第31课时 矩形、菱形、正方形学案 基训题目

课时作业(三十一)[19.1 2. 第1课时矩形的判定]一、选择题1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )图K－31－1A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )A．AD⊥CD B．AD＝CDC．AC⊥BD D．AC＝BDK－31－2K－31－34．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．A．①②B．①④C．①③④ D．②③④二、填空题5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．图K－31－4图K－31－56．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，▱ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结图K－31－67．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.三、解答题8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图K－31－79.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结图K－31－810．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．图K－31－911．2020·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结图K－31－1012．·青岛如图K－31－11，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.(1)求证：AB＝AF；(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．图K－31－11动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？图K－31－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] B3．[答案] C 4.[答案] B 5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一) 6．[答案] 90° 矩形 48 cm 27．[答案] 68．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点， ∴OE ＝12OA ，OG ＝12OC.∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG. 同理OF ＝OH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC.同理FH ＝12BD.又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴四边形EFGH 是矩形．9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°， ∴∠CEF ＝90°.∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ， ∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°. ∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°. ∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE. 又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.∵四边形ABCD的周长为32 cm，AD＝AE＋DE，∴2(AE＋AE＋4)＝32，解得AE＝6(cm)．11．[解析] (1)先根据A.A.S.证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE，又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.又∵BO＝CO，∴四边形BECD是平行四边形．(2)10012．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.∵G为AD的中点，∴AG＝DG.又∵∠AGF＝∠DGC，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD.又∵AB＝CD，∴AB＝AF.(2)四边形ACDF为矩形．证明：∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.又∵AG＝AB，AB＝AF，∴AG＝AF，∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ACDF为平行四边形，∴AD＝2AG，CF＝2FG，∴AD＝CF，∴四边形ACDF为矩形．[素养提升][解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.解：根据题意，当AP＝DQ时，由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．。

DC B AEPB D A (P )C矩形、菱形、正方形习题汇编一、填空题1.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _2.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______3.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________4.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____ 5、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___6、已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。

7．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ．8．若菱形的周长为24 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm 2。

9 ．已知：菱形的周长为40cm ，两条对角线长的比是3：4。

求两对角线长分别是 。

10、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm ，则菱形的周长为 . 11、如图，P 为菱形ABCD 的对角线上 一 点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是_____ cm12、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_______．13、□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，（1）若AB=AD ，则□ABCD 是 形； （2）若AC=BD ，则□ABCD 是 形；（3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是 形； （4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是 形。

