24两个重要极限精品PPT课件

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极限存在准则和两个重要极限.ppt

x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
C lim xsin 1 1;
x
x
D
lim x sin 1 1
x0
x
B 练习5. 下列极限计算正确的是（）
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ）某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
Байду номын сангаас
lim
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
极限存在准则
1.夹逼准则(两边夹定理）
定理Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加
单调
x1 x2 xn xn1 , 单调减少
数列
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
数轴几何解释
❖第一个重要极限 lim sin x ?

高数第-章极限存在准则两个重要极限PPT课件

2023
高数第-章极限存在准则两个重要极限ppt 课件
https://
REPORTING
2023
目录
• 极限存在准则概述 • 第一个重要极限：夹逼准则 • 第二个重要极限：单调有界准则 • 极限存在准则的深入探讨 • 两个重要极限的拓展与应用 • 课程总结与回顾
2023
学习方法与技巧分享
深入理解概念
通过反复阅读教材和参考书籍，加深对极限存在准则和两个重要极限的理解。
多做练习题
通过大量的练习题，熟练掌握求解函数极限的方法和技巧。
归纳总结
及时归纳总结学习过程中的重点和难点，形成自己的知识体系。
下一步学习计划与建议
深入学习后续章节
在掌握本章知识点的基础上，继续深入学习后续章节，如导数、微分等。
两个重要极限的引入
第一个重要极限
lim(sinx/x) = 1 (x->0)。
第二个重要极限
lim[(1 + 1/x)^x] = e (x->∞)。
引入原因
这两个极限在微积分学中具有重要地位，是求解许多复杂极限问题的基础。
应用举例
利用这两个重要极限可以求解诸如三角函数、指数函数、对数函数等的极限问题。
工程学
在工程学中，两个重要极限被用于分析和设计各种工程结构，如桥梁、建筑、机械等，以确保其稳定性和安全性。
经济学
在经济学中，两个重要极限被用于研究和分析市场供需关系、价格变动等经济现象，为经济政策制定提供理论支持。
两个重要极限的拓展形式
多元函数极限
将两个重要极限的概念拓展到多元函数，研究多元函数在某一点或某一区域内的极限行为。
2023
PART 03

2.4函数极限的性质及两个重要极限.ppt

而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x ) 不存在。
n
x x
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，
n
与 xn x ， lim xn x ，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
且对 x ( x0 , ) ，有 g( x ) u0 ．

x x0 u u0
则
x x0
lim f ( g ( x )) 令u g( x )
u u0
lim f ( u) A ．
Note: 可推广到有限个函数复合的情况．
例 11 求
x
lim
6
cos x
2
x0
；
sin ( mx ) (3) lim ( m 0) ； x 0 x
arc sin x (4) lim ； x 0 x
1 (6) lim x sin 2 ． x x
(5)
1 lim x sin ； x x
例 5
x x x lim cos cos 2 cos n n 2 2 2
A B ．
Thm 1 （夹逼定理）
若在 ( x0 , ) 内，有

(1) g( x ) f ( x ) h( x ) ； (2) lim g( x ) lim h( x ) A ．
x x0 x x0
则必有
x x0
lim f ( x ) A ．
Thm 2（海涅定理，Heine 定理）
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与 xn ，xn x ， lim xn x ，

第六节极限存在准则两个重要极限PPT课件

第9页/共11页
例5
解
令t=-x 则x 时 t 于是
第10页/共11页
例6 解:
练习
1. 2.
1
lim(1 sin 2x) x
x0
1
1 sin 2 x
lim(1 sin 2x) x lim[(1 sin 2x)sin2x ] x
x0
x0
e2.
lim( x 2)x e2.
x x
lim(
x
x
3x3 x 2x2 1
sin
1 x
lim
x
x(3x2 1) 2x2 1
sin
1 x
lim
x
(3x2 2x2
1) 1
(sin
1 x
/
1 x
)
3 2
第7页/共11页
二、准则II及第二个重要极限
准则II 单调有界数列必有极限
准则II的几何解释
以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生
一、准则I及第一个重要极限
准则 I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2) lim y a lim z a
n n
n n
那么数列{xn }的极限存在
且
lim
n
xn
a
准则I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在且lim f(x)A
即
时，圆扇形AOB的面积

两个重要极限PPT幻灯片课件

lim(1 1 ) x e
x
x
17
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
x0 3x
x0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
x0 3x x0 5x 3
33
10
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型
0
(2)推广形式:
lim sin 1 某过程
（ lim 0 ）某过程
sin x lim 1.
x x0＋
CD Ox BA
7
例 1 求 lim tan x x0 x
解
lim tan x lim( sin x 1 )
x0 x
x0 cos x x
lim(sin x 1 ) x0 x cos x
sin x
1
lim
lim
x0 x x0 cos x
11 1
这个结果可以作为公式使用 lim tan x 1 x0 x
x
16
❖第二个重要极限 lim(1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
(1
1
x
)

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lim
(x) 0 (x)
1
(0) 0
(2)
lim ( 1 1 ) ( x) e
( x)
(x)
(1 )
1
或 lim (1 ( x))( x) e ( x)0
lim ( 1 1 ) (x) e1
( x)
(x)
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
u
1 (x)
k
1
例7：求lim(1 3 )x
x
x
1
e . 解:原式
lim(1 Hale Waihona Puke 3)x 3
3
[lim(1
3
)
x 3
]3
3
x
x
x
x
1
例8 : 求 lim 1 2x x x0
解:
原式 lim
1 (2x)
(
1 2x
)(
2
)
x0
e . [lim
1 2x
] (
1 2x
)
-2
2
x0
例9：求 lim(1 1 )x2
0
解:
原式
lim sin 5x x0 5x
5 2
5 sin 5x lim
2 x0 5x
5 2
例2.
求
tan x lim .
x0 x
(0) 0
解: 原式 lim sin x 1 x0 x cos x
lim sin x lim 1 x0 x x0 cos x
1
例3.
求
1 cos x
lim
x0
x2
(0) 0
2 sin2 x
解: 原式 lim x0
2 x2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim x0
sin x
x 2
2
1 12 2
1. 2
2
例4.求 lim arcsin x . (0)
x0
x
0
解:令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
原式 lim t lim 1 t0 sin t t0 sin t
1
t
例5. 求 lim x sin 2
x
x
0 () 0
sin 2
sin 2
解: 原式 lim x
x 1
lim x
2x 2
2
x
x
例6 : 求
sin( x 2 4) lim
x2
x2
(0) 0
解 : lim sin( x 2 4)
x2
x2
lim
x2
sin( x
x2 2
4
4)
(
x
2)
sin( x2 4)
lim x2
x2 4
lim ( x 2) x2
14 4 .
二、
lim(1 1 )x e 1
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
一般式：lim 1
1
u( x)
e
u( x) u( x)
u (lxi)m1
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
x
x
解: 原式 lim(1 1 )( x)(1) / lim(1 1 )2
x
x
x
x
e 1
例10： lim 2x
3x
1
x 2x 1
解: 原式 lim(1
2
2 x11
)2 2
x 2x 1
e
练习：
lim 2x
3x
x 2x 1
内容小结
两个重要极限：
(1)
sin ( x)
第四节
第二章
两个重要极限
一、lim sin x 1 ( 0)
x x0
0
y
1•
sin x
y
x
o
x
注： 1. 一般式：lim sin u( x) 1 u( x )0 u( x)
2. lim x 1 x0 sin x
sin x lim 0 x x
例1. 求
sin 5x
lim
.
0 ()
x0 2x