直线的方向向量

解析几何直线的方向向量
直线是解析几何中的重要概念之一，它是由一系列点组成的集合，而直线的方向向量则是描述直线方向的重要工具。

在解析几何中，我们经常需要研究直线的性质和特征，而方向向量则能够帮助
我们更好地理解直线的方向和倾斜。

首先，让我们来了解一下什么是直线的方向向量。

直线的方向
向量是指直线上的任意两点所确定的向量。

具体来说，如果直线上
有两个不同的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么向量AB = (x2 x1,
y2 y1)就是直线的方向向量。

需要注意的是，直线的方向向量并不
唯一，因为我们可以选择不同的点来确定方向向量，但它们都会指
向同一个方向。

直线的方向向量有许多重要的性质和应用。

首先，方向向量能
够帮助我们确定直线的倾斜程度。

如果两条直线的方向向量相等或
成比例，那么它们是平行的；如果两条直线的方向向量互为相反数，那么它们是垂直的。

这些性质对于解析几何中直线的位置关系和相
互作用非常重要。

其次，方向向量还可以帮助我们求解直线的参数方程和一般方
程。

通过已知直线上的一点和方向向量，我们可以很容易地得到直线的参数方程或一般方程，从而更好地描述直线的性质和特征。

总之，直线的方向向量在解析几何中具有重要的地位和作用，它能够帮助我们更好地理解直线的方向和倾斜，以及求解直线的参数方程和一般方程。

通过深入研究和理解直线的方向向量，我们可以更好地掌握解析几何的知识，从而更好地应用于实际问题的求解和分析中。

直线的方向向量定义
直线的方向向量通常指的是从直线的一个端点指向另一个端点的
向量，也即是直线的方向向量。

因此，定义直线的方向向量可以这样
表述：若直线由有限点A(x1,y1)和B(x2,y2)构成，则直线方向向量为
<u,v>，其中u = x2-x1,v = y2-y1，u, v分别是向量的水平和垂直分量。

相比于给定两点中，求直线的斜率显得更加方便，只要从给定的
两点中求出直线的方向向量，就能够轻松地求出直线的斜率。

比如对
于给定的两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线的斜率可以写成斜率 = v / u，其中u, v是直线方向向量的水平和垂直分量。

