西长治二模，10）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1,2，「6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去•则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A.22 种B.24 种C.25 种D.36 种答案C二、填空题（每小题5分，共25分）8. （2019届河北衡水中学第一次摸底考试，15）由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有___________ 个.答案1209. （2019届山东青岛高三9月期初调研检测，15）将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_________ 种.答案1010. （2019届河南开封10月定位考试，15）从5名学生中选出4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，乙只能参加数学竞赛，则不同的参赛方案种数为.答案3611. （2018山西太原第三次模拟,14）要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 __________ 种（用数字作答）.答案12012. （2017广东佛山二模，14）有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2 人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为_________ .答案12。

2020年高考数学一轮复习第十一章第2节排列与组合1.将A 、B 、C 、D 、E A 、B 、C 〞或〝C 、B 、A 〞(能够不相邻)，如此的排列数有多少种( )A ．12B ．20C ．40D ．60解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置给A 、B 、C 且A 、B 、C 有两种排法，即35C ×2，②然后让D 、E 排在剩余两个位置上，有22A 种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为35C ×2×22A ＝40. 答案：C2．(2018·桂林模拟)四张卡片上分不标有数字〝2”〝0”〝0”〝9”，其中〝9”可当〝6”用，那么由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 ( )A ．6B ．12C ．18D ．24解析：专门元素优先处理，先在后三位中选两个位置填两个数字〝0〞，有23C 种填法，再决定用〝9〞依旧〝6〞有两种可能，最后排另两个卡片有22A 种排法，因此共可排成23C ·2·22A ＝12个四位数． 答案：B3．从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4,6,8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有( )A ．120个B ．300个C ．240个D ．108个 解析：第一步：把5放到四位数的末位上； 第二步：从1,3,7中任取1个，有13C 种方法； 第三步：从2,4,6,8中任取2个数字，有24C 种方法；第四步：把选出的3个数字分不放在四位数的千位、百位与十位上，有33A 种方法．故共有13C 24C 33A ＝108种方法．答案：D4．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的奥运宣传广告，1个公益广告．要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，2个奥运宣传广告也不能连续播放，那么不同的播放方法有________种．解析：分三步：第一步，安排3个商业广告，有33A 种不同的方法；第二步，从奥运宣传广告与公益广告中选择1个安排在最后一个播放，有13A 种不同的方法；第三步，把剩下的两个广告安排到3个商业广告分成的与第二步安排的广告不相邻的3个空位中，有23A 种不同方法，因此共有33A 13A 23A ＝108种方法．答案：1085.(2018·全国卷Ⅱ)甲、乙两人从41门不相同的选法共有( )A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种解析：从反面考虑：24C ·24C －24C ＝6×6－6＝30. 答案：C6．有穷数列{a n }(n ＝1,2,3，…，6)满足a n ∈{1,2,3，…，10}，且当i ≠j (i ，j ＝1,2,3，…，6)时，a i ≠a j .假设a 1>a 2>a 3，a 4<a 5<a 6，那么符合条件的数列{a n }的个数是 ( )A ．310C 37CB ．310C 310C C ．310C 37CD ．610C 36C解析：先从10个数中任意选出3个，最大的数为a 1，最小的为a 3，另一数为a 2，如此的选法有310C 种；同理，从剩余的7个数中任选3个，有37C 种选法，由分步计数原理知共有310C 37C 种选法．答案：A7．(2018·海南、宁夏高考)7名理想者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有________种(用数字作答)．解析：法一：先从7人中任取6人，共有67C 种不同的取法．再把6人分成两部分，每部分3人，共有336322C C A 种分法．最后排在周六和周日两天，有22A 种排法， ∴67C ×336322C C A ×22A ＝140种． 法二：先从7人中选取3人排在周六，共有37C 种排法．再从剩余4人中选取3人排在周日，共有34C 种排法，∴共有37C ×34C ＝140种． 答案：1408．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情形，故不同的选派方案种数为12C ·34C ＋22C ·24C ＝2×4＋1×6＝14. 法二：从4男2女中选4人共有46C 种选法，4名差不多上男生的选法有44C 种，故至少有1名女生的选派方案种数为46C －44C ＝15－1＝14. 答案：149.(2018·西宁模拟)用三种不同的颜色填涂右图3×3方格中的9个区域， 要求每行、每列的三个区域都不同色，那么不同的填涂方法种数共有( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：可将9个区域标号如图：用三种不同颜色为9个区域涂色，可分步解决：第一步， 为第一行涂色，有33A ＝6种方法；第二步，用与1号区 域不同色的两种颜色为4、7两个区域涂色，有22A ＝2种 方法；剩余区域只有一种涂法，综上由分步乘法计数原理可 知共有6×2＝12种涂法． 答案：C10．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，那么其中数字2,3相邻的偶数有________个(用数字作答)．解析：个位数字是2或4，假设个位是2，那么十位数字必须是3，共有33A 个； 假设个位是4，那么将2,3作为一个整体，与1,5进行排列，共有233A 个． 因此总共有33A ＋233A ＝18个． 答案：1811．10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止． (1)假设恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，那么如此的不同测试方法数是多少？