第二节排列与组合

第二节 排列与组合预习设计 基础备考知识梳理1．排列与排列数(1)排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为.m A π(3)排列数公式=+---=)1()2)(1(m n n n n A mn=⋅⋅⋅-⋅-⋅=123).2()1( n n n A nn ，规定.1!0=2．组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n 个 的元素中取m ⋅≤)(n m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个 元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n c 表示．(3)组合数公式=mn C =(4)组合数的性质性质1：=mn C性质2；=+m n c 1 ).,,(⋅∈∈≤*N m N n n m3．解排列组合题的"24宇方针，12个技巧”：(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少（多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；（11）局部与整体问题排除法；（12）复杂问题转化法．典题热身1．设直线的方程是5,4,3,2,1,0从=+By Ax 这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是( )20.A 19.B 18.C 16.D答案；C2．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 （ ）120.A 98.B 63.c 56.D答案：B3．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 （ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种答案：B4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ）14.A 16.B 18.C 20.D答案：C5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和两个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告， 则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）．答案：48课堂设计 方法备考题型一 排列应用问题【例1】有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？题型二 组合应用问题【例2】从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种，（1）)A ，B 必须当选；（2）A ，B 必不当选；（3）A ，B 不全当选；（4）至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．题型三 排列与组合的综合应用【例3】已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？题型四 均匀分组与不均匀分组问题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本，技法巧点1．解答有关排列问题的应用题时应注意的问题(1)对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；(2)同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活处理；(3)从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累．2．解答组合应用题的总体思路(1)整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果使用加法原理；(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证．分步的不重复，计算每一类相应结果使用乘法原理；(3)考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．3．解决排列与组合问题的常用方法解决排列与组合应用题常用的方法有：直接法、间接类法、分步法、元素分析法、位置分析法、插空法、捆绑数学思想主要有分类讨论的思想、等价转化的思想等几何问题，可画示意图，以增强直观性， 失误防范1．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重币2．对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案犯有重复或遗漏的错误．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏随堂反馈1．（2010．北京高考）8名学生和2位老师站成一排合影，老师不相邻的排法种数为 ( )2988.A A A 2988.C A B 2788.A A c 2788.C A D答案：A2．（2010．山东高考）某台小型晚会由6个节目组成，演序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺编排方案共有 ( )A.36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种答案：B3．（2010．湖南高考）在某种信息传输过程中，用4个数一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表同信息．若所用数字只有O 和l ，则与信息0110至多个对应位置上的数字相同的信息个数为( )10.A 11.B 12.C 15.D4．（2011．海南模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发序的种数为 ( )360.A 520.B 600.C 720.D答案：C5．（2010．重庆高考）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1人，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A ．504种B ．960种 C.1008种 D ．1108种答案：C高效作业 技能备考一、选择题1．（2011．山东聊城外国语学校二模）将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是 ( )444424228.A A c c c A E 44242628.A A A A B 442128..A c c c c 242628.C C C D答案：C2．（2011．江西井冈山4月模拟）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有 ( )A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种答案：C3．（2010．广东高考）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了五个彩灯，它们闪亮的顺序不同定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这五个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这五个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 ( )A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒答案：C4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是 ( )152.A 126.B 90.C 54.D答案：B5．（2011．广东模拟）四名志愿者和他们帮助的两位老人排成一排照相，要求两位老人必须站在一起，则不同的排列方法为 ( )266.A A A 55.A B 2244.A A c 2255.A A D 答案：D6．（2011．东北育才中学模拟）来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有A.48种 B．24种 C．36种 D．96种答案：A二、填空题7．(2010．浙江高考)有四位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种（用数字作答）．答案：2648．（2011．珠海模拟）从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有两人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有种．答案：609．（2011．陕西模拟）有一个不规则的六面体盒子（六个面大小不同），现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷两个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有种．答案：360三、解答题10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？11．用数字O，1，2，3，4，5组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个五位数？(2)能组成多少个正整数？(3)能组成多少个六位奇数？(4)能组成多少个能被25整除的四位数？12．(2011.枣庄联考)已知平面α//β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可做多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？。

