矩形、菱形、正方形导学案

蒋庵中学八年级数学导学案3.5矩形、菱形、正方形（第1课时）【学习目标】．1．理解矩形的概念.2.掌握矩形的性质.【基础学习】一. 情境创设：节首的两幅图片.方案一组织学生观察课本P116方案二展示一些含有矩形的图片，引导学生观察.方案三通过多媒体课件展示一些含有矩形的图片，引导学生观察.对上述任何一个方案，可按如下程序进行：（1）上面的图片中有你熟悉的图形吗？（2）学生举出生活中类似的图形.（3）矩形的结构特征是什么？二．教学矩形的概念：《操作》：按操作—观察—探索的程序展开.1.实施课本P116活动分为以下二个层次第一层次：画出Rt△ABC关于点O对称的图形，得出四边形ABCD是中心对称图形，点O 是对称中心的结论.教学中，要使学生理解：“把点B关于点O的对称点记为D，则△CDA可以看成是△ABC绕点O旋转1800得到的是判别“四边形ABCD是中心对称图形，点O是它的对称中心”的说理过程.第二层次：探索图中的四边形ABCD的特点.学生通过探究可以发现：四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，并且有一个角是直角，为引入矩形的概念做好铺垫.2.给出矩形的概念三、教学矩形的性质：1. 按课本的《思考》、《讨论》两个环节展开.具体活动分为四个层次：第一层次：使学生理解，既然矩形是特殊的平行四边形，那么它具有平行四边形的一切性质.第二层次：通过思考，使学生理解，由于矩形比平行四边形多了一个特殊条件：有一个角是直角，因此，矩形应具有一些特殊的性质.探索矩形的特殊性质要从这一特殊之处（有一个角是直角）入手.第三层次：演示平行四边形活动框架，引导学生观察：改变平行四边形活动框架形状，它的边、角、对角线有怎样的变化？当∠ 为直角时，平行四边形变为矩形，它的2条对角线有怎样的数量关系？四个角之间有怎样的数量关系？这一层次旨在利用四边形框架的不稳定性，借助于直观引导学生通过合情推理去探索，发现结论.第四层次：在合情推理的基础上引导学生说理（分别从矩形的定义与中心对称性两个方面），发展有条理的表达能力.2.给出矩形的特殊性质四.教学矩形性质的应用例11.处理课本P118【合作交流】1、组长检查本组同学基础学习完成情况2．组内讨论交流基础学习部分内容【析疑解难】？1，各组提出在学习中遇到的疑问，学生尝试解决。

义务教育教科书（北师）九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3《正方形的性质与判定（1）》导学案学习目标1.理解正方形的概念和性质，并会运用正方形的性质解决有关问题2.了解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系【课前准备】阅读教材P20～21页，完成下面问题：1．什么叫正方形？它有哪些性质？2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？【课堂活动】核心问题一：探索并证明正方形的性质定理1．议一议：（1）正方形是平行四边形吗？满足什么条件的平行四边形是正方形？（2）正方形是矩形吗？满足什么条件的矩形是正方形？（3）正方形是菱形吗？满足什么条件的菱形是正方形？小结：正方形的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿的平行四边形是正方形＿＿＿＿＿＿＿＿的矩形是正方形＿＿＿＿＿＿＿＿的菱形是正方形2．想一想：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质，你能列举正方形的性质吗？尝试完成下面的表格。

正方形边角对角线对称性性质定理1：正方形的四个角＿＿＿＿＿，四条边＿＿＿＿＿定理2：正方形的对角线＿＿＿＿＿核心问题二：正方形性质定理的应用1．例：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE ＝ CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由．2．议一议：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？【课堂小结】1．知识方面：2．数学思想：【目标检测】1．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？2．如图2，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．图1 图2。

正方形教案执教：周浩雄班级：288教学目标1．掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．2．掌握正方形的性质定理．3．正确运用正方形的性质解题．重难点：正方形性质的应用．教学过程一、引已经学过哪些特殊的四边形？二、探学生阅读教材并注意以下问题：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？正方形从定义看，它既是矩形又是菱形。

哪么它又有什么性质呢？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？对角线呢？正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？你能归纳出多少种判定正方形的方法？试一试？1：对角线相等的菱形是正方形吗？2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？判断1.正方形是矩形. （）2.一组邻边相等的平行四边形是正方形. （）3.对角线互相垂直平分的四边形是正方形. （）4.两条对角线相等的菱形是正方形. （）5.正方形对角线的交点到各边的距离相等. （）议一议（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

