6.2排列与组合(教师版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册

第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系教学设计一、教学目标1.通过类比，理解两个集合的包含关系，达到逻辑推理核心素养水平二的要求2.利用Venn图来帮助理解集合的包含关系，达到直观想象核心素养水平一的要求.3.理解空集与子集、真子集之间的关系，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.4.能通过相关计算明确集合之间的包含或相等关系，达到数学运算核心素养水平一的要求.二、教学重难点1.教学重点子集和真子集的概念.集合的相等.2.教学难点元素与子集，即属于与包含之间的关系.三、教学过程（一）复习导入思考：实数之间有相等关系、大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.教师：对两个数a，b，应有a>b或a=b或a<b而对于两个集合A，B，它们之间是否也有类似的关系呢？学生：思考讨论.（二）探究新知探究一：子集分析实例：实例：考察下列三组集合，并说明两集合之间存在怎样的关系.（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）C 为立德中学高一2班全体女生组成的集合，D 为这个班全体学生组成的集合；（3）{},{}E x x F x x ==∣是两条边相等的三角形∣是等腰三角形学生：（1）（2）的共同特点是A 的每一个元素都是B 的元素。

教师：具备（1）（2）的两个集合之间关系的称A 是B 的子集，那么A 是B 的子集怎样定义呢？ 学生合作讨论、归纳子集的共性.子集定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集.记作：A B ⊆或B A ⊇.读作：“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）学生：E 是F 的子集，同时F 是E 的子集.教师：类似（3）的两个集合称为相等集合.集合相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A = B .也就是说，若A B ⊆，且B A ⊆，则A = B .教师提问：.集合A 与B 什么关系？学生回答：A = B .探究二：真子集教师：观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系：（1）A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}；（2）A ={四边形}，B ={多边形}.学生：思考回答.真子集定义：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，就称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B （或B A ）. R ：实数集.探究三：空集教师：方程x 2 + 1 = 0没有实数根，所以方程x 2 + 1 = 0的实数根组成的集合中没有元素.定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集.问题：你还能举几个空集的例子吗？学生：思考回答.探究四：韦恩图韦恩图（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部来代表集合的图称为韦恩图（Venn 图）.练习1：下图中，集合A 是否为集合B 的子集？练习2：判断集合A 是否为集合B 的子集，若是则在（）打√，若不是则在（）打×： ①A ={1，3，5}，B ={1，2，3，4，5，6}（√）②A ={1，3，5}，B ={1，3，6，9}（×）③A ={0}，B ={x | x 2+2=0}（×）④A ={a ，b ，c ，d }，B ={d ，b ，c ，a }（√）（三）课堂练习1.已知集合{} 0,1,2A ⊆,且集合A 中至少含有一个偶数,则这样的集合A 的个数为( )A.6B.5C.4D.3答案：A 解析：集合{0,1,2}A ⊆,且集合A 中至少含有一个偶数,∴满足条件的集合A 可以为：{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2},共6个,故选A ． 2.已知集合{}{}3|log (2)2,|20A x x B x x m =-≤=->,若A B ⊆,则实数m 的取值范围是( )A.(,4]-∞B.(,4)-∞C.(,22)-∞D.(,22]-∞答案：A 解析：{}{}3|log (2)2|211A x x x x =-≤=<≤,{}|20|2m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭,则由A B ⊆,得22m ≤,解得4m ≤,则实数m 的取值范围是(],4-∞.故选A ． 3.集合{3,1}A =-,2{2,1}B m m =--,且A B =,则实数m =( )A.3B.1-C.3或1-D.1答案：C解析：由集合{3,1}A =-,2{2,1}B m m =--, A B =,223m m ∴-=,即2230m m --=,解得3m =或1m =-. 故选：C.（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1. 子集的定义2. 集合的相等3. 真子集的定义4. 空集的定义5. Venn 图四、板书设计1.子集的定义2.集合的相等3.真子集的定义4.空集的定义5.Venn图。