第六章 习题课A 组·素养自测一、选择题1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D ) A ．24 B ．48 C ．60D ．72[解析] 由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A 13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A 44种方法，所以奇数的个数为A 13A 44＝3×4×3×2×1＝72．2．(2021·嘉兴一中月考)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( D )A ．56B ．54C ．53D ．52[解析] 在8个数中任取2个不同的数可以组成A 28＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log 24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．3．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有( C )A ．48种B ．24种C ．60种D ．120种[解析] 五门课程随意安排有A 55种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有12A 55＝60(种)．4．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( AD )A ．A 99种B ．A 99A 44种 C ．8A 88种D ．9A 88种 [解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A 99＝9A 88种．5．三位女生坐到二排四列的8个位置中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的排法数为(A)A．72 B．36C．48 D．96[解析]根据题意，完成这件事可分两步：第一步，先在8个位置中选取符合条件的3个位置，有2×2＋2×4＝12种情况；第二步，将三位女生全排列，安排到选出的3个位置，有A33＝6种情况．根据分步乘法计数原理，共有12×6＝72种排法．二、填空题6．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法；由分步乘法计数原理得，共有2A22A22A15＝40种不同的排法．7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析]先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．8.2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A 66种排法，故共有不同排法A 25A 66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A 88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A 45A 44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A 88－A 45A 44＝37 440种．10．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ [解析] (1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a ≠0，所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种，所以共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)当a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；当a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294(个)不同的二次函数．方法三(间接法)共可构成A 38个函数，其中当a ＝0时，有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294(个)不同的二次函数．(2)依题意b ＝0，所以共有A 27＝42(个)符合条件的二次函数．B 组·素养提升一、选择题1．(多选)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有( AB )A ．A 15A 35个 B ．12A 15A 55个C ．A 15A 55个D ．2A 15A 44个 [解析] 解法一：确定最高位有A 15种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A 35种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A 15·A 35＝300(个)．解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有12 A15·A55＝300(个)．2．某地为了迎接运动会，在某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒[解析]由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195(秒)．3．有4本不同的书A，B，C，D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A，B 不能分给同一人，则这样的分法共有(C)A．18种B．24种C．30种D．36种[解析]4本不同的书分给三个同学，共有6A33＝36，书A，B分给同一人有A33＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．4．(北京高考题)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(B)A．48 B．36C．30 D．24[解析]将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法，而A，B，C 3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．二、填空题5.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576．6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是__115__．[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有A 66＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A 33×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115． 三、解答题7．用0,1,2,3,4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A 14种填法，其余四个位置四个数字共有A 44种，故共有A 14·A 44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A 14种方法，其余四个数字全排有A 44种方法，故共有A 14·A 44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A 12，其余任排有A 22，故有2A 12·A 22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A 33，所以共有2A 12A 22＋2A 33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位有A 12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A 13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A 33，故共有A 12·A 13·A 33＝36(个)．8.4名男同学和3名女同学站成一排．