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第4章 液态金属凝固过程中的传热、传质及液体流动

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液态金属凝固的热力学和动力学

液态金属凝固的热力学和动力学

νLS
= DL a2
-
Δ
Δ
σ-
Δ
Δ
Δ
σ Δ
Δ π（σΔ）σ-π（σΔ）（Δ ）πσΔ
R =I 2d Aa ×3
➢ 假设在晶体平面上形成二维晶核，每一个二维晶核很快长 大，并在下一个晶核形成之前向侧向扩展成一个原子平面， 这样，台阶通过某点的频率应为单位面积上二维晶核形核 率乘以长大晶面的表面积，为此，界面长大速度为：
R = Rl l
a =I 2d
•A •a
I 2d = n2*dW * νLS
W * = 晶核周边面积 = 2πr *a 1个原子所占面积 a2
ΔG均* k BT
)
f
0
=
N

S
νp
exp(-
ΔG A k BT
)
I
均
=νN
S
pN
L
exp（[-
ΔGA +ΔG均* k BT
）] = k1
exp（[- ΔGA +ΔG均* k BT
）]
1)
Δ _
G均*
由于生核功随过冷度增大而减小，它反比于
e kBT
ΔT2。故随过冷度的增大，此项迅速增大，即生核速度
迅速增大；
逆过程。
• 热力学平衡态 • 当体系的诸性质不随时间而改变，则体系就处于热力学
平衡态，它包括下列几个平衡： → 热平衡（thermal equilibrium）：体系各部分温度相等。 → 力学平衡（mechanical equilibrium）：体系各部的压
力都相等，边界不再移动。如有刚壁存在，虽双方压力 不等，但也能保持力学平衡。 → 相平衡（phase equilibrium）：多相共存时，各相的 组成和数量不随时间而改变。

金属凝固原理-第四章

金属凝固原理-第四章
dCL/dt=DL[d(dCL/dx)]/dx=DLd2CL/dx2
“稳定态定向凝固”溶质分配特征方程式 条件： 1）扩散源稳定（相变时溶质的析出速度与扩
散速度处于动平衡）； 2）扩散源的运动速度R与溶质的析出Байду номын сангаас度也
为动态平衡。 DLd2CL/dx2＋R（dCL/dx）=0
4.1.2 凝固传质过程的有关物理量
2）k0>1：溶质元素从L越过S/L界面扩散S，使得 CS>CL；
3. 液相线斜率mL mL＝dT/dC=(TL-Tm)/CL TL=Tm+ mL CL
4. 液相温度梯度GL GL=dT/dx GL<0，负温度梯度；Ti>TL GL>0，正温度梯度；Ti<TL
4.1.3 稳定态（溶质传输）过程的一般 性质
1. 稳定态定向凝固特征微分方程的通解
对于动态的稳定态扩散（L/S界面处无溶 质元素聚积，结晶速度=溶质自界面远 方扩散走的速度，动态平衡），溶质分配
特征方程式的通解为：
C(x)L=A exp(-Rx/DL)+B
CL:溶质在液相中的浓度；DL: 扩散系数； R=dx/dt: 固液界面生长速度
2. 固液界面处（x=0）的溶质平衡
金属凝固原理-第四章
第四章 单相及多相合金的结晶
凝固过程中的质量传输 单相合金的凝固 成分过冷的产生 界面前方过冷状态对凝固过程的影响 多相合金的凝固
§4-1 凝固过程中的质量传输
4.1.1 溶质分配方程
传热、传质、流动—影响凝固过程；扩散过程—便于理解溶质再分配
1. 扩散第一定律
溶质在扩散场中某处的扩散通量J {J:单位时间t内 通过单位面积A的溶质质量m，即J=dm/(Adt)}与溶 质在该处的浓度梯度（dCL/dx）成正比，