排列与组合一排列概念的理解1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排列顺序也相同．注意点：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．二画树状图写排列利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．三简单的排列问题要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．四排列数公式1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)．3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.五利用排列数公式化简与证明排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．六排列数公式的简单应用对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．七元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．八“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．九定序问题在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋nm＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．十组合概念的理解组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．十一利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！或C m n＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(3)规定：C0n＝1.注意点：(1)m≤n，m，n∈N*；(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…[n－m－1]m！常用于计算；(3)C m n＝n！m！n－m！常用于证明．(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．十二简单的组合问题解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十三组合数的性质1组合数的性质1：C m n＝C n－mn.注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．十四组合数的性质2组合数的性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n.注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆＝C m n＋1－用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C m－1nC m n，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．十五组合数在实际问题中的简单应用在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十六有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．十七多面手问题解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．十八分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1种方法．可描述为(n－1)个空中插n－1入(m－1)块隔板．考点一 排列的概念【例1】(2021年广东汕头)(1)下列问题是排列问题的是( )A ．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B ．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C ．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？(2)从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【练1】(2020·新疆)已知2132n A =，则n =( )A ．11B ．12C ．13D ．14考点二 排列数 【例2】(2020·全国高二单元测试)对于满足13n ≥的正整数n ，(5)(6)(12)n n n --⋅⋅⋅-=( )A ．712n A -B ．75n A -C ．85n A -D ．125n A -【练2】(2020·江西九江一中)5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45考点三 排队问题【例3】(2021·全国高二练习)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【练3】(2020·江苏高二期中)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是( )A．36B．72C．600D．480考点四数字问题【例4】(2020·浙江省东阳中学)由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是( )A．144B．216C．288D．432考点五组合的概念【例5】(2020·广东湛江高二单元测试)给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【练5】下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？考点六 组合数【例6】(2020·陕西高二期末)若()6671*n n n C C C n +-=∈Ν，则n 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．14【练6】(2020·山东菏泽·高二期末)已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=( )A ．1B ．mC ．1m +D ．0考点七 组合应用 【例7】(2020·江苏金湖中学)一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【练7】(2020·北京朝阳·高二期末)从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是( )A．12B．18C．35D．36考点八全排列【例8】(2020·全国专题练习)在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有( )A．4种B．12种C．18种D．24种【练8】(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4B．44C．24D．48考点九相邻问题【例9】(2021·河北张家口市)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( )A．24B．36C．48D．60【练9】(2020·沙坪坝区·重庆八中)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为( )A．6B．12C．18D．24考点十 不相邻问题【例10】(2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中)省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有( )种安排方式. A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【练10】(2020·全国)六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为( ) A ．760B ．16C ．1360D ．14考点十一 分组分配【例11】(2020·全国)疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有( ) A ．60种 B ．90种C ．150种D ．240种【练11】(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．考点十二 几何问题【例12】(2020·全国)如图，MON 的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ，ON 上有三点1B 、2B 、3B ，则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为( )A ．30B ．42C ．54D ．56【练12】(2021·全国)直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是( ) A ．20 B ．60C ．120D ．240考点十三 方程不等式问题【例13】(2020·全国)方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【练13】(2021·太原市)不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为( ) A ．55 B ．60C ．91D ．540考点十四 数字问题【例14】(2020·南通西藏民族中学)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( ) A ．6种 B ．9种C ．10种D ．15种【练14】已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为( )A．16B．13C．12D．1课后练习1.（2021高二下·天津期中）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（）个A.120B.216C.222D.2522.（2021高二下·临沂期末）若A n3=8C n2，则n=（）A.4B.5C.6D.73.（2021高二下·梅州期末）在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.6位B.7位C.8位D.9位4.（2021高三上·运城开学考）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A.90B.216C.144D.2405.（2020高二上·昌平期末）某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有种.6.（2021·富平模拟）2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有种.7.（2021高二下·郑州期末）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成个不同的六位数．8.（2021·三明模拟）设n∈N且n<5，若62021+n能被5整除，则n等于.9.（2021高二下·江苏期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？)m(m∈N∗)的展开式中，第三项系数是10.（2021高二下·郑州期末）在二项式(x2+2√x．倒数第三项系数的18（1）求m的值；（2）求展开式中所有的有理项．精讲答案【例1】 【答案】(1)B(2)B【解析】(1)排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B. (2)排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 【练1】 【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B. 【例2】 【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为5n -，选取个数为(5)(12)18n n ---+=，85(5)(6)(12)n n n n A ---⋅⋅⋅-=.故选：C ．【练2】 【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A =⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P ==. 故选：C. 【例3】【答案】(1)2520；(2)5040；(3)576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.【解析】(1)从7人中选5人排列，共有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有37A 种方法，余下4人站后排，有44A 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有347476543215040A A ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种).(3)捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有44A 种，再与3名男生进行全排列有44A 种，共有4444576A A ⨯=(种)．(4)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有43451440A A ⨯=(种)． (5)先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=(种).(6) 7名学生全排列，有77A 种方法，其中甲在最左边时，有66A 种方法，乙在最右边时，有66A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有55A 种方法，故共有76576523720A A A -⨯+= (种).【练3】 【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【例4】 【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有236A =种排法，再把捆绑的2个奇数看成一个整体，因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有222A =种选法， 奇数插空全排有236A =种选法，最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，可组成这样不同的6位的个数为6263216⨯⨯⨯=种排法， 故选：B【例5】 【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④. 【练5】 【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D. 【例6】 【答案】B【解析】根据题意，6671n n n C C C +-=变形可得，6671n n n C C C +=+；由组合性质可得，6771n n n C C C ++=，即6711n n C C ++=，则可得到16712n n +=+⇒=.故选：B.【练6】 【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D【例7】【答案】(1) 13；(2) 22.【解析】(1 )从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，.取法有213412C C =种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种. (2 )使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.第一种，红球2个和白球2个，取法有223418C C =种; 第二种，红球3个和白球1个，取法有31344C C =种,根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种. 【练7】 【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B【例8】 【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A =种，故选：D.【练8】 【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A ⨯⨯⨯=.故选：C 【例9】 【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A 种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A ⨯=.故选：C【练9】 【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B【例10】 【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A =.故选：B.【练10】 【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法，此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C. 【例11】【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【练11】 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.【例12】 【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选：B.【练12】 【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种， 当22m -<<时，圆面224x y +≤被分成4块， 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D 【例13】 【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【练13】【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端)中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.【例14】 【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C. 【练14】 【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C练习答案1. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】解：由题意知，分两种情况：①五位数是由2个偶数，3个奇数组成，共有A 33C 32A 42=216个； ②五位数是由3个偶数，2个奇数组成，共有C 32A 22A 33=36个；则这样的五位数一共有216+36=252个故答案为：D【分析】由排列与组合，结合题意，直接求解即可2.【答案】C【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式【解析】由题意知：n!3!=8⋅n!2!(n−2)!，即(n−2)!=24=4!，可得n−2=4，∴n=6.故答案为：C【分析】利用排列组合数计算公式，即可得出答案。