(1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种不同的排法？(2)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法？(3)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(4)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有多少种不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同学的所有排法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，所以甲、乙、＝840(种)．丙排序一定的排法有A77A33(2)先排甲、乙两名同学，有A22种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、乙两名同学中间，有A35种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行全排列，有A33种排法，故不同的排法共有A22A35A33＝720(种)．(3)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A44种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有A25种排法，故不同的排法共有A44A22A25＝960(种)．(4)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A47种排法，然后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有A47×1＝840(种)．。

第二节排列与组合1.排列、组合的定义A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！(1)C m n＝C n－mn：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.(2)C m n＋C m－1n＝C m n＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1n种方法.考点一排列问题[典例精析]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种).(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).[解题技法]求解排列应用问题的6种主要方法[题组训练]1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解析：选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种).2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A.1 108种B.1 008种C.960种D.504种解析：选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种).考点二组合问题[典例精析]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法.所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法.所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.法二：(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.[解题技法]组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.[题组训练]1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A.72B.70C.66D.64解析：选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有()A.10种B.40种C.70种D.80种解析：选B若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C15C24＝30种搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C25＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C 36－C 34＝20－4＝16(种).答案：16考点三 分组、分配问题考法(一) 整体均分问题[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法. [答案] 90考法(二) 部分均分问题[例2] 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.[答案] 36考法(三) 不等分问题[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.[解析] 将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法.[答案] 360[题组训练]1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种).答案：150 考点四 排列、组合的综合问题[典例精析](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.300B.216C.180D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)[解析] (1)分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 23·C 22·A 44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C 12·C 23·(A 44－A 33)＝108(个)符合要求的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是C 23A 33C 14＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是A 33C 13＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是C13 C23A33C13＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).[答案](1)C(2)324[解题技法]解决排列、组合综合问题的方法(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.[题组训练]1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答)解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C12·C46·A55＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C22·A36·A＝241 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.答案：5 040[课时跟踪检测]A级1.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32解析：选C将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A33＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法.2.(2019·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.10解析：选D分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.3.(2019·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A.6B.12C.18D.19解析：选D从六科中选考三科的选法有C36种，其中不选物理、政治、历史中任意一科的选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C36－1＝19种.4.(2019·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A.4种B.8种C.12种D.24种解析：选B将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C14种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C14×2＝8种站法.5.(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种解析：选C若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36种情况.6.