液态金属凝固过程中的传热与传质

液态金属凝固过程中的传热与传质

液态金属凝固过程中的传热与传质摘要：液态金属熔体中传热和传质过程的改变会影响晶体的形核和生长，从而影响凝固组织。

本文介绍了液态金属凝固的原理，凝固过程中传热“一热、二迁、三传”的特点，以及凝固过程中的传质及其基本问题。

传热与传质的研究方法包括解析法、实验法、数值模拟法等。

我国许多研究者对凝固过程中的传热和传质问题进行了研究，高新技术方面热质传递现象的机理和特有规律是今后重点发展的研究领域。

关键词：金属凝固；传热和传质；界面；溶质再分配在金属的热态成形过程中，常常伴随着金属液的流动、气体的流动、金属件内部和它周围介质间的热量交换和物质转移现象，即动量传输、热量传输和质量传输现象。

液态金属熔体中传热和传质过程的改变会影响晶体的形核和生长，从而影响凝固组织[1-2]。

因此，只有正确和深入研究金属凝固过程中的传输现象，才能有助于建立正确的凝固过程理论模型。

1 金属凝固过程的传热与传质1.1 金属凝固过程中的传热在凝固过程中，伴随着潜热的释放、液相与固相降温放出物理热，定向凝固时，还需外加热源使凝固过程以特定的方式进行，各种热流被及时导出，凝固才能维持。

宏观上讲，凝固方式和进程主要是由热流控制的。

金属凝固过程的传热特点可以简明的归结为“一热、二迁、三传”[3-5]。

“一热”即在凝固过程中热量的传输是第一重要的，它是金属凝固过程能否进行的驱动力。

凝固过程首先是从液体金属传出热量开始的。

高温的液体金属浇入温度较低的铸型时，金属所含的热量通过液体金属、已凝固的固体金属、金属-铸型的界面和铸型的热阻而传出。

凝固是一个有热源非稳态传热过程。

“二迁”指在金属凝固时存在着两个界面，即固相-液相间界面和金属-铸型间界面，这两个界面随着凝固进程而发生动态迁移，并使得界面上的传热现象变得极为复杂。

图1为纯金属浇入铸型后发生的传热模型示意，由图可见在凝固过程中随着固相-液相间界面向液相区域迁移，液态金属逐步变为固态，并在凝固前沿释放出凝固潜热，并随着凝固进程而非线性地变化。

凝固原理讲义-凝固过程中的流动-

凝固原理讲义-凝固过程中的流动-
扩散起作用 溶质直线分布
溶质边界层
28
旋转圆盘下的浓度边界层厚度为
dc 1.61D1/3 1/61/ 2
D为溶质扩散系数，为运动粘滞系数, 为旋转圆盘的转速
温度边界层
29
T z
(Tb
Tm ) / dT
热扩散传热
dT 1/ 2
主要对流传热
温度边界层
30
晶体旋转对流体中的速度边界层、溶质边界层和温度边界层
36
两板之间的液体产生自然对流, 对流的速度vx分布曲线为正弦波形
作用于液体单元上的粘滞力示意图
作用于单元底面积上的剪切力
液态金属中自然对流的驱动力
37
液体单元上的粘滞力为:
y
dy
dxdz
dxdz
y
dxdydz
单位体积上的粘滞力为:
F粘
y
另外，根据牛顿粘滞定律
vx
y
F粘
y
vx y
2vx y 2
设在一个长度为L的圆柱体内,有很多半径为R的微小孔道, 每个小孔道是直而光滑的,我们关注的是每个管道内的流速大小
枝晶间液态金属的流动
43
每个圆管中的横截面上任一点的轴向切应力可以表示为以下两种形式:
r
vx r
黏度系数,沿管道轴向上的流动速度
r
p0 pL L
r 2
进,出口处的压力, 管道长度,指定点的半径
联立以上两式得
44
dvx
p0 pL
2L
rdr
积分,得
vx
p0 pL
4L
r 2
C
边界条件, r R时，vx 0,
当r=0时,
得
C
p0 pL