山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学《矩形、菱形、正方形》学案一、动动手来动动脑，自主学习有必要！1.矩形、菱形、正方形的概念：（1）矩形：有的平行四边形是矩形；（2）菱形：有的平行四边形是菱形；（3）正方形：有的平行四边形是正方形.2.矩形、菱形、正方形的重要性质：矩形的性质：（1）边：矩形的对边；（2）角：矩形的四个角都是；（3）对角线：矩形的对角线；（4）直角三角形等于斜边的一半.菱形的性质：（1）边：菱形的四条边；（2）角：菱形的对角；（3）对角线：菱形的对角线；并且 .正方形的性质：（1）边：正方形的四条边；（2）角：正方形的四个角都是；（3）对角线：正方形的对角线；并且 .2.矩形、菱形、正方形的判定定理：矩形的判定定理：对角线的平行四边形是矩形.菱形的判定定理：（1）的四边形是菱形；（2）对角线的平行四边形是菱形.正方形的判定：既是，又是的四边形是正方形.二、名师点拨不可少，关键环节要记牢！1、理解矩形、菱形、正方形的概念例1 一组对边平行且相等的四边形：①一定是平行四边形；②可能是矩形；③不一定是菱形；④不一定不是正方形，其中正确的是（）A.①②B.①③C.①②③④D.①②③关键点提示：对于条件“一组对边平行且相等的四边形”，根据平行四边形的概念一定可以得出平行四边形的结论，而根据矩形、菱形、正方形的概念，矩形、菱形、正方形的结论都是有可能的.2、掌握矩形、菱形、正方形的性质例2 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O，∠AOB=600，且AB=4，求AC和BC的长.关键点提示：根据矩形对角线的性质可知，OA=O B=OC=OD,由∠AOB=600，可判断出△AOB的形状，进而求得AC 的长，最后根据勾股定理可求BC 的长.例3 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，AC=10cm,BD=24cm,求菱形的周长.关键点提示：由菱形的对角线互相平分可求得OA 、OB 的长，由AC ⊥BD ，根据勾股定理可求菱形的边长.菱形的四条边相等，菱形的周长为边长的4倍.例4 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，求证：AE ⊥BF.关键点提示：本题要抓住正方形的四条边相等，四个角相等这个性质，找到全等三角形，再根据三角形的内角和定理可求得一个角等于900.例5 如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，且AE=AB,求∠AEB 的度数.关键点提示：由于正方形的四个角都是直角并且每条对角线平分一组对角，因此可求得∠CAB=450,再运用等角三角形的性质即可求解.3、掌握矩形、菱形、正方形的判定例6 如图，点E 是△ABC 的边BC 上任一点，过点E 作ED ∥AC 交AB 于E ，作EF ∥AB 交AC 于F ，在△ABC 中添加一个什么条件可得到四边形ADEF 是矩形，并给予证明.关键点提示：由条件ED ∥AC 和EF ∥AB 可判断四边形ADEF 是平行四边形，因此根据矩形的定义，要得到四边形ADEF 是矩形，只需在△ABC 中添加∠A=900.例7 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,AD 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F.求证：四边形AEDF 是菱形.关键点提示：要证四边形AEDF 是菱形，可证四条边相等.由线段垂直平分线的性质可得AE=DE,AF=DF,再通过证△AOE 与△AOF 全等，得AE=AF ，易证AE=ED=DF=FA. AB C DOAB CD OC FDA B C E D A D B EC F AEB DC F O例8 如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，点D 是斜边的中点，过点分别作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F ，若AC=BC,试判断四边形AEDF 的形状，并证明你的结论.关键点提示：根据正方形的概念，要证明一个四边形是正方形，就要证明它既是矩形，又是菱形.本文例题参考答案： 例1、答案:C.例2、∵矩形ABCD ，∴OA=OB=OC=OD,∵∠AOB=600，∴△AOB 是等边三角形，∴AC=2OA=2AB=8. 在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC=34482222=-=-AB AC .例3、∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA=21AC=5cm,OB=21BD=12cm, 在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB=131252222=+=+OB OA （cm ）, ∴菱形ABCD 的周长为4×13=52(cm).例4、∵正方形ABCD ，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCF=900, ∵点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴BE=21BC,CF=21CD, ∴BE=CF, ∴△ABE ≌△BCF, ∴∠AEB=∠BFC,∵∠FBC+∠BFC=900, ∴∠FBC+∠AEB=900,∴∠BOE=900, ∴AE ⊥BF.例5、∵正方形ABCD ，∴AC 平分∠DAB,∵∠DAB=900, ∴∠CAB=450,∵AE=AB, ∴∠AEB=24518000-=67.50例6、在△ABC 中添加∠A=900.理由：∵ED ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∵∠A=900，∴四边形ADEF 是矩形.例7、∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE=DE,AF=DF, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠EAO=∠FAO,∵∠AOE=∠AOF=900,AO=AO, ∴△AOE ≌△AOF,∴AE=AF, ∴AE=ED=DF=FA, ∴四边形AEDF 是菱形. 例8、四边形AEDF 是正方形.理由：∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，AC ⊥BC,∴四边形AEDF 是矩形，∵AC=BC, ∴∠A=∠B, ∵AD=BD, ∠AED=∠BFD=900, ∴△ADE ≌△BDF, ∴DE=DF, ∴四边形AEDF 是正方形. 三、归纳小结细梳理，适当做些练习题！C E AD B F1、体系梳理：2、练习推荐：请同学们自主完成本期辅导第二版的《同步训练》.。

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。

矩形、菱形和正方形复习学案制作人：王宾 审核人：朱海青中考目标性、开放性的题目中知识梳理一、矩形的性质与判定1．定义：有一个角是直角的____________是矩形．2．性质：(1)矩形的四个角都是________．2)矩形的对角线________．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．3．判定：(1)有三个角是________的四边形是矩形．(2)对角线________的平行四边形是矩形．二、菱形的性质与判定1．定义：一组邻边相等的__________叫做菱形．2．性质：(1)菱形的四条边都________．(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定：(1)对角线互相垂直的________是菱形．(2)四条边都相等的________是菱形． 三、正方形的性质与判定1．定义：一组邻边相等的________叫做正方形． 2．性质：(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形(2)一组邻边相等的________是正方形．(3)对角线互相垂直的________是正方形．4)有一个角是直角的________是正方形．(5)对角线相等的________是正方形．例题解析 考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE ，AF .那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．考点二、菱形的性质与判定【例2】如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为83，求AC的长考点三、正方形的性质与判定【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.当堂达标1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC2．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为()A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:13．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()A．4B．6C．8D．105．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．6．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB ＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？。

