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Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数Abstracts :以3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解 引入各种柱函数（Bessel 函数、虚宗量Bessel 函数 和球Bessel 函数等）。
在分析这些函数性质的基础上， 表述相应定解问题的物理解。
一、柱坐标下的变量分离1. 柱坐标系下的稳定问题（Laplace 方程）222222110,u u uu zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ （1） 即：()22110.zz u u u u ρϕϕρρρρ∇=++= （2）令(,,)()()()u z R Z z ρϕρϕ=Φ，代入（2）得：()20.Z RZ R R Z ρρρΦ''''''+Φ+Φ= （3）2(3)R Zρ⨯Φ得：()2'.R Z RZρρρλ'''''Φ+=-=Φ（4） 分离变量得：()20.(5)'.(6)R Z R Zλρρρλ''Φ+Φ=⎧⎪'⎨''+=⎪⎩（5）与周期性边界条件(0)(2),(0)(2)ππ''Φ=ΦΦ=Φ构成本征值问题。
解得：2 (0,1,2,3,),m m m λ== (){cos ,sin }.m m m ϕϕϕΦ= （6）即为()22'R Z mRZρρρ'''+=⇒分离变量()22'.R m Z RZρμρρ'''-=-=- 得：()2220.0.Z Z R R m R μρρμρ''-=⎧⎪⎨'''++-=⎪⎩ 这两个方程，先求解哪一个以及μ如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。
如果()R ρ构成本征值问题，则()2220,R R m R ρρμρ'''++-=式中μ的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。
柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。
结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。
因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。
思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。
对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。
Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数Abstracts以3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球Bessel 函数等12个Bessel 函数）。
在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。
一、柱坐标下的变量分离1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D ，Laplace 方程）222222110,u u uu zρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭ （1） 即：()22110.zz u u u u ρϕϕρρρρ∇=++= （2）只要实空间可分离变量，就可令(,,)()()()u z R Z z ρϕρϕ=Φ，将其代入方程（2）得：()20.ZRZR R Z ρρρΦ''''''+Φ+Φ= （3）2(3)R Z ρ⨯Φ得： ()2'.R Z R Z ρρρλ'''''Φ+=-=Φ （4） 由这种分离变量得：()20.(5)'.(6)R Z R Zλρρρλ''Φ+Φ=⎧⎪'⎨''+=⎪⎩方程（5）与周期性边界条件(0)(2),(0)(2)ππ''Φ=ΦΦ=Φ构成本征值问题。
解得：2 (0,1,2,3,),m m m λ== (){cos ,sin }.m m m ϕϕϕΦ= 方程（6）即为()22'R Z mRZρρρ'''+=⇒分离变量()22'.R m Z RZρμρρ'''-=-=- 得： ()2220.0.Z Z R R m R μρρμρ''-=⎧⎪⎨'''++-=⎪⎩这两个方程，先求解哪一个以及μ如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题，也就是取决于定解问题的边界条件。
柱坐标系波动方程分离变量法范文模板及概述1. 引言1.1 概述柱坐标系波动方程分离变量法是求解波动方程的一种常用方法。
在物理学和工程领域中，波动方程广泛应用于描述和预测各种波动现象，例如声波、光波、电磁波等等。