液态金属的传热与凝固方式

液态金属的传热与凝固方式
液态金属的传热与凝固方 式
本文深入讨论液态金属的传热和凝固方式，探索其原理，影响因素，传热方 式，凝固过程，以及对传热性能的影响。同时，探索液态金属传热与凝固在 现实应用领域中的实践意义。
液态金属的传热原理
液态金属的传热原理是基于热传导机制，其中，热量通过金属中的自由电子 传播。这种电子传导机制使液态金属具有出色的导热性能。
液态金属的凝固过程
液态金属的凝固过程是指金属从液态向固态的相变过程。这个过程是由温度 和时间共同作用下的原子重新排列所导致。
凝固式对传热性能的影响
不同的凝固方式会对液态金属的传热性能产生不同影响，包括凝固结构的有 序性、晶粒尺寸和形态等。理解这些影响可以更好地优化传热性能。
液态金属传热与凝固的应用领域
液态金属传热的影响因素
液态金属传热的影响因素包括金属的物理特性、温度差、传热介质等。理解 这些因素对传热效果的影响能够优化液态金属的传热性能。
液态金属的传热方式
液态金属的传热方式包括对流传热、辐射传热和传热管传热等。不同的传热方式在不同的情况下有不同 的适用性和效果。了解这些方式可以为液态金属传热的设计和应用提供指导。
液态金属传热与凝固在众多领域都有广泛应用，包括航天、工业制造、能源等。这些应用为我们提供了 更高效、更可靠的传热技术。
结论和实践意义
深入理解液态金属的传热与凝固方式对于优化传热性能、改进工艺以及实现创新应用具有重要意义。这 将不仅推动液态金属传热技术的发展，也助力相关领域的进步与创新。

液态金属凝固中的传热、传质及液体流动

液态金属凝固中的传热、传质及液体流动

t R2 K2
K为凝固系数。
在实际的生产中，通常不需计算出铸件的凝固时间， 只需通过比较它们的相对厚度或模数就可制定生产工艺。
铸件温度场及凝固时间的精确计算——计算机数值模拟
4、焊接温度场
准稳定温度场的概念
图4－4 “厚板”表面运动点热源的温度场
图4－5 薄板焊接时的温度场分布
(图b是否有误？）
3．数值计算法 数值计算法是把所研究的物体从时间和位置上分割成许多小
单元，对于这些小单元用差分方程式近似地代替微分方程式， 给出初始条件和边界条件，逐个计算各单元温度的一种方法。 即使铸件形状很复杂，也只是计算式和程序烦杂而已，在原则 上都是可以计算的。
数值计算法比其它近似计算法准确性高，当单元选得足够小
无限长圆棒试样 测温及结果处理
2.铸件的两种凝固方式
图4－3 合金成分和温度梯度对凝固方式的影响 a)、b)为层状凝固，c)、d)为体积凝固 影响因素:(1）化学成分（液－固相线距离）
（2）温度梯度
层状凝固过程 层状凝固缩孔特点
体积凝固过程 体积凝固方式的缩松
3、铸件凝固时间计算
——与铸件厚度及温度场（凝固速度）相关
1）铸型的蓄热系数 铸型的蓄热系数越大，对铸 件的冷却能力就越大，铸件是的温度梯度就越大。 铸型的导热系数越大，能把铸型内表面吸收的热迅 速传至外表面，使铸型内表面保持强的吸热能力， 铸件内的温度梯度也就大。如金属型、涂料等的影 响。
2）铸型的预热温度的影响 铸型预热温度越高，对铸件的冷却作用就越小，铸件断面上的温度梯度也 就越小。 3．浇注条件的影响 过热热量加热了铸型，所以过热度越大，相当于铸型预热温度越高。铸件 内的温度场越平坦。 4．铸件结构的影响 1）铸件的壁厚 厚壁铸件比薄壁铸件含有更多的热量，当凝固层向中心推 进时，把铸型加热到更高温度，所以铸件内温度场较平坦。 2）铸件的形状 铸件的棱角和弯曲表面，与平面的散热条件不同，向外凸 出的部分，散出的热量为较大何种的铸型所吸收，铸件的冷速较大，如果铸 件内凹的表面，则相反。

