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方向向量和直线的关系
空间中的直线是由两个向量表示的，它们分别是直线的方向向量和法向量。
它们共同决定
了直线的方向和定位。
方向向量是直线的唯一标志，它决定了直线的方向。
它以某种形式表示，其中x、y和z
分量分别代表着直线的横向、纵向和竖向运动的速度。
一般而言，方向向量的值越大，表
明直线的倾斜程度越大，且直线越可能靠近x、y轴的方向。
法向量表示着直线的方向和定位。
它的值决定了直线的位置，即以直线上任意一点为原点，该直线上任一点使得法向量和中心点组成的坐标轴取值经过变换后能得出直线上另一点的
坐标。
因此，法向量的值决定了直线几何形态和位置的变换。
直线的方向向量和法向量共同决定了直线的方向和位置。
此外，还可以通过对其进行矢量
运算，求出直线上任一点相对原点的坐标，从而推出其他形状，如三维曲线。
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量重点难点剖析1．空间直线的方向向量：如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(p n m s = ，那么s 的坐标p n m ,,称作这条直线的方向数， 而s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． 2．利用向量求距离的方法(1) 利用|AB|=|AB AB AB ∙可以求解有关距离问题；求线段的长度：2AB AB x ===(2) 设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是A ′B ′，则有|''A B |=|AB ·e |，由此可求点到线，点到面的距离问题。
其中以法向量的应用最常用。
求P 点到平面α的距离：||||PM n PN n ⋅=，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量）。
3．平面与方程平面方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,x y z ，则有0000Ax By Cz D +++=，从而有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.它表示过点0M 000(,,)x y z 且以{,,}n A B C =为法向量的一个平面方程，这个方程与0Ax By Cz D +++=是同解的，故三元一次方程表示平面。
方程0Ax By Cz D +++=为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}n A B C =.平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,A B C 和常数D 来确定。
当系数,,A B C 或常数D [中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0Ax By Cz ++=确定的平面过坐标原点；0By Cz D ++=的法向量为{0,,},n B C =表明这平面垂直于与x 轴；类似地，0Ax Cz D ++=确定的平面垂直于y 轴，0Ax By D ++=确定的平面垂直于z 轴；再者，0Ax D +=表示平行于坐标面yOz 的平面；0By D +=表示平行于坐标面xOz 的平面，0Cz D +=表示平行于坐标面xOy 的平面； 而0(0)Ax x =⇔=是坐标面yOz 的方程，0(0)By y =⇔=是坐标面xOz 的方程，0(0)Cz z =⇔=是坐标面xOy 的方程.典例分析例1 已知(3,0,4)AB =，AC =（5，-2，-14），求BAC ∠角平分线上的单位向量．分析 欲求角平分线上的单位向量，由于0a a a=，我们只需先在角平分线上求出任一向量，它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．解 ：在AB 、AC 上分别取'B 、'C ，使''AB AC =，以'AB 、'AC 为邻边作平行四边形''AC DB ，则''AD AB AC =+即为ABC ∠的平分线上的向量，特别的可取'AB 、'AC 为单位向量，'113,0,4)(3,0,4)5AB AB AB==-=-，'''112,14)(5,2,14)15AC AC AC ==--=--． 于是''11(3,0,4)(5,2,14)515AD AB AC =+=-+-- 352414(,0,)41515515=-+--2(2,1,1)15=-．AD 上的单位向量有两个向量，它们为(2,1,1)6AD AD±=点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例2 求△ABC 所在平面的单位法向量，其中A （－1，－1，0）、B （1，1，1）、C （3，4，3） 分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.解：∵，，，，，AB AC →=→=()()221453 设，，n x y →=()1则由··n AB n AC x y x y →→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++=++=⎧⎨⎩0022104530 ∴，，n →=-()1211于是单位法向量为±±，，＝±，，n n →→=--||()()231211132323点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.例3 设平面π过原点与点(6,3,2)M -，并且与平面1π：428x y z -+=垂直，求平面π的方程.解： 由π过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=，由过点M 得6320A B C -+=； 再由π⊥1π即1{,,}{4,1,2}n A B C n =⊥=-，得420A B C -+=；联立6320,420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩解得,3.2B AC A =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以平面π的方程为302x y z +-=，即 2230x y z +-=.点评：平面0Ax By Cz D +++=的法向量为{,,}n A B C =.例4 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离解：如图，设CD =4i ，=4j ，=2k ， 以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++)1(=++c b a ， ∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0B M G E ⋅=，BM EF ⋅=∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⋅--+=-⋅--+10)0,2,2()2,42,42(0)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==1131171115c b a ．∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴||11BM ⎛==故点B 到平面EFG 1111另法：∵(0,4,0B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G 设EFG 的方程为：0A x B y C z D +++=则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩取D ＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG 的方程为：360x y z ++-=， 所以点(0,4,0)B 到平面EFG的距离为：11d ===. 点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线l ：Ax By C =0的斜率存在时，直线与坐标轴分
别交于M N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP,交横轴于点P,则，向 量m'是直线的方向向量，向量n 是直线的法向量，那么，如何求这两 个向量呢?
又••• k NP 二 B ,•••直线 NP 的方程为 y 二"Bx- C ,
A
A B 易知p 當0，故NP 珂晋,B)罟(诗罟(1厂或号(AB),
—■ 1 —■
所以，直线的法向量 n =(1,)或n 二(A, B) • k
说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可.
例、求下列直线的方向向量与法向量:
(1) 2x -3y 5 = 0 ; (2) 3x 7 = 0 .
解：(1)直线的方向向量为m' = (-3,-2)或m = (1,2),
3 直线的法向量为n 、
所以，直线的方向向量 m = (1,k)或m=(B,-A);
C C
「(1,k)或二 ABg ，
(2,-3)或n = (1^|);
(2)直线的方向向量为m〔(0,-3)或(0,1)或(0,-1),
直线的法向量为二(3,0)或(1,0)或(-1,0).
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直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。
