两个重要极限

两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。

当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。

即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。

除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。

（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。

故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。

由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。

函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。

2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。

（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。

由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。

再令a=1，b=1+12n代入（1）。

由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。

不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。

联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。

于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。

两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。

利用无穷小的性质求极限。

利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。

在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。

2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。

3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。

（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。

（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。

（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。

（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。

4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。

（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。

上述两条准则统称为夹逼准则。

（2）单调有界数列必有极限。

（3）柯西极限存在准则。