思考1：对角线相等的菱形是正方形吗？2：对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？3：对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？4：四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？5：说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？三、结正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法：四、用例题如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）练习1．正方形ABCD 的对角线相交于O ，若AB=2，那么△ABO 的周长是_______，•面积是________．2．如图，已知E 点在正方形ABCD 的BC 边的延长线上，且CE=AC ，AE 与CD 相交于点F ，•则∠AFC=________．3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．15 4．四条边都相等的四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．以上结论都不对5．如图所示的运动：正方形ABCD 和正方形AKCM 中，将正方形AKLM 沿点A•向左旋转某个角度．连线段MD 、KB ，它们能相等吗？请证明你的结论．6．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边延长线上一点，CF ⊥AE ，F 是垂足，CF 交AD 或AD 延长线于G ，试判断当点E 在CD 的延长线上移动时，∠DEG 的大小是否变化，若变化，•请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．教后反思通过层层铺垫，让学生明确矩形＋邻边相等就是正方形，菱形＋一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是需要一个条件一个条件“叠加”完成的。

正方形的判定导学案备课人：邹桂宣姓名：学号：学习目标：1、理解并掌握运用正方形的定义；及它与矩形、菱形的关系判定正方形；2、会用这些性质进行有关的论证和计算；一、课前抽测1、正方形的定义：2、正方形有哪些性质，与矩形、菱形有何关系？二、快乐自学1、提出问题（1）正方形是怎样的平行四边形？（2）正方形是怎样的矩形？（3）正方形是怎样的菱形？（4）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？（5）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？（6）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？2、小结：判定正方形的方法有三种。

三、合作探究1、例1：已知如图分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边 A O和BO ，使AO=OC，BO=OD，求证：四边形ABCD是正方形。

（2）例2：已知：点A,、B,、C,、D,分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA,=BB,=CC,=DD。

求证：四边形A,B,C,D,是正方形。

四、小结反思（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形（）（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形。

（）（4）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（）（5）对角线相等的菱形是正方形。

（）五、达标检测（1）有一个角是直角，并且有一组邻边相等的四边形是正方形（）（2）正方形既不是矩形，又不是菱形。

（）（3）正方形的对角线。

（4）若正方形的边长为1，则正方形的对角线为，面积为，若正方形的对角线为1，则正方形的边长为面积为。

（5）已知：矩形的长和宽分别为9cm和4cm，是它面积4倍的正方形的对角线长是（）(6)在下列四个图形中，（）图形内的一点到四个顶点的距离相等。

⑴平行四边形⑵矩形⑶菱形⑷正方形(A) ⑴⑵(B) ⑵⑶(C) ⑶⑷(D) ⑵⑷（7）若使平行四边形ABCD成为正方形，则需增加条件（）(A)对角线垂直；(B)对角线垂直且相等；(C)对角线相等(D)对角互补（8）（选做题）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方形，求证：MD=KB。

广宇学校初三年级数学导学案课题：平行四边形.矩形.菱形.正方形的性质和判定（七）课型：新授课主备人：王刚时间：8月19日集体备课时间：8月31日审核人：潘培新学习目标：1.能够理解掌握菱形的判定定理，会证明菱形的判定定理2.能够运用菱形的判定定理进行简单的计算与证明3.能够利用直尺和圆规画出一个菱形。

4.能够运用菱形的性质定理与判定定理进行简单的综合推理。

学习重点与难点：重点：菱形的判定定理难点：能够运用菱形的性质定理与判定定理进行简单的综合推理一．前置学习导引：菱形具有哪些性质？具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？带着这些问题自学课本21-22页.课前自测（你能想起这些知识要点吗？）1.我们曾经学习了菱形，知道：___________________的平行四边形叫做菱形，定义本身既是性质也是判定方法。

2.根据菱形的定义，我们可以证明具备下面条件之一的平行四边形是菱形：（1）对角线________的平行四边形是菱形。

（2）4条边__________的四边形是菱形。

我们还可以证明具备下面条件之一的四边形也是菱形：（1）对角线平分________的平行四边形是菱形（2）对角线__________的四边形是菱形3. 根据上面所述，我们证明一个四边形是菱形的思路有如下几点：(1)直接证明这个四边形的4条边____________（2）先证明这个四边形是平行四边形，在证明它有一组邻边_________。

（3）先证明这个四边形是平行四边形，在证明它的对角线__________4.我们可以利用直尺和圆规作出一个菱形，如：先作出两条互相垂直平分的线段AC.CD,在顺次连接这两条线段AC,BD的四个端点交点A.B.C.D,则所得四边形ABCD为___________理由：___________________________________二.课堂交流学习1.菱形具有哪些性质？2. 具备什么条件的平行四边形是菱形？具备什么条件的四边形是菱形？你有几种方法？3.你还有哪些困惑？。

矩形菱形正方形中位线期中复习导学案特殊平行四边形及中位线的复习（一）【知识梳理】矩形定义: __________________________的平行四边形叫矩形．矩形性质: ①矩形的四个角都是．②矩形的对角线．③矩形具有的所有性质．矩形判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．例1：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，，垂足为E，已知AB=3，AD=4，求的面积。