金属凝固理论 第4章 液态金属凝固过程中的传热、传质及液体流动

3） 金属的凝固温度
金属的凝固温度越高，在凝固过程中铸件表面和铸型内表 面的温度越高，铸型内外表面的温差就越大，致使铸件断 面温度场出现较大的梯度。如有色金属与钢铁相比，其温 度场较平坦。
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（2）铸型性质的影响 1）铸型的蓄热系数
铸型的蓄热系数越大，对铸件的冷却能力就越大， 铸件内的温度梯度就越大。铸型的导热系数越大， 能把铸型内表面吸收的热迅速传至外表面，使铸 型内表面保持强的吸热能力，铸件内的温度梯度 也就大。
向中心推进时，把铸型加热到更高温度，所以铸 件内温度场较平坦。
2）铸件的形状 铸件的棱角和弯曲表面，与平面的散热条件不同。
向外凸出的部分，散出的热量被较大体积的铸型 所吸收，铸件的冷速较大，如果铸件内凹的表面， 则相反。
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三、铸件的凝固方式及影响因素
TL
TS
L
S+L S
第四章 液态金属凝固过程 中的传热、传质及液体流动
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1/56
第一节 凝固过程中的传热
在材料成形过程中，液态金属的过热热量和 凝固潜热主要是通过传导而释放的。
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一、凝固过程中的热传导及傅里叶方程
温度场基本概念: 稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函 数），其表达式为：
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T n
Tw Tf
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凝固过程中，热量传递有三种形式：传导、辐射、 对流。
以热传导为主。 热传导过程取决于温度的分布——温度场：温度
随空间和时间的变化。 T = f（x，y，z，t） Fourier热传导方程：

【材料成型原理--铸造】第4章 液态金属凝固过程中的传热与传质

27/33
• 2、模型建立
• 温度TL时，开始凝固： • 固 度k相0C：0。百分数dfS；溶质浓
• 液相：溶质浓度几乎不变， 为C0。 • 温度降到T*时，
• 固 数f相S；：溶质浓度C*S；百分
•
液相：溶质浓 数fL。
度
C*L；百
分
28/33
• 当dfSf）S界，溶面这质处些浓固溶度相质增增将加加均d百C匀*L分扩，量散则为到：d整fS个时液，相排中出，溶使质剩量余为液（相C*（L-C1*S-） • （C*L-C*S）dfS=（1-fS）dC*L
30/33
31/33
32/33
33/33
34/33
35/33
• （二）固相无扩散，液相只有有限扩散（无对流或搅拌） 的溶质再分配
• 1、假设： • （1）合金单相凝固； • （2）固相无扩散（接近实际情况）； • （3）液相有限扩散（无对流、搅拌）； • （4）固液相线为直线，k0为常数； • （5）试样很长，单向放热，平面推进。
• 该两式为平衡凝固时溶质再分配的数学模型。
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CS
1
C0k0 f S (1 k0 )
CL
k0
C0 f L (1 k0 )
• 3、验证 （1）开始凝固时 • 初始条件：fS0，fL1 • 则：CS=k0C0；CL=C0 （2）凝固结束时 • 初始条件：fS1，fL0 • 则：CS=C0；CL=C0/k0
凝固时间与凝固层厚度的平方成正比。
计算结果与实际接近。
适合大平板和结晶间隔小的铸件。
14/33
• 3、“折算厚度”法则
R2 t
K2
R V1 为铸件折算厚度或铸件模数。
A1

