矩形、菱形、正方形教学设计

矩形、菱形、正方形

【教学内容】

矩形

【课时安排】

2课时

【第一课时】

【教学目标】

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。

2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。

【教学重难点】

1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系。

2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题。

【教学过程】

（一）情境导入

1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门、活动衣架、篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？

2．思考：拿一个活动的平行四边形教学准备，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）

3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（小学学过的长方形），引出本课题及矩形定义。

矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形。

有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。

（二）合作探究

探究点一：矩形的性质

性质1：矩形的四个角都是直角。

例1：如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC。若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为（）

A．15

B．30

C．45

D．60

解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F。

∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，

∴EF＝BE＝4

∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30

故选B。

方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件。

性质2：矩形的对角线相等。

例2：如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC 的长是（）

A．2

B．4

C．2 3

D．4 3

解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长。故选B。

方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例3：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE。

解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理。

解：连接EG、DG

∵BD，CE是△ABC的高

∴∠BDC＝∠BEC＝90°

∵点G是BC的中点

∴EG＝BC，DG＝BC

∴EG＝DG

又∵点F是DE的中点

∴GF⊥DE

方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题。

探究点二：矩形的性质的运用。

类型一：利用矩形的性质求有关线段的长度。

例4：如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。

解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE 的长。

解：∵四边形ABCD是矩形

∴∠A＝∠D＝90°

∴∠CED＋∠ECD＝90°

又∵EF⊥EC

∴∠AEF＋∠CED＝90°

∴∠AEF＝∠ECD

而EF＝EC

∴△AEF≌△DCE

∴AE＝CD

设AE＝cm

∴CD＝cm，AD＝(＋4)cm

则有2(＋4＋)＝32，解得＝6

即AE的长为6cm

方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题。

类型二：利用矩形的性质求有关角度的大小。

例5：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数。

解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数。

解：∵四边形ABCD是矩形

∴∠DAB＝90°

AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD

∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO

又∵∠DAE：∠BAE＝3：1

∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°

∵AE⊥BD

∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°

∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°

∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°

类型三：利用矩形的性质求图形的面积。

例6：如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）

A．1

5B．

1

4C．

1

3D．

3

10

解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB

的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的1

4，故阴影部分的面积为矩形面积的

1

4。故选B。

方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积。

类型四：矩形中的折叠问题。

例7：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD ＝8，AB＝4，求△BED的面积。

解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE。在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED的面积。

解：∵四边形ABCD是矩形

∴AD BC，∠A＝90°

∴∠2＝∠3

又由折叠知△BC′D≌△BCD

∴∠1＝∠2

∴∠1＝∠3

∴BE＝DE

设BE＝DE＝，则AE＝8－

∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2

∴42＋(8－)2＝2，解得＝5

即DE＝5

∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10

方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识