巩固练习：1.如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形对角线AC长为______cm 2.矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于。

如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

3.平行四边形没有而矩形具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相垂直C、对角线互相平分D、对角相等4.矩形ABCD的对角线相交于点O，如果的周长比的周长大10cm，则AD的长是（）A、5cmB、7.5cmC、10cmD、12如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（二）【知识梳理】菱形定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．菱形性质:①菱形的都相等．②菱形的互相垂直．③具有所有性质．菱形判定:①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．例2：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC= ,菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.巩固练习：BD是菱形ABCD的一条对角线，若∠ABD=65°，则∠A=_____．2.一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于 cm。

19.3正方形的判定导学案【学习目标】1. 掌握正方形的判定并会用它们进行有关的论证和计算。

2. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。

学习重点：正方形性质的灵活运用。

学习难点：正方形与矩形、菱形的关系。

一、自主学习：复习回顾：1.平行四边形的判定方法：1）2）3）4）2.矩形的判定方法：1）2）3）3.菱形的判定方法：1）2）3）4.正方形的性质：是最特殊的平行四边形，既是矩形，又是；具体为：①边：四边，对边；②角：四个角都是；③对角线：互相、且。

5.正方形图形的特殊性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有条对称轴。

（一）先自己回忆（二）小组内相互说一说结果（三）挑几个同学回答（四）老师点评二、合作探究1、探讨1. 你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？然后与同小组同学交流一下，说说矩形与正方形的关系。

归纳：（1）矩形+（）=正方形；即正方形的判定定理（一）探讨2. 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？归纳：（1）菱形+（）=正方形；即正方形的判定定理（二）小结：正方形的判定方法：①定义：有一组相等并且有一个角是的叫做正方形.②正方形的判定定理（一）：的矩形是正方形。

③正方形的判定定理（二）：的菱形是正方形。

2、课本120页讨论。

3、如图，在ABC中∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC,垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE为正方形（一）独立完成上面各题（二）组内对答案，解决问题（三）挑学生展讲（四）教师总结正方形的两种判定方法三、归纳整理：1、正方形与平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系？2、正方形的两种判定方法？四、分层训练：1.下列说法是否正确，并说明理由．① 有一个角为直角的菱形是正方形；（）② 四个角相等的四边形是正方形．（）③ 四条边都相等的四边形是正方形；（）④ 有一组邻边相等的矩形是正方形；（）⑤ 对角线垂直且相等的四边形是正方形（）⑥ 对角线相等的菱形是正方形；（）⑦ 对角线互相垂直的矩形是正方形；（）⑧ 对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（）2. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC3.下列命题中的假命题是( )．A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．一组邻边相等的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形4. 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形5、拓展提升：已知:矩形ABCD,它的四个角平分线交于E,F,G,H.求证:四边形EFGH是正方形（一）独立完成（二）组内对答案并解决问题（三）利用白板展讲（四）老师点评证明方法，并纠错。

1课时28 矩形、菱形、正方形【考点链接】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件要使 ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；要使 ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；要使菱形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ .3. 特殊的平行四边形的性质边 角 对角线矩形 菱形 正方形【典例精析】例1 （2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BD 于点R ． （1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）．（2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．矩正平行四边形形菱形方形四边形平行四边形矩形菱形梯形一9角为0°一组邻边相等正方形平两组对边行平只有一组对边行一角为直角且一组邻边相等邻边相等为一角90°等腰梯形两腰相等2D CF BAE例2 （08乌鲁木齐）如图，在四边形A B C D 中，点E 是线段A D 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是B E B C C E ，，的中点．（1）证明四边形E G F H 是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12E F B C =，证明平行四边形E G F H 是正方形．【巩固练习】1. 矩形两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的长度和为8cm ，则这个矩形的一条较短边为 cm. 2.（08肇庆）边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 . 3. 若正方形的一条对角线的长为2cm ，则这个正方形的面积为 ．4.（08义乌）下列命题中，真命题是 （ ）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形5. (08宁夏)平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB ＝BC B.AC ＝BD C.AC ⊥BD D.AB ⊥BD 【中考演练】1.（08恩施）已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 2．2.（08白银）如图，把矩形A B C D 沿E F 对折后使两部分重合，若150∠= ，则A E F ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130° 3.（08绍兴）如图，沿虚线EF 将ABCD 剪开，则得到的四边形ABFE 是（ ） A ．梯形 B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形4．（08湘潭）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ， 过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .（1）猜想：AD 与CF 的大小关系；（2）请证明上面的结论.6. 已知：如图，Ｄ是⊿ABC 的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：（１）⊿ABC 是等腰三角形（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的判断结论.﹡7. (08咸宁）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．BDCEF AABCEF M N O BG A EFHDC BACDEF。

第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。

掌握矩形的性质定理。

过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。

情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。

教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。