液态金属凝固过程中的传热与传质

液态金属凝固过程中的传热与传质摘要：液态金属熔体中传热和传质过程的改变会影响晶体的形核和生长，从而影响凝固组织。

本文介绍了液态金属凝固的原理，凝固过程中传热“一热、二迁、三传”的特点，以及凝固过程中的传质及其基本问题。

传热与传质的研究方法包括解析法、实验法、数值模拟法等。

我国许多研究者对凝固过程中的传热和传质问题进行了研究，高新技术方面热质传递现象的机理和特有规律是今后重点发展的研究领域。

会形成一个间隙（也称气隙），因此这里的传热不知是一种简单的传导，而是同时存在微观的对流和辐射传热。

“三传”即金属的凝固过程是一个同时包含动量传输、质量传输和热量传输的三传耦合的三维传热物理过程。

在热量传输过程中也同时存在有导热、对流和辐射换热三种传热方式。

一个从宏观上看是一维传热的单向凝固的金属，由于凝固过程中的界面现象使传热过程在微观变得非常复杂。

当固/液界面是凹凸不平或生长为枝晶状时，在这个凝固前沿上，热总是垂直于这些界面的不同方位从液相传入固相，因而发生微观的三维传热现象。

在金属和铸型界面上的传热也不只是一种简单的传导，而是同时存在微观的对流和辐射传热。

图1 纯金属在铸型中凝固时的传热模型K-导热，C-对流，R-辐射，N-牛顿界面换热1.2金属凝固过程中的传质金属液凝固时出现的固相成分常与液相成分不同，引起固相、液相内成分分布的不均匀，于是在金属凝固时固相层增厚的同时出现了组分的迁移过程，即传质。

凝固过程的溶质传输决定着凝固组织中的成分分布，并影响到凝固组织结构。

金属的凝固过程，其传质问题直接和金属的凝固方式相关联，主要研究几种基本传质问题：①金属凝固过程中整个凝固体系内溶质的变化；②金属以平界面方式凝固时凝固过程的溶质变化；③金属以枝晶方式凝固时凝固过程的溶质变化。

平界面凝固过程中的传质与溶质再分配是最基本的传质问题，对许多复杂传质问题的研究是在此基础上进行的。

主要包括：（1）平衡凝固条件下的溶质再分配；（2）固相无扩散而液相均匀混合的溶质再分配；（3）固相无扩散，液相中有扩散而无对流的溶质再分配；（4）液相中部分混合（对流）的溶质再分配。

第章液态金属凝固过程中的传热、传质及液体流动摘要


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8
3、影响铸件温度场的因素 （1）金属性质的影响 1）金属的导热系数
铸件凝固时表面的温度比中心要低。金属的导热系数大， 铸件内部的温度均匀化的能力就大，温度梯度就小，即断 面上的温度分布较平坦。
2）结晶潜热
金属的结晶潜热大，向铸型传热的时间长，铸型内表面被 加热的温度也越高，因此铸件断面上的温度梯度较小，铸 件冷却速度下降，温度场分布较平坦。
2）铸型的预热温度
铸型预热温度越高，对铸件的冷却作用就越小， 铸件断面上的温度梯度也就越小。
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（3）浇注条件的影响 过热热量加热了铸型，所以过热度越大，相当于
铸型预热温度越高。铸件内的温度场越平坦。
（4）铸件结构的影响 1）铸件的壁厚 厚壁铸件比薄壁铸件含有更多的热量，当凝固层
S
TL
T
TS
S S+L S
逐层凝固
糊状凝固
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中间凝固
12
凝固时各区域组成：（1）固相区：全部固体 （2）凝固区：液体+固体 （3）液相区：全部液体
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金属或合金凝固分区示意图
13
1）逐层凝固方式
纯金属、共晶合 金或结晶温度范围很 小的合金，铸件断面 温度梯度很大，导致 铸件凝固区很小或没 有。这种凝固方式叫 逐层凝固方式。
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2）体积凝固方式
合金结晶温度 范围大或铸件断面 温度梯度小，铸件 凝固范围很大。这 种凝固方式叫体积 凝固方式。
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3）中间凝固方式
铸件凝固范围介于逐层凝固方式和体积 凝固方式之间。这种凝固方式叫中间凝 固方式。
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（3）浇注条件的影响 过热热量加热了铸型，所以过热度越大，相当于 铸型预热温度越高。铸件内的温度场越平坦。 （4）铸件结构的影响 1）铸件的壁厚 厚壁铸件比薄壁铸件含有更多的热量，当凝固层 向中心推进时，把铸型加热到更高温度，所以铸 件内温度场较平坦。 2）铸件的形状 铸件的棱角和弯曲表面，与平面的散热条件不同。 向外凸出的部分，散出的热量被较大体积的铸型 所吸收，铸件的冷速较大，如果铸件内凹的表面， 则相反。
α为导热系数，λ为热导率，c为比热容，ρ 为密度。
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凝固导热属非稳态导热； 导热微分方程的解较复杂；
形状简单的物体：大平板、长圆柱、球 体——可得解析解； 复杂件的凝固问题：采用计算机数值模拟。