《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。

本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。

一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。

1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。

二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。

2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。

2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。

三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。

3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。

3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。

四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。

4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。

4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。

五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。

希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。

6.2.3矢量的数乘运算教学设计内容 6.2.3矢量的数乘运算 单元第六单元 学科数学年级高一内容分析 平面矢量的数乘运算，根据矢量加法导入，学习内容是平面矢量的数乘运算以及运算律，同时探究平面矢量共线基本定理。

教学目标与核心素养1.通过有向线段将平面矢量的数乘运算具体化；2.培养学生逐步探究的逻辑思维能力.3.掌握运用矢量的数乘运算解决实际问题。

4.通过数形结合用有向线段直观判断平面矢量的数乘运算；5.能够正确计算和判断矢量的数乘运算；6.让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点 平面矢量数乘运算、平面矢量共线基本定理。

难点 平面矢量共线基本定理。

教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图导入新课复旧导新： 情景1：有什么关系？与和a a a a a a a )()()(-+-+-++通过设问，引出本节新课内容。

通过问题情境，调动学生学习兴趣。

新课讲授要点探究1：数乘运算的定义实数λ与矢量a 的积是一个矢量,这种运算叫做矢量的数乘运算.记作 λa它的长度和方向规定如下：()aa λλ=1()的方向相同；的方向与时，当a a λλ02>的方向相反。

的方向与时，当a a λλ0<，方向任意。

时，当00==a λλ要点探究2：数乘运算的几何意义设问：分别说明说明 3a 和—3a 的几何意义吗？解析： 3a 就是将矢量a 沿a 的方向扩大3倍；—3a 就是将矢量沿a 的相反方向扩大3倍。

