1直线的方向向量与点向式方程

三维空间中的直线方程表达式
在三维空间中，一条直线可以用参数方程或者点向式来表示。

其中，参数方程是指用一个参数表示直线上的所有点，而点向式则是指用一个起点和一个方向向量来表示直线。

参数方程可以用以下公式表示：
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
z = z_0 + ct
其中，(x_0, y_0, z_0)是直线上的某一点，而(a, b, c)则是直线的方向向量，t为参数。

点向式可以用以下公式表示：
r = a + tb
其中，a为直线的起点，b为直线的方向向量，而r为直线上的任一点，t为参数。

需要注意的是，当直线平行于坐标轴时，可以用一般式方程来表示：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，(A, B, C)为直线的方向向量的系数，而D则是常数项。

使用这些方程可以方便地求解三维空间中的直线问题，比如求直线与平面的交点、直线的距离等。

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直线方程的点向式谢寒冬福建省晋江市毓英中学　3622511　直线方程的各种形式都可以统一为点向式设直线l 经过点P 0(x 0,y 0),v =(a ,b)为其一个方向向量(ab ≠0),P (x,y)是直线上的任意一点,则向量P 0P 与v 共线,根据向量共线的充要条件,存在唯一实数t ,使P 0P =tv,即x =x 0+at ,y =y 0+bt.消去参数t 得直线方程为x -x 0a =y -y 0b 将其变形为b (x -x 0)=a (y -y 0).易证当ab=0时直线方程也是b(x -x 0)=a (y-y 0),我们称方程b (x -x 0)=a (y -y 0)为直线的点向式方程.1)经过点P 0(x 0,y 0)且斜率为k 的直线方程:斜率为k 的直线方向向量为(1,k ),代入点向式得直线方程为k (x-x 0)=(y -y 0).即为直线方程的点斜式.2)直线斜率为k,在y 轴的截距为b ,代入点向式得直线方程为k(x -0)=(y -b ),也就是直线方程的斜截式.3)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程:直线方向向量为(x 2-x 1,y 2-y 1),代入点向式得直线方程为(y 2-y 1)(x -x 1)=(x 2-x 1)(y -y 1),即为两点式.4)在x 轴的截距为a ,在y 轴的截距为b 的直线方程:直线方向向量为(0,b )-(a ,0)=(-a ,b ),代入点向式得直线方程为b(x -a)=-a(y -0),即为截距式.5)直线的一般形式A x +B y +C =0(B ≠0)可以化为点向式得直线方程A (x -0)=-By +CB,所以它的方向向量为(-B ,A).因为(-B ,A)·(A ,B )=,所以(,B )为它的法向量若B =,则直线点向式得直线方程为x +=(y ),它的方向向量为(0,A )=(-B ,A ).故对任一直线A x +B y+C =0,它的方向向量为(-B ,A ),它的法向量是(A ,B).2　利用直线的点向式方程和直线的法向量可以解决高二(上)教材中的几个教学难点2.1　点到直线距离公式的推导点到直线距离公式的推导历来都是中学数学的难点,怎么想到构造直角三角形使用面积法求解?(参见新课程人教版第二册(上))教师很难给学生讲清楚,对初学者不易突破.若用向量的有关知识来推导学生就比较容易理解和掌握.公式　已知点P 坐标(x 0,y 0),直线l 的方程是A x +By +C =0,P 到直线l 的距离是d ,则d =│A x 0+By 0+C │A 2+B 2.证明　设M (x,y )为直线A x +By +C =0上任一点,则有A x +B y =- C.