此外，定义直线的方向向量还可以帮助解决许多其他几何问题。

例如，可以计算两条直线与水平和垂直方向差多少度，从而判断它们
是否垂直或者平行。

只要求出它们对应的方向向量，就可以得出它们
与水平和垂直方向差多少度，然后通过相似比例来比较它们是否垂直
或者平行。

因此，定义直线的方向向量被广泛使用，它有助于解决许多几何
问题，可用于计算直线的斜率，也可以判断直线的垂直与平行关系。

由于其实用性，定义直线的方向向量对许多学科，如数学，机械设计，绘图等都有着重要的意义。

直线方向向量与平面法向量的关系直线方向向量与平面法向量的关系直线和平面是几何中重要的概念，它们的性质及关系在计算几何和分析几何中都有广泛的应用。

在研究直线和平面的性质时，经常需要掌握直线方向向量和平面法向量的关系。

下面将从几何角度阐述它们的关系，希望能够帮助大家理解。

一、直线的方向向量通过两点可确定一个直线，其中的向量称为该直线的方向向量。

方向向量的模表示该向量长度，在几何中也称为线段长度或距离，方向向量的方向表示直线的方向。

二、平面的法向量平面是一个有无数个点组成的二维平面，其法向量表示平面的法线方向。

在三维空间中，一个平面有且只有一个法向量。

平面法向量和法线的概念相似，但是区别在于，平面法向量只考虑向量的方向而不考虑长度。

三、直线与平面的关系1. 垂直关系当直线的方向向量和平面的法向量互相垂直时，称直线与平面垂直。

此时，平面的法向量与直线上任一向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量垂直。

垂直关系是直线和平面的特殊关系，它在计算几何和物理中都有很多应用。

2. 平行关系当直线的方向向量与平面的法向量平行时，称直线与平面平行。

此时，平面的法向量与直线上的向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量平行或反平行。

平行关系也是直线和平面的特殊关系之一，它在计算几何和工程中也很重要。

3. 斜交关系当直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行时，称直线与平面斜交。

此时，直线上的向量不能表示为平面法向量的倍数，也不能表示为平面任何二维向量的线性组合。

总之，直线方向向量与平面法向量的关系是几何中一个重要问题，它不仅涉及到几何，也与计算几何、物理、工程等学科有着深刻的关联。

有了对这一关系的深入理解，可以更好地掌握相关知识，并且应用到实际问题中去。

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量重点难点剖析1．空间直线的方向向量：如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(p n m s = ，那么s 的坐标p n m ,,称作这条直线的方向数， 而s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． 2．利用向量求距离的方法(1) 利用|AB|=|AB AB AB ∙可以求解有关距离问题；求线段的长度：2AB AB x ===(2) 设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是A ′B ′，则有|''A B |=|AB ·e |，由此可求点到线，点到面的距离问题。

其中以法向量的应用最常用。

求P 点到平面α的距离：||||PM n PN n ⋅=，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量）。

3．平面与方程平面方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,x y z ，则有0000Ax By Cz D +++=，从而有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.它表示过点0M 000(,,)x y z 且以{,,}n A B C =为法向量的一个平面方程，这个方程与0Ax By Cz D +++=是同解的，故三元一次方程表示平面。

方程0Ax By Cz D +++=为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}n A B C =.平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,A B C 和常数D 来确定。

当系数,,A B C 或常数D [中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0Ax By Cz ++=确定的平面过坐标原点；0By Cz D ++=的法向量为{0,,},n B C =表明这平面垂直于与x 轴；类似地，0Ax Cz D ++=确定的平面垂直于y 轴，0Ax By D ++=确定的平面垂直于z 轴；再者，0Ax D +=表示平行于坐标面yOz 的平面；0By D +=表示平行于坐标面xOz 的平面，0Cz D +=表示平行于坐标面xOy 的平面； 而0(0)Ax x =⇔=是坐标面yOz 的方程，0(0)By y =⇔=是坐标面xOz 的方程，0(0)Cz z =⇔=是坐标面xOy 的方程.典例分析例1 已知(3,0,4)AB =，AC =（5，-2，-14），求BAC ∠角平分线上的单位向量．分析 欲求角平分线上的单位向量，由于0a a a=，我们只需先在角平分线上求出任一向量，它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．解 ：在AB 、AC 上分别取'B 、'C ，使''AB AC =，以'AB 、'AC 为邻边作平行四边形''AC DB ，则''AD AB AC =+即为ABC ∠的平分线上的向量，特别的可取'AB 、'AC 为单位向量，'113,0,4)(3,0,4)5AB AB AB==-=-，'''112,14)(5,2,14)15AC AC AC ==--=--． 于是''11(3,0,4)(5,2,14)515AD AB AC =+=-+-- 352414(,0,)41515515=-+--2(2,1,1)15=-．AD 上的单位向量有两个向量，它们为(2,1,1)6AD AD±=点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例2 求△ABC 所在平面的单位法向量，其中A （－1，－1，0）、B （1，1，1）、C （3，4，3） 分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.解：∵，，，，，AB AC →=→=()()221453 设，，n x y →=()1则由··n AB n AC x y x y →→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++=++=⎧⎨⎩0022104530 ∴，，n →=-()1211于是单位法向量为±±，，＝±，，n n →→=--||()()231211132323点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.例3 设平面π过原点与点(6,3,2)M -，并且与平面1π：428x y z -+=垂直，求平面π的方程.解： 由π过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=，由过点M 得6320A B C -+=； 再由π⊥1π即1{,,}{4,1,2}n A B C n =⊥=-，得420A B C -+=；联立6320,420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩解得,3.2B AC A =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以平面π的方程为302x y z +-=，即 2230x y z +-=.点评：平面0Ax By Cz D +++=的法向量为{,,}n A B C =.例4 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离解：如图，设CD =4i ，=4j ，=2k ， 以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++)1(=++c b a ， ∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0B M G E ⋅=，BM EF ⋅=∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⋅--+=-⋅--+10)0,2,2()2,42,42(0)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==1131171115c b a ．∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴||11BM ⎛==故点B 到平面EFG 1111另法：∵(0,4,0B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G 设EFG 的方程为：0A x B y C z D +++=则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩取D ＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG 的方程为：360x y z ++-=， 所以点(0,4,0)B 到平面EFG的距离为：11d ===. 点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。