而柱坐标系是一种特殊的坐标系，在涉及到圆柱形结构或具有旋转对称性的问题中常被采用。
1.2 文章结构本文将首先介绍柱坐标系的基本概念和性质，然后简要说明波动方程及其在物理学中的重要性。
接着，我们将详细讨论分离变量法在柱坐标系下求解波动方程的原理和步骤。
随后，将逐步展示如何应用分离变量法解决径向方程和角向方程两个子问题。
在第四部分中，我们将探讨该方法存在的局限性，并提出了两种改进方法：广义分离变量法和数值求解方法。
最后，在结论与展望部分总结本文要点并探讨未来研究方向。
1.3 目的本文旨在详细介绍柱坐标系波动方程分离变量法的原理、应用步骤以及求解过程，使读者能够了解和掌握该方法在求解波动方程中的重要性和实际应用。
同时，我们也将探讨分离变量法存在的局限性，并提出两种改进方法，以便读者能够深入思考和研究其他更有效的数值解法或数学工具来处理涉及柱坐标系波动方程的问题。
2.柱坐标系波动方程分离变量法2.1 柱坐标系介绍柱坐标系是一种常见的三维坐标系，在该坐标系中，空间点由径向距离、极角和高度（或轴向距离）三个参数来确定。
柱坐标系广泛应用于涉及圆柱体或具有旋转对称性的问题的描述和分析。
2.2 波动方程简介波动方程描述了波的传播行为，是物理学中一个基本的偏微分方程。
在三维空间中，波动方程可以用来描述多个自变量下的波传播情况。
在柱坐标系中，波动方程可以表示为径向、角向和轴向变量的函数。
2.3 分离变量法原理分离变量法是一种常见而有效的数学方法，用于求解偏微分方程。
其基本思想是将多元函数拆解成几个单元函数相乘（或相加）的形式，并利用这些单元函数满足各自独立的普遍微分方程来求解整个问题。
在柱坐标系中应用分离变量法解决波动方程时，我们将待求解函数表示为一个径向部分与一个角向部分的乘积。
第5章 柱坐标下的分离变量法（柱函数）§5.1 极坐标下的分离变量法本节讨论：①二维调和方程的分离变量法，②圆形域内发展方程的分离变量法⒈ 二维调和方程的分离变量法▲圆域定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧=<+==+=∆=),()(0222y x f u R y x r u u u R r yy xx （圆域、圆柱域） (5.1.1)对圆型区域总是采用极坐标（cos ,sin x r y r ϕϕ==），定解问题可写为222222110(,02)(cos ,sin )()r R u u uu r R r r r r u f R R f ϕπϕϕϕϕ=⎧∂∂∂∆=++=<<<⎪∂∂∂⎨⎪==⎩ (5.1.2)①离变量：令()()u R r ϕ=Φ代入定解问题，得0=Φ+Φ''λ， 02=-'+''R R r R r λ (5.1.3)②但由于定解条件属非齐次的，不能直接分离。
寻找新的（自然）条件；根据定解问题的特点，我们寻求的解应该存在唯一解。
由固有值理论，可以对第一个方程补充周期性条件：(,)(,2)u r u r ϕϕπ=+，即()(2)ϕϕπΦ=Φ+。
因此有方程：()(2)λϕϕπ''Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩(5.1.4) 可求得，其特征值2(0,,)n n n λ==⋅⋅⋅∞，特征函数为：2/)(00C =Φθ ()cos sin n n n C n D n θϕϕΦ=+ (5.1.5)③而关于R 的方程变为欧拉方程：022=-'+''R n R r R r ，它的通解为：r B A R ln 000+= 和 n n n n n r B r A R -+= (5.1.6)④拉普拉斯方程的通解为：01ln ()(cos sin )2n n n n n n n C u B r A r B r C n D n ϕϕ∞-==++++∑ (5.1.7)顾及解在原点（0r =）的有界性质得0=n B （取10=A ）；因而01(cos sin )2n n n n Cu r C n D n ϕϕ∞==++∑ (5.1.8)系数n C 与n D 由边界条件(,)()u R f ϕϕ=确定。
5．圆柱坐标系下的分离变量法5．1极坐标系下的拉普拉斯方程考虑半径为a 的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布(,)u x t 随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布(,)u x y 。
上述定解问题可表述为20u x y x y D ∇=∈(,)(,) （5.1.1a ） 222x y a u x y g x y x y +==∈∑(,)(,)(,) (5.1.1b)其中，∑表示圆盘的边界，即222x y a +=，D 表示∑围成的内域。
对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与z 无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。