矩形、菱形、正方形重点与难点：矩形、菱形、正方形的性质与判定定理。

一、知识点（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形；菱形：有一组邻边相等的平行四边形；正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。

（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质；（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形。

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的半二、例题：例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形的周长为16，且CE=EF，求AE的长。

解：∵矩形ABCD∴∠A=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）∴∠AEF+∠AFE=90°∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°∴∠AFE=∠DEC（等角的余角相等）在△AEF和△DCE中B CE D AF⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE EF DCE AEF D A ∴△AEF ≌ △DCE（AAS ）∴AE=DC（全等三角形的对应边相等） ∴2×（AE+DE+CD ）=16 即AE=3。

例2、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF⊥AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分。

证明：∵菱形ABCD∴AC 平分∠BAD（菱形的对角线平分对角）AD 平行且等于AB （菱形四条边都相等，平行四边形的对边互相平行） ∠GAE=∠GBF，∠GFB=∠GEA（两直线平行，内错角相等）在△AEH 和△AGH 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠EHA GHA AH AH EAHGAH ∴△AEH ≌ △AGH（ASA ） ∴AE=AG ∵AE=21AD ∴AG=21AD=21AB 即AG=AB 在△AEG 和△BFG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠GB GA GBF GEA FBG EAG ∴△AEG ≌ △BFG（AAS ） ∴AG=BG，EG=FGABCDEFGH例3、如图，以正方形ABCD 的DC 边为一边向外作一个等边三角形，①求证：△ABE 是等腰三角形；②求∠BAE 的度数。

学习
目标探索矩形的概念与性质，知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，体会数学转化思想
学习
重难点理解矩形的概念和性质，并能应用矩形的概念和性质解决问题
教学流程
思考、交流：
合作探究一、概念探究：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

（矩形通常也叫长方形）1．矩形与平行四边形比较：（小组合作、交流）
相同点：
不同点：
2．你能用以前学过的知识证明矩形的对角线相等吗？
3．小结：矩形的特殊性质
（1）
（2）
二、例题分析：
问题2：证明一个三角形是等边三角形的方法有哪些？
变式1：
变式2：
三、展示交流：
1.矩形具有而一般的平行四边形不具有的特点是（）
2.矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（）
四、提炼总结：
(1)oa= = =
(2) ∠dab= = = =90°
当堂达标1.矩形是具有而平行四边形不一定具有的性质是＿＿＿＿（填代号）
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等
④对角线相等；⑤4个角都是90°；⑥轴对称图形
2.矩形是轴对称图形，对称轴是＿＿＿＿＿又是中心对称图形，对称中心是＿＿＿矩形两对角线把矩形分成＿＿＿个等腰三角形
，它的面积为
4.矩形的一条对角线长为10，则另一条对角线长为，如果一边长为8，则矩形的面积为。

课题3．5矩形、菱形、正方形（1）课型新授教学目标1、理解矩形的概念，掌握矩形的性质.2、经历探索矩形的概念与性质的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.教学重点矩形的性质的理解和掌握.教学难点矩形的性质的综合应用.教具准备多媒体，课件教学过程教学内容教师活动内容、方式学生活动方式设计意图一、情境创设：情境1：组织学生观察课本P92节首的两幅图片..情境2：通过多媒体课件展示一些含有矩形的图片，引导学生观察.问题（1）上面的图片中有你熟悉的图形吗？（2）你能举出生活中类似的图形的吗？（3）矩形的结构特征是什么？二、新知探索1．操作题：BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线，画出△ABC关于点O对称的图形。

操作分为以下二个步骤：第一：画出Rt△ABC关于点O对称的图形，得出四边形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心的结论.第二：探索图中的四边形ABCD的特点.学生通过探究可以发现：四边形ABCD是中心对称图形，是平行四边形，并且有一个角是直角，为引入矩形的概念做好铺垫.2.给出矩形的概念3．思考：矩形是特殊的平行四边形，它还具有哪些特殊性质？引导学生主要从下面两点考虑（1）既然矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质。