直线一般式方程求方向向量
在平面几何中，直线可以通过一般式方程来表示。

一般式方程的形式是Ax+By+C=0（其中A、B、C是常数，x和y是直线上的变量）。

如果我们想要求直线的方向向量，可以使用以下方法。

首先，我们需要将一般式方程转化为斜截式方程或点斜式方程。

斜截式方程的形式是y=mx+b，其中m是斜率，b是截距。

点斜式方程的形式是y-y1=m(x-x1)，其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。

接着，我们可以利用直线的斜率来求出直线的方向向量。

在平面直角坐标系中，斜率m等于直线的倾斜程度，也就是直线的方向角。

直线的方向向量就是沿着直线的方向角方向的一个向量。

在直角坐标系中，一个向量可以表示为 (x, y) 的形式，其中x和y分别代表向量沿着x轴和y轴的分量。

对于一条直线，它的方向向量可以表示为(1,m)或者任意倍数的(1,m)。

最后，我们还需要注意一点，当斜率不存在时，即直线是竖直的时，我们不能使用(1,m)的形式来表示方向向量，因为斜率不存在，此时我们可以使用(0, 1)或者任意倍数的(0, 1)来表示方向向量。

总之，直线的方向向量可以通过一般式方程转化为斜率方程或点斜式方程，然后通过斜率（或者方向角）来得到方向向量。

需要注意的是，当直线是竖直的情况时，我们不能使用(1,m)的形式来表示方向向量，而是使用(0,1)或者任意倍数的(0,1)。

直线的方向向量公式直线的方向向量公式是描述直线方向的一种数学表示方法。

在平面上，一条直线可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。

方向向量是一个有方向的线段，它的起点与给定点重合，终点则确定了直线的方向。

假设直线上的一点为P(x1, y1)，方向向量为v(a, b)，则直线可以表示为：L: {P(x, y) = P(x1, y1) + t*v(a, b)}其中，t为任意实数。

这个公式可以解释为：从点P(x1, y1)出发，沿着方向向量v(a, b)延伸，得到直线上的所有点P(x, y)。

当t取不同的值时，可以得到直线上的不同点。

对于三维空间中的直线，类似地，我们可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。

假设直线上的一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则直线可以表示为：L: {P(x, y, z) = P(x1, y1, z1) + t*v(a, b, c)}同样地，t为任意实数。