因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如0x =，x a =，0y =，y b =但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。
而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为222211()r r x x r ϕ∂∂∂∇=+∂∂∂ （5.1.2） 从而（5.1.1）定解问题可改写成 222110u u r r D r x x r ϕϕ∂∂∂+=∈∂∂∂()(,) (5.1.3a) r a u r g r ϕϕϕ==∈∑(,)()(,) (5.1.3b)注意到定解问题（5.1.3）中的边界条件属于第Ⅰ类，通常称之为狄里克莱()Dirichlet 问题，也称第I 边值问题。
若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅱ类的，则称相应的定解问题为牛曼()Newman 问题，也称第Ⅱ边值条件。
若（5.1.3）中的边界条件是第Ⅲ类的，则称相应的定解问题为罗宾()Robin 问题。
此外，本题研究内域D 中的温度，通常称为内问题。
实际应用中，可能遇到求圆形孔洞外围的温度场或电势场分布问题，通常称为外问题。
现在回到求解形如（5.1.3）的定解问题上来。
我们沿用在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题的思想，设(,)()()u r R r ϕϕ=Φ （5.1.4） 代入（5.1.3a ）得 222110()d dR d r R r dr dr r ϕΦΦ+=∂ 两边同除以2R r Φ（u R =Φ为非零解）得 221()r d dR d r R dr dr ϕΦ-=Φ∂ 由于等式左边是关于r 的函数，右边是关于ϕ的函数，从而只能有左边=右边=常数设这个常数为λ-，则得到两个常微分方程0()()ϕλϕ''Φ+Φ= （5.1.5） 和0(())()r rR r R r λ''-= （5.1.6a ） 或者20()()()r R r rR r R r λ'''+-= （5.1.6b ） 如同在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题一样，我们将首先构造与定解问题相应的特征值问题，通过求解特征值问题得到平方可积函数空间2L 中的一组完备正交函数系，再将解按完备正交函数系展开，最终得到级数形式的解表达式。
为此，首先考虑方程（5.1.6b ）附加特定边界条件构成特征值问题的可能性。
方程（5.1.6b ）为2阶欧拉方程，定解条件需要2个，但(5.1.3)中仅提供1个。
考虑到温度在D 内0r =处应为有限值，补充定解条件如下 0(,)u ϕ<+∞ (5.1.7)从而可分离出 0()R <+∞ (5.1.8)但从r a =处的边界条件中无法分离出关于()R r 的边界条件。
从而无法由方程（5.1.6b ）构造特征值问题。
现在转而考虑由方程（5.1.5）构造特征值问题。
方程（5.1.5）是2阶常微分方程，其定解问题也需要2个，但（5.1.3）中并没有提供关于()ϕΦ的任何信息，但深入考虑本问题的特点后，应该有2(,)(,)u r u r ϕϕπ=+ （5.1.9a ） 2(,)(,)u r u r ϕϕϕϕπ=+ （5.1.9b ） 因为(,)r ϕ和2(,)r ϕπ+表示同一点。
形如（5.1.9）的条件称为周期性条件。
有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）在原定解问题（5.1.3）中都没有被明确提出。
但原定解问题（5.1.3）是关于r 和ϕ的2阶偏微分方程定解问题，其定解条件应该有4个。
除r a =处的边界条件外，还应该有3个定解条件。
有界性条件（5.1.7）和周期性条件（5.1.9）正好是在原定解问题中没有被明确提出的3个定解条件，他们或者由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定。
像这样由问题的物理性质决定，或者由区域D 的几何性质决定，而无需在定解问题中明确提出的边界条件，通常称为自然边界条件。
自然边界条件是隐含在定解问题本身之中的边界条件。
由周期性条件（5.1.9）可进一步分离出2()()ϕϕπΦ=Φ+ (5.1.10a) 2()()ϕϕπ''Φ=Φ+ (5.1.10b) 它们与方程(5.1.5)一起构成特征值问题。
方程(5.1.5)的通解为()sin C D ϕΦ=+ (5.1.11) 注意到(5.1.10)中()ϕΦ的周期为2π，故012,,,=±±⋅⋅⋅即特征值 2012(,,,)n n λ==⋅⋅⋅ (5.1.12)相应的非平凡解为 ()cos sin n n n C n D n ϕϕϕΦ=+ (5.1.13)由于cos n ϕ和sin n ϕ是线性无关的，所以特征值是2重简并的（除0λ=外），即每一个特征值(1)n n λ≥对应有2个线性无关的特征函数123n n ϕ=⋅⋅⋅cos (,,,)和123n n ϕ=⋅⋅⋅sin (,,,)。
