3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2

§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程高三 数学 刘霞学习目标：.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.复习：1、两向量平行定义、向量与平面平行的定义。

2、共面向量基本定理。

3、线面平行判定定理及性质4、面面平行判定定理一、新课讲授：探究（一）：用向量的方法证明线线平行位置关系？与：若问题关系与重合，则与或：若问题的方向向量分别为，设21212121212121//v 2?v //1v l l v v l l l l v l l结论：探究（二）：用向量证明直线与平面平行位置关系？与位置关系？则直线与使：若存在唯一一对实数问题关系则不是若与是：若问题的方向向量共面，直线设不共线向量αααl v x y x v l v l l v 21212121y v ,,2?v ,?v 1v +=结论：推论：如果A,B,C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x,y 使得 x y +=探究（三）：用向量证明平面与平面平行位置关系？与位置关系？则平面则：若问题位置关系则：若问题位置关系重合，则与：若问题共面，设不共线向量分别为βαβββββαββαα2121212121,v ,////v 3?,v //2?,v 1,v v v v v v结论：二、例题讲解：例1： 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，点M ，N 分别是面对角线A'B 与面对角线A'C'的中点。

(1) 求证：MN//侧面ADD' A ’(2) 求证： MN//AD'且 MN=21AD ’ (3) 求证：面A'C'B//面ACD'练习1已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，但它们不在同一个平面，点M 、N 分别在对角线BD 、AE 上，且BM=31BD ，AN=31AE,证明直线MN//面CDE2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．求证：MN∥面ADD1A1．3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．课堂总结作业：课本98练习A,B。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标知识与技能：用向量表示直线或点在直线上的位置，用向量方法求证直线与直线平行，直线与平面平行过程与方法；通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法.重难点直线的方向向量，平行关系的论证。

引入复习检测在平面向量的学习中，我们得知① M 、A 、B 三点共线⇔___________________________② A 、B 是直线l 上任意两点。

O 是l 外一点.动点P 在l 的充要条件是_______________________________上述式子称作直线l 的向量参数方程式，实数t 叫参数。

讲解新课１．给定一个定点A 和一个向量a ，如图所示，再任给一个实数t,以A 为起点作向量.AP ta = ①这时点P 的位置被完全确定，容易看到，当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l.反之，在直线l 上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使.AP ta =向量方程①通常称作＿＿＿＿＿＿＿.向量a 称为该＿＿＿＿＿＿＿＿＿.２．直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P 在直线l 上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式.OP OA ta =+ ② 如果在l 上取,AB a = 则②式可化为()OP OA t AB OA t OB OA =+=+-即 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③①或②或③都叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向为正方向,在直线AB 上建立一条数轴,P,Q 为轴上的两点,且分别满足条件:⑴AP:PB=1:2 ⑵AQ:QB=-2 求点P 和点Q 的坐标.反思与变式训练变式1：已知点A （-2，3，0），B （1，3，2），以 AB 的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P,Q 为轴上两点，且满足条件： ⑴ AQ:QB=-2; ⑵ AP:PB=2:3 求点P 和点Q 的坐标.2.用向量方法证明空间中有关平行的问题（1）线线平行与向量的关系和的方向向量分别为和设直线2121v v l l .////212121v v l l l l ⇔重合与或则 （2）线面平行与向量的关系，的一个方向向量为共面，一直线与平面，已知两个不共线向量v l 21αv v .,!//21v y v x v y x l l +=∃⇔⊂，使实数对或αα（3）面面平行与向量的关系共面，与平面已知两个不共线向量α21v v .//////21βββαβαv v 且重合与或⇔ 例2．如图，已知正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’，点M ，N 分别是面对角线A ’B 与面对角线A ’C ’的中点，求证：MN//侧面AD ’；MN//AD ’；并且MN=.21D A 'A'D'C'B'C DABNM课后作业教材p98 1 2 3 p99 1 2 3。

直线的向量方程
1．直线的向量方程
【知识点的知识】
直线的方向向量与直线的向量方程：
→→→
（1）给定一个定点A 和一个向量푎，再任给一个实数t，以A 为起点作向量퐴푃=t푎①，这时点P 的位置被t 的值
→
完全确定．当t 在实数集R 中取遍所有值时，点P 的轨迹是通过点A 且平行于向量푎的一条直线l，反之，在l 上
→→
任取一点P，一定存在一个实数t，使向量퐴푃=t，则向量方程①通常称作直线l 以t
为参数的参数方程．푎称为该
直线的方向向量．
→（2）对空间任一确定的点O，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式푂푃=
→
푂퐴
+푡푎②．如果在
→
l 上取퐴퐵=→→→→
푎，则②式可化为푂푃=(1―푡)푂퐴+푡푂퐵
③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与
平面的直线向量参数方程相同．
【解题方法点拨】
1、向量法证明平行：
（1）证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
（2）用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
（3）利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
1/ 2
2、利用向量求异面直线所成角的步骤为：
（1）确定空间两条直线的方向向量；
（2）求两个向量夹角的余弦值；
（3）确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
2/ 2。

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一、选择题1．若A(1，－2，3)，B(2，5，6)在直线l上，则直线l的一个方向向量为() A．(1，－2，3)B．(2，5，6)C．(1，7，3) D．(－1，－7，3)2．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 2C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝15 23．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°4．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.四个结论中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．45．若AB＝λCD＋u CE(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．6．直线l1的方向向量为v1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2，0，－2)，则直线l1与l2的位置关系是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且P A＝AB＝BC＝12AD＝1.(1)求证：PC⊥CD；(2)求PB与CD所成的角．参考答案1.解析：∵AB ＝(1，7，3)，又与AB 平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1，7，3)＝AB 可作为l 的方向向量．答案：C2.解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b .∴32＝x 4＝y 5，即x ＝6，y ＝152.答案：D3. 解析：建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为2，则E (0，1，2)，F (2，2，1)，A 1(0，0，0)，C 1(2，2，0)，∴EF ＝(2，1，－1)，11A C ＝(2，2，0)，∴cos 〈EF ，11A C 〉＝1111..||||EF A C EF A C ＝66·8＝32， ∴EF 与A 1C 1所成的角为30°.答案：B4.解析：∵1A M ＝1A A ＋AM ＝1A A ＋12AB ， 1D P ＝1D D ＋DP ＝1A A ＋12AB ，∴1A M ∥1D P ，从而A 1M ∥D 1P .可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：C5.解析：∵AB ＝λCD ＋u CE ， ∴AB 与CD 、CE 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6.解析：∵v 1·v 2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，∴v 1⊥v 2，∴l 1⊥l 2. 答案：垂直7.证明：如图，分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(0，0，1)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，B 1(1，0，1)，C (1，1，0)，D 1(0，1，1)，1A B ＝(1，0，－1)，1D C ＝(1，0，－1)．11B D ＝(－1，1，0)， BD ＝(－1，1，0)，∴1A B ∥1D C ，11B D ∥BD .∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ，同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .8.解：建立如图所示的空间直角坐标系，∵P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，∴P (0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)．∴PB ＝(1，0，－1)，CD ＝(－1，1，0)，PC ＝(1，1，－1)．(1)证明：∵PC ·CD ＝(1，1，－1)·(－1，1，0)＝0∴PC ⊥CD .(2)cos 〈PB ，CD 〉＝－1＋0＋02·2＝－12. ∴〈PB ，CD 〉＝120°.∴PB 与CD 所成的角为60°.。