通过改变t的取值，我们可以得到直线上的所有点P(x, y, z)。

方向向量的选择对于直线的表示是任意的，只要它不是零向量即可。

在实际应用中，我们可以根据需要选择方便的方向向量，使得方程的形式更加简洁。

除了方向向量公式，直线还可以使用其他形式的方程来表示，如点斜式、两点式等。

这些表示方法在不同的情况下具有不同的优势和适用性。

直线的方向向量公式提供了一种简洁而有效的描述直线方向的方法。

通过给定一个点和一个方向向量，我们可以确定直线上的所有点。

这个公式在数学和物理等领域被广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。

希望通过本文的介绍，读者对直线的方向向量公式有了更深入的理解。

直线的方向向量
直线的方向向量是一种抽象概念，是指在三维平面中，描述直线的方向，即用一个矢量来表示直线的方向。

在空间中，如果沿直线移动，可以把它抽象为一个神经，沿着神经去走就可以抵达直线上的任何一点。

矢量是神经的方向，由方向向量来表示。

假设直线上有两个点A和B，用向量P表示：P=B-A。

因此，方向向量只表示一个方向，不包含大小。

方向向量可以用手绘图像或程序来绘制出来，通常以箭头的形状来表示，从箭头的尖端开始，就可以画出一条完整的直线。

方向向量也可以表示为一个三元组，如(x,y,z)，它们表示图像的三个基本方向：x表示向右，y表示向上，z表示向外。

也可以用旋转轴绘图来表示一个方向向量，它带有一个指向坐标轴的角度，这个角度表示了沿着旋转轴旋转的角度。

旋转轴的长度可以表示该方向向量的大小，长度为1的旋转轴可以表示本身或单位方向向量。

由此可见，方向向量是一种重要的抽象概念，它是在几何图形中常用来作为描述或表示图形建模的工具。

在三维游戏、图形设计等应用中，经常使用方向向量来帮助我们理解物体在三维空间中的运动方向、物体之间的关系等。

求直线方向向量的公式直线方向向量的公式是数学上用来表示直线方向的一种方法。

直线方向向量是指经过直线上的两个不同点的连线的向量，它与直线无关，只与直线上的两个点的选取有关。

在二维空间中，直线方向向量可以用向量的差表示；在三维空间中，直线方向向量可以用两点确定的向量表示。

首先，我们先来看二维空间中直线方向向量的表示方法。

假设有一条直线L，通过直线上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)。

直线方向向量记作→AB，它是向量→BA的相反向量。

直线方向向量的计算公式为：→AB=→B-→A其中，→AB表示直线方向向量，→B表示点B的位置向量，→A表示点A的位置向量。

进一步，假设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别由向量→A和→B表示，则直线方向向量的计算公式可以表示为：→AB=→B-→A=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j其中，→i和→j分别是二维空间中x轴和y轴的单位向量。

所以，直线方向向量可以表示为一个二维向量，其中的分量分别由两点的坐标差求得。

接下来，我们来看三维空间中直线方向向量的表示方法。

与二维空间类似，假设有一条直线L，通过直线上的两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。

直线方向向量记作→AB，它是向量→BA的相反向量。

直线方向向量的计算公式为：→AB=→B-→A其中，→AB表示直线方向向量，→B表示点B的位置向量，→A表示点A的位置向量。

进一步，假设两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)分别由向量→A和→B 表示，则直线方向向量的计算公式可以表示为：→AB=→B-→A=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j+(z2-z1)→k其中，→i，→j和→k分别是三维空间中x轴、y轴和z轴的单位向量。

所以，直线方向向量可以表示为一个三维向量，其中的分量分别由两点的坐标差求得。

总结起来，直线方向向量的公式可以表示为：二维空间：→AB=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j三维空间：→AB=(x2-x1)→i+(y2-y1)→j+(z2-z1)→k其中，→AB表示直线方向向量，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)分别是直线上的两个点的坐标，→i，→j和→k是坐标轴的单位向量。

空间直线的方向向量
嘿，咱今天来聊聊空间直线的方向向量呀！这玩意儿可神奇啦！就好像是给空间直线安上了一双翅膀，让它能在空间里自由自在地飞翔。

你想啊，一条直线在空间里，如果没有方向向量，那它不就像没头苍蝇一样乱撞嘛！但是有了方向向量，哇塞，那就完全不一样啦！它就有了明确的前进方向，就跟我们有了目标一样，充满了动力和活力。