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二、铸件凝固温度场





1、铸件凝固过程中热作用的特点 （ 1 ）金属的流动特点影响热交换。 充型时——紊流——温度均匀。 （ 2 ）随温度下降 —— 开始凝固 — —凝固壳从冷却表面产生、长大。 （ 3 ）热量从最热的中心流经凝固 层，传给铸型。 （ 4 ）凝固过程温度分布：铸件中 心温度最高，远离铸件 / 铸型界面 凝固过程中铸件与铸型 的铸型温度最低。 的温度分布
C0 CL k 0 f L (1 k 0 )



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3、验证 （1）开始凝固时 初始条件：fS0，fL1 则：CS=k0C0；CL=C0 （2）凝固结束时 初始条件：fS1，fL0 则：CS=C0；CL=C0/k0
33/54



4、总结 （1）平衡凝固时溶质再分配仅取决于热力学参 数k0，与动力学无关； （2）凝固时，虽然存在溶质再分配，但凝固结 束后，固相成分为液态合金原始成分C0。
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（二）固相无扩散，液相只有有限 扩散（无对流或搅拌）的溶质再分 配 1、假设： （1）合金单相凝固； （2）固相无扩散（接近实际）； （ 3 ）液相有限扩散（无对流、搅 拌）； （4）固液相线为直线，k0为常数； （5）试样很长，单向放热，平面推 进。
q2 Q2
2b2

(Ti T20 ) t (Ti T20 ) t
2 Ab2

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同一时间内铸件放出的热量:
Q1 V11[L c1 (T 浇TS )]
Q1=Q2
t
1 V1 L C1 (T浇 TS )
2 b2 A1 [ Ti T20
R V1 A1
2
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在实际的生产中，通常不需计算出铸件的凝固时间，只 需通过比较它们的相对厚度或模数就可制定生产工艺。 铸件温度场及凝固时间的精确计算——计算机数值模拟
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第二节 凝固过程中的传质
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2、铸件凝固温度场
2、凝固传热研究方法 ◎解析法：假设一维导热
T 2T 2 t x
通解
T c Derf (
x 2 t
)
对铸件：边界条件 初始条件 对铸型：边界条件 初始条件
T2 Ti (T20 Ti )erf ( T1 Ti (Ti T10 )erf ( x 2 1t x 2 2t )
11/54
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三、铸件的凝固方式及影响因素
TL TS
S+L S T L S+L S TL TS S S+L T
S
逐层凝固
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糊状凝固 中间凝固
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凝固时各区域组成：（1）固相区：全部固体 （2）凝固区：液体+固体 （3）液相区：全部液体
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3）中间凝固方式

铸件凝固范围介于逐层凝固方式和体积 凝固方式之间。这种凝固方式叫中间凝 固方式。
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凝固方式对铸件质量的影响

① ② ③ ④

① ②
③
1）逐层凝固方式： 易补缩，不易产生缩松，组织致密，性能好。 能在最后凝固部位形成集中缩孔。 裂纹能愈合，热裂倾向小。 充型能力好。 2）体积凝固方式： 不易补缩，易产生缩松。件性能差。 热裂倾向大。 充型能力差。
36/54


当界面处固相增加百分量为 dfS时，排出溶质量为（C*LC*S ） dfS ，这些溶质将均匀扩散到整个液相中，使剩余 液相（1-fS）溶质浓度增加dC*L，则： （C*L-C*S）dfS=（1-fS）dC*L 将
* CS C k0 * L
代入并积分（边界条件：fS=0，C*S= k0C0）得：
q2 2b2