(2019·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有()A.120种B.156种C.188种D.240种解析：选A记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C14A22A33＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A22A33＝36种.所以编排方案共有48＋36＋36＝120种.7.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A.48B.72C.90D.96解析：选D由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外3场竞赛时，共有C13A34＝72种选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有A44＝24种选择方案.综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种).8.某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课.要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A.16B.24C.8D.12解析：选A根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A22＝2种情况；②将这个整体与英语全排列，有A22＝2种情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4种，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.9.(2019·洛阳第一次统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种.(用数字作答)解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23C 14＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13C 11＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法.答案：3610.(2018·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法有________种.(用数字作答)解析：由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有C 12C 13种情形，后考虑乙、丙两地，有A 23种情形，共有C 12C 13A 23＝36种情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C 22种情形，乙、丙两地有A 23种情形，共有C 22A 23＝6种情形.由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42种情形.答案：4211.(2018·南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复.若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有______种.(用数字作答)解析：根据题意，对于A ，B 两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A 方格，小的放进B 方格，有C 24＝6种情况，对于C ，D 两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4＝16种情况，则不同的填法共有16×6＝96种.答案：96B 级1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种 解析：选A 将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A 22＝2(种)分法；最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).2.(2019·马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A.5 400B.3 000C.150D.1 500解析：选D 分两步： 第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 35种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 35C 12C 11A 22种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 25C 23C 11A 22种情况.故选择情况数为C 35⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 25C 23C 11A 22A 33＝1 500(种). 3.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.100解析：选A 根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C 36＝20种选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放入5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放入剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.4.(2019·赣州联考)将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的放法共有( )A.12种B.16种C.18种D.36种解析：选C 先将标号为1,2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有C 24·C 222！·A 22＝6(种)情况，所以不同的放法共有3×6＝18(种). 5.将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有__________种.解析：五个元素没有限制全排列数为A 55，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得这样的排列数有A 55A 33×2＝40(种). 答案：406.如图，∠MON 的边OM 上有四点A 1，A 2，A 3，A 4，ON 上有三点B 1，B 2，B 3，则以O ，A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3为顶点的三角形个数为________.解析：用间接法.先从这8个点中任取3个点，最多构成三角形C 38个，再减去三点共线的情形即可.共有C 38－C 35－C 34＝42(个).答案：427.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式.(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种不同的放入方式.。

第二节排列与组合(一)1．(2013·威海模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有( )A．9 B．10 C．12 D．16解析：先填第一行，则第一行有A33＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12(种)．答案：C2．用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A．36 B．32 C．24 D．20解析：将3个偶数“捆绑”，2个奇数“捆绑”，这样得到2个新元素，将这2个新元素排列，得到种数为A33A22A22，其中，0在首位的有四个：02 413,02 431,04 213,04 231，所以，这样的五位数的个数是A33A22A22－4＝20.故选D.答案：D3．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( ) A．12 B．24 C．36 D．48解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A22A22A23＝24，故选B.答案：B4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D 4块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A．96 B．84 C．60 D．48解析：分三类：种2种花有A24种种法；种3种花有2A34种种法；种4种花有A44种种法．所以共有A24＋2A34＋A44＝84种．故选B.