(2)假设恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，那么如此的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有46A 种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有24C ·22A ＝24A 种测法，再排余下4件的测试位置，有A 44种测法．因此共有不同排法45C 46A ·24A ·44A ＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中显现，从而前4次有一件正品显现．因此共有不同测试方法14A ·(16C ·33C )44A ＝576种． 12．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出竞赛，在以下情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)第一步：选3名男运动员，有36C 种选法． 第二步：选2名女运动员，有24C 种选法．共有36C ·24C ＝120种选法． (2)法一(直截了当法)：〝至少1名女运动员〞包括以下几种情形： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得有14C ·46C ＋24C ·36C ＋34C ·26C ＋44C ·16C ＝246种选法．法二(间接法)：〝至少1名女运动员〞的反面为〝全是男运动员〞． 从10人中任选5人，有510C 种选法，其中全是男运动员的选法有56C 种． 因此〝至少有1名女运动员〞的选法有510C －56C ＝246种． (3)法一(直截了当法)：〝只有男队长〞的选法为48C 种； 〝只有女队长〞的选法为48C 种； 〝男、女队长都入选〞的选法为38C 种；因此共有248C ＋38C ＝196种． 法二(间接法)：从10人中任选5人，有510C 种选法． 其中不选队长的方法有58C 种．因此〝至少1名队长〞的选法有510C －58C ＝196种选法．(4)当有女队长时，其他人选法任意，共有49C 种选法．不选女队长时，必选男队长，共 有48C 种选法．其中不含女运动员的选法有45C 种，因此不选女队长时共有48C －45C 种选 法．因此既有队长又有女运动员的选法共有49C ＋48C －45C ＝191种．。

§排列与组合最新考纲.通过实例，理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．．排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列从个不同元素中取出(≤)个元素组合合成一组.排列数与组合数()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．．排列数、组合数的公式及性质()＝(－)(－)…(－＋)＝公式()＝＝＝()！＝；＝！性质()＝；＝＋概念方法微思考．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示()排列数与组合数之间的联系为＝.()两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)()一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)()(＋)！－！＝·！.(√)()若组合式＝，则＝成立．(×)()＝.(√)题组二教材改编．把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．．．．。

2020 年高考数学一考点57摆列与合一、【知精】1.摆列与合的观点名称定摆列从n 个不一样元素中拿出m m≤n)依据必定的序排成一列(合个不一样元素合成一2.摆列数与合数(1)从 n 个不一样元素中拿出m m≤n个元素的所有不一样摆列的个数，叫做从n 个()不一样元素中拿出m个元素的摆列数 .(2) 从 n 个不一样元素中拿出 m( m≤n) 个元素的所有不一样合的个数，叫做从n 个不一样元素中拿出m个元素的合数 .3.摆列数、合数的公式及性公式性m n n－n－⋯(n－m＋＝n！n1)(2)1)（n－ m）！.(1)A ＝ (m n（ n－）（ n－）⋯（ n－m＋）m nA121＝(2)C n＝m＝m！Amn！n，m∈*，且 m≤n特地0 m！（ n－m）！(Nn＝1).Cn(1)0 ！＝ 1；A n＝ n！ .m n－mm m m(2)C ＝C； C＝C＋C－ 1n n n ＋1n n【注意点】1.解受条件限制的摆列、合，往常有直接法 ( 合理分 ) 和接法 ( 清除法 ).分准一，防止出重复或漏.2.于分派，一般先分，再分派，注意均匀分与不均匀分的区，防止重复或漏 .二、【典例精】考点一摆列【例 1】有 3 名男生、 4 名女生，在以下不一样条件下，求不一样的摆列方法数.(1)5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，女生一定站在一同；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)( 一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，也不站最右侧；(6)(一题多解 ) 全体排成一排，此中甲不站最左边，乙不站最右侧 .【分析】(1) 从 7 人中选 5 人摆列，有5种).A ＝7×6×5×4×3＝ 2 520(7(2) 分两步达成，先选 3 人站前排，有34A7种方法，余下 4 人站后排，有A4种方法，34共有 A7·A4＝5 040( 种).(3)(捆绑法 ) 将女生看作一个整体与 34名男生一同全摆列，有 A4种方法，再将女444生全摆列，有 A4种方法，共有 A4·A4＝576(种).(4)(4种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个插空法 ) 先排女生，有 A4343空位安排男生，有 A5种方法，共有 A4·A5＝1 440( 种).(5) 法一( 特别元素优先法 ) 先排甲，有5 种方法，其余6 6 人有 A 种摆列方法，6共有65×A＝ 3 600( 种 ).6法二2( 特别地点优先法 ) 左右两边地点可安排另 6 人中的两人，有 A6种排法，其525他有 A5种排法，共有A6A5＝ 3 600( 种).(6) 法一6( 特别元素优先法 ) 甲在最右侧时，其余的可全排，有 A6种方法；甲不1在最右侧时，可从余下的 5 个地点任选一个，有 A5种，而乙可排在除掉最右侧的地点后剩下的 5 此中任选一个有15A5种，其余人全摆列，只有 A5种不一样排法，共有6115 A＋A AA ＝3 720.6555法二( 间接法 )7 名学生全摆列，只有76A7种方法，此中甲在最左边时，有 A6种方6种方法，此中都包括了甲在最左边且乙在最右侧的情况，法，乙在最右侧时，有 A65765＝3 720(种).有 A5种方法，故共有A7－2A6＋A5【解法小结】摆列应用问题的分类与解法(1)关于有限制条件的摆列问题，剖析问题时有地点剖析法、元素剖析法，在实质进行摆列时一般采纳特别元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的地点，关于分类过多的问题能够采纳间接法 .(2)对相邻问题采纳捆绑法、不相邻问题采纳插空法、定序问题采纳倍缩法是解决有限制条件的摆列问题的常用方法 .考点二组合问题【例 2】某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知此中有 15 种赝品 . 现从 35种商品中选用 3 种.(1)此中某一种赝品一定在内，不一样的取法有多少种？