(Ti T20 ) t
2b2 (Ti T20 ) t 1[ L C1 (T浇 TS )]
为凝固层厚度
t
2
K2
24/54
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3、“折算厚度”法则
R t 2 K
为铸件折算厚度或铸件模数。 由于考虑了铸件的形状因素，更接近实际，是对平 方根定律的修正和发展。
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二、近平衡凝固时的溶质再分配

（一）固相无扩散，液相均匀混合的溶质再分配 假设： （1）合金单相凝固； （2）界面前为正温度梯度，平面生长； （3）固相无扩散（接近实际情况）； （4）液相均匀混合（扩散、对流、强烈搅拌）。
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]
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2、经验计算法——平方根定律
t
2
K
2
K为凝固系数，ξ为凝固层厚度。 凝固时间与凝固层厚度的平方成正比。 计算结果与实际接近。 适合大平板和结晶间隔小的铸件。
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铸件放热：
铸型吸热： q1=q2
q1 1[L c1 (T 浇TS )]
第四章 液态金属凝固过程 中的传热、传质及液体流动
材料成型与控制专业
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第一节 凝固过程中的传热
在材料成形过程中，液态金属的过热热量和凝固潜 热主要是通过传导而释放的。
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一、凝固过程中的热传导及傅里叶方程



凝固过程中，热量传递有三种形式：传导、辐射、 对流。 以热传导为主。 热传导过程取决于温度的分布——温度场：温度 随空间和时间的变化。 T = f（x，y，z，t） Fourier热传导方程： T 2T 2T 2T a ( 2 2 2) t c x y z c
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固


液
由杠杆定律：CSfS+CLfL=C0 将 C CS ，fL=1-fS代入得：
L
k0
C0 k 0 CS 1 f S (1 k 0 )
C0 CL k 0 f L (1 k 0 )

同理

该两式为平衡凝固时溶质再分配的数学模型。
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C0 k 0 CS 1 f S (1 k 0 )
C k0C0 (1 f s )
* S
k0 1
C C0 f
* L

k0 1 L
该两式称为Scheil公式，也称近（非）平衡结晶杠杆定律。
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3、局限性 （1）由于采用假设条件，表达式近似； （2）将近凝固结束时，该定律无效——共晶凝固。
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3、影响铸件温度场的因素 （1）金属性质的影响 1）金属的导热系数 铸件凝固时表面的温度比中心要低。金属的导热系数大， 铸件内部的温度均匀化的能力就大，温度梯度就小，即断 面上的温度分布较平坦。 2）结晶潜热 金属的结晶潜热大，向铸型传热的时间长，铸型内表面被 加热的温度也越高，因此铸件断面上的温度梯度较小，铸 件冷却速度下降，温度场分布较平坦。 3） 金属的凝固温度 金属的凝固温度越高，在凝固过程中铸件表面和铸型内表 面的温度越高，铸型内外表面的温差就越大，致使铸件断 面温度场出现较大的梯度。如有色金属与钢铁相比，其温 度场较平坦。
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逐层凝固过程
体积凝固过程
逐层凝固缩孔特点
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体积凝固方式的缩松
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影响凝固方式的因素

1）合金的化学成分 纯金属和共晶合金，凝固温度区间（液相线和固相线 温度差）为零，为逐层凝固方式。 当合金凝固温度区间很大时，凝固范围宽，为体积凝 固方式。

§4-2
传质控制方程：
凝固过程中的传质
菲克第一定律： J D dc A Dc dx A A
dz
dz
JA--体系中A物质的摩尔通量密度，mol/(m2.s)
菲克第二定律：
c A 2c A 2c A 2c A DAB ( 2 2 2 ) t x y z
1V1 L C1 T浇 TS
Ti T20
计算温度场有些假设，算出的凝固时间是近似的。 应用较少。
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铸型吸收的热量＝铸件放出的热量