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三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数正文:考虑三维球对称谐振子，其势能函数为 $V(r)$,其中 $r$ 为球谐振子的半径。
在该函数中，球谐振子的势能随着半径的减小而增加。
由于球谐振子是对称的，因此我们只需要在球心处放置一个粒子，即可满足对称性。
在直角坐标系中，球谐振子的势能函数可以表示为:$$V(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$其中 $omega$ 为球谐振子的角频率。
为了求解薛定谔方程，我们使用分离变量法。
将球谐振子的能量写成 $E(r)$,其中 $E$ 为能量。
然后，我们将 $E(r)$ 代入薛定谔方程中，并分离变量:$$frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} (r^2 frac{partial psi}{partial r}) + left[ frac{1}{r^2} frac{partial^2}{partial theta^2} + frac{partial^2}{partial phi^2} - frac{2}{r} + E(r) ight] psi = 0$$由于球谐振子是对称的，因此 $psi(theta, phi) = psi(r)$。
在分离变量的过程中，我们得到了球谐振子的能级公式:$$E(r) = frac{1}{2} omega^2 r^2$$同时，我们也得到了球谐振子的波函数:$$psi(r) = frac{1}{r^2} sqrt{frac{pi}{2}} r^2$$ 拓展:球谐振子的能级公式和波函数是在直角坐标系中求解得到的。
实际上，球谐振子的薛定谔方程可以在任何坐标系中求解。
在球谐振子的薛定谔方程中，角频率 $omega$ 和半径 $r$ 是独立的变量。
因此，我们可以在不同的坐标系中求解薛定谔方程，并得到不同的能级公式和波函数。
球谐振子的能级公式和波函数是一个重要的结果，它可以帮助我们更好地理解球谐振子的性质。
三维球对称谐振子在直角坐标系中由分离变量法求解定态薛定谔，给出能级公式和波函数三维球对称谐振子是一个在三维球坐标系中具有球对称性的体系，其哈密顿量可以表示为：\[H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2r^2\]其中，\(\hbar\)是约化普朗克常数，\(m\)是质量，\(\omega\)是频率，\(r\)是径向距离。
根据分离变量法，可以将波函数表示为径向部分和角向部分的乘积形式：\[\psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y(\theta,\phi)\]由于体系具有球对称性，角向部分的函数\(Y(\theta,\phi)\)可以表示为球谐函数的形式：\[Y(\theta,\phi) = f(\theta)g(\phi)\]将波函数代入薛定谔方程得到：\[\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +\frac{1}{2}m\omega^2r^2\right)R(r)f(\theta)g(\phi) = ER(r)f(\theta)g(\phi)\]根据球坐标系中的拉普拉斯算符的表达式，可以展开薛定谔方程为：\[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partialR}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2g}{\partial \phi^2} +\frac{2m}{\hbar^2}\left[E - \frac{1}{2}m\omega^2r^2\right]Rfg = 0\]接下来，我们通过分离变量的方法对方程进行求解。
<<电磁场与电磁波>>读书报告姓 名：学 院： 学 号：专 业：题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩：二〇一四年四月Xxx工程学院电子工程类一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。
在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。
分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。
而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。
求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。
这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。
这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。
二．内容1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。
它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。
我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法.2.推导过程:直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 x y zϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂我们假设是三个函数的乘积,即(,,)()()()x y z X x Y y Z z ϕ=其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得0X Y Z X Y Z''''''++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。
由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则当α2<0时，令α=jk x(k x为正实数)，则或当α2>0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。
4.9 分离变量法的原理与应用1.分离变量法的原理和步骤2.直角坐标系中的分离变量法3.圆柱坐标系中的分离变量法4.球坐标系中的分离变量法1.分离变量法的原理和步骤◆分离变量法的理论基础：惟一性定理◆分离变量法的原理：经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程来求解。
分离变量法的主要步骤：(1) 根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式，及其边界条件。
(2) 经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解。
(3) 利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得该问题的特解。
22220x yφφ∂∂+=∂∂(,)()()x y X x Y y φ=22221d ()1d ()0()d ()d X x Y y X x x Y y y+=◆本征函数2221d ()()d x X x k X x x =-2221d ()()d y Y y k Y y y=-220x yk k +=◆本征方程◆本征值2. 直角坐标系中二维拉普拉斯方程的分离变量法(1) 变量分离(2) 本征方程的求解01020()X x A x A =+01020()Y y B y B =+110201020(,)()()x y A x A B y B φ=++2221d ()()d x X x k X x x=-2221d ()()d y Y y k Y y y=- a. 当时0x y k k ==221d ()0()d X x X x x=221d ()0()d Y y Y y y=可得：21212(,)(cos sin )(cosh sinh )m m m m m m m m x y A k x A k x B k y B k y φ∞=++∑b. 当时，设20xk >(1,2,,)x m k k m ==∞j j 12()eem m k xk xm m m X x A A -=+12()eem m k yk ym m m Y y B B -=+或222d ()()d m X x k X x x=-222d ()()d m Y y k Y y y=220xyk k +=由y mk jk =本征方程为：则：()()()()1212()cos sin ()cosh sinh m m m m m m m m m m X x A k x A k x Y y B k y B k y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩31212(,)(cosh sinh )(cos sin )m mm m m m m m x y A k x A k x B k y B k y φ∞''''''''=++∑12()e e mmk x k x m m m X x A A ''-''=+j j 12()ee m mk y k y m m m Y y B B ''-''=+1212()cosh sinh ()cos sin m m mm m m m mm m X x A k x A k x Y y B k y B k y ''''=+⎧⎨''''=+⎩c. 当时，设20x k <j (1,2,,)x mk k m '==∞220xy k k+=由y mk k '=222d ()()d m X x k X x x '=222d ()()d mY y k Y y y'=-本征方程为：或则：d. 应用叠加原理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解()()()()()()()()102010201212112121(,)()()cos sin cosh sinh cosh sinh cos sin mm m m m m m m m m mmm m m m m m x y A x A B y B Ak x A k x B k y B k y A k x A k x B k y B k y φ∞=∞==++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦''''''''++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑(3) 根据边界条件，确定通解中的待定常数，获得方程的特解。