（2）由于矩形比平行四边形多了一个特殊条件：有一个角是直角，因此，矩形应具有一些特殊的性质.探索矩形的特殊性质要从这一特殊之处（有一个角是直角）入手.学生观察并回答问题学生操作并交流设计意图：让学生感受到特殊的平行四边形就在自己的身边，有利于激发学生的学习兴趣及探索精神.教师活动内容、方式学生活动方式设计意图4．讨论（课本p92）(图略)演示平行四边形活动框架，引导学生观察改变平行四边形活动框架形状，它的边、角、对角线有怎样的变化？当∠ 为直角时，平行四边形变为矩形，它的2条对角线有怎样的数量关系？四个角之间有怎样的数量关系？5.给出矩形的特殊性质三．练一练1．课本P93例1讲解例1要注意①引导学生探索解题途径，培养学生有条理地思考能力.②规范解答过程，培养学生有条理地表达能力.③引导学生归纳：矩形的一条对角线将矩形分成2个全等的直角三角形；矩形的2条对角线将矩形分成4个全等的等腰三角形；有关矩形的问题往往可以化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.5、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．四.小结：这节课你有哪些收获？还有哪些问题？五．课堂作业P100 T3 , T4, T5 学生讨论学生板演设计意图：旨在利用四边形框架的不稳定性，引导学生通过合情推理去探索，发现结论设置例1的目的是使学生熟悉和应用矩形的有关性质，为解答习题3.5. 第5题作铺垫课题3．5矩形、菱形、正方形（2）课型新授教学目标1、理解掌握矩形的判定条件. 提高学生应用矩形的判定解决问题的能力。

专题19.1 矩形、菱形与正方形（基础篇）专项练习一、单选题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则菱形两邻角度数比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：1 4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为( )A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A．(B．)2C．)D．(7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）A．B．4C．D．88．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将∥BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到∥DCF，连接EF，若∥BEC=60°，则∥EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，在∥ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）A．若AD 平分∥BAC，则四边形AEDF 是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形D ．若 AD ∥BC ，则四边形 AEDF 是矩形10．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．485二、填空题 11．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 12．如图，在∥ABC 中，AD 是高，E 是AB 的中点，EF∥AD ，交AC 于点F ，若AC=6，则DF 的长为______.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，则CE 的长为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，∥DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使∥PBE 的周长最小，则∥PBE 的周长的最小值为________．15．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∥EAF ＝45°，∥ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．17．如图，在Rt∥ABC 中，∥ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD=_____cm ．18．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，PE AB ⊥于点E ，若5PE =，则点P 到AD 的距离为________．19．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．20．如图，在Rt∥BAC 和Rt∥BDC 中，∥BAC ＝∥BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．21．如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接∠=︒，则CEFCE．若56BAE∠=______︒．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∥DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∥FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∥HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．三、解答题23．如图，∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∥ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在∥ABC 和∥DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：∥ABC∥∥DCB（2）过点C 作CN∥BD ，过点B 作BN∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =．(1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．在∥ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将∥ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时。