所有正交函数组成函数空间202(,)L π完备正交函数系。
{}{}1123n n n n ϕϕϕΦ==⋅⋅⋅(),cos ,sin ,(,,,)现在将2n n λ=代入（5.1.6b ），求解欧拉()Euler 方程2200r R r rR r n R r r a '''+-=<<()()()() （5.1.15）（1） 当0n =时，1()()R r R r r ''=-' ln ()ln R r r c '=-+1()R r Dr -'=00()ln R r A B r =+ （5.1.16）（2）当0n ≠时， 令t r e = 则 1()()()dt R r R t R t dr r'''== 211()(())(())[()()]d d R r R r R t R t R t dr dr r r '''''''===- 原欧拉方程（5.1.15）化成20()()R t n R t ''-=从而()nt nt n n n n n n R t A e B e A r B r --=+=+ （5.1.17）综合式（5.1.16）和（5.1.17）得欧拉方程（5.1.15）通解()00ln 01n n n n n A B r n R r A r B r n -+=⎧=⎨+≥⎩ （5.1.18）将()n ϕΦ和()n R r 代入（5.1.4）得()()(),n n n u r R r ϕϕ=Φ （5.1.19）由于给定方程（5.1.3a ）是线性齐次方程，满足叠加原理，故定解问题的解可表示为()()00(,)(,)n n n n n u r u r R r ϕϕϕ∞∞====Φ∑∑()()()''''001ln 1cos sin n n n n n n n A B r A r B r C n D n ϕϕ∞-==+⋅+++∑()()()001ln cos sin n n n n n n n n n A B r A r B r n C r D r n ϕϕ∞--==+++++∑ （5.1.20）其中，待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 由边界条件确定。
由0r =处的有界性条件知0n B = ()0,1,2,n = （5.1.21） 0n D = ()1,2,n = （5.1.22）再由r a =处的边界条件知()011cos sin nn n n n n A A a n C a n g ϕϕϕ∞∞==++=∑∑ （5.1.23） 上式可看成是()g ϕ关于完备正交函数系(){}n ϕΦ()0,1,2,n =的广义傅立叶展开式从而 ()20012A g d πϕϕπ=⎰ ()201cos n n A g n d a πϕϕϕπ=⎰ ()201sin n n C g n d a πϕϕϕπ=⎰ 对于温度场分布的狄里克莱外问题()2,0u r ϕ∇=,02)a r ϕπ<<+∞≤≤（ （5.1.24a ） ()(),r a u r g ϕϕ== ()02ϕπ≤≤ (5.1.24b)其求解过程与狄里克莱内问题类似。
首先补充自然边界条件1）同期性条件()(),2,u r u r ϕπϕ+= (5.1.25a) ()(),2,u r u r ϕϕϕπϕ+= (5.1.25b)2） 有界性条件，对于外问题，除r a =边界外，另一边界是r =+∞。
一般应根据具体物理问题，对物理量u 在r =+∞处提出适当的边界条件，对于恒定温度分布问题。
由于温度不可能无限升高，故可提有界性条件如下，()lim ,r u r ϕ→∞<+∞ （5.1.26） 其次求解特征值问题()()()()()()''022ϕϕϕλϕϕϕπϕϕπ⎧Φ+Φ=⎪Φ=Φ+⎨⎪Φ=Φ+⎩ （5.1.27） 得特征值和特征函数2n n λ= ()0,1,2,n =()cos sin n n n C n D n ϕϕϕΦ=+ ()0,1,2,n = 再次，求解欧拉方程()()()22'''0r R r rR r n R r +-= （5.1.28） 得()00ln 01,2,n n n n n A B r n R r A r B r n -+=⎧=⎨+=⎩然后，利用线性叠加原理得到定解问题的级数形式解()()0(,)n n n u r R r ϕϕ∞==Φ∑()()0011ln cos sin nn n n n n n n n n A B r A r B r n C r D r n ϕϕ∞∞--===+++++∑∑最后，利用边界条件确定待定系数0A ,0B ,n A ，n B ，n C ，n D 。
由r =+∞处的边界条件（5.1.26）知00B =0n A = ()1,2,n = 0n C = ()1,2,n =由r a =处的边界条件知 ()20012A g d πϕϕπ=⎰()20cos n n a B g n d πϕϕϕπ=⎰ ()0,1,2,n = ()20sin n n a D g n d πϕϕϕπ=⎰ ()0,1,2,n = 对于狄里克莱问题，不论是内问题还是外问题，在有界性条件，即()0,u ϕ<+∞或(),u ϕ∞<+∞限制下，定解问题的解总是存在的，且是唯一的。