向量P M =(x -x 0,y -y 0)在直线A x +B y+C =0的法向量n =(A ,B )上的射影为P M ·n │n │=A (x -x 0)+B (y -y 0)A 2+B 2=A x +By -(A x 0+B y 0)A 2+B 2=-C -A x 0-B y 0A 2+B 2,∴d =PM ·n│n │=|A x 0+B y 0+C |A 2+B 2.说明　利用向量的射影求距离是高二下B 教材中主要方法,故在高二上适当渗透显得尤为重要.2.2　两条直线的夹角公式l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,夹角为α,若l 1和l 2的方向向量夹角为θ,则有co s α=cos │θ│=│(B ,)·(B ,)││(B ,)│·│(B ,)│52第27卷第1期专辑　2008年6月 数学教学研究©0A .0A C A0-0-1A 1-2A 2-1A 1-2A 2=│A1A2+B1B2│A21+B21·A22+B22.2.3　直线平行与垂直的条件探究l1:A1+B1y+C1=0,其方向向量为v1=(-B1, A1).l2:A2x+B2y+C2=0,方向向量v2=(-B2,A2).(1)l1与l2平行或重合Ζv1=m v2,即B1=mB2A1=mA2消去m得A1B2=A2B1.也可以理解为: l1的方向向量v1=(-B1,A1)与l2的法向量n2= (A2,B2)垂直,所以v1·n2=0,即A1B2=A2B1.(2)l1⊥l2Ζv1·v2=0,即A1·A2+B1·B2= 0.利用直线的方向向量和法向量研究直线平行与垂直的问题可以不讨论直线斜率不存在的情况,从而降低了难度.例1　已知直线l1:x+(a-1)y+(a2-1)=0与直线l2:a x+2y+6=0,依下列条件分别求a的值:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.分析　若用直线的斜率求解学生经常忘了讨论直线斜率不存在的情况,从而导致问题解答不完整.若用直线方向向量和法向量求解就可避免这个问题.解　(1)∵l1∥l2　∴l1的方向向量与l2的法向量垂直,即(-a+1,1)·(a,2)=0,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,经检验当a=2时l1与l2重合,所以l1∥l2时a=-1.(2)∵l1⊥l2,∴l1的法向量与l2的法向量垂直(或l1的方向向量与l2的方向向量垂直)即(1,a-1)·(a,2)=0,即a+2(a-1)=0,解得a=2 3 .2.4　求直线方程例2　三角形AB C中,A(4,1),B(7,5),C(-4, 7),求∠A的平分线所在的直线方程.解　A B=(3,4),其单位向量为n1=35,45.A C=(-8,6),其单位向量为n2=-45,35.故∠A的平分线的方向向量为n1+n2=-15,75.由直线方程的点向式得∠A的平分线方程为75(x-4)=-15(y-1),化简得7x+y-29=0.例3　(2003年江西、安徽高考试题)已知常数a >0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E,F,使得│P E│+│P F│为定值,若存在求出E,F坐标,若不存在说明理由.解　∵c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa),代入直线的点向式方程得直线O P的方程为a x=λy,直线A P的方程为-2λa(x-0)=y-a,∴由a x=λy-2λa x=y-a消去λ得P点坐标满足方程y(y-a)=-2a2λ2,整理得x218+y-a22a22=1.①∵a>0,∴(1)当a=22时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E,F;(2)当0<a<22时,方程①表示椭圆,焦点中E1212-a2,a2和F-1212-a2,a2为合乎题意的两定点.(3)当a>22时,方程①也表示椭圆,焦点中E0,12a+a2-12和F0,12a-a2-12为合乎题意的两定点.62数学教学研究 第27卷第1期专辑　2008年6月©。

