北师大版高数选修23第2讲：排列组合

北师大版高中数学排列组合__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.(2)组合：___________________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.○4根据定义区分排列问题、组合问题.2.排列数与组合数：(1)排列数的定义:_______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.(2)组合数的定义:______________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.3.排列数公式与组合数公式：(1)排列数公式：_________________________________(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n nA n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅!.()!n n m =- 所以!.()!m n n A n m =- (3)组合数公式:________________________________(4)组合数的两个性质:性质1：.m n m n nC C -= 性质2：11.m mm n n n C C C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式.(1)57;A (2)212;A (3)77.A练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( )A.2m AB.21m AC.2020m A +D.2120m A + 例4：计算98100C练习2：计算972959898982C C C ++类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？练习1：3个女生和5个男生排成一排.(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个1.89×90×91×…×100可表示为()A.10100AB.11100AC.12100AD.13100A 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )A.5B.6C.7D.8３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0 ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )A.222574C C C ++B.222574C C C C.222574A A A ++ D.216C 8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种B.180种C.270种D.540种_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( )A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C 3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( )A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A 4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片.5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.能力提升1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）A.144个B.120个C.96个D.72个 2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.60条B.62条C.71条D.80条3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．244.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？。

排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。

复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。

三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

第二课时排列的应用[例]由数字可组成多少个无重复数字的正整数？[思路点拨]可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和．[精解详析]第一类：组成一位数有＝个；第二类：组成二位数有＝个；第三类：组成三位数有＝个；第四类：组成四位数有＝个．根据加法原理，一共可以组成＋＋＋＝个正整数．[一点通]对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解．若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．．从种蔬菜品种中选种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？解：从种蔬菜品种中选种，分别种在块不同土质上，对应于从个元素中取出个元素的排列数．因此不同的种植方法数为＝××＝.故共有种不同的种植方法．．()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？()有名大学毕业生到个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？解：()将个招聘雇员的公司看作个不同的位置，从中任选个位置给名大学毕业生，则本题即为从个不同元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有＝××＝种．()将名大学毕业生看作个不同的位置，从中任选个位置给个招聘雇员的公司，则本题仍为从个不同的元素中任取个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有＝××＝种.[例]()其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？()甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？()甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？[思路点拨]这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则．[精解详析]()先考虑甲站在中间有种方法，再在余下的个位置排另外名同学，共有＝×××××＝种排法．()先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的个位置排另外名同学的排法有种，共有＝×××××＝种排法．()法一：先考虑在除两端外的个位置选个安排甲、乙有种，再在余下的个位置排另外位同学的排法有种，共有＝××××××＝种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有种，中间个位置有种，共有＝种排法．[一点通]()“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．()从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．．电视台连续播放个广告，其中含个不同的产品广告和个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有( )．种．种．种．种解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间个位置，则＝＝×＝.答案：．用这个数字，可以排成个无重复数字的位数．解析：组成位数，相当于将个元素排在三个位置，但不能在首位，首位的排法有，而其余两位排法有，由分步乘法原理知，共有＝种排法．答案：．由这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于万，又不是的倍数的数有多少个？解：法一：因为首位和个位上不能排和，所以先从中任选个排在首位和个位，有种排法，再排中间位数有种排法，由分步乘法计数原理，共有·＝×＝个符合要求．法二：六个数位的全排列共有个，其中有排在首位或个位上的有个，还有排在首位或个位上的也有个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含和分别在首位或个位上的排法种，所以有－＋＝个符合要求.[例](，准备一起照张合影．(排成一排)()要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？。

排列组合应用题的解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略。

1、相邻问题捆绑法。

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

例1：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D2、相离问题插空排。

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

例2：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B 3、定序问题缩倍法。

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

例3：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B 4、标号排位问题分步法。

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

例4：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。