空间直线的方向向量可以用一个向量来表示，这个向量就决定了直线的走向。

这就好像是给直线注入了灵魂，让它变得生动起来。

比如说，在一个三维空间里，有一条直线，它的方向向量是(1,2,3)，那这条直线就会朝着这个特定的方向延伸。

是不是很有意思呀？这就好像是给这条直线设定了一个导航，告诉它该往哪里走。

而且哦，方向向量还可以用来判断直线之间的关系呢！如果两条直线的方向向量平行，那这两条直线就是平行的呀！这多简单明了。

再想想，我们生活中其实也有很多类似的情况呀。

就好比我们要去一个地方，我们得知道往哪个方向走，这就像是直线的方向向量一样。

没有方向，那可就糟糕啦，说不定就会迷路呢！
空间直线的方向向量还能帮助我们解决很多实际问题呢。

在工程学、物理学等领域，都有着广泛的应用。

它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

总之，空间直线的方向向量真的是太重要啦！它让空间直线变得有意义，有价值。

它就像是黑暗中的一盏明灯，为我们指引着前进的方向。

我们可千万不能小瞧它呀！。

第2课时 直线的方向向量与法向量学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．知识点一 直线的方向向量定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)a ＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y 轴垂直)的直线的一个方向向量． b ＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x 轴垂直)的直线的一个方向向量．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(4)如果直线l 的倾斜角为θ，则a ＝(cos θ，sin θ)为直线l 的一个方向向量． 如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线l 的一个方向向量． (5)如果a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则 当u ＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 当u ≠0时，直线的斜率存在，且k ＝tan θ＝v u .知识点二 直线的法向量定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．(2)当x 0，y 0不全为0时，若a ＝(x 0，y 0)为直线l 的方向向量，则v ＝(y 0，－x 0)为直线l 的法向量；若v ＝(x 0，y 0)为直线l 的法向量，则a ＝(y 0，－x 0)为直线l 的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量．( √ ) 2．一条直线的所有方向向量都共线．( √ )3．如果a 为直线l 的法向量，则λa (λ≠0)也是直线l 的法向量．( √ )4．直线l 的一个方向向量为a ＝(2，－1)，则v ＝(2,1)为直线l 的一个法向量．( × )一、直线的方向向量例1 (1)直线l 过点P (1，－3)，Q (4，3－3)，求直线l 的一个方向向量、斜率和倾斜角． 解 方法一 PQ →＝(4，3－3)－(1，－3)＝(3，3)． ∴PQ →＝(3，3)为直线l 的一个方向向量， ∴k ＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. 故该直线的斜率为33，倾斜角为30°. 方法二 k PQ ＝(3－3)－(－3)4－1＝33，∴tan θ＝33，∴θ＝30°. 直线l 的一个方向向量a ＝(1，k )＝⎝⎛⎭⎫1，33. (2)平面内点A (－1，－5)，B (2,1)，C (4,5)，证明：A ，B ，C 三点共线． 解 方法一 k AB ＝1－(－5)2－(－1)＝63＝2，k AC ＝5－(－5)4－(－1)＝105＝2.∵k AB ＝k AC ，∴A ，B ，C 三点共线． 方法二 AB →＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)， AC →＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝53AB →.∴AB →∥AC →，又AB →与AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．反思感悟 直线的方向向量的求法(1)在直线上任找两点P ，Q ，则PQ →(QP →)为直线l 的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k ，则a ＝(1，k )为直线的一个方向向量．(3)a ＝(t ,0)(t ≠0)表示与x 轴平行或重合的直线的方向向量，a ＝(0，t )(t ≠0)表示与y 轴平行或重合的直线的方向向量．跟踪训练1 (1)直线l 的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________． 答案 －33 ⎝⎛⎭⎫1，－33 解析 ∵θ＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33. ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1，－33为直线的一个方向向量． (2)直线l 过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l 的方向向量为a ＝(m ，n )，则mn ＝________. 答案 0解析 依题意，直线l 垂直于x 轴，∴m ＝0，n 为任意非零实数，∴mn ＝0. 二、直线的法向量例2 (1)直线l 过点A (－1,3)和B (3,2)，则直线l 的法向量为( ) A ．(－1,4) B ．(2,5) C ．(5，－2) D ．(－1，－4)答案 D解析 AB →＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l 的一个方向向量， ∴直线l 的法向量v ＝(－1，－4)．(2)直线l 的法向量为v ＝(3，－3)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________． 答案3330° 解析 v ＝(3，－3)为直线l 的法向量， 则a ＝(－3，－3)为直线l 的方向向量． ∴k ＝－3－3＝33，∴tan θ＝33，θ＝30°. ∴直线l 的斜率为33，倾斜角为30° 反思感悟 直线的法向量的求法若直线的方向向量为a ＝(x 0，y 0)，则直线的法向量v ＝(y 0，－x 0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．跟踪训练2 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的法向量所在直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 答案 A解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°， 又直线PQ 的法向量与直线PQ 垂直， 故PQ 的法向量所在直线的倾斜角为30°. 三、直线的方向向量和法向量的应用 例3 (1)直线l 的方向向量为⎝⎛⎭⎫cos α，32sin 2α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z ，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π 解析 ∵α≠π2＋k π，k ∈Z ，∴cos α≠0，sin α≠±1.