第二个重要极限

两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。

其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。

其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。

这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。

柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。

而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。

这两个定理的应用范围和方法略有不同。

除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。

无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。

无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。

对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。

对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。

第二重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时，（1+1/n）的n次方的极限为e。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。

逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而永远不能够重合到A （永远不能够等于A，但是取等于A已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为永远靠近而不停止，其有一个不断地极为靠近A点的趋势。

第二个重要极限公式是：lim（1+（1/x））^x=e（x→∞）。

第二个重要极限在极限计算中占有很重要的地位，它对初等函数极限的推导至关重要，是解决未定型极限的一个重要工具。

但它形式变化多样，在学习和使用中不易把握是学生学习的难点。

第二个重要极限，它的结构独特、复杂，形式多样，计算灵活，许多实际问题都依赖于这种极限的应用，因此掌握第二个重要极限，也有利于解决生产和生活中的实际问题，在经济学中尤为重要。

第二类重要极限
第二个重要极限：lim(1+1/x)^x=e（x→∞），当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

lim sinx / x = 1 (x-\ue0) 当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的就是x→∞时，1 / x就是无穷小，根据无穷小的性质获得的音速就是0。

极限的求法有很多种：
1、已连续初等函数，在定义域范围内谋音速，可以将该点轻易代入得极限值，因为连续函数的极限值就等同于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子。

（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系谋音速。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替代谋音速，可以将原式化简排序。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

两个重要极限一、基本内容1. 第一重要极限 ：1sin lim0=→x xx特征 ：（1）是“00”型极限，但并不代表所有的“0”型；（2）无论x 趋于何值，只要0)(α→x ，就有1)(α)(αsin →x x 。

2. 第二重要极限： e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，e nnn =+∞→)11(lim特征 ：（1）是“∞1”型极限，但并不代表所有的∞1；（2）无论x 趋于何值，只要0)(α→x ，就有e x x →+)(α1)](α1[。

二、学习要求能够灵活运用两个重要极限求极限。

三、基本题型及解题方法 题型1 求“”型极限 解题方法：以第一重要极限为基础，同时要注意该重要极限的推广应用即0)(α→x ，有1)(α)(αsin lim0)(α=→x x x 。

【例1】 计算下列极限（1） 2-)1-sin(lim21x x x x +→ (2) xx xx sin 2cos 1lim0-→ 解：(1) 原式211-)1-sin(lim1+⋅=→x x x x 31= (2) 原式= x x x x sin sin 2lim 20→=xxx sin lim 20→=2题型2 求“∞1”型极限解题方法：以第二重要极限为基础，同时也要注意该重要极限的推广应用即0)(α→x ，有e x x x =+→)(α10)(α)](α1[lim 。

【例2】 计算下列极限 （1）xx x2)51(lim -∞→+； （2）()xx x 2031lim -→解：（1）原式)10(5)51(lim -⋅∞→+=xx x10)10(5)51(lim --∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=e x xx（2）原式)6(31)31(lim -⋅-→-=xx x =6e四、同步练习 （一）填空题： 1．若53sin lim0=→kxxx ，则=k 。

2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,sin 10,0,)(x x xx k x e x f x，若()x f x 0lim →存在，则=k 。

高数重要极限
第一个重要极限和第二个重要极限公式是：
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A 不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A 点的趋势”。

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。

可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。

在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。

（3）函数在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中为，任意大于的实数当时的极限，等等。

关于第二个重要极限的一种简便证明
第二个重要极限这个话题，指的是流行文化甚至人们在许多做事上有一定的偏见，被称为‘第二极限’。

总的来说，第二极限指的是不太可能向上拓展和发展，但更不可能被拒绝。

因此，一旦这种‘第二极限’被普遍接受，则会对社会生活带来重大的影响和改变，尤其是对人的行为、思想、价值观等影响更为深远。

证明第二个重要极限的一种方法就是从媒体和文化的角度来看。

无论是网络媒体、广播电视、电影游戏产业等，都被认为是文化和流行文化的载体。

无论在哪种媒体上，对于某种特定产品而言，只要经过一定渠道，就很快就会传播到社会上。

例如，电影作品在电影院放映后，很快就会在网络上流传；书籍出版后，只要通过各大书店传播，就会受到广泛关注；游戏软件出版后，只要通过各大商店发行，就会非常受欢迎等。

可以说，文化和流行文化是改变一个社会文明的催化剂，而它的宣传和发布也是推动这一形势的基础。

在大多数情况下，在某种文化普及之前，都要经历意识形态上的变化，因此，即使“第二极限”此前并不存在，经过媒体的宣传和推广，也会迅速成为流行文化。

总之，第二极限使得流行文化变得更加丰富多彩，并对社会的文明程度有很大的提升，这一角度上说，第二极限的存在是不可否认的。

从这些事实看，都能够直接看出第二个重要极限的重要性和必要性，并为其以一种简便的方式做出了有力的证明。

1.5 两个重要极限一、第一个重要极限1sin lim=→xx x1.给出公式 1sin lim=→xx x注： (1) 角度 0→x (2) 形式为(3) 主要处理有关三角函数的极限。