另解：按A－B－C－D顺序种花，可分A，C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．故选B.答案：B5．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( )A．20种B．24种C．40种D．56种解析：若丙在第三位，则排法种数为A22A22＝4；若丙在第四位，排法数为A23A22＝12；若丙在第五位，则有A44＝24种不同的排法．故总的排法总数为40种．答案：C6．下面是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复A.43·(A233C．A34·(C23)3D．A34·(A23)3解析：第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A34；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A23，故专业填写方法数是A23A23A23.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A34(A23)3.故选D.答案：D7．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F 6个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A．288种B．264种C．240种D．168种解析：(1)B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种涂色方法；(2)B，D，E，F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种涂色方法；(3)B，D，E，F用两种颜色，则有A24×2×2＝48种涂色方法．所以共有24＋192＋48＝264种不同的涂色方法．故选B.答案：B8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70种B．80种C．100种D．140种解析：(直接法)一男两女，有C15C24＝5×6＝30种，两男一女，有C25C14＝10×4＝40种，共计70种．故选A.(间接法)任意选取C39＝84种，其中都是男医生有C35＝10种，都是女医生有C34＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．故选A.答案：A9．(2013·珠海一模)若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有__________种．解析：根据题意，因为“good”四个字母中的两个“o”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种．答案：1110．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C 3门由于上课时间相同，至多选1门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．解析：第一类，从A ，B ，C 中选一门有C 13·C 36＝60种；第二类，不选A ，B ，C 课程，有C 46＝15种．所以共有60＋15＝75种选法．答案：7511．(2013·浙江卷)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：第一类，字母C 排在左边第一个位置，有A 55种；第二类，字母C 排在左边第二个位置，有A 24A 33种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有A 22A 23＋A 23A 33种，由对称性可知共有2×(A 55＋A 24A 33＋A 22A 33＋A 23A 33)＝480种．答案：48012．(2013·广州二模)用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示)．解析：因为用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，所以：①当有0时，若0排在个位，可从1,2,3,4,5这5个数字中选4个排在其他四个位置，有A 45＝120种方法，若0不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有A 13种方法，个位必排5，再从1,2,3,4中选三个在在其他三个位置自由排列，有A 34种方法，所以共有A 13·A 34＝72种方法；②若没有0，则5必排在个位，1,2,3,4，在其他四个位置自由排列，有A 44＝24种方法；综合①②得，共有120＋72＋24＝216种方法．答案：21613．某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为__________种(用数字作答)．解析：用插空法．C 19×C 110×C 111＝990.答案：990。

第二节摆列与组合考点一摆列问题[例 1] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数：(1)选此中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一同；(4)全体站成一排，男生不可以站在一同；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答 ] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全摆列，有A75＝ 2 520 种排法．(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 77＝ 5 040 种排法．(3)相邻问题 (捆绑法 ) ：男生一定站在一同，是男生的全摆列，有A 33种排法；女生一定站在一同，是女生的全摆列，有 A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 22种排法，依据分步乘法计数原理，共有 A 33·A44·A 22＝ 288 种排法．(4)不相邻问题 (插空法 )：先安排女生共有 A 44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A 53种排法，故共有 A 44·A 53＝1 440 种排法．(5)先安排甲，从除掉排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A 51＝ 5 种排法；再安排其余人，有 A 66＝ 720 种排法．所以共有A15·A 66＝ 3 600 种排法．【互动研究】本例中若全体站成一排，男生一定站在一同，有多少种排法？解：(捆绑法 )即把全部男生视为一个元素，与 4 名女生构成 5 个元素全摆列，故有 A 33·A 55＝ 720 种排法．【方法例律】1．解决摆列问题的主要方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑办理，即能够把相邻元素当作一个整体参加其余元素摆列，同时注意捆绑元素的内部摆列插空法不相邻问题插空办理，即先考虑不受限制的元素的摆列，再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中除法法定序问题除法办理的方法，可先不考虑次序限制，摆列后再除以定序元素的全摆列2．解决摆列类应用题的策略(1)特别元素 ( 或地点 )优先安排的方法，即先排特别元素或特别地点．(2)分排问题直排法办理．(3)“小公司”摆列问题中先集中后局部的办理方法．1． (2012 ·宁高考辽 )一排 9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A． 3× 3! B ．3× (3！ )3C． (3！ )4D． 9!分析：选C把一家三口当作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以知足题意的坐法种数为 A 33(A 33) 3＝ (3！ )4.2． (2014 南·充模拟 )将 5名实习教师分派到高一年级的 3 个班实习，每班起码 1 名，最多 2 名，则不一样的分派方案有()A．30 种B．90 种C． 180 种D． 270 种2222分析：选B选分组，再摆列．分组方法共有C5 C3，所以共有C5C3322·A 3＝ 90.A 2 A 2考点二组合问题[例 2] (1)若从 1,2,3，, ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A． 60B． 63C． 65(2)(2013 重·庆高考 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都起码有D． 665 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救1 人的选派方法种数是________(用数字作答 )．[自主解答](1)由于从1,2,3， ,，9 中共有 4 个不一样的偶数和5 个不一样的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C45＋ C44＋ C25C24＝66种不一样的取法．(2)按每科选派人数分为3,1,1 和 2,2,1 两类．