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.4矩形、菱形、正方形精讲精练（13大易错题型深度导练，八下苏科）【目标导航】【知识梳理】1.菱形的性质：（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的___________都相等；③菱形的两条对角线_________，并且每一条对角线___________；④菱形是___________图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）2.菱形的判定：①菱形定义：______________________的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②___________都相等的四边形是菱形．③______________________的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．3.矩形的性质：（1）矩形的定义：______________________的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是_______；③边：邻边______；④对角线：矩形的对角线______________________；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4. 矩形的判定：①矩形的定义：___________的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③___________的平行四边形是矩形（或“______________________的四边形是矩形”）5.正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线______________________，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．6.正方形的判定：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【典例剖析】【考点1】菱形的性质【例1】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）A．逐渐增加B．逐渐减小C．保持不变且与EF的长度相等D．保持不变且与AB的长度相等【变式训练】1．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）A．21B．65C．42D．562．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，E、F分别为AB、BC 的中点，P是AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是（）A．3B．C．4D．【考点2】菱形的判定条件【例2】如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误【变式训练】4．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形5．（2020春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个①四边形AEDF是平行四边形：②如果∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是菱形，A ．1B ．2C ．3D ．46．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，ABCD 是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的中垂线交AD 、BC 于E 、F ，则四边形AFCE 是菱形．乙：分别作∠A 与∠B 的平分线AE 、BF ，分别交BC 于点E ，交AD 于点F ，则四边形ABEF 是菱形．则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）A ．仅甲正确B ．仅乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误【考点3】矩形的性质【例3】如图，长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝2cm ，点P 从A 出发，以1cm /s 的速度沿A →B →C 运动，最终到达点C ，在点P 运动了3秒后点Q 开始以2cm /s 的速度从D 运动到A ，在运动过程中，设点P 的运动时间为t ，则当△APQ 的面积为2cm 2时，t 的值（ ）A ．2或103B ．2或113C ．1或103D ．1或133【变式训练】7．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形一定是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形8．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）A ．485B ．325C ．245D ．1259．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，小明同学在将一张矩形纸片ABCD 的四个角向内折起时，发现恰好能拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ．于是他测量出EH =9cm ，EF =12cm ，根据这两个数据他很快求出了边AD 的长，则边AD 的长是( )A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．21cm【考点4】矩形的判定条件【例4】如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 是对角线，下列条件中能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠BAC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BAC ＝∠DCAD ．∠BAC ＝∠ADB【变式训练】10．（2022春·江苏常州·八年级统考期中）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，中线AF 与中位线DE 相交于点O ，则四边形ADFE 是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形11．（2020春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE 为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(P不与B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是()A．2B．3C．1.2D．2【考点5】正方形【例5】如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．其中正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【变式训练】13．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角14．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF．若DF=3，则BE的长为（ ）A．2B．3C．4D．515．（2022·江苏·八年级假期作业）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形【考点6】菱形的性质与判定综合问题【例6】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．（1）求证：四边形OBEC是菱形；（2）若AD＝4，AB＝2，求菱形OBEC的面积．【变式训练】16．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD 交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=BD=2，求OE的长．17．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：DE∥BF．(2)若四边形ABCD是正方形，且AD=4，AE=DEBF的面积为_____________．18．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．【考点7】矩形的性质与判定综合问题【例7】平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE＝2，DE＝4，求矩形BFDE的面积．【变式训练】19．（2022春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，过点D作DE⊥BC 于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF,OF．(1)求证：四边形AFED是矩形．(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长．20．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．21．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0⩽t⩽10(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？答：；（直接填空，不用说理）(2)在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；(3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH 为菱形，求t的值．【考点8】正方形的性质与判定综合问题【例8】已知点E是正方形ABCD内一点，连接AE，CE．（1）如图1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，若∠BEC＝90°，BF＝2，四边形ABCE的面积为35．2①证明：AF＝BE；②求线段AE的长．（2）如图2，若AB＝4，∠AEC＝135°+2CE＝AE，CE的长．【变式训练】22．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．(1)求证：EA＝EF：(2)写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；(3)若AB＝4，FE＝FC，求DE的长．23．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点H为CF的中点．(1)连接BH、GH．