(2)此中某一种赝品不可以在内，不一样的取法有多少种？(3)恰有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？(4)起码有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？(5)至多有 2 种赝品在内，不一样的取法有多少种？2种) ，∴某一种赝品【分析】 (1) 从余下的 34 种商品中，选用 2 种有 C34＝561(一定在内的不一样取法有 561种.(2) 从 34 种可选商品中，选用3323种 ).3 种，有 C34种或许 C35－C34＝ C34＝5 984(∴某一种赝品不可以在内的不一样取法有 5 984 种.1 2(3)从 20 种真货中选用 1 件，从 15 种赝品中选用 2 件有 C20C15＝ 2 100( 种).∴恰有 2 种赝品在内的不一样的取法有2 100 种.123123 (4) 选用 2 种赝品有 C20C15种，选用 3 种赝品有 C15种，共有选用方式C20C15＋C15＝2100＋ 455＝2 555( 种).∴起码有 2 种赝品在内的不一样的取法有 2 555 种.(5) 选用 3 种的总数为33C35，选用 3 种赝品有 C15种，所以共有选用方式33C35－C15＝ 6 545 －455＝6 090( 种 ).∴至多有 2 种赝品在内的不一样的取法有 6 090 种.【解法小结】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素拿出，再由此外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选用 .(2)“起码”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这种题一定十分重视“起码”与“至多”这两个要点词的含义，提防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可以求解，往常用直接法分类复杂时，考虑逆向思想，用间接法办理.考点三分组、分派问题多维研究角度 1整体均分问题【例 3－1】国家教育部为了发展贫穷地域教育，在全国要点师范大学免费培育教育专业师范生， 毕业后要分到相应的地域任教， 现有 6 个免费培育的教育专业师范毕业生要均匀分到 3 所学校去任教，有 ________种不一样的分派方法 .【答案】90222【分析】先把 6 个毕业生均匀分红3 组，有C 6C 34C 2种方法，再将 3 组毕业生疏A322 23个毕业生均匀分到C 6C 4C 23到 3 所学校，有 A 3 ＝6 种方法，故 63 所学校，共有3·A 3A3＝ 90 种分派方法 . 角度 2部分均分问题【例 3－2】 某学校派出 5 名优异教师去边远地域的三所中学进行教课沟通，每 所中学起码派一名教师，则不一样的分派方法有 ( )A.80 种B.90 种C.120 种D.150 种【答案】D2 2 153 1【分析】分两类：一类，第一步将 5 名老师按 2，2，1 分红 3 组，其分法有 C CC2A 22 2 15 3 1种，第二步将分好的 3 组分派到 3 个学校，则有CC C3种分派方法；23A 2 ·A＝9031 1C CC 另一类，第一步将52 1 5 名老师按 3，1， 1 分红3 组，其分法有2 种，第二步将A23 1 1C 5C 2C 1 3 ＝60 种分派方法 .分好的 3 组分派到 3 个学校，则有2AA32所以不一样的分派方法的种数为 90＋60＝150( 种).角度 3 不平分问题【例 3－3】 A ，B ， C ， D ，E ， F 六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，一定坐最北面的椅子， B ，C 二人一定坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不一样的坐法有()A.24 种B.30 种C.48 种D.60 种【答案】C【分析】 B ，C 二人一定坐相邻的两把椅子，有 4 种状况， B ，C 能够互换地点，23＝6种状况，故共有 4×2×6有 A2＝2种状况；其余三人坐节余的三把椅子，有 A3＝48 种状况 .【解法小结】 1. 关于整体均分问题，常常是先分组再摆列，在解题时要注意分组后，不论它们的次序怎样，都是一种状况，所以分组后必定要除以n n 为均nA (分的组数 ) ，防止重复计数 .2. 关于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即如有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.关于不平分问题，第一要对分派数目的可能情况进行一一列举，而后再对每一种情况分类议论 . 在每一类的计数中，又要考虑是分步计数仍是分类计数，是摆列问题仍是组合问题 .三、【名校新题】1.(2019 ·福州调研 )6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【分析】“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个缝隙供 3 人选择就座，所以任3何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝ 24.2．(2019 ·厦门模拟 )5 名男同学、 6 名女同学排成一排，要求男同学次序必定且女同学次序也必定，不一样排法种数为()5655C.A11D.A11A．C11 B ． 2C1156A5A6【答案】A【分析】共 11 名同学排成一排有11 个地点．从 11 个地点中选出 5 个地点，5种选法，每一种选法的 5 个地点让男同学按着必定次序去排，余下 6 个共有 C11地点让女同学按必定次序去排．3．(2019 ·厦门模拟 )5 名男同学、 6 名女同学排成一排，要求男同学次序必定且女同学次序也必定，不一样排法种数为()5556A AA．C B ．2C C.11 D.11A A111156【答案】A【分析】共 11 名同学排成一排有 11 个地点．从 11 个地点中出 5 个地点，56 个共有 C11种法，每一种法的 5 个地点男同学按着必定序去排，余下地点女同学按必定序去排．4.(2019 ·新余二模 )7 人站成两排列，前排 3 人，后排 4 人，将甲、乙、丙三人加入列，前排加一人，后排加两人，其余人保持相地点不，不一样的加入方法种数 ()A.120B.240C.360D.480【答案】C【分析】第一步，从甲、乙、丙三人一个加到前排，有 3 种，第二步，前排3 人形成了4 个空，任一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了5 个空，任一个空加一人有 5 种，此形成6 个空，任一个空加一人，有 6 种，依据分步乘法数原理有3×4×5×6＝ 360 种方法 .5．(2019 ·合肥研 ) 用数字 0,1,2,3,4成没有重复数字且大于3000的四位数，的四位数有()A．250 个 B ．249 个 C ．48 个 D ．24 个【答案】C3【分析】①当千位上的数字 4 ，足条件的四位数有A4＝ 24( 个) ；②当千3位上的数字 3 ，足条件的四位数有 A4＝24( 个 ) ．由分加法数原理得所有足条件的四位数共有 24＋ 24＝48( 个 ) ．故 C.6.(2019 ·咸阳二模 ) 若从 1，2，3，⋯， 9 9 个整数中同取 4 个不一样的数，其和偶数，不一样的取法共有 ()A.60 种B.63 种C.65 种D.66 种【答案】【分析】共有 4 个不一样的偶数和 5 个不一样的奇数，要使和偶数， 4 个数全奇数，或全偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故不一样的取法有4422 C5＋C4＋C5C4＝66( 种 ).7.