令直线l 的倾斜角为θ， ∴tan θ＝32sin 2αcos α＝3sin α.∵sin α∈(－1,1)， ∴tan α∈(－3，3)， ∴又θ∈[0，π)， 故θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫2π3，π. (2)直线l 上两点A (－2,3)，B (4，m )，若直线l 的法向量为v ＝(2，－3)，则m ＝________. 答案 7解析 AB →＝(4，m )－(－2,3)＝(6，m －3)，∴AB →为直线l 的一个方向向量． ∴AB →⊥v ，∴6×2＋(－3)·(m －3)＝0， ∴m ＝7.反思感悟 直线的方向向量与法向量的关系一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的．跟踪训练3 已知a >0，b >0，且向量u ＝(a ,3)和v ＝(1－b ,2)都是直线l 的法向量．求2a ＋3b 的最小值．解 ∵u ，v 都是直线l 的法向量，则u ∥v ， ∴2a －3(1－b )＝0， 即2a ＋3b ＝3，∴13(2a ＋3b )＝1，且a >0，b >0. ∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·13(2a ＋3b ) ＝13⎝⎛⎭⎫4＋9＋6b a ＋6a b ＝133＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥133＋2×2b a ×a b ＝253， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝35时，等号成立．∴当a ＝b ＝35时，2a ＋3b 最小为253.1．直线过点(－3,0)，(－2，3)，则该直线的一个方向向量为( ) A ．(－1，3) B ．(1，－3) C ．(1，3) D ．(5，3)答案 C解析 直线的方向向量为a ＝(－2，3)－(－3,0)＝(1，3)． 2．直线AB 的方向向量a ＝(3，－3)，则该直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°答案 D解析 a ＝(3，－3)＝3⎝⎛⎭⎫1，－33， ∴k ＝－33， ∴tan θ＝－33，又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°. 3．直线l 1与l 2的法向量分别为v 1＝(2，－3)，v 2＝(3，－1)，则直线l 1与l 2的斜率k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1＝k 2 C ．k 1<k 2 D ．不确定答案 C解析 v 1＝(2，－3)，则l 1的方向向量a 1＝(－3，－2)， ∴斜率k 1＝－2－3＝23.v 2＝(3，－1)，则l 2的方向向量a 2＝(－1，－3)， ∴斜率k 2＝－3－1＝3，∴k 2>k 1.4．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a ＝(4，m )，则m 的值为( ) A.433 B ．－4 3 C ．4 3 D ．－34答案 B解析 θ＝120°，∴k ＝tan 120°＝－ 3. ∴直线的一个方向向量为a 0＝(1，－3)， ∵a ∥a 0，∴1×m －4×(－3)＝0，∴m ＝－4 3.5．已知向量m ＝(a ，a 2＋1)(a ≠0)，直线AB 的一个方向向量为n ，则m 与n 共线，则直线AB 的斜率的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵m ∥n ，∴m ＝(a ，a 2＋1)为直线AB 的一个方向向量， ∴k AB ＝a 2＋1a ＝a ＋1a.①当a >0时，a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时取等号，所以a ＋1a∈[2，＋∞)．②当a <0时，a ＋1a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－a )＋1(－a )≤－2，当且仅当(－a )＝1(－a )，即a ＝－1时取等号， 所以a ＋1a∈(－∞，－2]．综上有k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．知识清单： (1)直线的方向向量． (2)直线的法向量．(3)直线的方向向量和法向量的应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．1．直线AB 的方向向量为a ＝(3－1,2)，则直线AB 的斜率为( ) A.3＋1 B.3－1 C.3－12D.3＋12答案 A解析 a ＝(3－1,2)， ∴k ＝23－1＝3＋1. 2．过点A (2，3)，B (0，－2)的直线的一个法向量为( ) A ．(－5，－2) B ．(－2，－5) C ．(－5，2) D ．(5，2)答案 C解析 AB →＝(0，－2)－(2，3)＝(－2，－5)为直线的一个方向向量， 所以该直线的一个法向量v ＝(－5，2)．3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v ＝(m ，m ＋1)，则m 的值为( ) A ．1－ 3 B.3＋1 C.3＋32D ．－3＋32答案 D解析 k ＝tan 120°＝－3，∴直线的一个方向向量为a ＝(1，－3)． ∴a ⊥v ，又v ＝(m ，m ＋1)， ∴m －3(m ＋1)＝0， 解得m ＝－3＋32.4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的BC 边所在的直线的方向向量为a ＝(－3，0)，则AC 与AB 所在直线的斜率之和为( ) A ．－2 3 B ．0 C. 3 D ．2 3 答案 B解析 a ＝(－3，0)，∴BC 所在直线的斜率为0. 又△ABC 为等边三角形，∴AB 与AC 所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴k AB ＋k AC ＝tan 60°＋tan 120°＝0.5．(多选)已知直线l 过点A (4,2)，B (－1,2＋3)，则直线l 的方向向量可以是( ) A ．(－5，3) B ．(5，－3) C ．(3，5) D ．(53，－3) 答案 ABD解析 直线l 的一个方向向量为AB →＝(－1,2＋3)－(4,2)＝(－5，3)， 所以与AB →共线的向量都能作为直线的方向向量， 故选ABD.6．(多选)下列说法正确的是( )A ．若直线垂直于y 轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)B ．若直线的一个方向向量为(a ，a ＋1)，则该直线的斜率为k ＝a ＋1aC ．若直线的法向量为v ＝(x 0，y 0)，则a ＝(y 0，－x 0)能作为该直线的一个方向向量D ．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的 答案 ACD解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A ，C ，D 正确， 选项B 中当a ＝0时，不成立，故选ACD.7．直线l 的一个法向量为u ＝(3，－3)，则直线l 的倾斜角为________． 答案 π3解析 直线l 的法向量为u ＝(3，－3)， 则直线l 的一个方向向量a ＝(－3，－3)， 则斜率k ＝－3－3＝ 3.∴tan θ＝3，且θ∈[0，π)， 故θ＝π3.8．