由向量的几何意义可以几何中的相似问题学生根据一连串的思考题，探究平面矢量的数乘运算。

利用两个情境探究得出平面矢量的数乘运算,培养学生探索的精神.要点探究3：数乘运算的运算律设问：如果把非零矢量a 的长度伸长到原来的5倍，方向不变得到矢量b ，矢量b 该如何表示？矢量a ，b之间的关系怎样？要点知识：数乘运算的运算律()()()aa λμμλ=1()()aa a μλμλ+=+2()()b a b a λλλ+=+3特别地：()()()a a a -=-=-λλλ()b a b a λλλ-=-设问：矢量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？ 解析：矢量的加法、减法、数乘运算的结果仍是矢量。

编号033 §9.2 独立性检验目标要求1、通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2、通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．学科素养目标本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．重点难点重点：理解2×2列联表的统计意义；难点：了解2×2列联表独立性检验及其应用．教学过程基础知识点1．独立性检验用__________研究问题的方法称为独立性检验．2．列联表与χ2计算公式(1)列联表一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.列联表如下：Ⅱ类1类2合计类A a b a＋bⅠ类B c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d(2)χ2的计算公式：χ2＝_______________________，其中n＝________________.【课前小题演练】题1．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2×2列联表：看书运动合计男82028女161228合计243256≈4.667，所以我们有________的把握判定休闲方式与根据表中数据，得到χ2＝28×28×24×32性别有关系．(参考数据：P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01)()A．99% B．95% C．1% D．5%题2．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率题3．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是( )y1y2合计x1a b a＋bx2c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋dA.ad－bc越小，说明X和Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强题4．下面是一个2×2列联表：y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a，b的值分别为________．题5．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝8.013，那么是否有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系：________.(填“是”或“否”)题6．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：[0，50](50，150](150，475][0，35]3218 4(35，75]6812(75，115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面2×2列联表：[0，150](150，475][0，75](75，115](3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.P(χ2≥xα)0.050.010.001xα 3.841 6.63510.828【当堂巩固训练】题7．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果题8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1不及格及格合计男61420女102232合计163652好差合计男41620女122032合计163652偏高正常合计男81220女82432合计163652丰富不丰富合计男14620女23032合计163652A．成绩B．视力C．智商D．阅读量题9．有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均为大于5X，Y有关，则a的值为( ) A．8 B．9 C．8或9 D．6或8题10．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )A．H0：男性喜欢参加体育活动B．H0：女性不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关题11．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是( )题12．一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12 ，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的16 ，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的23 .若有95%的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为( )P (χ2≥x α)0.05 0.01 x α3.8416.635A .12B ．6C ．10D ．18题13．(多选题．．．)下列说法正确的是( )A ．事件A 与B 独立，即两个事件互不影响 B ．事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大C ．χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据 D ．若判定两事件A 与B 相关，则A 发生B 一定发生题14．(多选题．．．)某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得χ2≈7.218，参照下表：P (χ2≥x 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.7063.8415.0246.6357.87910.828得到不正确的结论是( )A．有99%的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率约0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率约0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”题15．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝7.63，根据这一数据分析，是否有99.9%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的：________．(填“是”或“否”)题16．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852＞3.841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错误的可能性不超过________．题17．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？为什么？题18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．(1)写出2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系？说明你的理由．(下面的临界值表供参考)α0.1 0.05 0.01 0.005xα 2.706 3.841 6.635 7.879【综合突破拔高】题19．独立性检验中，假设H 0：运动员受伤与不做热身运动没有关系．在上述假设成立的情况下，计算得χ2的观测值x ≈7.236.下列结论正确的是( ) 附：P (χ2≥x 0)0.10 0.05 0.010 0.005 x 02.7063.8416.6357.879A .在犯错误的概率约为B ．在犯错误的概率约为0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C ．在犯错误的概率约为0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D ．在犯错误的概率约为0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关题20．为了调查各国参赛人员对运动会主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12 ；②在犯错误的概率约为1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．男性运动员女性运动员对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意5030A ．0B ．1C ．2D ．3题21．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计6050110附表：P ()χ2≥x 00.050 0.010 0.001 x 03.8416.63510.828由χ2＝n 2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） 算得χ2≈7.8.参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率约为0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率约为0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”题22．(多选题．．．)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是( )A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高题23．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表，那么A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________．