(2019 ·佛山模 ) 用数字 0,1,2,3,4,5 成没有重复数字的五位数，此中比40000 大的偶数共有 ()A．144 个 B ．120 个 C ．96 个 D ．72 个【答案】B【分析】当五位数的万位为 4 时，个位能够是 0,2 ，此时知足条件的偶数共有135 时，个位能够是 0,2,4 ，此时知足条件的偶数C2A4＝ 48 个；当五位数的万位为13个，所以比 40000大的偶数共有 48＋72＝120 个．选 B.共有 CA＝72348.(2019 ·武汉模拟 ) 有六人排成一排，此中甲只好在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则知足要求的排法有()A.34 种B.48 种C.96 种D.144 种【答案】C【分析】特别元素优先安排，先让甲重新、尾中选用一个地点，有1C2种选法，乙、丙相邻，有 4 种状况，乙、丙能够互换地点，有2A2种状况，其余 3 人站节余3种状况，由分步乘法计数原理知共有123种.的 3 个地点，有 A34C2 A2A3＝969.(2019 ·福州二模 ) 福州西湖公园花展时期，安排 6 位志愿者到 4 个展区供给服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不一样的安排方案共有 ()A.90 种B.180 种C.270 种D.360 种【答案】B【分析】依据题意，分 3 步进行剖析：①在 6 位志愿者中任选 1 个，安排到甲展区，有1＝6 种状况；②在剩下的 5 个志愿者中任选 1 个，安排到乙展区，有C61种状况；③将剩下的 4 个志愿者均匀分红 2 组，而后安排到剩下的 2 个展C5＝522C4C22种状况，则一共有 6×5×6＝ 180 种不一样的安排方案 .区，有2×A2＝6A210.(2019 ·山西康杰中学模拟 ) 某地推行高考改革，考生除参加语文、数学、外语一致考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科起码选一科，政治、历史、地理三科起码选一科，则考生的选考方法共有 ()A．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】C【分析】Ⅰ类：物理、化学、生物三科选一科，政治、历史、地理三科中选两12科，有 C3C3＝9 种选法；Ⅱ类：物理、化学、生物三科选两科，政治、历史、地12理三科中选一科，有 C3C3＝ 9 种选法，所以考生共有 9＋ 9＝ 18 种选考方法．应选 C.11．(2019 ·陕西质检 ) 将 2 名教师、 4 名学生疏成 2 个小组分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生构成，不一样的安排方案共有 ()A．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A1【分析】安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C2种方案；第二步2安排学生，有C4种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不一样的安排方案共有12C2C4＝ 12( 种) ．应选 A.12.(2019 ·福建漳州联考 ) 有六人排成一排，此中甲只好在排头或排尾，乙、丙两人一定相邻，则知足要求的排法有 () A．34种B ．48种C ．96种D ．144种【答案】C1【分析】特别元素优先安排，先让甲重新、尾中选用一个地点，有 C2种选法，乙、丙相邻，捆绑在一同看作一个元素，与其余三个元素全摆列，最后乙、丙可以换位，故共有142种) ．应选 C. C2·A4·A2＝96(13.(2019 ·合肥模拟 ) 现有三真同样的语文书和一本数学书，散发给三个学生，每个学生起码分得一本，不一样分法的种数为 ()A．36 B ．9 C ．18 D ．15【答案】B【分析】分派方案为 2,1,1 ，此中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有121C A 种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C种323分法．所以共有C13 A22＋C13＝9 种不一样的分法．应选 B.14.(2018 ·保定模拟 ) 甲、乙、丙、丁四位同学高考以后计划去A， B， C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只好去一个社区，每个社区起码一人. 此中甲一定去A 社区，乙不去 B 社区，则不一样的安排方法种数为()A.8B.7C.6D.5【答案】B【分析】依据题意，分 2 种状况：①乙和甲一同去 A 社区，此时将丙丁二人安2排到 B，C 社区即可，有A2＝2 种状况，②乙不去 A 社区，则乙一定去 C 社区，若丙丁都去 B 社区，有 1 种状况，若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出1 人，安排到 B 社区，剩下 1 人安排到 A 或 C 社区，有 2×2＝ 4 种状况，则不一样的安排方法种数有2＋1＋4＝7.15.(2019 ·惠州二调 ) 旅行体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅行，若不可以最初去甲景区旅行，不可以最后去乙景区和丁景区旅行，则小李可选的旅行路线数为()A．24 B ．18 C ．16 D ．10【答案】D【分析】分两种状况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有12C2·A种可选的路线．所以小李可选的旅行路线2312应选 D.数为 A3＋ C2·A＝10.216.(2019 ·江西吉安联考 ) 某大厦一层有 A，B，C，D四部电梯，现有 3 人在同一层乘坐电梯上楼，此中 2 人恰巧乘坐同一部电梯，则不一样的乘坐方式有() A．12种 B ．24种 C ．18种 D ．36种【答案】D【分析】元素相邻利用“捆绑法”，先从 3 人中选择 2 人坐同一电梯有 C32＝3种选法，再将 2 个“元素”安排坐四部电梯有2种安排方法，则不一样的乘A＝124坐方式有 3×12 ＝ 36 种．应选 D.17.(2019 ·广州一模 ) 把 8 个同样的小球所有放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则不一样的放法种数为 ()A.35B.70C.165D.1 860【答案】C【分析】依据题意，分 4 种状况议论：①没有空盒，将8 个同样的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 3 个，插入隔板，将小球分红 4 组，按序对应 4 个盒子，有3C7＝ 35 种放法；②有 1 个空盒，在 4 个盒中任选 3 个，放入小球，有3＝4种选法，将 8 个同样C4的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 2 个，插2入隔板，将小球分红 3 组，按序对应 3 个盒子，有 C7＝21 种分组方法，则有 4×21 ＝ 84 种放法；2③有 2 个空盒，在 4 个盒中任选 2 个，放入小球，有C4＝6 种选法，将 8 个同样的小球排成一列，排好后，各球之间共有7 个空位，在 7 个空位中任选 1 个，插1入隔板，将小球分红 2 组，按序对应 2 个盒子，有 C 7＝7 种分组方法，则有 6×7＝ 42 种方法；④有 3 个空盒，马上 8 个小球所有放进 1 个盒子，有 4 种放法 .