直线l 过点A (2，a )，B (3,1)，C (b ，－2)，则1a ＋3b ＝________；若直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－3)，则 a ＋b ＝________. 答案 1152 解析 AB →＝(1,1－a )， BC →＝(b －3，－3)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴－3－(1－a )(b －3)＝0， 即(a －1)(b －3)－3＝0. ∴ab －3a －b ＝0.∴3a ＋b ＝ab ，同除以ab 得3b ＋1a ＝1，若m ＝(2，－3)为直线l 的一个方向向量， 则m ∥AB →，m ∥BC →∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－(1－a )×2＝0，－6＋3(b －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝5，∴a ＋b ＝152.9．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (2m －1,1)． (1)当m 为何值时，直线的倾斜角为锐角；(2)若直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)，求m 的值． 解 (1)倾斜角θ为锐角，则k ＝tan θ>0， 又k ＝2m ＋5－1(m ＋3)－(2m －1)＝2m ＋4－m ＋4>0，即(m ＋2)(m －4)<0， 解得－2<m <4.(2)直线的方向向量为a ＝(0，－2 020)， ∴直线的斜率不存在．故M ，N 两点的直线垂直于x 轴． ∴m ＋3＝2m －1，即m ＝4.10．已知菱形四边形ABCD 中，点A (－1，－2)，B (2,1)，直线BC 的方向向量为a ＝(3,6)，BD 的法向量为v ＝(－2，－3)，求点C 的坐标． 解 设点C 的坐标为(x 0，y 0)，BC →＝(x 0－2，y 0－1)． ∴BC →∥a ，∴(x 0－2)×6－3(y 0－1)＝0， 即2x 0－y 0－3＝0.①又AC →＝(x 0＋1，y 0＋2)，四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AC →为BD 的一个法向量， ∴AC →∥v ，－2(y 0＋2)＋3(x 0＋1)＝0，即3x 0－2y 0－1＝0.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝7.∴点C 的坐标为(5,7)．11．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线PQ 绕点P 逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )A ．(－3，1)B ．(3，－1)C ．(－1，3)D ．(－3，－3)答案 D解析 k PQ ＝－3，∴PQ 的倾斜角为120°.绕点P 逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，∴k ＝tan 60°＝ 3.∴所得直线的一个方向向量为a ＝(1，3)，所以与a 共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.12．将直线l 沿y 轴负方向平移a (a >0)个单位长度，再沿x 轴正方向平移(a ＋1)个单位长度，得到直线l ′，此时直线l ′与l 重合，若直线l 的方向向量为a ＝(2，－1)，则a 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 设直线l 上一点为A (m ，n )，则平移后的坐标为A ′(m ＋a ＋1，n －a )．∵A 与A ′都在直线l 上，∴AA ′——→＝(m ＋a ＋1，n －a )－(m ，n )＝(a ＋1，－a )为直线l 的一个方向向量．∴AA ′——→∥a ，∴－2a ＋(a ＋1)＝0，∴a ＝1.13．直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－π2，3π4B.⎣⎡⎦⎤0，3π4C.⎣⎡⎦⎤3π4，πD.⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 D解析 直线l 的法向量为v ＝(1，a 2＋1)，∴方向向量a ＝(a 2＋1，－1)，k ＝－1a 2＋1＝－1a 2＋1. 又∵a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1. ∴k ∈[－1,0)，∴tan θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.14．已知点A (－3，－1)，B (1，a )，C (5，a 2＋1)，若A ，B ，C 不能构成一个三角形，则a 的值为________．答案 0或2解析 ∵A ，B ，C 不能构成一个三角形，∴A ，B ，C 三点共线．AB →＝(4，a ＋1)，AC →＝(8，a 2＋2)，∴AB →∥AC →，4(a 2＋2)－8(a ＋1)＝0，即a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当a ＝0或a ＝2时，A ，B ，C 三点共线，不能构成三角形．15．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，若直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则直线l 的斜率的取值范围为____________．答案 [－3，－1]解析 直线l 的方向向量为a ＝(2x ，－3y )，则k ＝－3y 2x ＝－32·y x， ∵y x ＝－2x ＋8x ＝－2＋8x， 又∵2≤x ≤3，∴83≤8x≤4， ∴23≤y x≤2， ∴－3≤－32·y x≤－1， 即k ∈[－3，－1]．16．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)是函数y ＝x 3的图像上任意三个不同的点．求证：若A ，B ，C 三点共线，则x 1＋x 2＋x 3＝0.证明 ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，AC →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)， ∴(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0，即(x 2－x 1)(x 33－x 31)－(x 3－x 1)(x 32－x 31)＝0.∴(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 3－x 1)(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)[(x 23＋x 3x 1＋x 21)－(x 22＋x 2x 1＋x 21)]＝0，即(x 2－x 1)(x 3－x 1)(x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1)＝0.又A ，B ，C 三点不共点，∴x 1≠x 2，x 1≠x 3，x 2≠x 3， ∴x 23＋x 3x 1－x 22－x 2x 1＝0， 即(x 3－x 2)(x 3＋x 2)＋x 1(x 3－x 2)＝0，即(x 3－x 2)(x 3＋x 2＋x 1)＝0，∵x 2≠x 3，∴x 1＋x 2＋x 3＝0，即证原等式成立．。