入选派人数为3,1,1 时，有 3 类，共有 C33C41C51＋ C31C43C51＋ C31C41C53＝ 200 种选派方法．入选派人数为2,2,1 时，有 3 类，共有 C32C42C51＋ C32C41C52＋ C31C42C52＝ 390 种选派方法．故共有 590 种选派方法．[答案 ] (1)D(2)590【方法例律】1．解决组合应用题的一般思路第一整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；而后局部分步，用到分步乘法计数原理．2．组合问题的常有题型及解题思路常有题型有选派问题，抽样问题，图形问题，会合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在认真审题的基础上，分清问题能否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“ 分类” 仍是“ 分步” 解决，将复杂问题经过两个原理化归为简单问题．3．含有附带条件的组合问题的常用方法往常用直接法或间接法，应注意“ 起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解，关于波及“ 起码”“ 至多”等词的组合问题，既可考虑反面情况即间接求解，也能够分类研究进行直接求解．1．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法的种数为()A． 30 B ．35C． 42D． 48分析：选 A法一：分两种状况：(1)2 门 A,1 门 B，有 C32C41＝ 12种选法； (2)1门 A,2门B，有 C31C42＝ 3×6＝ 18 种选法．所以共有12＋ 18＝ 30 种选法．法二：清除法： A 类 3 门， B 类 4 门，共 7 门，选 3 门， A，B 各起码选 1 门，有 C73－C33－ C43＝35－ 1－ 4＝ 30 种选法．2．两人进行乒乓球竞赛，先赢3 局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况)种数为 ()A． 10B． 15C．20D．30分析：选 C分三种状况：恰巧打 3 局，有 2 种情况；恰巧打 4 局 (一人前 3局中赢 2局，输 1 局，第 4 局赢 )，共有 2C32＝ 6 种情况；恰巧打 5 局 (一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢 )，共有 2C42＝ 12 种情况．全部可能出现的情况种数为2＋ 6＋12＝ 20.高频考点考点三摆列与组合的综合应用1．摆列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热门，多以选择题或填空题的形式体现，试题难度不大，多为简单题或中档题．2．高考对摆列与组合综合应用题的考察主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特别元素 ( 地点 )问题；(4)多元问题等．[例 3](1)(2013烟·台模拟)有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中拿出 4 张卡片排成一行，假如拿出的 4 张卡片所标的数______种 (用数字作答)．字之和等于10，则不一样的排法共有(2)(2014西·安模拟)某地奥运火炬接力传达路线共分 6 段，传达活动分别由 6 名火炬手达成．假如第一棒火炬手只好从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只好从甲、乙两人________种 (用数字作答)．中产生，则不一样的传达方法共有[自主解答](1)拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10，共有三种状况：1144,2233,1234.所取卡片是1144 的共有 A 44种排法．所取卡片是2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是1234，则此中卡片颜色可为无红色， 1 张红色， 2 张红色， 3 张红色，全部是红色，共有 A 44＋C14A 44＋ C24A 44＋ C34A 44＋ A 44＝ 16A44种排法，所以共有 18A 44＝ 18× 4× 3× 2× 1＝ 432 种排法．(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A 44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有 A 44＋ A 44＋C21·A 44＝ 96 种方法．[答案 ] (1)432 (2)96摆列与组合综合问题的常有种类及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个有关元素视为一个元向来考虑，待整个问题排好以后，再考虑它们“ 内部” 的摆列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，而后把特定元素插在它们之间或两头的空当中，它与捆绑法有同样作用．(3)特别元素 ( 地点 )优先安排法．优先考虑问题中的特别元素或地点，而后再摆列其余一般元素或地点．(4)多元问题分类法．将切合条件的摆列分为几类，而每一类的摆列数较易求出，而后依据分类计数原理求出摆列总数．1． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为()82828282A． A C A D．A CA分析：选A相间问题用插空法，8 名学生先排，有 A 88种排法，产生9 个空， 2 位老师插空，有 A 92种排法，所以最后有 A 88A 92种排法．2．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数为()A． 360B． 288C．216D． 96分析：选 B先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有C32·A22·A 33·A 42种排法，再从中清除甲站两头的排法，所以所求排法种数为22322222－C3·A 2·A 3·A4－ 2C3·A 2·A2·A 3＝ 6× (6× 1224)＝ 288.3．将 4 名大学生疏派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，则不一样的分派方案有________ 种(用数字作答 ) ．分析：选出两人当作一个整体，再全摆列．共有C42·A33＝ 36 种分派方案．答案： 36———————————[讲堂概括——通法意会 ]———————————1 个辨别——摆列问题与组合问题的辨别方法辨别方法若互换某两个元素的地点对结果产生影响，则是摆列问题，即摆列问题与选用元素摆列次序有关若互换某两个元素的地点对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选用元素组合次序没关3 个注意点——求解摆列与组合问题的三个注意点(1)解摆列与组合综合题一般是先选后排，或充足利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后办理．(2)解受条件限制的组合题，往常用直接法(合理分类 )和间接法 (清除法 )来解决．分类标准应一致，防止出现重复或遗漏．(3)关于选择题要慎重办理，注意等价答案的不一样形式，办理这种选择题可采纳清除法剖析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．易误警告 (十二 )摆列与组合中的易错问题[典例 ]将6名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________种不一样的分法．[解题指导 ]将6名教师分到 3 所中学，相当于将 6 名教师分红 3 组，相当于 3 个不一样元素．[分析 ]将6名教师分组，分三步达成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有C33种取法．依据分步乘法计数原理，共有123C6C5C3＝ 60 种取法．再将这 3 组教师分派到 3 所中学，有 A 33＝ 6 种分法，故共有 60× 6＝360 种不一样的分法．[答案 ] 360[名师评论 ] 1.假如审题不认真，极易以为有 C61C52C33＝ 60 种分法．由于此题中并无明确指出哪一所学校1名、2名、3名．2．解决摆列与组合应用题应要点注意以下几点：(1)第一要分清楚是摆列问题仍是组合问题，不可以将二者混杂．(2)在解决问题时，必定要注意方法的明确性，不可以造成重复计数．(3)分类议论时，要注意分类标准确实定，应做到不重不漏．牙语在小语种提早招生考试中，某学校获取5 个介绍名额，此中俄语 1 名，而且日语和俄语都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下2 名，日语 2 名，西班3男2女共 5个介绍对象，则不一样的介绍方法的种数为()A． 20B． 22C． 24D． 36分析：选 C 3 个男生每个语种各介绍 1 个，共有 A 33A22种介绍方法；将 3 个男生疏为两2 2 23 2 2 2 2组，此中一组 2 个人，则共有 C3A 2A 2种介绍方法．所以共有 A 3A 2＋ C3A 2A 2＝24 种不一样的介绍方法．。