故一共有 35＋84＋42＋ 4＝ 165 种放法 .18.(2019 ·开封模拟 ) 某班主任准备请 2019 届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选 4 人讲话，要求甲、乙两人起码一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不一样的讲话次序共有________种( 用数字作答 ).【答案】 1 080【分析】若甲、乙同时参加，有 2 2 12 2C 2C 6C 2A 2A 2＝120 种，若甲、乙有一人参加，有13 4种，进而总合的讲话次序有1 080 种.C 2C 6A 4＝96019.(2018 ·江西八所要点中学模拟 ) 摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位次序进行调整， 要求此中恰有 2 人座位不调整， 则不一样的调整方案的种数为________(用数字作答 ). 【答案】20【分析】 从 5 人中任选31113 人有 C 5种，将 3 人地点所有进行调整， 有 C 2·C 1·C 1种.3 1 1 1 种调整方案 故有 N ＝ 5·C 2·C 1·C 1＝20 .C20. (2019 ·湖北黄冈模拟 ) 在高三某班进行的演讲竞赛中，共有 5 位选手参加，此中 3 位女生，2 位男生，假如 2 位男生不可以连续出场， 且女生甲不可以排第一个，那么出场次序的排法种数为 ________．【答案】60【分析】位男生不可以连续出场的排法共有32种，女生甲排第一2 N 1＝ 3×A 4＝72A个且位男生不连续出场的排法共有2 2种，所以出场次序的排法种2 N 2＝ 2×A 3＝12A数为 N ＝ N 1－ N 2＝ 60.21.(2019 届山东青岛高三 9 月期初调研检测 ) 将 4 个大小同样、 颜色互不同样的球所有放入编号为 1 和 2 的两个盒子里 , 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号 , 则不一样的放球方法有种.【答案】10【分析】依据放在“ 1”号盒子中的球的个数分类： （1）在“ 1”号中放 1 个，则在“ 2”号中放3 个，方法数为种；（2）在“ 1”号中放 2 个，则在“ 2”号中也放 2 个，方法数为种。

[基础题组练]1．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为()A．12 B．18C．24 D．36解析：选C.从1，3，5中取两个数有C23种方法，从2，4中取一个数有C12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C23C12A12A22＝3×2×2×2×1＝24.2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28解析：选C.由于丙不入选，相当于从9人中选派3人．甲、乙两人均入选，有C22C17种选法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种选法．所以由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种不同选法．3．(2019·山西太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是() A．1 800 B．3 600C．4 320 D．5 040解析：选B.先排出舞蹈节目以外的5个节目，共A55种排法，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种插法，所以共有A55A26＝3 600(种)．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种解析：选B.第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C38种取法，再减去三点共线的情形即可，即C38－C35－C34＝42.6．(2019·惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A．24 B．18C．16 D．10解析：选D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.选D.7．(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种解析：选B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，故选B.8．(2019·沈阳教学质量监测(一))若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A．4种B．8种C．12种D．24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.9．(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A33，A22A33，C12A22A33，C13A22 A33，C13A22A33，故总编排方案有A22A33＋A22A33＋C12A22A33＋C13A22A33＋C13A22A33＝120(种)．法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．10．(2019·石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.11．(2019·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有() A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 22C 23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A 23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.12．(2019·福建三明一模)某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C.甲所设密码共有C 34C 14C 13＝48种不同设法，乙所设密码共有C 24A 242！＝36种不同设法，丙所设密码共有C 24C 14A 23＝144种不同设法，丁所设密码共有A 44＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有________种． 解析：把g 、o 、o 、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g 和d ，共有A 24种排法；第二步：排两个o ，共1种排法，所以总的排法种数为A 24＝12(种)．其中正确的有1种，所以错误的共A 24－1＝12－1＝11(种)．答案：1114．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16(种)．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．答案：1615．(一题多解)(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C23·C14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C13·C11＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A24种方法．