例1： 求下列极限 (1) 1cos 1sin limtan lim 0=⋅=→→x xx x x x x(2) xxx x xx x x x 33sin lim 333sin 3lim 3sin lim000→→→=⋅=令 t x =3，则0→t 上式3sin lim30==→tt t注：(1)变形式(分子分母颠倒)： 1sin 1limsin lim0==→→xx xx x x .(2)与字母无关：()()()1sin lim 0=→x x x φφφ ()()()1sin lim=→x x x φφφ(3) 25252sin 255sin lim2sin 5sin lim 0=⋅⋅=→→x xxx xx x x(4) ()()211111sin lim11sin lim121=+⋅--=--→→x x x x x x x(5) ()()()21cos 11sin limcos 1cos 1cos 1limcos 1lim 22022=+⋅=++-=-→→→xxxx x x x xxx x x练习1： (1) 1sin sin lim 23=→xx xx(2) ()61822sin lim22=-+-→x x x x(3) 2sin 2lim2cos 1lim222==-→→xxxxx x思考： 01sinlim 0=→xx x 11sinlim =∞→xx x1sin 1lim=→x xx 0sin 1lim=∞→x xx二、第二个重要极限exxx =+∞→)11(lim我们先看1lim (1)n n n→∞+的变化趋势:先让学生猜想：1lim (1)?n n n→∞+=再介绍:,590457182818284.2 =e 是一个无理数，可知道1lim (1)n n e n→∞+=。

第二个重要极限
第二个重要极限是：n趋近于无穷大时,(1+1/n)的n次方的极限为e。

1.数列极限就是说在数列Xn中，当从某一项(也就是所谓的N)开始以后的每一项的Xn(每一项的序列号n都会大于N,因为是从N开始后的每一项），都有Xn-a的绝对值小于e(这句话的意思是这以后的每一项Xn都无限接近于a这个常数。

所以它们相减的差值e可以无论它有多么小，越小越好，代表它们越接近），这样我们就可以说这个数列Xn的极限值是a。

2.函数极限就是说自变量X任意的接近于有限值X0 或者说趋于有限值X0 对应函数值的变化情形，或者x的绝对值趋于无穷，对应于函数值的变化。

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这个变化过程中的函数极限。

3.绝对值函数不是初等函数。

初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

基本初等函数有幂函数,指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数。

科技视界Science&Technology VisionScience&Technology Vision科技视界在高等数学学习中,两个重要极限是极限理论的重点,也是学生学习高等数学时碰到的第一个变化较多的难点,公式较为简单,但公式的使用非常灵活,通过这部分内容的学习,学生不但掌握了一些极限的运算,更为重要的是体会了高等数学解决问题的方法,为学习后面的内容做一些准备。

本文主要分析如何应用第二个重要极限公式lim x→∞(1+1x)x=e解决相关的问题,该公式的另一种形式lim x→0(1+x)1x=e解决问题的方法与之类似。

第二个重要极限公式limx→∞(1+1x)x=e主要应用在幂指函数u(x)v(x)的求极限,欲求极限的幂指函数u(x)v(x)具有如下特征:底u(x)→1,指数v(x)→∞,使用公式时需要把u(x)变形为(1+1f(x)),用到重要极限的变形形式limf(x)→∞(1+1f(x))f(x)=e。

在文献[1,2]里,应用此变形形式解决的问题主要有两种类型,第一种类型是把欲求极限的幂指函数的底u(x)变形为(1+1f(x))后,指数v(x)能较容易变形为kf(x),k为常数,此时应用公式可以很快得出结果。

例1计算limx→∞(1+2x)x.解:limx→∞(1+2x)x=lim x→∞(1+2x/2)x2·2=e2.例2计算limx→∞(1-1x)kx.解:limx→∞(1-1x)kx=lim x→∞(1+1-x)(-x)(-k)=e-k.第二种类型是把欲求极限的幂指函数的底变形为(1+1f(x))后,指数自身不容易凑出f(x),此时用到的方法是在指数里添上一个f(x),同时乘回1f(x)(为了保证与原式相等),添上的f(x)与原来的(1+1f(x))可以用到极限公式lim f(x)→∞(1+1f(x))f(x)=e,而乘回的1f(x)与原来的指数合在一起求出极限,问题就得以解决,这里用到连续性内容的一个结论:如果limx→∞φ(x)=a>0,limx→∞ψ(x)=b,则limx→∞[φ(x)]ψ(x)=a b。