直线的方向向量公式直线是几何学中的基本概念之一，它具有许多重要的性质和特征。

其中一种关键性质就是方向，也被称为方向向量公式。

方向向量公式是用来描述直线方向的一种方法。

方向向量公式表示了直线上所有点的坐标与一个特殊向量的关系。

这个特殊向量被称为方向向量，它可以用来确定直线的方向和倾斜程度。

方向向量通常用一个有序对 (a,b) 来表示。

假设有一条直线 L，通过一个已知的点 P(x0,y0)，并且有一个方向向量 (a,b)。

那么，L 上的每一个点 Q(x,y) 都满足以下关系式：(x - x0) / a = (y - y0) / b以上方程可以通过简单的推导得到。

由于方向向量 (a,b) 描述了直线 L 的倾斜方向，我们可以令 (a,b) 表示直线上的两个点A(x1,y1) 和 B(x2,y2) 的坐标差值。

我们知道，直线上的任意两个点的坐标都满足这样的关系：(x2 - x1) / a = (y2 - y1) / b我们可以将点 A 的坐标代入此方程，得到：(x - x0) / a = (y - y0) / b因此，方向向量公式能够用来描述直线上所有点的关系式。

方向向量具有一些重要的性质和应用。

首先，直线上的任意两个不同的方向向量是平行的，因为它们具有相同的斜率（即 a/b）。

这意味着，如果我们有直线 L1 通过点 P1(x1,y1)，具有方向向量(a,b)，那么任意点 P2(x2,y2) 在直线 L1 上的向量 (a,b) 和直线L2 上的向量 (a',b') 平行。

这一性质可以方便地用来比较和判断直线的关系。

其次，方向向量可以用来确定直线的倾斜程度。

如果方向向量的分量 a=0，那么直线的斜率将不存在，表明直线垂直于 x 轴。

类似地，如果方向向量的分量 b=0，那么直线垂直于 y 轴。

通过分析方向向量的分量，我们可以推断出直线的倾斜方向和形态。

最后，方向向量也可以用来构造直线的参数方程。