晚上白天合计男婴45 A B女婴E35 C合计98 D180题24．某学校为了制订治理学校门口，上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：同意限定区域停车不同意限定区域停车合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50题25．为了解学案的使用是否对学生的学习成绩有影响，随机抽取100名学生进行调查，得到χ2的观测值x≈7.4，则可以得出结论：在犯错误的概率约为________的前提下，认为学生的学习成绩与使用学案有关．参考数据：P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828题26．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如表玩手机不玩手机合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀16 2 18合计20 10 30则有________%的把握认为玩手机对学习有影响．附：P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828χ2＝n()ad－bc2()a＋b()c＋d()a＋c()b＋d，n＝a＋b＋c＋d.题27．某中学研究性学习小组为了考察高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明，在爱看课外书的24人中有18人作文水平好，另6人作文水平一般；在不爱看课外书的26人中有7人作文水平好，另19人作文水平一般．(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表爱看课外书不爱看课外书合计作文水平好作文水平一般合计(2)将其中某4名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1，2，3，4，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为2的倍数或3的倍数的概率．参考公χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：χ2≥x00.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001P()x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828题28．某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中20，60内，则该产品视为合格品，各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[)否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数[10，20) 2[20，30) 18[30，40) 48[40，50) 14[50，60) 16[60，70) 2(1)完成2×2列联表，设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图1(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[)30，40 内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[)20，30 或[)40，50 内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望． 附：P ()χ2≥x 00.150 0.100 0.050 0.025 0.010 x 02.0722.7063.8415.0246.635参考公式：χ2＝n ()ad －bc ()a ＋b ()c ＋d ()a ＋c ()b ＋d ，n ＝a ＋b ＋c ＋d .编号033 §9.2 独立性检验目标要求1、通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2、通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．学科素养目标本章内容是在学生已经学习过必修课程中的统计知识和概率知识的基础上，通过对典型案例的研究，了解和使用一些常用统计分析方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用，从而形成运用统计的观点认识客观事物的习惯．在本章教学中，应突出对学生应用意识的培养，不能只限于要求学生会解书本上的习题，还要关注学生应用与解决实际问题的能力．应引导、鼓励学生从现实生活中发现问题，并能自觉地运用所学的统计方法加以理解，应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模活动，选择一个案例，要求学生亲自实践．重点难点重点：理解2×2列联表的统计意义；难点：了解2×2列联表独立性检验及其应用．教学过程基础知识点1．独立性检验用χ2统计量研究问题的方法称为独立性检验．2．列联表与χ2计算公式(1)列联表一般地，对于两个分类变量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.列联表如下：Ⅱ类1类2合计Ⅰ类A a b a＋b类B c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d(2)χ2的计算公式：χ2＝__（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）__ ，其中n＝a＋b＋c＋d.【课前小题演练】题1．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的2×2列联表：看书运动合计男82028女161228合计243256根据表中数据，得到χ2＝228×28×24×32≈4.667，所以我们有________的把握判定休闲方式与性别有关系．(参考数据：P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥6.635)≈0.01)()A．99% B．95% C．1% D．5%【解析】选B.结合题意和独立性检验的结论，由χ2≈4.667>3.841，P(χ2≥3.841)≈0.05，得这种判断出错的可能性为0.05，即5%.故我们有95%的把握判定休闲方式与性别有关系．题2．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率【解析】选C.判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．题3．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法判断正确的是( )y1y2合计x1a b a＋bx2c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋dA.ad－bcB．ad－bc越大，说明X和Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强【解析】选C.列联表可以较为准确地判断两个变量之间的相关关系程度，由χ2＝（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2，（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）当(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X与Y的关系越强．(ad－bc)2越接近0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大．题4．下面是一个2×2列联表：y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a，b的值分别为________．【解析】a＝73－21＝52，b＝100－46＝54.答案：52，54题5．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝8.013，那么是否有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系：________.(填“是”或“否”)【解析】因为χ2＝8.013>7.879＝x0.005，查阅χ2表知有99.5%的把握认为两个随机事件之间有关系．答案：是题6．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：[0，50](50，150](150，475][0，35]3218 4(35，75]6812(75，115]3710(1)2(2)根据所给数据，完成下面2×2列联表：[0，150](150，475][0，75](75，115](3)根据(2)SO2浓度有关？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.P(χ2≥xα)0.050.010.001xα 3.841 6.63510.828【解析】(1)2150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64.(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)根据(2)的列联表得χ2＝80×20×74×26≈7.484.由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．【当堂巩固训练】题7．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是( )A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果【解析】选B.从等高条形图可以看出，服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比例大得多，预防效果更好．题8．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1不及格及格合计男61420女102232合计163652好差合计男41620女122032合计163652偏高正常合计男81220女82432合计 1636 52表4丰富 不丰富 合计 男 14 6 20 女 2 30 32 合计163652A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 【解析】选D .