直线的方向向量与直线的向量方程1

§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。

1．若A (1，－2，3)，B (2，5，6)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1，－2，3)B ．(2，5，6)C ．(1，7，3)D ．(－1，－7，3)解析：∵AB ＝(1，7，3)，又与AB 平行的非零向量都可作为l 的方向向量，∴(1，7，3)＝AB 可作为l 的方向向量．答案：C2．已知a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，∴a ∥b .∴32＝x 4＝y 5，即x ＝6，y ＝152. 答案：D3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．90° 解析：建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为2，则E (0，1，2)，F (2，2，1)，A 1(0，0，0)，C 1(2，2，0)，∴EF ＝(2，1，－1)，11A C ＝(2，2，0)，∴cos 〈EF ，11A C 〉＝1111..||||EF A C EF A C ＝66·8＝32， ∴EF 与A 1C 1所成的角为30°.答案：B4.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.四个结论中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵1A M ＝1A A ＋AM ＝1A A ＋12AB ， 1D P ＝1D D ＋DP ＝1A A ＋12AB ， ∴1A M ∥1D P ，从而A 1M ∥D 1P .可得①③④正确．又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．答案：C5．若AB ＝λCD ＋u CE (λ，u ∈R)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 解析：∵AB ＝λCD ＋u CE ，∴AB 与CD 、CE 共面，∴AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE .答案：AB ∥平面CDE 或AB ⊂平面CDE6．直线l 1的方向向量为v 1＝(1，0，－1)，直线l 2的方向向量为v 2＝(－2，0，－2)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 1·v 2＝(1，0，－1)·(－2，0，－2)＝0，∴v 1⊥v 2，∴l 1⊥l 2.答案：垂直7.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.证明：如图，分别以AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1(0，0，1)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，B 1(1，0，1)，C (1，1，0)，D1(0，1，1)，1A B ＝(1，0，－1)，1D C ＝(1，0，－1)．11B D ＝(－1，1，0)，BD ＝(－1，1，0)，∴1A B ∥1D C ，11B D ∥BD .∴A 1B ∥D 1C ，B 1D 1∥BD .又∵D 1C ⊂平面B 1D 1C ，A 1B ⊄平面B 1D 1C ，∴A 1B ∥平面B 1D 1C ，同理BD ∥平面B 1D 1C .又∵A 1B ∩BD ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1. (1)求证：PC ⊥CD ；(2)求PB 与CD 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1， ∴P (0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)．∴PB ＝(1，0，－1)，CD ＝(－1，1，0)，PC ＝(1，1，－1)．(1)证明：∵PC ·CD ＝(1，1，－1)·(－1，1，0)＝0 ∴PC ⊥CD .(2)cos 〈PB ，CD 〉＝－1＋0＋02·2＝－12. ∴〈PB ，CD 〉＝120°.∴PB 与CD 所成的角为60°.。

3．2 空间向量在立体几何中的应用3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习 目 标核 心 素 养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝ta 或OP →＝ 或OP →＝ AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的 ．向量a 称为该直线的方向向量．(2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔ .(2)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝ .(3)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔ .3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔2，cos θ＝||.1．直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1＝(3,0,1)，v 2＝(－1,0，m )，若l 1∥l 2，则m 等于( )A ．1B ．3 C.13D ．－132．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3，l,1)D ．(－3,0,1)3．直线l 1与l 2不重合，直线l 1的方向向量为v 1＝(－1,1,2)，直线l 2的方向向量v 2＝(2,0,1)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．空间中点的位置确定C (0,3,5)．(1)若OP →＝12(AB →－AC →)，求P 点的坐标；(2)若P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，求P 点的坐标．[思路探究] (1)由条件先求出AB →，AC →的坐标，再利用向量的运算求P 点的坐标．(2)先把条件AP ∶PB ＝1∶2转化为向量关系，再运算． [解] (1)AB →＝(－1,1,5)，AC →＝(－3，－1,5)． OP →＝12(AB →－AC →)＝12(2,2,0)＝(1,1,0)．∴P 点的坐标为(1,1,0)．(2)由P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，知AP →＝12PB →.设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －3，y －4，z )，PB →＝(2－x,5－y,5－z )， 故(x －3，y －4，z )＝12(2－x,5－y,5－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(2－x )y －4＝12(5－y )，z ＝12(5－z )得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝133.z ＝53因此P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，133，53.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.1．已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．利用向量法求异面直线的夹角【例2】(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.22(2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．[思路探究](1)建立空间直角坐标系，表示出BM→，AN→的坐标，利用向量法求解；(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量AF→，EM→的坐标，建立函数关系式讨论最值．(1)C(2)25[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴AN→＝(－1,0，－2)，BM→＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN→，BM→〉＝AN→·BM→|AN→||BM→|＝－1＋45×6＝330＝3010.(2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F (2，1,0)，∴EM →＝(－1，y,2)，|EM →|＝y 2＋5，AF →＝(2,1,0)，|AF →|＝5，∴cos θ＝|EM →·AF →||EM →||AF →|＝|y －2|5·y 2＋5＝2－y 5·y 2＋5.令t ＝2－y ，要使cos θ最大，显然0<t ≤2. ∴cos θ＝15×t 9－4t ＋t 2＝15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －232＋59≤15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫32－232＋59＝15×25＝25. 当且仅当t ＝2，即点M 与点Q 重合时，cos θ取得最大值25.]利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.2．如图所示，已知正四棱锥P -ABCD 底面边长为a ，高PO 的长也为a ，E ，F 分别是PD ，PA 的中点，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．利用空间向量处理平行问题1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ [提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A 和非零向量a ，就可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线．2．两条平行直线的方向向量有什么关系？[提示] 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb . 【例3】 (1)已知直线l ∥平面ABC ，且l 的一个方向向量为a ＝(2，m,1)，A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，则实数m 的值是________．(2)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .(1)－3 [AB →＝(1,0，－1)，AC →＝(0,1，－1)．因为l ∥平面ABC ，所以存在实数λ，μ，使a ＝λAB →＋μAC →， 即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝μ，－λ－μ＝1，解得m ＝－3.](2)[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)．所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)， 因为DA ⊂平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)， 即FC 1→＝0×DA →＋1×AE →，所以有FC 1⊂平面ADE 或FC 1∥平面ADE ， 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .1．(改变问法)本例3中若G ，H 分别为AD ，B 1C 1的中点．试求证EG ∥FH . 2．(改变问法)本例3条件不变，改为求平面ADE ∥平面B 1C 1F .(1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.1．思考辨析(1)直线l 的方向向量是唯一的．( )(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) (3)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量ka 也是直线l 的一个方向向量．( )2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1) 3．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25B.25 C ．－255D.2554．若AB →＝aCD →＋bCE →(a ，b 为实数)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系为________．。

案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。

如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。

②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。

知识点二 用向量方法证明平行关系。

（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。

（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。

（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。

（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。

知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。

由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。

（2）两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。