三维直线方程的五种形式在数学中，三维直线是指具有三个坐标轴上的点的集合。

三维直线也是建立立体几何体系的基础，因为绝大多数物体都是由直线和曲线组成的。

本文将详细介绍三维直线方程的五种形式。

形式一：点向式点向式是求解三维直线方程最简单的方法之一。

它利用一个点和一个方向向量来表示直线。

不妨设三维空间中的直线为L，点为P，方向向量为V，则点向式可以表示为：L: P + tV其中，t是一个实数。

通过改变t的值，可以获得L上的所有点。

如果只想求得直线上的一个点，则可以取t=0。

形式二：参数式参数式是我们在学习二维平面直线的时候就已经了解的一种方法。

具体来说，参数式是通过一组参数方程来表示直线上的所有点。

设直线 L 的参数方程为x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct则L可以表示为：L: (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c其中，a、b、c均不为零。

参数式可以表示L上的所有点，但需要满足一个限制条件，即a、b、c不能同时为零。

形式三：标准式标准式是指利用两个点来表示直线的方程式。

设L过点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则L可以表示为：L: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z -z1)/(z2 - z1)标准式可以用来快速确定直线所在的位置。

然而，需要注意的是，标准式只有在点A和点B坐标都已知的情况下才适用。

形式四：一般式一般式是指将参数a、b、c以及点(x0,y0,z0)转换成系数A、B、C、D的式子。

具体来说，L的一般式可以表示成:Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D的计算公式如下：A = y1z2 - y2z1B = z1x2 - z2x1C = x1y2 - x2y1D = -A*x1 - B*y1 - C*z1利用一般式，可以将直线转换为平面，方便后续计算。

【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。

直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

直线点向式方程直线的点向式方程是数学中非常重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线在平面上的位置和方向。

在本文中，我们将详细讨论点向式方程，并给出一些实际问题的解题思路，希望能对读者有指导意义。

首先，我们来介绍一下什么是直线的点向式方程。

对于平面上的一条直线来说，我们可以通过选择其中一点为起点，并选择一个方向向量来定义它。

在点向式方程中，我们用向量的形式表示直线上的任意一点。

设直线上的一点为A，方向向量为v，则直线上的任意一点P 可以表示为P=A+tv，其中t为一个实数。

这就是直线的点向式方程。

了解了直线的点向式方程的定义后，我们可以来看一些实际问题的解题思路。

首先，我们考虑一个例子：已知直线上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求直线上与AB中点距离为2的点的坐标。

首先，我们可以计算出AB的中点坐标，即M((1+3)/2, (2+4)/2) = (2, 3)。

接下来，我们需要找到直线上距离M为2的点。

根据点向式方程，我们可以设这个点为P=M+2v，其中v为直线的方向向量。

由于我们已知直线上的两个点A和B，我们可以用B-A得到方向向量v=(3-1, 4-2)=(2, 2)。

将这些值代入即可求出P的坐标。

通过上面的例子，我们可以看到点向式方程在解决实际问题中非常有用。

它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向，并且可以快速计算出需要的坐标。

除了解决具体问题之外，点向式方程还有其他一些有意思的性质。

例如，设直线的点向式方程为P=A+tv，若两个不同的t值所对应的点P1和P2分别位于直线上，那么AP1和AP2的方向向量相等。

这个性质可以帮助我们推导出直线上的其他点。

综上所述，直线的点向式方程是数学中重要的一个概念，它能够帮助我们准确描述直线上的点的位置和方向。

在解决实际问题时，我们可以通过点向式方程计算出需要的坐标。

同时，点向式方程还具有一些有意思的性质，可以帮助我们更深入地理解直线的特性。

希望本文能够对读者有所指导和启发。

专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。

空间直线点向式方程空间直线是指在三维空间中的一条直线。

空间直线的点向式方程是用一个已知点和一个方向向量表示直线的方程。

本文将围绕空间直线的点向式方程展开讨论。

一、空间直线的定义空间直线是指在三维空间中的一条直线，它由无穷多个点组成。

空间直线具有无限延伸性，并且在三维空间中的任意两点都可以确定一条唯一的直线。

二、点向式方程的定义点向式方程是一种表示空间直线的方法，它使用一个已知点和一个方向向量来确定一条直线。

点向式方程的一般形式为：P = P0 + t·V其中，P是直线上的任意一点，P0是直线上的已知点，V是直线的方向向量，t是参数。

三、点向式方程的意义点向式方程通过已知点和方向向量的组合，可以确定一条直线在三维空间中的位置和方向。

通过改变参数t的值，可以得到直线上的所有点。

四、点向式方程的求解方法1. 确定已知点P0和方向向量V：已知直线上的两个不重合点A和B，可以通过向量AB得到方向向量V，再确定一个已知点P0。

2. 构建点向式方程：根据已知点P0和方向向量V，使用点向式方程的一般形式P = P0 + t·V构建方程。

3. 求解参数t：通过给定的条件，可以求解参数t的值，从而确定直线上的点。

五、点向式方程的应用点向式方程在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，可以使用点向式方程来表示和绘制三维模型中的直线。

在物理学中，可以使用点向式方程来描述物体在三维空间中的运动轨迹。

六、点向式方程与其他表示方法的转换点向式方程与其他表示方法之间可以进行相互转换。

例如，可以通过已知点和方向向量求解参数t，从而得到直线的对称式方程和标准式方程。

同时，也可以通过直线的对称式方程和标准式方程来确定已知点和方向向量。

七、示例分析以一个具体的例子来说明点向式方程的应用：已知直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(2, 1, -1)，求直线L的点向式方程。

解：已知直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(2, 1, -1)，可以得到直线L的方向向量为V(2, 1, -1)。