因为χ21＝52×（6×22－14×10）216×36×32×20＝52×8216×36×32×20， χ22＝52×（4×20－16×12）216×36×32×20 ＝52×112216×36×32×20，χ23＝52×（8×24－12×8）216×36×32×20 ＝52×96216×36×32×20，χ24＝52×（14×30－6×2）216×36×32×20 ＝52×408216×36×32×20，则有χ24 >χ22 >χ23 >χ21 ，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．题9．有两个分类变量X ，Y ，其列联表如下所示，Y 1 Y 2 X 1 a 20－a X 215－a30＋a其中a ，15－a 均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X ，Y 有关，则a 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．8或9 D ．6或8 【解析】选C .根据公式，得χ2＝65×[a （30＋a ）－（15－a ）（20－a ）]220×45×15×50＝13×（13a －60）220×45×3×2 >3.841，根据a >5且15－a >5，a ∈Z ，求得当a ＝8或9时满足题意．题10．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( ) A ．H 0：男性喜欢参加体育活动 B ．H 0：女性不喜欢参加体育活动 C ．H 0：喜欢参加体育活动与性别有关D ．H 0：喜欢参加体育活动与性别无关【解析】选D .独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．题11．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关，观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是( )【解析】选D .由等高条形图易知，D 选项两个分类变量关系最强．题12．一款短视频手机应用最近在某校学生中流行起来，某校团委对“学生性别和喜欢该手机应用是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12 ，男生喜欢该手机应用的人数占男生人数的16 ，女生喜欢该手机应用的人数占女生人数的23 .若有95%的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，则被调查的男生人数至少为( )P (χ2≥x α)0.05 0.01 x α3.8416.635A .12B ．6C ．10D ．【解析】选A .设被调查的男生人数为x ，则女生人数为x2，可得列联表如下：喜欢 不喜欢 合计 男生 x 65x 6x女生 x 3 x 6x 2合计x 2x3x 2由公式算得χ2＝3x 8 ，因为有95%的把握认为是否喜欢该手机应用和性别有关，所以x 8 ≥3.841，则x ≥83×3.841≈10.24.而x ，x 2 ，x 3 ，x6 都是整数，所以x 的最小值为12，即男生至少有12人．题13．(多选题．．．)下列说法正确的是( )A ．事件A 与B 独立，即两个事件互不影响 B ．事件A 与B 关系越密切，则χ2就越大C ．χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一根据 D ．若判定两事件A 与B 相关，则A 发生B 一定发生【解析】选AB .由事件的独立性知，A 选项正确；由独立性检验的意义知，B 选项正确；χ2的大小是判定事件A 与B 是否相关的一种方法，不是唯一依据，C 选项不正确；若事件A 与B 相关，则A 发生B 可能发生，也可能不发生，D 选项不正确．题14．(多选题．．．)某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2×2列联表，由计算得χ2≈7.218，参照下表：P (χ2≥x 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 02.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．有99%的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率约0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率约0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【解析】选ACD .χ2≈7.218>6.635，可得有99%的把握认为“学生性别与中学生追星有关”．题15．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝7.63，根据这一数据分析，是否有99.9%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的：________．(填“是”或“否”) 【解析】因为χ2＝7.63<10.828＝x 0.001，因此，没有99.9%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的． 答案：否题16．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852＞3.841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错误的可能性不超过________．【解析】因为P (χ2≥3.841)≈0.05.所以判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%. 答案：5%题17．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下能否认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？为什么？【解析】(1)由已知可列2×2列联表：患胃病 未患胃病 合计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 合计80460540(2)根据列联表中的数据，由计算公式得χ2＝540×（20×260－200×60）2220×320×80×460≈9.638＞6.635＝x 0.01，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．题18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．(1)写出2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系？说明你的理由．(下面的临界值表供参考)α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.879【解析】(1) 正确 错误 合计 20～30岁10304030～40岁 10 70 80 合计20100120(2)120×（10×70－10×30）220×100×40×80＝3>2.706＝x 0.1，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系．【综合突破拔高】题19．独立性检验中，假设H 0：运动员受伤与不做热身运动没有关系．在上述假设成立的情况下，计算得χ2的观测值x ≈7.236.下列结论正确的是( ) 附：P (χ2≥x 0)0.10 0.05 0.010 0.005 x 02.7063.8416.6357.879A .在犯错误的概率约为B ．在犯错误的概率约为0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C ．在犯错误的概率约为0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D ．在犯错误的概率约为0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关【解析】选A .因为P ()χ2≥6.635 ≈0.01，因此，在犯错误的概率约为0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关．题20．为了调查各国参赛人员对运动会主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12 ；②在犯错误的概率约为1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”．男性运动员女性运动员对主办方表示满意 200 220 对主办方表示不满意5030A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选B .任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为200500 ＝25 ，故①错误；χ2＝500×()200×30－50×2202420×80×250×250 ≈5.952<6.635，故②错误，③正确．题21．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计6050110附表：P()χ2≥x00.050 0.010 0.001x0 3.841 6.635 10.828由χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）算得χ2≈7.8.参照附表，得到的正确结论是( )A．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率约为0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率约为0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.由题意，得χ2≈7.8>6.635，所以在犯错误的概率约为1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，即有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．题22．(多选题．．．)2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中(35岁以上含35岁)的信息，下列结论中一定正确的是( )A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．样本中35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁1号线的开通关注度更高【解析】选ABD.设等高条形图对应2×2列联表如下：35岁以上35岁以下合计男性a c a＋c女性b d b＋d合计a＋b c＋d a＋b＋c＋d根据第135岁以下女性多，即c>d.。

