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i 1
是 C 上点 Mi 处 相应于所给方向的单位切线向量。
如果当 d 0 时，和式的极限总存在，则称此极限为
5
第五章 多元函数微分学及其应用
向量值函数（或向量场） A( x, y, z) 沿有向曲线 C 的
第二型曲线积分，记作 CA ( x, y, z)T( x, y, z)ds ，即:
n
A( C
Ai-1 Ai
Mi
Ti
A Ao
o
y
x
3
第五章 多元函数微分学及其应用
求和： 力场 F 所作的功的近似值为
n
n
W Wi F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )] ，
i 1
i 1
取极限：令 d m1ianx{si } ，则力场 F 所作的功为
n
W
lim d 0
i 1
6
第五章 多元函数微分学及其应用
设向量值函数 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k ，
∵T
1
{dx, dy,dz} 1 {dx, dy, dz} 。
(dx)2 (dy)2 (dz)2
ds
∴ ATds A{dx, dy, dz} Pdx Qdy Rdz 。
（2）当平面曲线 C 为 y y( x), a x b ， 起点 x a ，
终点 x b ，则有
C A( x, y) ds C Pdx Qdy
b{P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)] y( x)}dx 。 a
第七章 向量值函数的积分
第二型曲线积分 Green公式
曲线积分与路径无关
第五章 多元函数微分学及其应用
一、第二型曲线积分
1、 第二型曲线积分的概念与性质
引例：变力沿曲线所作的功
设有一空间力场 F F(x, y, z) ，一质点在力场 F 的作用下 ，
沿空间光滑曲线 C 从 A 点移到 B 点，求力场 F 所作的功 W 。
R[x(t), y(t), z(t)]z(t)]}dt
10
第五章 多元函数微分学及其应用
注（1）当 C 是平面曲线，其参数方程为 x x(t), y y(t) 时，
则有 C A( x, y) ds C Pdx Qdy
{P[ x(t), y(t)]x(t) Q[ x(t), y(t)] y(t)}dt 。
∴第二型曲线积分也可记作
C P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz ，
上式是第二型曲线积分的数量形式或坐标形式，因此 第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。
7
第五章 多元函数微分学及其应用
通常将Tds 记为ds ，即 ds {dx,dy,dz}， ds 称为弧长向量微元。
（1） C (A B) ds C A ds C B ds ；
（ , 为常数）
（线性性质）
（2） A ds A ds A ds ；
C
C1
C2
其中C C1 C2, C1与C2首尾相接.（对积分弧段的可加性）
（3） A ds - A ds 。
C-
C
其中C -是与 C 反方向的有向曲线弧。 （方向性）
把 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai (i 1,2, , n),
⌒
Ai-1 Ai
⌒ 的长度记为 si，令d m1ianx{si } ， Mi (i ,i , i ) Ai-1 Ai ，
n
作和式 A(i ,i , i ) Ti (i ,i , i )si ，其中Ti T(i ,i , i )
曲线弧 C。设 A( x, y, z) {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} 在 C 上
连续，则
C A( x, y, z) ds C Pdx Qdy Rdz
{P[x(t), y(t), z(t)]x(t) Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)
z 分割： 任取点列 A, A1 , A2 , An-1 , An ，
把曲线段 C 任意分成 n 个有向小弧段
⌒
Ai-1 Ai (i
1,2,
, n)
，第
i
段弧
⌒
Ai-1 Ai
A1
A2
的长度记为 si 。
A Ao
o
x
B An Ai-1 Ai
Mi
y
2
第五章 多元函数微分学及其应用
近似：
M i
( i
,i
9
第五章 多元函数微分学及其应用
4、第二型曲线积分的计算
定理 1.1 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x(t) , y y(t) ，
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当
t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
,
i
)
⌒
Ai-1 Ai
，则质点沿曲线
C
从点
Ai -1
移动到 Ai 时 ，力场 F 所作 的功
Wi Fi [siTi ] F(i ,i , i )[siTi (i ,i , i )]
z
其中Ti T(i ,i , i ) 是质点在
点 Mi 处沿曲线 C 的单位 切线向量。
A2 A1
B An
则第二型曲线积分的向量形式为 C A ds 。
若 C 为平面有向光滑曲线弧，向量值函数
A( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j ，则有
CA ds C P( x, y)dx Q( x, y)dy 。
8
第五章 多元函数微分学及其应用
3、第二型曲线积分的性质
设 A A( x, y, z) ， B B( x, y, z) ，则
F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )]
n
lim
d 0
i 1
F (i
,i
,
i
) Ti
( i
,i
,
i
)si
。
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第五章 多元函数微分学及其应用
2、第二型曲线积分的定义
设 C 是向量场 A( x, y, z) 所在空间中一条以 A 为起点，B 为
终点的有向光滑曲线弧。用分点 A A, A1, A2 , An-1, An B ，
x,
y,
z)
T
(
x,
y,
z)ds
lim
d 0
i 1
A(i
,i
,
i
)
Ti
(i
,i
,
i
)si
可以证明，当 A( x, y, z) 在有向光滑曲线 C 上连续时，
C A( x, y, z)T( x, y, z)ds 必存在。
引例中力场 F 所作 的功可以表示为
W C F ( x, y, z) T ( x, y, z)ds 。
