高等数学 两个重要极限
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两个重要极限及其应用作者:刘凤艳来源:《科技资讯》2011年第31期摘要:本文讨论两个重要极限及它们的应用,使学生快速找到解决此类求极限问题的方法。
关键词:重要极限应用方法中图分类号:G4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)11(a)-0189-01《高等数学》微积分学中有两个重要极限公式,这两个重要极限的变形,在求解极限问题时也有一些重要应用。
1 第一个重要极限的推广式其中是连续的函数。
也就是说首先分子分母的比值是型,其次正弦后面的表达式和分母的表达式是相同的,这时就可以应用重要极限的推广式。
例1:求。
解:例2:求。
解:例3:求。
解:从以上三例题可以看出,只要是,都有,而又分为这三种情况。
2 第二个重要极限的两种推广形式(1)例4:求。
解:例5:求。
解:例6:解:从这几道例题可以看出,只要满足推广形式1即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况:(2)例7:求解:故也可利用以下结论:,,则只要满足推广形式2即可应用第二个重要极限。
而又有三种情况:。
无论是哪个重要极限,无论是或者是,都不是单指一个数的变化趋势,而是一个式子或者是一个函数的变化趋势。
参考文献[1] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007:50.[2] 张喜堂.两个重要极限,函数的连续性[J].数学通讯,2001:38~39.[3] 郭爱主.谈两个重要极限的应用[J].湖南民族职业学院学报.2010:82~84.。
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】:1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】:1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】:应用两个重要极限求极限【教学难点】:应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在,并求极限。
【教学设计】:首先通过几个具体的数列的求极限例子:从有限到无穷,从已知到未知,引入新知识。
介绍两条极限存在准则(夹逼准则,单调有界准则)及其利用他们求数列函数的极限(50分钟)。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度)的证明(20分钟),讲解例题(20分钟),课堂练习(10分钟)。
【教学内容】:引入:考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加,极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加,极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ,其中12-+=n n x x ,21=x ,极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则:当),(0δx U x o∈时,有)()()(x h x g x f ≤≤,且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →,则A x g x x =→)(lim 0。
推论:设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列,且满足n n n z y x ≤≤,又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ,则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解:因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意:夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限(1)单调上升有上界的数列,极限一定存在; (2)单调下降有下界的数列,极限一定存在。
高等数学常见的极限高等数学常见的极限:最重要的是无穷小量,可以理解为等于0的极限。
当两个无穷小量的比等于1时,我们就称它们为等阶无穷小量,可以在求极限时,进行等价替换。
比如x和sinx是等阶无穷小量,记做x~sinx,或sinx~x.有一些常用的等阶无穷小量必须牢记,其中最常用的有:x~sinx~tanx和x^2~(cosx)^2/2. 而x~sinx更是构成了第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 要注意它与lim(x->∞)sinx/x的区别,后者是无穷小量与有界量的积,结果等于0.第二个重要极限是:lim(x->∞)(1+1/x)^x=e,它还有数列极限的形式:lim(n->∞)(1+1/n)^n=e. 它涉及到一类未定式极限1^∞,只要是这种类型的极限,都与e有关。
与无穷小对应的是无穷大量,不过无穷大量的倒数就是无穷小量,所以我们可以把它们统一起来,求无穷大量有关的极限时,都可以先把无穷大量化为无穷小量来解。
函数极限又包括两个方面,一是当函数自变量趋于无穷大时的函数极限;二是当函数自变量趋于某一个点时的函数极限。
而其中第一方面又分成三种情况,一是自变量越于正无穷大时,二是自变量趋于负无穷大时,三是自变量同时趋于正无穷大和负无穷大,即越于无穷大时。
数列极限可以近似看作是函数极限在自变量趋于正无穷大时的特例。
1、关于极限的知识点,首先当然是极限的定义了。
数列的极限有ε-N定义:设{an}为数列,a为定数. 若对任给的正数ε,总存在正整数N,使n>N(或n≥N)时,有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε),则称数列{an}收敛于a,定数a称为数列{an}的极限,记作:lim(n->∞)an=a. 对应的还有数列发散的定义。
函数极限则有趋于无穷的定义:设f为定义在[a,+∞)上的函数,A为定数.若对任给的ε>0,存在正数M(≥a),使得当x>M时,有|f(x)-A|<ε,则称函数f当x趋于+∞时以A为极限,记作:lim(x->+∞)f(x)=A. 对应的有趋于负无穷和趋于无穷的定义。