章节复习讲义（人教版）2021-2022学年人教版数学六年级上册章节复习精讲精练第二单元《位置与方向（二）》知识互联网知识导航知识点一：描述物体的位置确定物体位置的两个条件：方向和距离。

知识点二：标出物体的位置方法步骤：1.确定方向；2.量出角度；3.选好单位长度；4.确定距离；5.画出物体的位置；6.标出名称。

知识点三：描述路线图描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，描述到下一个目标所行走的方向和距离，即每一步都要说清起点在哪，沿着什么方向走了多远的路程，终点在哪。

夯实基础一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1．(本题2分)（2021·福州市象园小学六年级期中）以小松鼠家为观测点，小猴家在（）方向上。

A．东偏北35°B．北偏东35°C．南偏西35°2．(本题2分)（2021·山东临沂市·）小刚看小强在西偏北30°方向上，则小强看小刚在（）方向上。

A．东偏南30°B．北偏西30°C．南偏西30°3．(本题2分)（2019·河南淅川县·六年级期中）以学校处为观测点，广场在学校的（）处。

A．北偏东30°B．东偏北60°C．北偏东60°D．南偏东30°4．(本题2分)（2021·全国六年级单元测试）观察下图的位置关系，其中说法错误的是（）。

A．学校在公园西偏北50°方向400米处B．公园在少年宫东偏北70°方向300米处C．公园在学校东偏南50°方向400米处D．少年宫在公园东偏北70°方向300米处5．(本题2分)（2020·河北六年级单元测试）小明家在学校的东偏南30°方向，小红家在学校的正东方向，两家与学校的距离是300米．则小红家位于小明家（）方向上．A．北偏东15°B．东偏北60°C．西偏南75°D．北偏东30°二、仔细想，认真填（共6题；共15分）6．(本题1分)（2017·浙江六年级期末）小明家在学校的南偏东30°方向200米处，则学校在小明家的（_________）。

《充分条件与必要条件》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件全称量词与存在量词所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。

全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。

核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。

通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。

教学主线命题的真假判断学生在初中阶段已经接触过命题，对命题的真假判断有了一定的基础，这对学习本节内容有一定的帮助，但是学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，在学习过程中会有困难，所以在教学时应多举一些实例引导学生去分析，使之与学生的知识结构同步完善发展。

1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养；2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养；3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养。

重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；难点：1.必要条件的理解2.充分条件、必要条件的判断方法（一）新知导入1. 创设情境，生成问题从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。