①如图1，若点G在边AB上，猜想BH和GH的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在对角线CA的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想BH和GH的关系，并给予证明．(2)如图3，若AC=5，AF=3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接EH．请你直接写出EH的取值范围___________．24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H 分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2．(1)如图1，当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形．(2)如图2，连接CF，当△FCG的面积等于1时，求线段DG的长度．考点9.中点四边形【例9】（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）【变式训练】25．（2023春·江苏·八年级专题练习）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______．26．（2023春·江苏·八年级专题练习）综合与探究：如图1，四边形ABDC中，E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．(1)猜想四边形EFGH的形状是________（直接回答，不必说明理由）．(2)如图2，P在四边形ABDC内一点，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，其他条件不变，试探究四边形EFGH的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，PA=6，PB=∠APC=∠BPD=60°，∠CPD=90°，求四边形EFGH的面积．27．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：△ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF猜想证明：(1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由．(2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长．拓展延伸：(3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN 和△DEN均为等腰直角三角形．考点10.四边形与最值问题【例10】（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出(1)如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小．问题探究(2)在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数的大小．问题解决(3)如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB=BC=60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练】28．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．(1)求证：AF=EF；(2)求MN+NG的最小值．29．（2022春·江苏镇江·八年级校联考阶段练习）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD 是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)当△ABD满足什么条件时，四边形DEBF是菱形（不需要证明）(3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若BE=2，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF+PM的最小值．30．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(26,0),C (0,12)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．（1）当t何值时，四边形PODB是平行四边形；（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；（3）在线段PB上有一点M，且PM=13，当P运动_______秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．考点11.四边形与动点问题【例11】（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．(1)如图1－1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图1－2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿ΔAFB和ΔCDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B →A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【变式训练】31．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A(9,0)，B(9,4)，AD=1，CE=5，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→C运动，设点P运动的时间为t秒（0<t<22）．(1)点D的坐标是；点E的坐标是；(2)当点P在OA上运动时，连接PE，ED，当∠PED为直角时，求点P的坐标；(3)在整个运动过程中，当△PED是以PE为腰的等腰三角形时，求t的值．32．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．(1)求梯形ABCD的面积S；(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．33．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（0<t<4）．(1)求点B到线段AC的距离；(2)当NP经过线段AC中点时，求t的值并直接写出此时线段MQ、NQ的关系；(3)连接AN、CP，在点M、N运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形ANCP的面积与四边形ABNP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在点M、N运动过程中，①是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．考点12.四边形综合问题【例12】（2021春·江苏泰州·八年级统考期中）如图1，正方形ABCD和正方形GECF，点E、F分别在边BC、CD 上，将正方形GECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°）．(1)如图2，连接BE、DF，求证：BE＝DF；(2)如图3，若BC，EC＝1，当点E旋转到CD边上时，连接BE、连接DF，并将延长BE交DF于点H，求证：BH垂直平分DF；(3)如图4，连接BF、DE，若P是DE的中点，连接CP，判断CP与BF的关系，并证明你的结论．【变式训练】34．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．(1)求证：四边形ABCD是正方形．(2)已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．35．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF ＝∠CEF＝45°．(1)若点G在边CB的延长线上，且BG＝DF，（如图①），求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），∠EAF＝∠CEF＝45°，BE＝4，DF＝1，请你直接写出△CEF 的面积．36．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．(1)如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；(2)如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=4x+8的图像分别交x、y轴于点A、B，将正方形ABCD 中Rt△AOB置于直线AB右侧Rt△ACB位置，斜边恰好与线段AB重合，请直接写出直角顶点C到原点O 的距离．考点13.四边形与新定义阅读问题【例13】（2022春·江苏南通·八年级统考期中）【了解概念】定义：两条对角线相等的凸四边形叫做等线四边形，两条对角线所夹锐角为60°的等线四边形叫做强等线四边形．(1)【理解运用】下列四边形中，一定是等线四边形的是________（只填序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)【拓展提升】如图，ΔABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向ΔACB外作菱形ACFG和菱形ABDE，且∠CAG=∠BAE=60°，连接CG，BE，GE．①求证：四边形BCGE是强等线四边形；②若AB=4，∠BAC=30°，P，Q分别是BC，GE的中点，连接PQ，直接写出PQ的长．【变式训练】37．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）在四边形ABCD中，若DA=DC，且对角线BD是∠ABC的角平分线，则这个四边形ABCD就叫做“翼四边形”．(1)）如图1，已知四边形ABCD的对角线BD既是∠ABC的角平分线，又是∠ADC的角平分线，判断四边形ABCD是不是“翼四边形”吗？说明理由；(2)如图2，已知四边形ABCD中，AB<BC，DA=DC，∠ABC=∠ADC=90°．求证：四边形ABCD是“翼四边形”；(3)如图3，已知四边形ABCD是“翼四边形”，AB>BC，DA=DC，对角线BD是∠ABC的角平分线，判断∠A与∠C的数量关系，说明理由．38．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．39．（2022秋·江苏镇江·八年级统考期末）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；(2)如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD．求证：AC平分∠BCD．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：①AC平分∠BCD；②CA=CB+CD；(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．。