由分步乘法计数原理得共有C23·A24＝36种报法．答案：3616．(2019·河南南阳模拟)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有________种.解析：根据题意，对于A，B两个方格，可在1，2，3，4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C24＝6种情况，对于C，D两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．答案：96[综合题组练]1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有() A．144种B．108种C．72种D．36种解析：选C.从4种小车中选取2种有C24种选法，从4个车库中选取2个车库有C24种选法，然后将这2种小车放入这两个车库共有A22种放法；将剩下的2种小车每1种分开来放，因为同一品牌的小车完全相同，只有1种放法，所以共有C24C24A22＝72种不同的放法．故选C.2．(2019·江西赣州联考)将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有() A．12种B．16种C．18种D．36种解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C24·C222！·A22＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．3．(综合型)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C13种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A25种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C12种方法，剩下的两个数字有A22种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是C13A25C12A22＝240.答案：2405．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式．6．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有A24种测试方法，再排余下4件的测试位置，有A44种测试方法．所以共有A46·A24·A44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有C14·C16·A44＝576种不同的测试方法．。

第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是( ) A．6 B．24 C．48 D．120解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A44＝24(种)．答案：B2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )A．48个 B．36个 C．24个 D．18个解析：个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．答案：B3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!解析：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！＝(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，因此不同的坐法种数为(3！)4.答案：C4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )A．30 B．48 C．60 D．96解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A33×2×2×2＝48(个)．答案：B5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )A．24种B．36种C．48种D．72种解析：分类完成．第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A24种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A24种排法，有2A24种排法．由分类加法计数原理得，不同的安排方案共有A24＋2A24＝36(种)．答案：B 二、填空题6．若把英语单词“error ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 解析：A 25－1＝19. 答案：197．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有A 44种方法，而A 、B 可交换位置，所以摆法有2A 44＝48(种)．又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，摆法有2A 33＝12(种)． 故满足条件的摆法有48－12＝36(种)． 答案：368．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A 28＝448(个)．答案：448 三、解答题 9．7人站成一排．(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？ (2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？解析：(1)法一7人的所有排列方法有A 77种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又已知甲、乙、丙排序一定， 所以甲、乙、丙排序一定的排法共有A 77A 33＝840(种)．法二(插空法) 7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A 47＝7×6×5×4＝840(种)．(2)“甲在乙的左边”的7人排列数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有12A 77＝2 520(种)．10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？ (2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A 25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A 66种排法，故共有不同排法A 25A 66＝1 440(种)．(2)先不考虑排列要求，有A 88种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A 45A 44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A 88－A 45A 44＝37 440(种)．B 级 能力提升1．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有( )A．24种B．48种C．96种D．144种解析：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A12＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有A44A22＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.答案：C2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A34＝24(种)．答案：243．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．解：(1)用插空法，共有A44A35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A34种排法，再排奇数有A44种排法．所以共有A34A44＝576(个)．(3)1和2的位置关系有A22种，在1和2之间放一个奇数有A13种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法，所以共有A22A13A55＝720(个)．。