矩形、菱形、正方形一、选择题：1、矩形具有而一般平行四边形不具有的特征是〔〕2、以下说法正确的选项是〔〕①有一组邻边相等的四边形是菱形②有两条邻边相等的矩形是正方形③对角线相等的四边形是矩形④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，∠AOB=60。

，AC=16，那么图中长度为8的线段有〔〕A. 2条B. 4 条C. 5条D. 6条4、如图1，E , F分别是正方形ABCD的边CD ，AD上的点，且CE=DF，AE , BF交于点O ，以下结论：①AE=BF,②AE⊥BF, ③AO=OE,④S△AOB= S四边形DEOF中，正确的有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个OE EE EB 图1C B 图2 C F5、如图2，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，那么∠EFD的度数为〔〕A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°6、四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，假设添加一个条件即可断定该四边形是正方形，那么这个条件可以是〔〕A. ∠D=90°B. AB=CDC. AD=BCD. BC=CD7、如图，ABCD是正方形，G是BC上〔除端点外〕的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F,以下结论中， EEEE不一定成立的是〔〕A. △AED≌△BFAB. DE-BF=EFC. BF=AED. DE-BG=FG8、如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是〔〕A. 四边形ABCD是平行四边形B. AC⊥BD A DC. △ABD是等边三角形D. ∠CAB= ∠CAD B C二、填空：1、如图1，菱形ABCD中，∠B= 60°,AB=5 , 那么AC= 。

八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》矩形的性质、判定学案（新版）苏科版9、4矩形、菱形、正方形矩形的性质、判定一、概念：1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、（矩形也叫长方形）2、矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）矩形的特殊性质：①矩形是轴对称图形；②矩形的四个角都是直角，对角线相等、3、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形、(定义)（2）三个角是直角的四边形是矩形、（3）对角线相等的平行四边形是矩形、(归纳：证明四边形是矩形的方法有（1）三个角是直角（2）先证明是平行四边形，再证明有一个角是直角或者对角线相等)二、例题讲解例1、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=4 cm，∠AOB=60求对角线AC的长、例2、如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且AC=2AB、求证：△AOB是等边三角形、例3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED、(1)△BEC是否为等腰三角形？为什么？(2)若AB=1，∠ABE=45，求BC的长、例4、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH、探索四边形EFGH的形状并说明理由、例5、如图,四边形ABCD是平行四边形，CA垂直平分BE,试判断四边形EACD的形状，并说明理由、ABCDEFGHMN例6、已知如图，AB∥CD，GM、GN、HM、HN、分别平分∠AGH、∠BGH、∠CHG、∠DHG，试判断四边形GMHN的形状，并说明理由。

【9、4矩形、菱形、正方形(3)(4)菱形的性质、判定】一、概念：1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、2、菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；对边相等、对角相等、对角线互相平分、）（2）菱形的特殊性质：①菱形是轴对称图形；②菱形的四条边相等，对角线互相垂直、3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、(定义)（2）四边相等的四边形是菱形、（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形、(归纳：证明四边形是菱形的方法有（1）四边相等（2）先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或者对角线互相垂直)二、例题讲解例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O。

【关键字】练习矩形、菱形、正方形一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.性质：（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相笔直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相笔直平分，每条对角线平分一组对角．2.判定：（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．（2）菱形：①对角线互相笔直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相笔直的矩形是正方形．3.面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：（是对角线）（3）正方形：S=边长24.平行四边形与特殊平行四边形的关系（二）：【课前练习】1.下列四个命题中，假命题是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形B．菱形的一条对角线平分一组对角C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形D．等腰梯形的两条对角线相等2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠=60°，则∠AED的大小是（）A．60°. B．50°. C．75°. D．55°3.正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（）A、aB、aC、D、a4.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度5.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF= GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是，根据的数学道理是____．（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________二：【经典考题剖析】1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（）A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．．280 D．2843.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80 ，AB的笔直平分线EF交对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）A．80°B．70°C．65°D．60°4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．）5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：三：【课后训练】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点 O，且CA：BD=l： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD的面积．4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。

１矩形、菱形、正方形【知识梳理】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件要使 ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使 ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；要使矩形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ .3. 特殊的平行四边形的性质边角 对角线矩形 菱形 正方形【课前热身】1. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是 A .菱形B .对角线互相垂直的四边形C .矩形D .对角线相等的四边形2. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是 A.平行四边形 B.正方形C.等腰梯形D.矩形3．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 4. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分5. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，正平行四边形矩形菱形方形四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°一组邻边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等２使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 【典例精析】例1. （2011广东广州市，18，9分）如图4，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．例2. （2011山东滨州，24，10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。