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。

第二节排列与组合知识点一排列1．排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．3．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．4．全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(C)A．6 B．8C ．12D ．16解析：由于lg a －lg b ＝lg ab ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．2．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为5.解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5. 知识点二 组合1．组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2．组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用C m n 表示．3．组合数的计算公式：Cmn＝A m nA m m＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，由于0！＝1，所以C 0n ＝1.3．(2019·沈阳市教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(B) A．4种B．8种C．12种D．24种解析：将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法，故选B.4．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种．(用数字填写答案)解析：解法1：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．解法2：从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．5．将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有91种．(用数字作答)解析：分类即可，共有C27＋C37＋C47＝21＋35＋35＝91(种)放法．1．排列有顺序，组合无顺序．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．注意两个优先：(1)特殊元素优先．(2)特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.考向一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)解法1：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．解法2：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．求解排列应用问题的主要方法(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A．192种B．216种C．240种D．288种(2)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．解析：(1)第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．(2)记其余两种产品为D，E.A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．考向二组合问题【例2】(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A．85 B．86C．91 D．90(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．【解析】(1)法1：(直接法)由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法2：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－C45－C44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C47－C44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种．【答案】(1)B(2)472有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．(1)(2019·咸阳二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A．60种B．63种C．65种D．66种(2)如图所示，要使电路接通，则5个开关不同的开闭方式有21种．解析：(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．(2)当第一组开关有一个接通时，电路接通有C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组两个都接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．考向三排列与组合的综合应用方向1计数问题【例3】(1)用0,3,4,5,6排成无重复数的五位数，要求偶数相邻，奇数也相邻，则这样的五位数的个数是()A．36 B．32C．24 D．20(2)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．480【解析】(1)偶数为0,4,6，奇数为3,5.排成五位数字时，首位数字不能为0，故可按首位数字的奇、偶分为两类：①若首位是奇数，因为3与5必须相邻，故先排这两个数，不同的排法有A22种；再排偶数，因为偶数必须相邻，这三个偶数的不同排法有A33种．根据分步乘法计数原理可知，首位为奇数的五位数有A22A33＝2×6＝12(个)．②若首位是偶数，则首位不能是0，又三个偶数必须相邻，则先排首位，即从4,6中任选一个，不同的选法有C12种；然后排其余两位，只需把剩余的两个偶数进行全排列，不同的排法有A22种．所以首位为偶数，且三位偶数相邻的不同的排法有C12A22＝2×2＝4(种)；再排两位相邻的奇数，不同的排法有A22种．故由分步乘法计数原理，可得首位为偶数的五位数有4×A22＝8(个)．由分类加法计数原理，可得这样的五位数有12＋8＝20(个)．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法．【答案】(1)D(2)C方向2分组分配问题【例4】(1)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种(2)5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种B．180种C．200种D．280种【解析】(1)先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名教师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名教师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A.(2)依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1,2,2与1,1,3两种，当人数是1,2,2时有C 15C 24C 22A 22×A 33＝90(种)． 当人数是1,1,3时，则有C 15C 14C 33A 22×A 33＝60(种)，因此共有90＋60＝150(种)．【答案】 (1)A (2)A(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.1．(方向1)(2019·贵州铜仁一中质检)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )A ．1 800B ．3 600C ．4 320D ．5 040解析：先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A 55种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A 26种，所以共有A 55A 26＝3 600种．故选B.2．(方向1)某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有720种．解析：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A 77种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A 1010种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有A 1010A 77＝720(种)．3．(方向2)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有150种，学生甲被单独安排去金华的概率是775.解析：根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论：①五人分为2、2、1的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15种分组方法，对应三个城市，有15×A 33＝90种安排方案；②五人分为3、1、1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10种分组方法，对应三个城市，有10×A 33＝60种安排方案，则共有90＋60＝150种不同的安排方案；学生甲被单独安排去金华时，共有C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22A 22＝14种不同的安排方案，则学生甲被单独安排去金华的概率是14150＝775.排列与组合应用题的常见策略1．特殊元素(位置)优先法对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后再排列其他一般元素或位置．典例1(1)5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54B．72C．78 D．96(2)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则可供考生选择的选考方法种数为()A．6 B．12C．18 D．24【解析】(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后．先排乙：乙得第一，共有A44＝24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A33＝6(种)可能，共有6×3×3＝54(种)可能．所以共有24＋54＝78(种)可能．(2)利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有C36种，其中包括了没选物理、化学、生物三科中任意一科与没选政治、历史、地理三科中任意一科，这两种选法均有C33种，因此选考方法有C36－2C33＝18(种)．【答案】(1)C(2)C2．相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数，它主要用于解决相邻问题．典例2(2019·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A．72 B．144C．240 D．288【解析】第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有C13A22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288(种)，故选D.【答案】 D 3．不相邻问题插空法先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中．典例3 在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．【解析】 不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60.【答案】 60 4．定序问题消序法甲、乙、丙顺序一定，采用消序法，即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数．典例4 10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为________．【解析】 方法1：首先从后排7人中抽取2人，有C 27种方法；再插入前排有A 55A 33种方法，由分步计数原理知共有C 27·A 55A 33＝420种．方法2：首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种．由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25＝420种．【答案】4205．元素相同隔板法若把n个不加区分的相同元素分成m组，每组不空，可通过n个相同元素排成一排，在元素之间插入m－1块隔板来完成分组，此法适用于同元素分组问题．典例5(2019·天津和平一模)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，每个盒子不空，则不同的放法种数为________．【解析】把8个小球排成一列，在7个空中排入3个板，有C37＝35种方法．【答案】35若上述问题中允许有空盒呢？【解析】把8个小球与3个板排成1列，有11个位置，其中3个位置放板，则把小球分成了4部分，有C311＝165种分法．【答案】165。